dynamique Chapitre 6 : Travail et puissance d'une force, Examens de Calcul

Télécharge dynamique Chapitre 6 : Travail et puissance d'une force et plus Examens au format PDF de Calcul sur Docsity uniquement! 2e B et C 6 Travail et puissance d’une force 56 Mécanique : dynamique Les effets des forces et les modifications mécaniques des systèmes sont souvent décrits à l’aide du concept de l’énergie mécanique. Or, les transmissions d’énergie mécanique proviennent des travaux des forces qui agissent. Chapitre 6 : Travail et puissance d'une force 1. Travail d’une force constante sur un chemin rectiligne a) Force parallèle au déplacement Déplacement rectiligne : s AB  Travail de F  = W( F  ) : W(F) F pour s=constant W(F) s pour F=constant           W( F  )  Fs L’unité pour W( F  ) est choisie tel que la constante de proportionnalité soit égale à 1! Le travail de la force F  s’écrit donc : W( F  ) = Fs b) Force perpendiculaire au déplacement F  n’agit pas suivant le déplacement  F  n’influence pas le mouvement  Le travail de la force F  est nul : W( F  ) = 0. c) Force quelconque  = angle entre F  et s . On décompose F  en tF  (composante tangentielle au déplacement) et en nF  (composante normale au déplacement). Donc : t nF F F      t nW(F) W(F ) W(F )     . Or : W( tF  ) = Fts = Fcoss et : W( nF  ) = 0. 2e B et C 6 Travail et puissance d’une force 57 Finalement, le travail de la force F  au cours du déplacement s vaut : W( F  ) = Fscos On retrouve que si  = 0, alors W = Fs, et si  = 90°, alors W = 0 ! d) Définition du travail d’une force F  constante au cours d’un déplacement rectiligne s W( F  ) = Fscos = F   s Exemple : F = 3 N; s = 2 m;  = 30°. Travail de F  : W( F  ) = Fscos = 3 N2 mcos30° = 5,2 J. e) Unité S.I. : le joule (J) Pour  = 0, si F = 1 N et s = 1 m, alors W( F  ) = 1 Nm = 1 joule = 1 J. f) Rappel : produit scalaire de deux vecteurs u et v Soient u (ux, uy) et v (vx, vy), alors : u v   = uxvx + uyvy = uvcos ( = angle entre u  et v  ) g) Travail moteur et travail résistant * 0°   90° cos  0  W  0 : travail moteur, car la force contribue au mouvement! *  = 90° cos = 0  W = 0 : la force ne travaille pas! 2e B et C 6 Travail et puissance d’une force 60 Remarque La force nécessaire pour soulever, en ligne droite et à vitesse constante, un corps de poids P  est F  = P  (principe d’inertie!). Cette force est exercée par un opérateur, par exemple. Ou bien elle est la résultante de plusieurs forces qui ont pour effet d’équilibrer le poids. En tout cas : W( F  ) = W( P  ) = +mgz 4. Exemple 2 : travail de la tension d’un ressort a) Force nécessaire pour tendre un ressort On définit un axe Ox des abscisses : Origine O : extrémité libre du ressort non tendu; Direction : parallèle à la direction de la tension T  ; Orientation tel que l’allongement x > 0. F  : force exercée par un opérateur sur le ressort, nécessaire pour tendre le ressort d’une longueur x. T  : tension du ressort = force exercée par le ressort tendu sur l’opérateur = force de rappel qui tend à ramener le ressort dans son état non tendu. Principe des actions réciproques : F  = T  Intensités : F = T Rappel de la loi de Hooke : T = kx où k est la raideur du ressort. Unités S.I. : si F = 1 N et x = 1 m, alors k = 1 N/m. Attention : Tconstant, T varie au cours du déplacement (T augmente si x augmente, T diminue si x diminue). 2e B et C 6 Travail et puissance d’une force 61 b) Expression mathématique du travail de la tension d’un ressort étiré à partir de son état non-déformé. On tend le ressort de raideur k d’un point initial A d’abscisse xi = 0 (origine O = point A), jusqu’à un point final B d’abscisse xf > 0. Afin de trouver le travail  W T  utilisons la méthode graphique : Représentons l’intensité de la force de rappel du ressort T en fonction de l’abscisse x. Comme la tension T  n’est pas une force constante sur le déplacement de A vers B, la relation ABW (T) T AB   n’est pas valable. On subdivise alors le déplacement de A vers B en un très grand nombre n de très petits déplacements élémentaires x1, x2, x3, ... xn, de longueur identiques. Sur chacun de ces déplacements élémentaires la force T peut être considérée comme constante, de sorte que la formule du travail d’une force constante peut être appliquée ( W(T) T s T s       ) ! Ainsi sur le déplacement x1 de xi (= 0) vers x1, on considère que la tension reste constante de norme kxi (= 0). Sur ce premier déplacement élémentaire, le travail élémentaire effectué vaut donc W1 = kxi∙x1 (= 0) et 1W correspond à l’aire (1). Sur le deuxième déplacement élémentaire x2 de x1 vers x2, la tension sera de nouveau constante de norme kx1 et le travail élémentaire effectué vaut donc W2 = kx1∙x2 et 2W correspond à l’aire du rectangle (2). 2e B et C 6 Travail et puissance d’une force 62 Sur le troisième déplacement élémentaire x3 de x2 vers x3, la tension sera de nouveau constante de norme kx2 et le travail élémentaire effectué vaut donc W3 = kx2∙x3 et 3W correspond à l’aire du rectangle (3). On répète ceci pour les n déplacements. Finalement sur le dernier déplacement élémentaire xn de xn-1 vers xn = xf, la tension sera de nouveau constante de norme kxf et le travail élémentaire effectué vaut donc Wn = kxn-1∙xn et nW et correspond à l’aire du rectangle (n). Le travail total de la tension sur le déplacement de xi vers xf est égal à la somme de tous les travaux élémentaires: AB 1 2 nW (T) W W W3 W           . La valeur absolue de ce travail correspond donc à la somme des aires des rectangles (1) jusqu’à (n). Pourtant ce processus n’est valable que si le déplacement x est très petit et, à la limite, tend vers zéro, ce qui veut dire que n tend vers l’infini. Dans ce cas, la somme des aires des rectangles tend vers l’aire du triangle ABC. Ainsi on obtient ABW (T)  = aire du triangle ABC :   2f f AB f kx x 1W T k x 2 2      Comme nous additionnons des travaux élémentaires résistants, le travail total de la tension est résistant :   2 AB f 1W T k x 2     Remarque : La méthode est générale. La valeur absolue du travail d’une force correspond à l’aire en dessous de la courbe représentant l’intensité de la force en fonction du déplacement parallèlement à la force. De même : représentation graphique du travail du poids P  : On représente P = f(z)! Comme P est constant, la représentation de P = f(z) fournit une droite horizontale. Le déplacement se fait de zi à zf. W(P) mg z   correspond à l’aire en-dessous de la courbe P = f(z) et l’axe Oz, prise entre le point initial et le point final !