Exercices corrigés - Algèbre linèaire, Exercices de Algèbre linéaire

Télécharge Exercices corrigés - Algèbre linèaire et plus Exercices au format PDF de Algèbre linéaire sur Docsity uniquement! Exercices - corrigés Algèbre linéaire 1 1 Enoncés Exercice 1 On rappelle que (E, +,:) est un K-espace vectoriel si () (£,+) est un groupe commutatif: I1-1) Vr,ye E,VaeK,a-(r+y)=a.x+a.y: II-2) Vre E,Va,BeK,(a+fh:x=a.x+f.x; 1-3) Vr € E, Va,BEK,a:(8:x) = (af); II-4) Lx = x. Soit (E,+,:) un K-espace vectoriel. On note 0g l’élément neutre de (Æ,+) (que l’on appelle aussi l’origine de (E,+,-)) et Ox le nombre zéro (dans K). Pour tout x dans E, le symétrique de x est noté 2. ( ( ( ( 1) Montrer que, pour tout x EE,r+x=2.x. ( (2) Montrer que, pour tout x € E, 0x : x = Og. ( 3) Montrer que, pour tout x € E, (—-1):x = -x. us-espaces vectoriels d’un R-espace vectoriel (E,+,-). Montrer espace vectoriel de E. Exercice 2 Soient F,...,F, de que F:= F1N...1NF, est un sous Exercice 3 Soient (Æ,+,-) un R-espace vectoriel, {æ1,...,æ,,} une famille de vecteurs de E£. Montrer espace vectoriel de Æ. que F:= vect{a1,...,2,} est un sous Exercice 4 Soient (E,+,:) un R-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E et A,B deux sous-ensembles de E. (1) Montrer que, si À € B, alors vect À C vect B. (2) Montrer que À est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si vect À = À. (3) Montrer que, si AC BC F et À engendre F, alors B engendre F. Exercice 5 Considérons les vecteurs de R{ suivants : 1 0 1 2 ei = 1 e2 = 1 e3 = 0 e4 = 1 1 |” 2 Po —2 |” 0 1 —1 3 —1 La famille {e:.e. 3. e4} est-elle libre ? Est-ce une base de R1? Exercice 6 Considérons les vecteurs de R suivants : fl [al 1 1 0 2 (0) 0) Dee (1) La famille {e1, e2, e3, e4} est-elle libre ? (2) Quel est le rang de la famille {e:, eo, es, e4} ? (3) Déterminer une relation entre les nombres réels à et 8 pour que le vecteur u = (1,1,a, 8) appartienne au sous-espace vectoriel engendré par la famille {e1,e2,e3,e4}. Exercice 7 Soit E = R, l’espace des fonctions de R dans R. (1) Soient c et s les fonctions définies par VrER, c(x)=cosx et s(x)=sinx. Montrer que {c,s} est une famille libre de Æ. Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel T engendré par la famille {c,s}? (2) Soient a, 8,7 trois réels fixés. Soient f, g, À les fonctions définies par VzeR, f(x)=cos(t+a), g(x)=cos(r+8) et A(xr) =cos(x +7). Montrer que f,g,h appartiennent à T, et expliciter leurs coordonnées dans la base {c,s} de T. La famille {f,g,h} est-elle libre ? Quel est son rang ? (3) Soient a1, a, az trois réels distincts. Pour tout entier k € {1,2,3} on note f4 la fonction définie sur R par VER, fk(x) Montrer que {f1, f2, f3} est une famille libre de £. [x — al. Exercice 8 (1) On rappelle que C(R) désigne l’espace des fonctions continues de R dans R. Montrer que À := {f € C(R)Vr ER, f(x) = f(-x)} et B:= {f € Co(R)Vr ER, f(x) = —-f(-x)} sont des sous-espaces vectoriels de Cj(R). Sont-ils en somme directe ? (2) Montrer que À := {(x,y,2) € R°x +y+2=0} et B:= {(x,y.2) € R|x —y+ 2 = 0} sont des sous-espaces vectoriels de R°. Sont-ils en somme directe ? Exercice 9 (1) Soient F F'et G sont deux sous- en somme directe ? (2) Soit H := {(x,y,2,t) € Rx = 2y—2, t = x+y+2}. Vérifier que H est un sous-espace vectoriel de Rf. En donner une base et la dimension. {(x,x,x) € Rÿlr € R} et G := {(0,y.z) € R°|y.z € R}. Montrer que aces vectoriels de R?. Préciser leurs bases et leurs dimensions. Sont-ils Exercice 10 Soient (E,+.,:) un R-espace vectoriel et À, B,C' trois sous-espaces vectoriels de £. (1) Montrer que (ANC)+(BNC) € (A+B)NC. Donner un exemple dans R? pour lequel l'inclusion est stricte. (2) Montrer que, si A+B=A+C, ANB=ANCet BC C' alors B = C. Exercice 11 On considère l’application donnée par g: R$ — R æ —2 +2y +2z y —8x + 7y +42 2 —13x + 5y + 82 (1) Montrer que y est une application linéaire. Déterminer l’image par y des vecteurs de la base canonique {e1,e2,ez} de RŸ. Calculer (2e: + e2 — e3). (2) Déterminer le noyau de @. En donner une base et préciser sa dimension. Solution de l’exercice 6 : o On résout l’équation vectorielle ae; + Be2 + es + de4 = 0. Ceci revient résoudre le système linéaire | 0 = a+y+, 0 = a+B+6, 0 — a+28—27+26, 0 = a+B+3y— 26. On trouve que ce système est équivalent au système 0 = a+7+6, 0 = 3-7, 0 = 7-6. système admet d’autres solutions que la solution nulle. On en déduit que {e1,e2,e3,e4} n’est pas libre. D'après ce qui précède, le rang de la famille {e1, e2, e3.e4} est inférieur ou égal à 3. On considère alors la famille {e1,e2,e3}. On vérifie facilement qu'elle est libre, de sorte que le rang cherché est en fait égal à 3. Pour que u appartienne au sev engendré par {e1,e,e3,e4}, il faut que l'équation vectorielle u = ae; + Pe2 + yes + 0es admette au moins une solution. On cherche donc à résoudre le système linéaire 1 = a+7+6, 1 = a+8+6, a = a+28—27+6, b = a+B+3y-— 26. On vérifie que ce système est équivalent au système 1 = a+7y+6, 0 = 8-7. a—1 = —-y+6 b—1 = 3y—36. En considérant les deux dernières équations, on voit que le système n’a de solution que si b—1 = —3(a — 1), c'est-à-dire, si b+ 3a = 4. Solution de l’exercice 7 : o 2) Considérons l'équation ac + 5s = 0 dans R*. Cette équation est équivalente à VrekR, acosxr+fBsinx=0. Les choix x = 0 et x = x/2 donnent respectivement à = 0 et 3 = 0. La famille {c,s} est donc libre, et la dimension de T est égale à 2. Puisque cos(x + à) = cos x cos à — sin x sin à, on voit que f=cosa:c-sina.seT et que les coordonnées de f dans la base {c, s} de T sont données par le couple (cos a, — sin a). De même, g=cosB.c—snB.seT et h=cosy-c—snmy.seT: les coordonnées de g et h dans la base {c,s} de T sont données respectivement par les couples (cos/3, — sin 8) et (cos+, — sin y). La fammille { f, g, h} ne peut pas être libre, puisque son cardinal est égal à 3 alors que la dimension de l’espace vectoriel T est égale à 2. Son rang vaut au plus 2 (car dimT = 2) et au moins 1 (car les fonctions f, g, hk sont non nulles). Le rang est égal à 1 lorsque f,g,h sont colinéaires, c’est-à dire lorsqu'il existe a et b dans R tels que f = ag = bh ou, de manière équivalente, lorsque ( cos a }-a( cos 8 }-( cos ): —sina — sin 4 — sin Des équations cos a = a cos Bet sin à = asin 5 on tire, en les élevant au carré et en les sommant, que a? = 1, c’est-à-dire, que a € {—1,1}. Si a = 1, alors 8 = a + 2kr, et si a = —1, alors B=a+7+2k7. En résumé, f et g sont colinéaires si et seulement si 8 € {a} + 7Z. De même, f et h sont colinéaires si et seulement si + € {a} +72. La famille {f,g,h} est donc de rang 1 lorsque à, 5 et 7 diffèrent d’un multiple entier de + : elle est de rang 2 dans le cas contraire. (3) Considérons l’équation af1 + fBf2 + fs = 0 dans RÂ, qui équivaut à la condition VreR, afi(x)+Bfi(x) + 7fa(x) = 0. Les choix æ = a1, x = a2 et x = az donnent respectivement les équations Blai—a2|+ylai-asl = 0, a |a2 — &|+7|a2 — al 0, 0. a laz — a1| + 8 az — al Posons a := [ag — &|, b := |az — a2| et c := |ai — a2|. Le système d'équations précédent s'écrit 0 = aa+bf, 0 = ca+by, 0 = cA+ar. En résolvant ce système linéaire, et en tenant compte du fait que a, b et c sont non nuls, on voit que la seule solution possible est à = 8 = 7 = 0. On peut aussi écrire le systè matricielle, et remarquer, pour arriver à la même conclusion, que la matrice a b 0 c 0 b 0 © a a pour déterminant le réel non nul —2abc. Solution de l’exercice 8 (1) La fonction nulle (définie par v(x) = 0 pour tout x € R) appartient à À et à B. Donc, A et B sont non vides. De plus, pour toutes fonctions f,g € À et tout réel à, la fonction f + ag satisfait : V&eR, (f+ag)(x) = f(x) +ag(x) = f(-x) +ag(-x) = (f +ag)(-x). Par conséquent, f + ag € A. Donc A est un sous-espace vetoriel de Cÿ(R). De même, pour toutes fonctions f,g € B et tout réel à, la fonction f + ag satisfait : VreR, (f+ag)(x) = f(x) +ag(x) = —f(-x) — ag(-x) = —(f + ag)(—x). Par conséquent, f + ag € A. Donc B est un sous-espace vetoriel de Co(R). Soit maintenant f une fonction de AN B. Alors, pour tout x € R, f(@)= f(x) et f(x) = f(x), ce qui montre que f(x) = 0. Donc f = v. On en déduit que AN B = {v} = {0c()}, et que À et B sont en somme directe. Il est facile de voir que À et B contiennent le vecteur nul (0,0,0). De plus, si (æ,y,2) et (x',y/,2") appartiennent à À et à € R, alors (x,y,2) + a(x’,y',2) = (x + ax',y +ayl,2+ az) satisfait (x + ax’) + (y + ay) +(z+az2!) = (x +y+2)+a(x +y +7)=0. Donc (x,y,2)+a(x!,y',2) € A, et À est un sous-espace vectoriel de R?. De même, si (x, y, 2) et (x’,y/,2) appartiennent à B et à € R, alors (x,y,2) + a(x’,y/,2/) = (x + ax/,y + ay/,2 + az) satisfait (z+ax') —(y+ay)+(2+a2)=(x-y+2)+a(x -y +7)=0. Donc (x,y,2)+a(x’,y',2') € B,et B est un sous-espace vectoriel de RŸ. Soit maintenant (x, y, z) un vecteur de AN B. Alors, T+y+z=0 et x-y+z—=0. Le vecteur (1,0,—1) satisfait les deux équations ci-dessus. On voit donc que AN B n'est pas réduit à {(0,0,0)}. Les sous-espaces À et B ne sont pas en somme directe. Solution de l’exercice 9 o 2) IL est facile de voir que le vecteur (0,0,0) appartient à F et à G. Donc F et G sont non vides. Soient (x,x,x),(y,y,y) € F et a € R. Alors @,x,x) + a(y,y,y) = (x +ay,x + ay,x +ay) € F. Donc F est un sous-espace vectoriel de RŸ. Soient (0,y,z),(0,y/,2/) € Get a € R. Alors (0,y,2) + a(0,y/,2) = (0,y+ayl,z+az) € G. Donc Gest un sous-espace vectoriel de RŸ. On voit que F={x(1,1,1)fr € R} = vect{(1,1,1)}, G= {y(0,1,0) + 2(0,0,1)|x,y € R} = vect{(0,1,0),(0,0,1)}. De plus, on vérifie facilement que les familles {(1,1,1)} et {(0,1,0),(0,0,1)} sont libres. Elles forment donc des ba: spectives de F et G. On en déduit que dim F = 1 et dimG = 2. Enfin, si (æ,y,2) € FNG!, alors y=2etx=0. Donc FNG = {(0,0,0)}, et F et G sont en somme directe. On vérifie facilement que (0,0,0,0) € Æ, de sorte que F 4 (. Soient (x,y,z,t),(x’,y',2,t) € H et a € R. Alors, (x,y,2,t) +a(x’,y',2,4) = (x +ax',y+ay',z+ az,t+ at!) satisfait : z+ax = 2y—2+a(2y — 2) = 2{y+ ay) —-(z+a7), t+rat=x+yt+zta(z +y +2) =(x+ ax) +(y+ay) +(z+az7/), ce qui montre que (x,y.2,t) + a(x',y/,7,t) € H. Donc H est un sous-espace vectoriel de R{. De plus, H = {(2y-2,y,2,x +y+2)r,y,2 ER} = {x(0,0,0,1) +y(2,1,0,1) +2(—1,0,1,1)x,y,2 ER} vect{(0,0, 0,1), (2,1,0,1).(—1.0,1.1)}.