Courbes elliptiques et hyperelliptiques, Lectures de Mathématiques

Télécharge Courbes elliptiques et hyperelliptiques et plus Lectures au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Courbes elliptiques et hyperelliptiques A. Lesfari Département de Mathématiques Faculté des Sciences Université Chouaïb Doukkali B.P. 20, El-Jadida, Maroc. E. mail : lesfariahmed@yahoo.fr Nous allons construire le plus intuitivement possible les surfaces de Rie- mann dans le cas elliptique et hyperelliptique. Rappelons d'abord qu'en géné- ral, la dénition d'une fonction fait qu'à une valeur de la variable correspond une seule valeur de la fonction. Dans certains cas, celà n'est pas très naturel car l'usage des fonctions complexes n'est pas simple. Lors de la dénition de telles fonctions, on rencontre généralement des dicultés au niveau de la dé- termination de l'image : non unicité, défaut de continuité. On parle dans ce cas de fonction multiforme. Si la dénition, par exemple, de la fonction carrée z2, de la fonction inverse 1 z , de la fonction exponentielle exp z, etc... ne pose pas de problèmes majeurs, il n'en va pas de même, par exemple, avec les tentatives de dénition de la fonction racine carrée √ z, la fonction logarithme complexe log z, etc... Considérons par exemple la fonction √ z sur l'ensemble des nombres complexes C. Si z est un nombre complexe, on peut l'écrire : z = rei(θ+2kπ) où r est le module de z et θ est un argument de z, déni à 2kπ près. Lorsque k décrit l'ensemble des entiers relatifs Z, z reste inchangé. Les racines carrées de z dans C sont alors √ rei( θ 2 +kπ). Supposons que le nombre complexe z décrit un cercle ne contenant pas l'origine, son argument augmente puis revient à sa valeur initiale après un tour complet. Par contre, si z décrit un cercle contenant 0, alors son argument augmente de 2π : z reprend donc sa valeur initiale mais, pendant ce temps, l'argument de la racine carrée choisie verra son argument augmenter de π. Au nal, on retombe sur l'autre détermination de la racine carrée ! L'origine 0 qui pose ici problème, est appelé point de branchement ou de ramication pour la fonction racine carrée : elle est une fonction multiforme autour de 0. On est donc en présence d'une fonction multiforme : deux images opposées. Si z est non nul, il existe deux valeurs possibles pour √ z, et il n'y a pas de raison de préférer l'une à l'autre. Laquelle choisir ? Problème a priori insoluble quel que soit le choix car nous travaillons ici dans C. 1 A. Lesfari 2 Les calculs faisant intervenir des fonctions multiformes sont parfois lourds et compliqués. Riemann a eu l'idée de transformer les fonctions multiformes en fonctions uniformes (un point n'a qu'une seule image), en modiant le domaine de dénition. Il recolle pour cela continûment plusieurs représentations du domaine de dénition, les feuillets, et obtient le concept de surface de Riemann. Partant de diverses fonctions multiformes sur C, on peut les rendre uniformes en remplaçant leur domaine C par une surface de Riemann ; c'est le procédé d'uniformisation. Quoi qu'il semble compliqué à priori de remplacer C par une surface, on peut se dire que cette surface est le domaine naturel sur lequel la fonction est dénie, ce qui justie son introduction. Parmi les problèmes qui se posent, on ne peut pas dénir de façon cohérente les opérations de calcul sur les fonctions multiformes : par exemple que vaut (± √ z ± √ z) ? Sur la surface de Riemann de √ z, cette complication n'existe pas. Plus précisément, pour remédier à ce problème, Riemann imagine un artice redénissant l'ensemble de dénition des fonctions complexes : on parle aujourd'hui de surfaces de Riemann sur lesquelles ces fonctions redeviennent uniformes (nos fonctions usuelles : l'image est unique). Pour la fonction √ z, on clone le plan complexe que l'on représente par deux feuillets reliés entre eux par le demi-axe positif, appelé coupure. Aucun cercle autour de 0 ne doit franchir cette coupure à moins de passer d'un feuillet à l'autre ou inversement. Dans ces conditions, z ne reprendra sa valeur initiale qu'au bout de deux tours. Ayant fait le choix d'une détermination de la racine carrée, celle-ci devient uniforme sur la surface de Riemann (ici la sphère de Riemann), ce qui autorise alors la notation √ z. Passons maintenant à la construction de la surface de Riemann dans le cas elliptique et hyperelliptique. Soit w2 = P3(z), où P3(z) est un polynôme de degré 3, ayant trois racines distinctes e1, e2, e3. A. Lesfari 5 et D2. Par conséquent, w a la même valeur sur A1 et B2, sur B1 et A2, sur C1 et D2 et enn sur D1 et C2. 3ème étape : On identie les bords suivants : A1 à B2, B1 à A2, C1 à D2 et D1 à C2. Après recollement, on obtient un tore à un trou. La surface à deux feuillets obtenue s'appelle surface de Riemann elliptique ou courbe elliptique associée à l'équation : w2 = (z − e1)(z − e2)(z − e3). Sur cette surface, w est une fonction uniforme. Lorsqu'on tourne autour d'un des points e1, e2, e3, ou ∞, on passe d'un feuillet à l'autre. En ces points les deux feuillets se joignent et on les appellent points de branchement ou de ramication de la surface. Remarque 1 a) La surface obtenue peut-être tracée de diérentes façons : A. Lesfari 6 ou ou encore b) Si w2 = P4(z), où P4(z) est un polynôme de degré 4, ayant quatre racines distinctes e1, e2, e3, e4, alors on obtient aussi une courbe elliptique. Les points de branchements sont e1, e2, e3 et e4. Notons que si w2 = (z − e1) (z − e2) (z − e3) (z − e4) , alors la transformation (w, z) 7−→ ( y x2 , e1 + 1 x ) , ramène cette équation à la forme y2 = (1 + (e1 − e2) x) (1 + (e1 − e3) x) (1 + (e1 − e4) x) . A. Lesfari 7 c) Signalons enn que si w2 = Pn(z), où Pn (z) est un polynôme de degré n supérieur où égal à 5, ayant n racines distinctes, alors on obtient ce qu'on appelle surface de Riemann hyperelliptique ou courbe hyperelliptique. Plus précisément, une surface de Riemann hyperel- liptique ou courbe hyperelliptique de genre g se dénit par une équation de la forme w2 = Pn(z) = { P2g+1(z) si n = 2g + 1 P̃2g+2(z) si n = 2g + 2 où P2g+1(z) et P̃2g+2(z) sont des polynômes sans racines multiples. Pour n = 5 ou 6, on obtient une courbe hyperelliptique de genre g = 2 : n g (genre) Surface de Riemann 1 ou 2 0 sphère de Riemann 3 ou 4 1 elliptique à un trou 5 ou 6 2 hyperelliptique à deux trous 7 ou 8 3 hyperelliptique à trois trous ... ... ... n [ n−1 2 ] (partie entière) hyperelliptique à [ n−1 2 ] trous