exercice sur le phénomène de l'arc-en-ciel (lois de Descartes), Exercices de Géométrie Algorithmique

Télécharge exercice sur le phénomène de l'arc-en-ciel (lois de Descartes) et plus Exercices au format PDF de Géométrie Algorithmique sur Docsity uniquement! Lycée Pasteur / TS / DM Exercice n°1 : l'arc-en-ciel Le phénomène de l'arc-en-ciel est basé sur les lois de Descartes régissant les réflexions et réfractions de la lumière. Il n'est visible que lorsqu'un rideau de pluie (naturel ou artificiel) est éclairé et que l'observateur regarde ce rideau en tournant le dos à la source lumineuse. On se reportera à la figure 1 pour localiser les diverses notations de l'exercice. Un rayon lumineux entre en E dans une goutte d'eau sphérique avec une incidence i : il subit une réfraction. Au point R, il subit une réflexion. Il ressort finalement de la goutte au point S. L'indice de réfraction de l'air est nair=1 et celui de l'eau est noté neau. Sa valeur dépend de la longueur d'onde de la lumière. 1. On cherche à déterminer l'expression de la déviation D en fonction de l'angle d'incidence i et de l'indice optique de l'eau neau. a) En considérant le triangle OEF, déterminer la relation entre les angles i, γ et β, puis la relation entre les angles i, β et D. b) En considérant le triangle OER, déterminer la relation entre les angles α et β. c) En appliquant la loi de la réfraction, donner l'expression de l'angle α en fonction de l'angle d'incidence i et de l'indice optique neau de l'eau. d) Rassembler les résultats des trois questions précédentes et donner l'expression de l'angle de déviation D en fonction de l'angle d'incidence i et de l'indice optique neau. 2. La lumière blanche émise par le Soleil est en fait composée de nombreuses couleurs. a) Comment qualifie-t-on ce type de rayonnement ? b) On donne la fréquence ν et vitesse V de propagation dans l'eau de deux de ces couleurs : Rayonnement A B Fréquence v(Hz) 7,5.1014 3,8.1014 Vitesse de propagation V (m/s) 2,23.108 2,25.108 Déterminer les longueurs d'onde des rayonnements A et B dans le vide. On rappelle la valeur de la célérité de la lumière dans le vide : c=3,00.108 m/s. Donner les couleurs de ces deux rayonnements. c) Les fréquences des rayonnements changent-elles lorsque le rayon lumineux pénètre dans la goutte d'eau ? Qu'en est-il des longueurs d'onde ? d) Calculer les indices de réfraction nA et nB de l'eau respectivement pour les rayonnements A et B. Comment qualifie-t-on un milieu tel que l'eau ? La goutte est maintenant éclairée par un large pinceau de lumière (émis par le soleil, par exemple). La goutte est alors touchée par une multitude de rayons entrant avec des angles d'incidence différents. L'intensité lumineuse maximale est observée dans la direction de la déviation minimale qui correspond, on l'admettra, à une incidence de i=60°. 3. Calculer la déviation minimale d'un rayon constitué d'un rayonnement A. Même question pour un rayon constitué d'un rayonnement B. Conclure. Lorsqu'un rideau de pluie est éclairé par le soleil, un observateur peut voir toutes les couleurs de l'arc-en-ciel. Ce ne sont donc pas les mêmes gouttes qui produisent toutes les couleurs. 4. L'observateur est situé à 1,00 km du rideau de pluie (figure 2). À quelle altitude est située la goutte qui produit le rayonnement A de l'arc-en-ciel ? Même question pour le rayonnement B. On négligera la taille de l'observateur devant l'altitude des gouttes considérées. 5. Que se passe-t-il lorsque l'observateur se rapproche de l'arc-en-ciel ? Lycée Pasteur / TS / DM Correction Exercice n°1 1.a. Dans le triangle OEF, on a i+γ+β=π D'autre part D+2γ=π En éliminant γ de ces deux relations, on obtient : 2i+2β=π+D (1) b. Dans le triangle OER, on a 2α+β=π (2) c. On applique la loi de Descartes pour la réfraction : sin(i)=neau×sin(α) (avec nair=1) puis on inverse cette relation, ce qui donne : α=arcsin[sin(i)/neau] (3) d. On utilise les relations 1, 2 et 3 pour éliminer β puis α, on obtient alors une relation entre D et i l'angle d'incidence : D=π+2i-4×arcsin[sin(i)/neau] 2.a. La lumière du soleil contient plusieurs radiations, c'est une lumière polychromatique. b. et c. Lorsqu'une onde change de milieu : la fréquence de l'onde est conservée mais la vitesse de propagation est modifiée ainsi que la longueur d'onde. Dans le vide, nous avons c=λ.ν Dans l'eau, nous avons V=λeau.ν Les applications numériques donnent λA=0,4µm, λB=0,79µm ce qui correspond respectivement à du bleu et du rouge. (dans l'eau, λeau(A)=0,3µm et λeau(B)=0,59µm) d. L'indice optique d'un milieu est défini par la relation n=c/V. Nous avons donc nA=1,345 et nB=1,333. L'eau est un milieu dispersif car la vitesse de propagation dépend de la longueur d'onde de la lumière v=f(λ). 3. On utilise la relation de la question 1.d. D=π+2i-4× arcsin[sin(i)/neau] et on fait l'application numérique avec les indice optique A et B et i=60°. On obtient : DA=139,7° et DB=137,9°. 4. En utilisant le schéma ci-contre, on a tan(D/2)=d/h soit h=d/tan(D/2) L'application numérique donne : hA=367m et hB=385m L'observation d'un arc-en-ciel confirme ce résultat : le rouge est bien au-dessus du bleu. 5. Lorsque l'on se rapproche de l'arc-en-ciel, l'angle sous lequel on voit cet arc-en-ciel n'est pas modifié. Par contre les gouttes diffusant le rouge et le bleu sont à des altitudes plus faibles ! En effet si d diminue alors h=d/tan(D/) diminue également ! F.I.N.