Corrigé examen d’algèbre 4, Examens de Algèbre linéaire

Télécharge Corrigé examen d’algèbre 4 et plus Examens au format PDF de Algèbre linéaire sur Docsity uniquement! [ Baccalauréat S Antilles-Guyane 23 juin 2009 \ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions. On dispose de deux dés tétraédriques identiques : les quatre faces sont numérotées A, B, C et D. 1. On lance les deux dés simultanément et on note la lettre de la face sur la- quelle repose chacun des dés. Déterminer la probabilité des évènements suivants : — E0 : « ne pas obtenir la lettre A », — E1 : « obtenir une fois la lettre A », — E2 : « obtenir deux fois la lettre A ». 2. On organise un jeu de la façon suivante : — Le joueur lance les deux dés simultanément. — Si les deux dés reposent sur les faces « A », le jeu s’arrête. — Si un seul dé repose sur la face « A », le joueur relance l’autre dé et le jeu s’arrête. — Si aucun dé ne repose sur la face « A », le joueur relance les deux dés et le jeu s’arrête. a. Recopier et compléter l’arbre suivant en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante. Nombre de Nombre de faces « A » faces « A » 0 0 1 2 1 0 1 2 1er lancer 2e lancer b. Le joueur gagne si, lorsque le jeu s’arrête, les deux dés reposent sur les faces « A ». Montrer que, pour le joueur, la probabilité de gagner est de 49 256 . c. Pour participer, le joueur doit payer 5 euros. S’il gagne, on lui donne 10 euros. Si, lorsque le jeu s’arrête, un seul dé repose sur la face « A », il est remboursé. Sinon, il perd sa mise. Le jeu est-il favorable au joueur ? Baccalauréat S EXERCICE 2 5 points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse. 1. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O, −→ u , −→ v ) . On considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’af- fixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que z ′ = (1+ i p 3)z +2 p 3. On note A le point d’affixe 2i. Affirmation : f est la similitude directe, de centre A, d’angle π3 et de rapport 2. 2. Affirmation : 19912009 ≡ 2 (7). 3. a et b sont deux entiers relatifs quelconques, n et p sont deux entiers naturels premiers entre eux. Affirmation : a ≡ b (p) si et seulement si na ≡ nb (p). 4. L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O, −→ ı , −→  , −→ k ) . E est l’ensemble des points M de l’espace dont les coordonnées (x ; y ; z) vé- rifient l’équation : z = x2 + y2. On note S la section de E par le plan d’équa- tion y = 3. Affirmation : S est un cercle. 5. L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O, −→ ı , −→  , −→ k ) . P est la surface d’équation x2 + y2 = 3z2. Affirmation : O le seul point d’intersection de P avec le plan (yOz) à coordonnées entières. EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse. 1. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O, −→ u , −→ v ) . Soit le point A d’affixe 3, le point B d’affixe −4i et l’ensemble E des points M d’affixe z tels que |z −3| = |z +4i|. Affirmation : E est la médiatrice du segment [AB]. 2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O, −→ u , −→ v ) . On considère trois points A, B et C deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b et c, tels que c −a b −a = 2i. Affirmation : A appartient au cercle de diamètre [BC ]. 3. On considère le nombre z = 2ei π 7 . Affirmation : z2009 est un nombre réel positif. 4. On considère trois points A, B et C non alignés de l’espace. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC . On note F l’ensemble des points M vérifiant ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −−−→ M A +−−→MB +−−−→MC ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣= 6. Affirmation : F est la sphère de centre de G et de rayon 2. Antilles - Guyane 2 23 juin 2009