Corrigé examen d’algèbre 7, Examens de Algèbre linéaire

Télécharge Corrigé examen d’algèbre 7 et plus Examens au format PDF de Algèbre linéaire sur Docsity uniquement! Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Centres étrangers 15 juin 2009 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Restitution organisée de connaissances : Prérequis : On rappelle que deux évènements A et B sont indépendants pour la probabilité p si et seulement si : p(A∩B) = p(A)×p(B). Soient A et B deux évènements associés à une expérience aléatoire. a. Démontrer que p(B) = p(B ∩ A)+p ( B ∩ A ) . b. Démontrer que, si les évènements A et B sont indépendants pour la pro- babilité p, alors les évènements A et B le sont également. 2. Application : Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux évènements indépendants : • R : « il n’entend pas son réveil sonner » ; • S : « Son scooter, mal entretenu, tombe en panne ». Il a observé que chaque jour de classe, la probabilité de R est égale 0,1 et que celle de S est égale à 0,05. Lorsque qu’au moins l’un des deux évènements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l’heure. a. Calculer la probabilité qu’un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne. b. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l’heure au lycée un jour de classe donné. c. Au cours d’une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu’il entende son réveil sonner un jour de classe donné n’influe pas sur le fait qu’il l’entende ou non les jours suivants. Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d’une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale. EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité On se propose dans cet exercice, d’étudier des propriétés d’un solide de l’espace. L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O, −→ ı , −→  , −→ k ) . On considère les points A(3 ; 4 ; 0) ; B(0 ; 5 ; 0) et C(0 ; 0 ; 5). On note I le milieu du segment [AB]. 1. Faire une figure où l’on placera les points A, B, C, I dans le repère ( O, −→ ı , −→  , −→ k ) . 2. Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles. Quelle est la nature du triangle ABC ? 3. Soit H le point de coordonnées ( 15 19 ; 45 19 ; 45 19 ) . a. Démontrer que les points H, C, I sont alignés. b. Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). c. En déduire une équation cartésienne du plan ABC. 4. Calculs d’aire et de volume. Baccalauréat S A. P. M. E. P. a. Calculer l’aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC. b. Déterminer la distance du point O au plan (ABC). c. Calculer l’aire du triangle ABC. EXERCICE 2 5 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 1. On note (E) l’équation 3x +2y = 29 où x et y sont deux nombres entiers rela- tifs. a. Déterminer un couple d’entiers solution de l’équation (E). b. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). c. Préciser les solutions de l’équation (E) pour lesquelles on a à la fois x > 0 et y > 0 ; 2. Intersections d’un plan avec les plans de coordonnées L’espace est muni du repère orthonormal ( O, −→ ı , −→  , −→ k ) et on désigne par P le plan d’équation 3x +2y = 29. a. Démontrer que P est parallèle à l’axe (Oz) de vecteur directeur −→ k . b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection du plan P avec les axes (Ox) et (Oy) de vecteurs directeurs respectifs −→ ı et −→  . c. Faire une figure et tracer les droites d’intersection du plan P avec les trois plans de coordonnées. d. Sur la figure précédente, placer sur la droite d’intersection des plans P et (xOy), les points dont les coordonnées sont à la fois entières et positives. 3. Étude d’une surface S est la surface d’équation 4z = x y dans le repère ( O, −→ ı , −→  , −→ k ) . Les figures suivantes représentent les intersections de S avec certains plans de l’espace. figure no 1 figure no 2 figure no 3 figure no 4 a. S1 désigne la section de la surface S par le plan (xOy). Une des figures données représente S1 laquelle ? b. S2 désigne la section de S par le plan R d’équation z = 1. Une des figures données représente S2, laquelle ? c. S3 désigne la section de S par le plan d’équation y = 8. Une des figures données représente S3, laquelle ? d. S4 désigne la section de S par le plan P d’équation 3x + 2y = 29 de la question 2. Déterminer les coordonnées des points communs à S4 et P dont l’abs- cisse x et l’ordonnée y sont des entiers naturels vérifiant l’équation 3x +2y = 29. Centres étrangers 2 15 juin 2009