Télécharge Corrigé examen d’algèbre 3 et plus Examens au format PDF de Algèbre linéaire sur Docsity uniquement! [ Baccalauréat S (obligatoire) Antilles-Guyane \ septembre 2010 EXERCICE 1 7 points Commun à tous les candidats PARTIE A - Restitution organisée des connaissances On suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de u ◦ v ainsi que ses conditions d’utilisation. On suppose savoir que la fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et que pour tout x de ]0 ; +∞[ on a : exp(ln x) = x. À partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ qui à x associe 1 x . PARTIE B - Étude de fonction On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = x + ln x x . Le but du problème est l’étude de cette fonction et le calcul d’une aire. On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère ortho- normal ( O, −→ ı , −→ ) d’unité graphique 3 cm. I - Étude d’une fonction auxiliaire On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par g (x) = x2 +1− ln x. 1. Étudier les variations de g sur ]0 ; +∞[. 2. En déduire le signe de g sur ]0 ; +∞[. II - Étude de la fonction f et tracé de sa courbe représentative C 1. Déterminer la limite en 0 de la fonction f . Quelle est l’interprétation graphique de ce résultat ? 2. Déterminer la limite en +∞ de f puis montrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe C . 3. Soit f ′ la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f ′(x) pour tout réel x de ]0 ; +∞[. 4. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ puis dresser le tableau de varia- tions de la fonction f . 5. Déterminer le point A de la courbe C en lequel la tangente T est parallèle à la droite D. 6. Dans le repère ( O, −→ ı , −→ ) tracer les droites D et T et la courbe C . III - Calcul d’une aire 1. Montrer que ∫e 1 ln x x dx = 1 2 . 2. En déduire l’aire de la région du plan délimitée par les droites d’équation x = 1, x = e, l’axe des abscisses et la courbe C . On exprimera cette aire en cm2. Hachurer cette région sur le graphique. Baccalauréat S A. P. M. E. P. EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats L’exercice comporte quatre propositions indépendantes. Indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse choisie. 1. L’ensemble des points M d’affixe z du plan complexe rapporté au repère ortho- normé ( O, −→ u , −→ v ) , vérifiant |z −2| = |z −2i| est la droite d’équation y = x. 2. Si A, B et C sont trois points deux à deux distincts du plan complexe d’affixes a, b et c vérifiant b −a c −a =−3 alors A, B et C sont alignés. 3. L’espace est rapporté au repère orthonormal ( O, −→ ı , −→ , −→ k ) . La droite de l’espace passant par le point B de coordonnées (2 ; 3 ; 4) et admettant le vecteur −→ u (1 ; 2 ; 3) comme vecteur directeur a pour représentation paramétrique : x = t +1 y = 2t +1 z = 3t +1 t ∈R. 4. L’espace est rapporté au repère orthonormal ( O, −→ ı , −→ , −→ k ) . La sphère de centre A(1 ; 1 ; 1) et de rayon 10 est tangente au plan P d’équation x + y + z −1 = 0. EXERCICE 3 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité On considère la suite de nombres réels (un ) définie sur N par : u0 =−1, u1 = 1 2 et, pour tout entier naturel n, un+2 = un+1 − 1 4 un . 1. Calculer u2 et en déduire que la suite (un ) n’est ni arithmétique ni géométrique. 2. On définit la suite (vn) en posant, pour tout entier naturel n : vn = un+1 − 1 2 un . a. Calculer v0. b. Exprimer vn+1 en fonction de vn . c. En déduire que la suite (vn) est géométrique de raison 1 2 . d. Exprimer vn en fonction de n. 3. On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n : wn = un vn . a. Calculer w0. b. En utilisant l’égalité un+1 = vn + 1 2 un , exprimer wn+1 en fonction de un et de vn . c. En déduire que pour tout n de N, wn+1 = wn +2. d. Exprimer wn en fonction de n. 4. Montrer que pour tout entier naturel n un = 2n−1 2n . Antilles-Guyane 2 septembre 2010
