Etude de branches infinies: démarche, exercices, complements, Notes de Mathématiques

Télécharge Etude de branches infinies: démarche, exercices, complements et plus Notes au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Etude de branches infinies. 1 Démarche Étant donnée une fonction f : R −→ R, l’étude de ses branches infinies a pour objectif de comprendre en détails le comportement de f(x) quand x tend vers +∞ ou −∞. La première chose à faire est donc de calculer lim x→+∞ f(x). On peut alors donner une première interprétation des différents résultats que l’on peut obtenir pour ce calcul. On distingue prin- cipalement deux types de résultats possibles. (Remarque : ici, on travaillera autour de +∞, mais l’on pourrait faire exactement la même chose autour de −∞). Premier cas. Cette limite est finie : lim x→+∞ f(x) = ` ∈ R. On conclue alors que la courbe admet une asymptote horizontale d’équation y = ` en +∞ et l’étude est terminée. Exemples : f(x) = 1 x , g(x) = xe−x, h(x) = 2x2 + 1 x2 + 3 Second cas. Cette limite est infinie : lim x→+∞ f(x) = +∞. La fonction f n’admet alors pas d’asymptote horizontale en +∞ et l’on doit poursuivre l’étude pour étudier de plus près le comportement de f(x) autour de +∞. Intuitivement, le calcul de lim x→+∞ f(x) nous dit dans ce cas là que f(x) grandit quand x grandit. Les questions qui se pose à ce moment là sont : “à quelle vitesse grandit f(x) ? Grandit-elle plus vite ou moins vite que x ?” Là encore, un calcul de limite va pouvoir nous aider à répondre : pour comparer la croissance de f(x) et celle de x, on calcule lim x→+∞ f(x) x . Le comportement de la fonction f autour de +∞ dépendra alors du type de réponse obtenu mais contrairement à tout à l’heure, on distingue ici trois types de réponses possibles (et non plus deux). – Soit lim x→+∞ f(x) x = 0. Dans ce cas, f(x) grandit moins vite que x. Exemples : f(x) = ln(x), g(x) = √ x, h(x) = x2 + 1 2 √ x− 3 . 1 On dit que la courbe de f admet une branche parabolique d’axe (Ox). – Soit lim x→+∞ f(x) x = +∞. Dans ce cas, f(x) grandit plus vite que x. Exemples : f(x) = ex, g(x) = x2, h(x) = x4 + 2x3 − 1 x2 + 4 . On dit que la courbe de f admet une branche parabolique d’axe (Oy). – Soit lim x→+∞ f(x) x = a ∈ R∗. Dans ce cas, la vitesse de croissance de f(x) est comparable à celle de ax quand x grandit. Pour effectuer cette comparaison, on étudie une dernière limite : celle de la différence f(x)− ax et on distingue deux cas : – Soit lim x→+∞ f(x)− ax = b ∈ R et la courbe de f admet la droite d’équation y = ax + b pour asymptote oblique. Exemples : f(x) = x3 + x + 1 x2 + 4 , g(x) = x( √ x2 + 2x− √ x2 + 1), h(x) = x2 ln ( x + 2 x ) . – Soit lim x→+∞ f(x) − ax = ±∞ et la courbe de f admet une branche parabolique de direction y = ax. Exemples : f(x) = x + √ x, g(x) = x ( 2 lnx + 1 lnx ) . ******************** Résumé : 1. Calcul de lim x→+∞ f(x). - Si c’est un réel `, asymptote d’équation y = `. - Si c’est +∞, passer à l’étape 2. 2. Si le résultat précédent est +∞, calcul de lim x→+∞ f(x) x . - Si c’est 0 ou +∞, pas d’asymptote mais une branche parabolique. - Si c’est un réel a non nul, passer à l’étape 3. 3. Si le résultat précédent est un nombre non nul a ∈ R∗, calcul de lim x→+∞ f(x)− ax. - Si c’est un réel b, la droite d’équation y = ax + b est alors asymptote à la courbe de f . - Si c’est +∞, pas d’asymptote mais une branche parabolique d’axe oblique. 2