Télécharge Interrogation de cours no 10. et plus Examens au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Interrogation de cours no 10. Jeudi 15 avril 2021 Nom : Temps : 20 minutes Q1 : 1pt Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel de dimension finie. Définir la dimension de E. La dimension de E est le nombre d’éléments (ou le cardinal) de E. Si B est une base de E, dim(E) = card(B). Q2 : 2pts Donner la dimension de E × F , de E1 × . . .× En, de En. dim(E × F ) = dim(E) + dim(F ), dim ( n ∏ i=1 Ei ) = n ∑ i=1 dim (Ei) et dim (En) = ndim(E). Q3 : 2pts Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Que dire de dim(F ) ? dim(F ) 6 dim(E) avec égalité si et seulement si F = E. Q4 : 2pts Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel de dimension finie n. Que dire du cardinal d’une famille libre ? d’une famille génératrice de E ? Soit (ui)16i6p ∈ Ep. • Si (ui)16i6p est libre, alors p 6 n. De plus, (ui)16i6p est une base de E si et seulement si p = n. • Si (ui)16i6p est génératrice de E, alors p > n. De plus, (ui)16i6p est une base de E si et seulement si p = n. . Q5 : 1pt Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit (ui)16i6p une famille de p vecteurs de E. Définir le rang de cette famille. Le rang de la famille (ui)16i6p est la dimension de l’espace engendré par cette famille : rg (ui)16i6p = dim ( Vect (ui)16i6p ) . Q6 : 5pts Enoncer toutes les propriétés usuelles du rang d’une famille de vecteurs. On reprend les notations de Q5. Soit r = rg (ui)16i6p. • r 6 p et de plus r = p⇔ (ui)16i6p est libre. • r 6 n et de plus r = n⇔ (ui)16i6p est génératrice de E. • r = p = n⇔ (ui)16i6p est une base de E. r est le cardinal maximum d’une sous-famille libre de la famille (ui)16i6p ou encore il existe une sous-famille libre de la famille (ui)16i6p est libre et toute sous-famille de la famille (ui)16i6p, de cardinal strictement plus grand que r est liée. Q7 : 3pts Enoncer toutes les transformations usuelles d’une famille de vecteurs ne modifiant pas son rang. Les transformations élémentaires suivantes ne modifient pas le sous-espace engendré par les vecteurs de cette famille et en particulier ne modifie pas son rang : • transposer deux vecteurs de cette famille (ui ↔ uj). • remplacer un vecteur ui0 de cette famille par λui0 , λ 6= 0 (ui ← λui, λ 6= 0). • ajouter à un vecteur de la famille un autre vecteur de cette famille (ui ← ui + uj , j 6= i). Les transformations moins élémentaires suivantes ne modifient pas le sous-espace engendré par les vecteurs de cette famille et en particulier ne modifie pas son rang : • permuter les vecteurs de la famille. • ajouter à un vecteur de la famille une combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille (ui0 ← ui0 + ∑ i6=i0 λiui). Total : /19 points
