GROUPES D'ISOMETRIES, Slides de Mathématiques

Télécharge GROUPES D'ISOMETRIES et plus Slides au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! GROUPES D’ISOMETRIES Le groupe des isométries Is(X) d’un objet X "mesure" ses symétries (en plus d’avoir une structure de groupe). Il s’agit d’information de nature algébrique sur X. Ce cours est une illustration incontournable des actions de groupes, explicitement au programme de l’agrégation interne. On voit une belle interaction entre la théorie des groupes et la géométrie, ce qui en fait une leçon transverse que l’on peut placer dans bon nombre de situations. Commençons par voir ce qu’il faut connaître sur les actions de groupes. 1 Action de groupes Soit G un groupe d’élément neutre e et X un ensemble. On dit que G agit sur X s’il existe une application ϕ : G×X → X, (g, x) 7→ g.x telle que pour tout x dans X : – e.x = x, – g.(g′.x) = (gg′).x. Les deux exemples fondamentaux (et très naturels) sont les suivants 1. Le groupe symétrique S(E) d’un ensemble E agit sur E de façon naturelle par (s, x) 7→ s(x). 2. Le groupe linéaire GL(E) d’un espace vectoriel E agit sur E de façon naturelle par (g, v) 7→ g(v). Fixons un élément x0 dans X. Alors, on peut définir une application ϕx0 : G→ X, g 7→ g.x0. L’image de cette application est appelée orbite de x0 pour l’action de G. Il est pratique et intuitif de la noter G.x0. La préimage de x0 par cette application est donc l’ensemble de g de G tels que g.x0 = x0. On voit facilement qu’il s’agit d’un sous-groupe de G appelé stabilisateur de x0 pôur des raisons que l’on comprendra parfaitement. Proposition 1 : Soit G un groupe agissant sur un ensemble X et x dans X. Alors, Gg.x = gGxg −1. Démonstration : Soit h dans Gx, alors, (ghg−1).(g.x) = (gh).((g−1g).x) = (gh).(x) = g.(h.x) = g.x. D’où l’inclusion gGxg−1 ⊂ Gg.x. L’inclusion inverse est similaire. 1  Définition 1 : On dit qu’une action est fidèle si le stabilisateur d’un élément est réduit à l’identité. A partir d’une action d’un groupe G sur un ensemble X, on peut définir un morphisme de G vers le groupe S(X) des permutations de l’ensemble X par φ : G→ S(X), φ(g)(x) = g.x. On vérifie que c’est bien un morphisme de groupe à l’aide des axiomes de l’action de groupe. Une action peut donc être donnée soit par l’application φ, soit par le morphisme ψ. Il ne faut surtout pas les confondre : la seconde est un morphisme de groupes dont le noyau est souvent appelé noyau de l’action, la première est une simple application continue (entre autres ne jamais dire qu’un stabilisateur est un noyau, il n’est en général pas distingué !). Définition 2 : Le sous-groupe distingué Kerφ est appelé noyau de l’action. L’action est dite fidèle si ce noyau est trivial. 2 Groupe d’isométries. Définition 3 : Le groupe Is(X) des isométries d’un objet X ⊂ R3 est le sous-groupe des isométries de l’espace affine R3 qui stabilisent X. Remarque : On pourra aussi aisément généraliser les résultats au cas des isométries de R2. Attention toutefois au fait qu’une symétrie par rapport à un point est un déplacement dans le plan, mais un antidéplacement dans l’espace. Il faut faire attention à ce que l’on dit quand on parle du groupe d’isométrie d’un solide platonicien, par exemple d’un tétraédre, puisque celui-ci a été défini à similitude près. On va voir que deux objets en similide ont le même groupe d’isométries (à isomorphisme près bien sûr) : Proposition 2 : Soit ϕ ∈ GO(R3) une similitude. Alors Is(X) ' Is ( ϕ(X) ) . Démonstration : Soit Is(X) −→ Is ( ϕ(X) ) morphisme bien défini car si g ∈ Is(X), g 7−→ ϕgϕ−1 alors ϕgϕ−1 ( ϕ(X) ) = ϕ ( g(X) ) = ϕ(X). Posons ϕ = λψ avec λ ∈ R, ψ ∈ Is(R3). Alors, ϕgϕ−1 = (λψ)g(λψ−1) = ψgψ−1 ∈ Is(R3) car ψ ∈ Is(R3). Ce morphisme est clairement injectif et surjectif.  Voici maintenant une proposition qui va d’une part ramener l’etude de Is(X) à celle de Is+(X) (le sous-groupe des déplacements de Is(X)), d’autre part ramener l’étude de Is+(X) à l’étude de permutations de sommets. On commence pour cela par une définition1 : 1Il n’est pas totalement inutile de rappeler ici le théorème de Krein-Milman : Tout convexe compact d’un espace affine de dimension finie est enveloppe convexe de l’ensemble de ses points extrémaux. 2 les isométrie de Is(C6) puisque ce sont les plus grandes longueurs que l’on peut trouver dans le cube). Ainsi ϕ : Is+(C6) −→ S4 g 7−→ g|D Montrons que l’action est fidèle. Soit ϕ(g) = idD , alors en notant D i = AiGi , les diagonales, g(A1) = A1 g(G1) = G1 et dans ce cas en utilisant le fait que g fixe toutes les diagonales et les deux points opposés A1 et G1, on obtient que g fixe tous les sommets, donc g = id R3 . Ou bien g(Ai) = Gi g(G i ) = A i et sOg = Id d’après ce qui précède et g est donc la symétrie centrale sO en O ce qui est impossible puisque g ∈ Is+(C6). Donc Ker(ϕ) = {id R3} et l’action est bien fidèle : Is+(C6) ⊂ S4. Comme dans la démonstration précédente, on peut voir que les transpositions sont toutes réalisées (ici grâce à des retournements d’axes reliant les milieux des arêtes joignant les diagonales), et donc que Is+(C6) ' S4. La seconde assertion est claire car le cube admet un centre de symétrie.  Là, c’est abuser : Proposition 6 : Groupes d’isométries du dodécaèdre : Is(P12) ' A5 × Z2Z et Is+(P12) ' A5 Idée de la preuve. On admet qu’exactement cinq cubes distincts Ci, 1 ≤ i ≤ 5, sont inscrits dans le dodécaèdre : Is+(P12) agit sur C = {C1 , C2 , C3 , C4 , C5} l’ensemble des cubes inscrits d’où le morphisme Is+(P12) −→ S5. Soit g tel que g(C i ) = C i . Alors g = id R3 (car il fixe les grandes diagonales du dodécaèdre et n’est pas une symétrie centrale) d’où l’action est fidèle et Is+(P12) ⊂ S5. Or, combien y a-t-il d’éléments de Is+(P12) ? Comme ce sont des rotations, on va compter les axes possibles, puis les angles possibles. – Axe de sommet à sommet opposé. 20 2 = 10 axes possibles, les angles (non nuls) 2π 3 , 4π 3 . – Axe de milieu d’arête à milieu d’arête opposée. 30 2 = 15 axes possibles, les angles (non nuls) π. – Axe de sommet à sommet opposé. 12 2 = 6 axes possible, les angles (non nuls) 2π 5 , 4π 5 , 6π 5 , 8π 5 . 5 – Et l’identité, bien sûr ! En tout, cela nous fait 10× 2 + 15× 1 + 6× 4 + 1 = 60 éléments. Le compte est bon et Is+(P12) = S5. Enfin, le dodécaèdre ayant un centre de symétrie, on conclut à l’aide de la proposition 3 que Is(P12) ' A5 × Z2Z. Bibliographie. Michel Alessandri : Thèmes de géométrie : Groupes en situation géométrique, Dunod 1999. 6