ds maths 2nd avec correction, Examens de Mathématiques

Télécharge ds maths 2nd avec correction et plus Examens au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Correction Correction DS n◦2A - Seconde - Octobre 2015 Devoir Surveillé n◦2A Correction Seconde Fonctions - Distances Durée 1 heure - Coeff. 5 Noté sur 20 points Exercice 1. Repère 3, 5 + 0, 5 + 1 = 5 points Soit (O′ , I ′ , J ′) un repère orthonormée du plan. on considère les points : A(2 ; 4) , B ( 2− √ 3 ; 3 ) , C ( 3 ; 4− √ 3 ) . Dans tout ce qui suit, les longueurs seront exprimées en unités de longueur (u.l.). 1. [3,5 pts] Démontrer que (A , B , C) est un repère orthonormé. On va pour cela montrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A. Le repère (O′ , I ′ , J ′) un repère orthonormée donc le calcul des distances est légitime. AB2 = ( 2− √ 3− 2 )2 + (3− 4) 2 AB2 = 3+ 1 = 4 AC2 = (3− 2) 2 + ( 4− √ 3− 4 )2 AC2 = 1 + 3 = 4 BC2 = ( 3− 2 + √ 3 )2 + ( 4− √ 3− 3 )2 BC2 = ( 1 + √ 3 )2 + ( 1− √ 3 )2 BC2 = 1 + 2 √ 3 + 3 + 1− 2 √ 3 + 3 BC2 = 8 Il est donc clair que le triangle ABC est isocèle en A puisque AB = AC = 2. Si le triangle ABC est rectangle, c’est en A car [BC] est le plus grand côté. Or { CB2 = 8 AB2 +AC2 = 4 + 4 = 8 Donc on a égalité,BC2 = BA2+AC2 = 8 et d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. On a donc montré que ABC est rectangle et isocèle en A et donc que (A , B , C) est un repère orthonormé. 2. [0,5 pt] Déterminer les coordonnées de A, B et C dans le repère (A , B , C). Dans le repère (A , B , C) on a par définition A(0; 0), B(1; 0), C(0; 1) . 3. [1 pt] Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [BC], dans le repère (O′ , I′ , J ′) et dans le repère (A , B , C). Dans le repère (A , B , C) : I ( 1 2 ; 1 2 ) et dans le repère (O′ , I ′ , J ′) : I ( 5− √ 3 2 ; 7− √ 3 2 ) Exercice 2. Parallélogramme 2 + 3 + 1 + 1 = 7 points Soit (O′ , I ′ , J ′) un repère orthonormée du plan. On considère les points : A(4 ; 1) , B (2 ; 5) , C (−2 ; 3). 1. Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. ABCD est un parallélogramme si et seulement si les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu donc : mil[AC] = mil[BD] ⇔      xA + xC 2 = xB + xD 2 yA + yC 2 = yB + yD 2 ⇔      4− 2 2 = 2 + xD 2 1 + 3 2 = 5 + yD 2 ⇔ { 2 = 2 + xD 4 = 5 + yD mil[AC] = mil[BD] ⇔ D(0 ; −1) . www.math93.com / M. Duffaud 1/3 Correction Correction DS n◦2A - Seconde - Octobre 2015 2. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré. • On sait que ABCD est un parallélogramme, pour que ce soit aussi un carré il faut par exemple que les diagonales soient de même mesure (rectangle) et que deux côtés consécutifs soient de même mesure (losange). Le repère (O′ , I ′ , J ′) un repère orthonormée donc le calcul des distances est légitime. • Montrons donc que c’est aussi un losange. AB2 = (2− 4) 2 + (5− 1) 2 AB2 = 20 AD2 = (0− 4) 2 + (−1− 1) 2 AB2 = 20 Deux côtés consécutifs du parallélogramme de même mesure AB = AD = √ 20 u.l., ABCD est aussi un losange. • Montrons donc que c’est aussi un rectangle. AC2 = (−2− 4)2 + (3− 1)2 AC2 = 40 BD2 = (0− 2) 2 + (−2− 5) 2 BD2 = 40 Les diagonales [AC] et [BD] du parallélogramme ABCD sont de même mesure AC = BD = √ 40 u.l. , c’est donc aussi un rectangle. • Le quadrilatère ABCD est donc un carré. 3. Soit I le centre du carré ABCD. Que dire du repère (I , A , B) ? Les diagonales du carré ABCD sont de même mesure et se coupent perpendiculairement en leur milieu I . de ce fait le triangle IAB est rectangle et isocèle en I et le repère (I , A , B) est orthonormé 4. Déterminer, sans justification, les coordonnées des points I, A, B, C de D dans le repère (I , A , B). Dans le repère (I , A , B) on a : I(0 ; 0), A(1 ; 0), B(0 ; 1) , C(−1 ; 0) , D(0 ; −1) . 1 2 3 4 5 6 −1 −2 1 2 3 4 5−1−2 bA b B b C b D b I www.math93.com / M. Duffaud 2/3