Cours de seconde fonctions affines et linéaires, Lectures de Mathématiques

Télécharge Cours de seconde fonctions affines et linéaires et plus Lectures au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! 2nde – B2C – Patricia Pouzin – Fonctions affines et linéaires - Page 1 I. Définition et propriétés des fonctions affines et linéaires Définition : Une fonction affine est une fonction définie sur R par f (x) =mx + p où m et p sont deux nombres réels. Notation : Si on appelle f cette fonction, on note : :f x mx p+ ou encore ( )f x mx p= + Exemple : La fonction f définie sur par ( ) 2f x x= − est une fonction affine qui a la particularité d’être linéaire. La fonction f définie sur par ( ) 3 14f x x= − + est une fonction affine ( 3m = − et 14p = ) La fonction g définie sur par ( ) 5 3 2 x g x = + est une fonction affine ( 5 2 m = et 3p = ) La fonction h définie sur * par 2 ( ) 2h x x x = + n’est pas une fonction affine La fonction k définie sur par 3( ) 2 2 3k x x x= − + + n’est pas une fonction affine  Propriétés : Soit f la fonction affine définie sur R par f(x) = mx + p Si m < 0, alors la fonction f est décroissante sur R. Si m = 0, alors la fonction f est constante sur R Si m > 0, alors la fonction f est croissante sur R. Démonstration : Soit f la fonction affine définie sur par ( )f x mx p= + .On étudie le sens de variations de la fonction. Supposons m < 0 (la démonstration pour m > 0 est analogue) Soit a et b deux nombres réels tels que a < b ; comme m < 0 en multipliant les deux membres de cette inégalité par m, le sens change et on obtient ma > mb FONCTIONS AFFINES ET LINEAIRES Si m = 0, alors pour tout nombre réel x on a ( ) 0f x x p p= + = . On dit que la fonction f est une fonction constante. Si p = 0 alors pour tout nombre réel x on a ( ) 0f x mx mx= + = . On dit que la fonction f est une fonction linéaire En ajoutant p aux deux membres de cette inégalité le sens ne change pas et on obtient : ma +p>mb+p c’est-à-dire f{a) > f(b) autrement dit si m < O , alors la fonction f est décroissante sur ? Supposons m = 0. Alors pour tout nombre réel x on a f{x) = p donc f'est constante sur ? IL. Représentation graphique d’une fonction affine | v Théorèmes (admis) La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère est une droite. Et réciproquement, dans un repère, toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine. représentation graphique dans un repère (O:ë j). f(0)=mx0+p=p donc A(0;p) appartient à Cf. fD=mx1+p=m+p donc B(l:m+p) appartient à Cf. M(x y) appartient à Cf signifie que y=mx+p. Remarque : En effet, la représentation, une droite parallèle à l’axe des ordonnées n’est pas une fonction puisque un nombre peut avoir ici plusieurs images. Cas particuliers : e _Sifest une fonction linéaire, alors la représentation graphique de f est une droite passant par l’origine du repère. e _Sifest une fonction constante, alors la représentation graphique de f est une droite parallèle à l’axe des abscisses Méthode : Pour tracer dans un repère la droite qui représente une fonction affine on détermine les coordonnées de deux points de cette droite fonction f:x--3x+4 f est une fonction affine car f{x) est de la forme mx+p avec m=-3 et p=4 On en déduit que la représentation graphique de la fonction f est une droite. Déterminons les coordonnées de trois points de cette droite x 0 1 2 y=-3x+4 4 1 -2 Les points B(0 ;4) C(1 ;1) et D(2 ;-2) appartiennent à la représentation graphique de f