Télécharge Interrogation de cours no 8. et plus Examens au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Interrogation de cours no 8. Mercredi 7 avril 2021 Nom : Temps : 20 minutes Q1 : 2pts Soient (E,+, .) et (F,+, .) deux K-espaces vectoriels. Donner la définition d’une application linéaire de E vers F et d’une forme linéaire sur E. Soit f une application linéaire de E vers F . f est linéaire ⇔ ∀(x, y) ∈ E2, ∀(λ, µ) ∈ K 2, f(λx+ µy) = λf(x) + µf(y), ou aussi f est linéaire ⇔ ∀(x, y) ∈ E2, f(x+ y) = f(x) + f(y) et ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, f(λx) = λf(x). Une forme linéaire sur E est une application linéaire de E dans K. Q2 : 4pts Quelles sont les formes linéaires sur Kn ? Donner un exemple de forme linéaire sur K[X ], un exemple de forme linéaire sur l’espace C des suites convergentes à coefficients dans K et un exemple de forme linéaire sur C0([a, b],K). Les formes linéaires sur Kn sont les applications de la forme (x1, . . . , xn) 7→ a1x1+ . . .+anxn où a1, . . . , an sont n nombres donnés. Une forme linéaire sur K[X ] est P 7→ P (a) où a est un nombre donné (évaluation en a). Une forme linéaire sur C est (un) 7→ lim n→+∞ un Une forme linéaire sur C0([a, b],K) est f 7→ ∫ b a f(t) dt. Q3 : 3pts Qu’est ce qu’un endomorphisme ? un isomorphisme ? un automorphisme ? Soient (E,+, .) et (F,+, .) deux K-espaces vectoriels. Un endomorphisme de E est une application linéaire de E vers E. Un isomorphisme de E sur F est une application linéaire bijective de E sur F . Un automorphisme de E est une application linéaire bijective de E sur E. Q4 : 4pts Soient (E,+, .) et (E′,+, .) deux K-espaces vectoriels. Soit f ∈ L (E,E′). Montrer que l’image réciproque d’un sous-espace vectoriel de E′ par f est un sous-espace vectoriel de E. Soient F ′ un sous-espace vectoriel de E′ puis F = f−1(F ′). • f (0E) = 0E′ ∈ F ′ et 0E ∈ f−1(F ′) = F . • Soient (x, y) ∈ F 2 et (λ, µ) ∈ K 2. (x, y) ∈ F 2 et donc f(x) ∈ F ′ et f(y) ∈ F ′. Puisque f est linéaire et que F ′ est un sous-espace vectoriel de E′, f(λx+ µy) = λf(x) + µf(y) ∈ F ′. Mais alors, λx + µy ∈ f−1(F ′) = F . En résumé, F contient le vecteur nul de E et est stable par combinaisons linéaires. Donc, F est un sous-espace vectoriel de E. Q5 : 3pts Définir le noyau et l’image d’une application linéaire. Soient (E,+, .) et (F,+, .) deux K-espaces vectoriels. Soit f ∈ L (E,F ). Le noyau de f est Ker(f) = f−1 ({0F}). Donc, Ker(f) = {x ∈ E/; f(x) = 0} ou encore ∀x ∈ E, (x ∈ Ker(f) ⇔ f(x) = 0). L’image de f est Im(f) = f(E). Donc, Im(f) = {f(x), x ∈ E} ou encore ∀y ∈ F , (y ∈ Im(f) ⇔ ∃x ∈ E/ y = f(x)). . Q6 : 3pts Soient (E,+, .) et (F,+, .) deux K-espaces vectoriels. Soit f ∈ L (E,F ). Soit (ui)16i6n ∈ En. Si la famille (ui)16i6n est liée, la famille (f (ui))16i6n est-elle liée ? Si la famille (ui)16i6n est liée, la famille (f (ui))16i6n est liée. Une application linéaire préserve les relations de dépendance linéaire. Si la famille (ui)16i6n est libre, la famille (f (ui))16i6n est-elle libre ? Si la famille (ui)16i6n est libre, la famille (f (ui))16i6n n’est pas nécessairement libre. Par exemple, une projection peut envoyer deux vecteurs non colinéaires sur un même vecteur. Mais si f est injective, l’image par f d’une famille libre est une famille libre.
