Télécharge Corrigé examen d’algèbre 2 et plus Examens au format PDF de Algèbre linéaire sur Docsity uniquement! Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Amérique du Sud \ Novembre 2009 EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O, −→ ı , −→ ) . On prend 1 cm comme unité. Partie A — Restitution organisée de connaissances Soit D le point de coordonnées (xD, yD, zD) et P le plan d’équation ax +by +cz +d = 0, où a, b et c sont des réels qui ne sont pas tous nuls. Démontrer que la distance du point D au plan P est donnée par : d(D,P ) = ∣ ∣axD +byD +czD +d ∣ ∣ p a2 +b2 +c2 Partie B On considère les points A de coordonnées (3 ; −2 ; 2), B de coordonnées (6 ; −2 ; −1), C de coordonnées (6 ; 1 ; 5) et D de coordonnées (4 ; 0 ; −1). 1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle. En déduire l’aire du triangle ABC. 2. Vérifier que le vecteur −→ n de coordonnées (1 ; −2 ; 1) est normal au plan (ABC). Déterminer une équation du plan (ABC). 3. Calculer la distance du point D au plan (ABC). Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. Partie C Soit Q le plan d’équation x −2y + z −5= 0. 1. Déterminer la position relative des deux plans Q et (ABC). 2. Q coupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement en E, F et G. Déterminer les coordonnées de E et montrer que E appartient au segment [DA]. 3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Déterminer le volume du tétraèdre EFGD. EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Baccalauréat S A. P. M. E. P. Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( O, −→ u , −→ v ) , on considère les points A et B d’affixes respectives 2 et (−2) et on définit l’application f qui à tout point M d’affixe z et différent de A associe le point M ′ d’affixe z ′ = z(z −2) z −2 . 1. a. Déterminer l’affixe du point P′ image par f du point P d’affixe (1+ i). b. Montrer que les droites (AP) et (BP′) sont parallèles. c. Établir que les droites (AP) et (PP′) sont perpendiculaires. 2. Déterminer l’ensemble des points invariants par f (c’est-à-dire l’ensemble des points tels que M’=M). On cherche à généraliser les propriétés 1.b et 1.c pour obtenir une construction de l’image M ′ d’un point M quelconque du plan. 3. a. Montrer que pour tout nombre complexe z, le nombre (z −2) ( z −2 ) est réel. b. En déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2, z ′+2 z −2 est réel. c. Montrer que les droites (AM) et (BM ′) sont parallèles. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans l’évaluation. Soit M un point quelconque non situé sur la droite (AB). Généraliser les résultats de la question 1.c. 5. Soit M un point distinct de A. Déduire des questions précédentes une construction du point M ′ image de M par f . Réaliser une figure pour le point Q d’affixe 3−2i. EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité On considère un carré direct ABCD (c’est à dire un carré ABCD tel que (−−→ AB ; −−→ AD ) = π 2 [2π]) de centre I. Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA]. Γ1 désigne le cercle de diamètre [AI] et Γ2 désigne le cercle de diamètre [BK]. Partie A 1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe s telle que s(A) = I et s(B) = K. 2. Montrer que les cercles Γ1 et Γ2 se coupent en deux points distincts : le point J et le centre Ω de la similitude directe s. 3. a. Déterminer les images par s des droites (AC) et (BC). En déduire l’image du point C par s. b. Soit E l’image par s du point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ID]. Amérique du Sud 2 Novembre 2009
