Mathématiques Annales 2015, Lectures de Mathématiques

Télécharge Mathématiques Annales 2015 et plus Lectures au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! COPIRELEM Commission Permanente des IREM pour l’enseignement des mathématiques à l’école élémentaire. Concours de recrutement des Professeurs des Écoles Mathématiques Annales 2015 Sujets, corrigés et éléments de formation + Exercices complémentaires avec corrigés issus des concours blancs et examens des ESPE Annales 2015 COPIRELEM Page 5 SOMMAIRE Informations L’ÉPREUVE DU CRPE……………….….………………………………………..…………………………. 7 AVERTISSEMENT………………………………………………………………….……………………….... 10 CONSEILS AUX CANDIDATS……………………………………………………..……………………… 10 TABLEAUX RÉCAPITULATIFS (contenus des sujets complets) ..……………………….. 11 MISE AU POINT À PROPOS DE LA PROPORTIONNALITÉ…………………………………... 47 Les sujets et leurs corrigés Sujet Corrigé SUJET N° 1 Groupement académique n° 1 – Avril 2015 Amiens, Caen, Lille, Nancy-Metz, Reims, Rennes, La Réunion, Rouen, Strasbourg, Paris, Créteil, Versailles…………………………………...…… 15 49 SUJET N° 2 Groupement académique n° 2 – Avril 2015 Aix-Marseille, Besançon, Bordeaux, Clermont-Ferrand, Corse, Dijon, Grenoble, Limoges, Lyon, Montpellier, Nantes, Nice, Orléans-Tours, Poitiers, Toulouse……………………………………………………………… 21 65 SUJET N° 3 Groupement académique n° 3 – Avril 2015 Guadeloupe, Guyane, Martinique …………………………………...……… 27 74 SUJET N° 4 Concours exceptionnel Créteil Mai 2015 35 71 EXERCICES ÉLABORÉS À PARTIR DES CONCOURS BLANCS ET EXAMENS PROPOSÉS DANS LES ESPE (détails page 6)..……………………………………….….. 107 155 Annales 2015 COPIRELEM Page 6 EXERCICES ÉLABORÉS À PARTIR DES CONCOURS BLANCS ET EXAMENS PROPOSÉS DANS LES ESPE Sujet Corrigé 1. Vrai-Faux-Justifier …………………………………………………….………………………... 109 157 2. Exercices : Arithmétique – Numération – Probabilités – Géométrie …….. 111 163 3. Problème de géométrie……………………………………………………………………….. 113 169 4. Problème de recherche du maximum d’une fonction.………………………….. 115 173 5. Travaux d’élèves : programme de construction….……………………………….. 118 178 6. Travaux d’élèves : aires……...…………………………………………………………..….... 119 179 7. Travaux d’élèves : division euclidienne………………………………………….….... 121 181 8. Travaux d’élèves : proportionnalité………………..………………………………....... 123 184 9. Numération au CE2………………..…………………………………………………………..... 125 185 10. Introduction de l’aire au CM1…..……………………..…………………………………… 126 186 11. Solides au cycle 3………………….……………………………………………………………... 130 189 12. Technique opératoire de la division………………………………………………..…... 134 191 13. Construction du nombre…………………………………………………………………….... 139 197 14. Trois exercices : échelle, pourcentage, moyenne, tableur, vitesse – dénombrement – aires et travaux d’élèves………………………………………….. 144 199 15. Trois exercices : vitesses moyennes, statistiques………………………………… 151 211 Annales 2015 COPIRELEM Page 7 L’ÉPREUVE DU CRPE EN AVRIL 2015 Nous reproduisons ici les principaux textes en vigueur relatifs à l’épreuve de mathématiques des concours de recrutement de professeurs des écoles, tels que vous pouvez les retrouver sur le site ministériel à partir de la page http://www.education.gouv.fr/pid97/siac1.html. CONCOURS CONCERNÉS · Concours externe de recrutement de professeurs des écoles. · Concours externe spécial de recrutement de professeurs des écoles. · Troisième concours de recrutement de professeurs des écoles. · Second concours interne de recrutement de professeurs des écoles. · Second concours interne spécial de recrutement de professeurs des écoles. 1 – DÉFINITION DE L’ÉPREUVE Référence : Annexes de l’arrêté du 19 avril 2013 fixant les modalités d’organisation des concours de recrutement de professeurs des écoles. « L'ensemble des épreuves du concours vise à évaluer les capacités des candidats au regard des dimensions disciplinaires, scientifiques et professionnelles de l'acte d'enseigner et des situations d'enseignement. » Épreuves d'admissibilité « Le cadre de référence des épreuves est celui des programmes pour l'école primaire. Les connaissances attendues des candidats sont celles que nécessite un enseignement maîtrisé de ces programmes. Le niveau attendu correspond à celui exigé par la maîtrise des programmes de collège. Les épreuves d'admissibilité portent sur le français et les mathématiques. Certaines questions portent sur le programme et le contexte de l'école primaire et nécessitent une connaissance approfondie des cycles d'enseignement de l'école primaire, des éléments du socle commun de connaissances, de compétences et de culture et des contextes de l'école maternelle et de l'école élémentaire. » Deuxième épreuve d’admissibilité : une épreuve écrite de mathématiques « L'épreuve vise à évaluer la maîtrise des savoirs disciplinaires nécessaires à l'enseignement des mathématiques à l'école primaire et la capacité à prendre du recul par rapport aux différentes notions. Dans le traitement de chacune des questions, le candidat est amené à s'engager dans un raisonnement, à le conduire et à l'exposer de manière claire et rigoureuse. L'épreuve comporte trois parties : 1. Une première partie constituée d'un problème portant sur un ou plusieurs domaines des programmes de l'école ou du collège, ou sur des éléments du socle commun de connaissances, de compétences et de culture, permettant d'apprécier particulièrement la capacité du candidat à rechercher, extraire et organiser l'information utile. 2. Une deuxième partie composée d'exercices indépendants, complémentaires à la première partie, permettant de vérifier les connaissances et compétences du candidat dans différents domaines des programmes de l'école ou du collège. Ces exercices pourront être proposés sous forme de questions à choix multiples, de questions à réponse construite ou bien d'analyses d'erreurs-types dans des productions d'élèves, en formulant des hypothèses sur leurs origines. 3. Une analyse d'un dossier composé d'un ou plusieurs supports d'enseignement des mathématiques, choisis dans le cadre des programmes de l'école primaire qu'ils soient destinés aux élèves ou aux enseignants (manuels scolaires, documents à caractère pédagogique), et productions d'élèves de tous types, permettant d'apprécier la capacité du candidat à maîtriser les notions présentes dans les situations d'enseignement. Annales 2015 COPIRELEM Page 10 AVERTISSEMENT Dans le corrigé des exercices de mathématiques, nous proposons souvent plusieurs méthodes de résolution pour une question. Certaines solutions sont plus longues que d’autres. Nous les donnons cependant pour que chacun puisse éventuellement reconnaître et valider la méthode qu’il a utilisée ou dans laquelle il s’est engagé sans peut-être savoir terminer. Une méthode même longue donnera tous les points attribués à la question, du moment qu’elle a abouti au résultat demandé. Elle pénalise cependant le candidat car le temps passé à la rédiger n’est plus disponible pour traiter d’autres questions. Mais il est possible que le lecteur de ces annales la comprenne mieux qu’une méthode courte, même « élégante ». Le lecteur jugera donc par lui-même quelle(s) méthode(s) il lui convient de s’approprier. En ce qui concerne les analyses de productions d’élèves et la partie 3 (analyse de situations d’enseignement), nous avons eu le souci de donner des réponses détaillées sur le plan didactique et donc, quelquefois, plus approfondies que ce que l’on peut attendre d’un candidat au CRPE. Certaines remarques des correcteurs sont alors ajoutées en italique. CONSEILS AUX CANDIDATS La lisibilité, la correction et la rigueur des réponses sur les plans mathématique et didactique sont, bien entendu, les critères principaux d’évaluation. Cependant, une écriture difficilement lisible, la présence de « fautes » d’orthographe par trop grossières et fréquentes, les coquilles fâcheuses, le verbiage pompeux et vide, l’abus d’expressions hors de propos, finissent par avoir une incidence sur l’évaluation, et cela, quelle que soit la précision du barème de notation appliqué. Nous conseillons donc de relire la copie en tenant compte de tout cela. A n n a les 2 0 1 5 C O P IR E L E M P a g e 1 1 P R O B L È M E Géométrie plane Trigonométrie Géométrie espace Arithmétique Numérations Opérations Équations Probabilités Grandeurs Mesures Vitesses-Échelles Pourcentages- Proportionnalité Fonctions Graphiques Tableur Su jet 1 2 0 1 5 X X Su jet 2 2 0 1 5 X X X Su jet 3 2 0 1 5 X X X X Su jet 4 2 0 1 5 X X X X E X E R C IC E S Géométrie plane Géométrie espace Numérations Arithmétique Nombres Équations Probabilité Statistique Grandeurs et mesures Vitesses-Échelles Pourcentages Fonctions Graphiques Tableur Su jet 1 2 0 1 5 X X X X Su jet 2 2 0 1 5 X X X X X X Su jet 3 2 0 1 5 X X X X Su jet 4 2 0 1 5 X X X X Annales 2015 COPIRELEM Page 12 ANALYSE DE PRODUCTIONS D’ÉLÈVES P ro p or ti on n al it é D iv is io n N om br e Fr ac ti on s D éc im au x M u lt ip li ca ti on G ra n d eu rs e t m es u re s C yc le Sujet 1 2015 X X 3 Sujet 2 2015 X X 3 Sujet 3 2015 X 2 3 Sujet 4 2015 X 3 ANALYSE DE SITUATIONS D’ENSEIGNEMENT P ro p or ti on n al it é D iv is io n N om br e Fr ac ti on s D éc im au x M u lt ip li ca ti on G ra n d eu rs e t m es u re s C yc le Sujet 1 2015 X X 3 Sujet 2 2015 X X 3 Sujet 3 2015 X X 2 3 Sujet 4 2015 X CRPE groupement 1 – avril 2015 (corrigé page 49) Annales 2015 COPIRELEM Page 15 GROUPEMENT 1 – avril 2015 PREMIERE PARTIE : PROBLÈME (13 points) Dans tout le problème on travaille dans un réseau pointé à maille carrée. On notera une unité de longueur 1 u.l. et une unité d’aire 1 u.a.. On appelle polygone de Pick, un polygone non aplati construit sur un tel réseau et dont chacun des sommets est un point du réseau. L’objet de ce problème est le calcul d’aires de polygones de Pick. PARTIE A : calcul de l’aire d’un polygone de Pick sur un exemple Calculer l’aire du polygone ABCDEF (figure 1), en unité d’aire. Expliciter les étapes du raisonnement. Figure 1 Une formule trouvée sur Internet sous le nom de formule de Pick prétend permettre de calculer l’aire A d’un polygone de Pick, à partir du nombre i de points du réseau strictement intérieurs à ce polygone et du nombre b de points du réseau sur le bord du polygone : A = i + 1 Le résultat est en unité d’aire avec 1 u.a. = aire d’un carré unité. Par exemple, pour le polygone ci-dessous : i = 15 et b = 16, donc, en utilisant la formule, A = 15 + – 1 = 22 Figure 2 CRPE groupement 1 – avril 2015 (corrigé page 49) Annales 2015 COPIRELEM Page 16 PARTIE B : utilisation de la formule de Pick sur un exemple 1) Appliquer cette formule au polygone ABCDEF de la figure 1 et vérifier que l’on retrouve bien son aire. 2) Propriété d’additivité des aires : Appliquer la formule de Pick aux deux polygones de Pick ABCDF et DEF de la figure 1. Vérifier que la somme des résultats obtenus est égale au résultat trouvé à la question B 1. Les parties C et D sont indépendantes. PARTIE C : quelques conséquences de la formule de Pick Dans cette partie du problème, on admet que la formule est vraie dans le cas général. 1) Prouver qu’il ne peut pas y avoir de polygone de Pick d’aire 7,5 avec b pair. 2) On considère un polygone de Pick d’aire 7,5. Démontrer que la valeur maximale que peut prendre b est 17. Tracer sur la copie un réseau pointé à maille carrée, et sur ce réseau un polygone de Pick correspondant à cette valeur. 3) On veut tracer un polygone de Pick d’aire 7,5 et contenant un seul point intérieur. Quelle est alors la valeur de b ? Tracer sur la copie un réseau pointé à maille carrée, et sur ce réseau un polygone de Pick d’aire 7,5 vérifiant ces conditions. 4) Démontrer que le nombre maximal de points sur le bord d’un polygone de Pick d’aire A quelconque est : 2A + 2. PARTIE D : démonstration de la formule de Pick dans le cas d’un rectangle On considère un rectangle de Pick de dimensions quelconques dont les côtés sont parallèles au réseau (comme dans l’exemple ci-dessous). On note : L sa longueur l sa largeur i le nombre de points du réseau strictement intérieurs au rectangle b le nombre de points sur le bord du rectangle Figure 3 1) Exprimer b et i en fonction de L et l. 2) En déduire que l’aire A du rectangle vérifie A = i + 1 CRPE groupement 1 – avril 2015 (corrigé page 49) Annales 2015 COPIRELEM Page 17 DEUXIEME PARTIE (13 points) Cette partie est composée de trois exercices indépendants. Exercice 1 A et B sont deux nombres entiers positifs tels que : · 111 est un multiple du nombre entier positif A ; · A – B est un nombre entier positif ou nul divisible par 10 ; · B est le cube d’un nombre entier. Trouver toutes les valeurs possibles pour A et B. Exercice 2 (D'après le sujet du DNB Métropole 2010) L'eau en gelant augmente de volume. Le segment de droite ci-dessous représente le volume de glace (en litre), en fonction du volume d'eau liquide (en litre). On répondra aux questions 1, 2 et 3 en utilisant le graphique ci-dessus. 1) Quel est le volume de glace obtenu avec 7 litres de liquide ? 2) Quel volume d'eau liquide faut-il mettre à geler pour obtenir 9 litres de glace ? 3) Le volume de glace est-il proportionnel au volume d'eau liquide ? Justifier votre réponse. 4) On admet que 10 litres d'eau liquide donnent 10,8 litres de glace. De quel pourcentage ce volume d'eau augmente-t-il en gelant ? 5) Dans un souci de préservation de la ressource en eau, la ville de Lyon a imaginé un dispositif de recyclage. Cette ville fournit un volume de 20 d'eau par jour aux engins de nettoiement grâce à l'eau récupérée de la fonte de la glace de la patinoire de Baraban. À combien de litres de glace correspond le volume d’eau fourni par la ville de Lyon pour 30 jours de nettoyage ? (source : article du 03/12/2013 - http://blogs.grandlyon.com). CRPE groupement 1 – avril 2015 (corrigé page 49) Annales 2015 COPIRELEM Page 20 SITUATION 3 La situation suivante composée de trois problèmes a été proposée à des élèves. (d’après ERMEL CM2, Hatier) P1 : Avec une bouteille de 150 cL de jus de fruits, combien peut-on remplir de verres de 8 cL ? P2 : Olivier achète 8 CD de même prix pour 150 €. Quel est le prix d’un CD ? P3 : À la cantine, les enfants déjeunent par tables de 8. Aujourd’hui 150 enfants déjeunent à la cantine. Combien de tables faut-il préparer ? Restera-t-il des places vides ? 1) Ces trois problèmes relèvent de la division. Indiquer ce qui les différencie. 2) Donner l’ordre dans lequel ces exercices pourraient être proposés aux élèves. Justifier. SITUATION 4 Technique opératoire de la division Voici les productions de quatre élèves. Adama Marie Kévin Anaïs 1) Donner un avantage de chacune des techniques opératoires utilisées par Adama et Anaïs. 2) Relever les erreurs faites par Marie et Kévin et, pour chacune, émettre une hypothèse sur son origine. CRPE groupement 2 – avril 2015 (corrigé page 65) Annales 2015 COPIRELEM Page 21 GROUPEMENT 2 – avril 2015 PREMIERE PARTIE : PROBLÈME (13 points) L’objet de ce problème est l’étude d’une pyramide en verre, destinée à être remplie de sable pour constituer un objet de décoration. Cette pyramide est inscriptible dans un pavé droit, comme indiqué sur la figure ci-dessous. Le pavé droit a pour dimensions : 9 cm de longueur, 9 cm de largeur et 12 cm de hauteur. Les parties B et C sont indépendantes de la partie A. PARTIE A : réalisation d’un patron de la pyramide 1) a) Calculer les longueurs DE et DG. b) Quelle est la nature du triangle DGF ? Du triangle DEF ? (On ne demande pas de justification.) 2) Tracer sur la copie (sans justification) un patron de cette pyramide à l’échelle 1/3 La pyramide est remplie avec du sable de deux couleurs différentes : la partie inférieure avec du sable rouge et la partie supérieure avec du sable blanc. Sur la figure ci-contre, le point J indique la hauteur à laquelle s’arrête le sable rouge ; les deux couleurs de sable sont délimitées par le plan parallèle à la base de la pyramide DEFGH passant par le point J. La section est un quadrilatère JKLM où les points K, L, M appartiennent respectivement aux segments [DE], [DF] et [DG]. La pyramide DJKLM est une réduction de la pyramide DEFGH. PARTIE B : étude d’un cas particulier Dans cette partie, on donne JH = 2 cm. 1) Quelle est la nature du quadrilatère JKLM ? Justifier. 2) Calculer les longueurs JK et JM en justifiant les calculs. 3) Déterminer le volume B de sable blanc et le volume R de sable rouge contenus dans la pyramide. CRPE groupement 2 – avril 2015 (corrigé page 65) Annales 2015 COPIRELEM Page 22 Rappel : volume d’une pyramide = × aire de la base × hauteur PARTIE C : étude du cas général Dans cette partie la hauteur JH de sable rouge est variable. On note x cette hauteur, exprimée en centimètre, et respectivement B(x) et R(x) les volumes de sable blanc et de sable rouge contenus dans la pyramide, exprimés en fonction de x et en centimètre cube. 1) Quelles sont les valeurs possibles pour x ? 2) On a tracé ci-après les représentations graphiques des fonctions B et R dans un repère du plan : CRPE groupement 2 – avril 2015 (corrigé page 65) Annales 2015 COPIRELEM Page 25 Maxime a) Pour chacun de ces trois élèves, donner deux compétences qui semblent acquises dans le domaine grandeurs et mesures. b) Analyse de la production d’Eva : en quoi témoigne-t-elle d’une bonne compréhension de la notion de fraction malgré une erreur d’écriture ? c) Analyse de la production de Maxime : en quoi son erreur d’écriture est-elle révélatrice d’une mauvaise compréhension de la notion de fraction ? 3) En préparant cette activité, le professeur a hésité entre trois couples de dimensions pour le rectangle de carton : · 50 cm de largeur et 60 cm de longueur (dimensions finalement retenues) ; · 10 cm de largeur et 16 cm de longueur ; · 10 cm de largeur et 14 cm de longueur. Argumenter l’intérêt et les difficultés éventuelles pour chacune de ces options. CRPE groupement 2 – avril 2015 (corrigé page 65) Annales 2015 COPIRELEM Page 26 SITUATION 2 L’exercice ci-dessous est proposé à des élèves d’une classe de CM2. (Extrait de « Vivre les maths CM2, Nathan, Programme 2008 »). 1) Citer deux pré-requis dans le domaine de la géométrie nécessaires pour résoudre cet exercice. 2) Un élève propose la solution suivante : 120 – 28 = 92 2 × 18 = 36 2 × 10 = 20 36 + 20 = 56 92 – 56 = 36 ÷ 2 = 18 La hauteur de la boîte est de 18 cm. a) Retrouver les différentes étapes de son raisonnement, en analysant ses résultats partiels. b) Relever ses éventuelles erreurs ou oublis. SITUATION 3 (Extrait de « Vivre les maths CM2, Nathan, Programme 2008 ») 1) Quelle est la principale notion du programme sur laquelle cet exercice permet de revenir ? 2) Proposer trois méthodes possibles pour résoudre cet exercice en cycle 3, et pour chacune, expliciter les propriétés relatives à cette notion qui ont été mobilisées. CRPE groupement 3 – avril 2015 (corrigé page 74) Annales 2015 COPIRELEM Page 27 GROUPEMENT 3 – avril 2015 PREMIERE PARTIE : PROBLÈME (13 points) Un professeur veut préparer le matériel nécessaire pour mener une activité de découverte des formes géométriques. Il souhaite proposer aux élèves de fabriquer des figures comme ci-dessous, par découpage, collage puis coloriage. Il voudrait que chacune de ces figures, qui évoque une tête, ait un « œil » en forme de carré et un « œil » en forme de triangle équilatéral. Figure 1 Il dispose de feuilles cartonnées dans lesquelles il découpera des carrés. Dans ces carrés, les élèves réaliseront les différents découpages requis. PARTIE A : étude de la situation concrète La documentation dont il dispose propose de découper deux paires d’yeux dans des carrés de 7 cm de côté selon le schéma approximatif suivant : Figure 2 dans lequel les figures hachurées sont des carrés de 3 cm de côté et des triangles équilatéraux de 4 cm de côté. 1) a) Vérifier qu’il est possible de découper dans un carré de 7 cm de côté, deux paires d’yeux formées d’un carré de côté 3 cm et d’un triangle équilatéral de côté 4 cm, dans la disposition de la figure 2. Dans cette question, on pourra utiliser le résultat suivant : La mesure h de la hauteur d’un triangle équilatéral de côté de mesure a est : b) Le professeur constate que les carrés et les triangles équilatéraux que les élèves auront à découper ont le même périmètre. Ont-ils la même aire ? 2) Le professeur se demande s’il est possible de choisir d’autres dimensions pour les yeux de telle sorte qu’on puisse les découper dans des feuilles carrées de 7 cm de côté dans la disposition de la figure 2, le carré et le triangle équilatéral ayant le même périmètre. Pour cela, il appelle x le côté du carré hachuré et y celui du triangle équilatéral hachuré. CRPE groupement 3 – avril 2015 (corrigé page 74) Annales 2015 COPIRELEM Page 30 Exercice 3 Les questions 1 et 2 sont indépendantes. Toutes les réponses devront être justifiées. 1) On considère un nombre rationnel , où p et q sont des nombres entiers, q étant non nul. Ce nombre a pour valeur approchée par excès à près 1,118. On sait de plus que q = 1789. Quelle(s) est (sont) la (les) valeur(s) possible(s) pour p ? 2) L’objectif de cette question est d’établir un résultat pour la comparaison de deux nombres ayant pour écritures fractionnaires et où n est un nombre entier naturel non nul. a) Comparer et ; et ; et . Quel résultat général peut-on conjecturer ? b) Démontrer ce résultat. c) Comparer les nombres et sans effectuer de calcul. Exercice 4 On joue à un jeu nécessitant deux dés différents. Le premier dé est un tétraèdre régulier à 4 faces ; une face est rouge, une est bleue et les deux autres sont jaunes. Le deuxième est un dé cubique à 6 faces numérotées de 1 à 6. On suppose les deux dés bien équilibrés. On lance en premier le dé tétraédrique et on note la couleur de la face sur laquelle il repose. Puis on lance le dé à 6 faces et on note le numéro porté sur la face de dessus. 1) Calculer la probabilité d'obtenir la couleur rouge sur le dé tétraédrique et 4 sur l’autre dé. 2) Calculer la probabilité d'obtenir la couleur jaune sur le dé tétraédrique et un nombre impair sur l’autre dé. CRPE groupement 3 – avril 2015 (corrigé page 74) Annales 2015 COPIRELEM Page 31 TROISIEME PARTIE (14 points) Cette partie est constituée de quatre situations indépendantes. SITUATION 1 L’exercice ci-dessous a été donné en évaluation à des élèves de CM1. Une école organise une sortie de fin d’année. Pour se déplacer, le directeur loue des bus qui peuvent accueillir 42 passagers chacun. Il y a 157 élèves dans l’école et 20 adultes les accompagneront. Combien faut-il réserver de bus ? 1) Quelle opération mathématique est l’enjeu de ce problème ? 2) Dans l’annexe, sont présentées les productions de quatre élèves A, B, C et D. Pour chacune d’elles, expliquer la procédure utilisée. 3) Un autre élève de la classe a effectué la division de 157 par 20. À quelle question ce calcul pourrait- il répondre ? 4) La situation du problème de départ et celle de la question 3 illustrent deux sens différents de la division. Les expliciter. SITUATION 2 L’exercice ci-dessous a été donné en évaluation à des élèves de CM1. J’avais 28 litres d’essence. J’ai rempli de façon identique 8 bidons de même contenance en utilisant toute l’essence. Combien ai-je mis de litres dans chaque bidon ? 1) Quelle opération permet de répondre à cette question ? 2) Dans l’annexe, sont présentées les productions de trois élèves E, F et G. Pour chacune de ces productions, expliquer la procédure utilisée. SITUATION 3 Voici un autre exercice proposé à des élèves de CM2. Il faut exactement 28 litres d’essence pour remplir complètement 8 bidons de contenance identique. Combien peut-on remplir de bidons avec 7 litres d’essence ? 1) De quelle(s) notion(s) mathématique(s) relève cet exercice ? 2) Proposer deux résolutions différentes de cet exercice qui peuvent être attendues d’un élève de CM2, en explicitant les raisonnements sous-jacents. SITUATION 4 L’exercice suivant a été donné à des élèves de l’école primaire : On découpe un ruban mesurant 137,6 cm en 8 morceaux de même longueur. Combien mesure chacun des morceaux ? 1) Quel sens de la division illustre-t-il ? 2) Proposer une procédure pour résoudre ce problème, permettant de se ramener à une opération sur les nombres entiers. 3) Proposer une procédure de calcul qui peut être attendue d’un élève de CM2 pour effectuer la division 137,6 ÷ 8, sans se ramener à une opération sur les entiers. 4) Le quotient d’un nombre décimal par 8 est-il toujours un nombre décimal ? Justifier. CRPE groupement 3 – avril 2015 (corrigé page 74) Annales 2015 COPIRELEM Page 32 ANNEXE SITUATION 1 CRPE concours exceptionnel Créteil – mai 2015 (corrigé page 91) Annales 2015 COPIRELEM Page 35 CONCOURS EXCEPTIONNEL CRÉTEIL – mai 2015 PREMIERE PARTIE : PROBLÈME (13 points) On appelle format d'un rectangle le quotient de sa longueur par sa largeur. Ainsi, par exemple, • un rectangle de dimensions 4 cm et 6 cm a pour format = 1,5 ; • une feuille de papier A4 (21 x 29,7) a pour format ≈ 1,41. Le but de ce problème est d'étudier différents formats de rectangles. Les parties A, B et C sont indépendantes. PARTIE A : étude d'un premier cas particulier Dans cette partie, tous les rectangles étudiés ont un côté (longueur ou largeur) mesurant 10 cm. 1) Déterminer le format F d'un tel rectangle lorsque le deuxième côté mesure a) 2,5 cm; b) 40 cm. 2) Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant : Mesure (en cm) du deuxième côté 2 4 10 18 32 60 Format du rectangle Le format est-il proportionnel à la mesure du deuxième côté ? Justifier la réponse. 3) La courbe ci-après représente le format d'un rectangle dont un des côtés mesure 10 cm en fonction de la mesure du deuxième côté, lorsque celle-ci varie entre 1 cm et 40 cm. Figure 1 a) Déterminer graphiquement une valeur approchée de la mesure du deuxième côté de tous les rectangles de format égal à 3. b) Retrouver par le calcul les résultats précédents. c) Déterminer graphiquement les valeurs possibles pour la mesure du deuxième côté des rectangles dont le format est inférieur ou égal à 2,5. d) Retrouver par le calcul les résultats précédents. CRPE concours exceptionnel Créteil – mai 2015 (corrigé page 91) Annales 2015 COPIRELEM Page 36 PARTIE B : format commercial d'un rectangle 1) On considère un rectangle ABCD de longueur AB et de largeur AD. On note L sa longueur, l sa largeur et F son format. On a donc F = . On note I et J les milieux respectifs des côtés [AB] et [CD]. On découpe le rectangle suivant la droite (Il). Figure 2 On dit que ABCD a un format commercial si les deux rectangles superposables AIJD et IBCJ obtenus ont aussi pour format F. Montrer que dans ce cas L² = 2 × l² . En déduire que F = . 2) On dit qu'un rectangle de papier est de format A0 si ce rectangle a un format commercial (donc si son format est et si son aire est égale à 1m2. On note L0 et l0 la longueur et la largeur d'un rectangle de format A0, exprimées en mètre. Montrer que l0²= et que L0² = . Dans la suite de cette partie, on admet qu'un rectangle de format A0 a pour dimensions 0,841 m et 1,189 m. En utilisant les notations de la figure 2, et en supposant que le rectangle ABCD est de format A0, on appelle A1 le format du rectangle AIJD. En réitérant ce procédé de découpage, on obtient successivement des rectangles de formats A2, A3, A4, etc. 3) La feuille de tableur ci-après calcule les dimensions des rectangles de format A0, Al, A2, A3, A4 ... (les valeurs sont arrondies au millième). Déterminer les dimensions d'un rectangle de format A5. Arrondir au millimètre. CRPE concours exceptionnel Créteil – mai 2015 (corrigé page 91) Annales 2015 COPIRELEM Page 37 DEUXIEME PARTIE (13 points) Cette partie est composée de quatre exercices indépendants. Exercice 1 Les questions 1 et 2 sont indépendantes. 1) Une puce se déplace sur un axe gradué. Elle part du point d'abscisse 0 et, à chaque seconde, saute de façon aléatoire et équiprobable soit d'une unité vers la droite, soit d'une unité vers la gauche. Au bout de 3 secondes, quelle est la probabilité que la puce soit : a) au point d'abscisse 0 ? b) au point d'abscisse 1 ? c) au point d'abscisse 2 ? d) au point d'abscisse 3 ? Justifier les réponses. 2) Durant une semaine, un établissement de restauration rapide offre, pour chaque achat de quatre menus, une carte à gratter. Une carte contient 4 cases dont on a caché les motifs : des étoiles sur deux d'entre elles et des cœurs sur les deux autres. La règle du jeu stipule : o on gratte exactement deux cases ; o si les deux cases grattées présentent les mêmes symboles on gagne une boisson. Calculer la probabilité de gagner une boisson avec une carte, en grattant deux cases au hasard. Exercice 2 On considère le quadrilatère ABCE représenté par la figure ci-dessous. On sait que : • les droites (AB) et (CE) sont parallèles ; • le triangle EBC est rectangle en B ; • le triangle EAB est isocèle en A ; le côté [AB] mesure 4,5 cm et l'angle mesure 130°. 1) Justifier que la droite (EB) est la bissectrice de l'angle . 2) Calculer la mesure de l'angle . 3) Soit K le milieu du segment [EC]. Justifier que le triangle EBK est isocèle en K. 4) Prouver que ABKE est un losange. 5) Quelle est la longueur du segment [EC] ? CRPE concours exceptionnel Créteil – mai 2015 (corrigé page 91) Annales 2015 COPIRELEM Page 40 SITUATION 2 Dans une classe de CM2, un enseignant prévoit d'utiliser le problème 1 ci-dessous. Problème 1 Construire un rectangle dont l'aire vaut 120 cm². 1) Citer deux savoirs relatifs au domaine « grandeurs et mesures» que l'élève devra mobiliser pour résoudre ce problème. 2) Citer deux pré-requis relevant d'autres domaines mathématiques que « grandeurs et mesures » qui seront nécessaires à un élève pour résoudre ce problème. SITUATION 3 Un professeur propose les problèmes 2 et 3 ci-après à une classe de CM2. Justifier le choix d'avoir utilisé un quadrillage dans ces deux problèmes. CRPE concours exceptionnel Créteil – mai 2015 (corrigé page 91) Annales 2015 COPIRELEM Page 41 SITUATION 4 La situation ci-après (organisation de séance et production d'élèves) est inspirée de l'ouvrage « Apprentissages numériques et résolution de problèmes » - ERMEL – CM1, 2009, Hatier. 1) Citer trois critères possibles de classement pour répondre à la question de l'étape 1. 2) On donne ci-après trois productions d'élèves en réponse à l'étape 2. Pour chacune, dire quel sens les élèves semblent avoir donné aux termes « le plus de ... » et « le moins de ... ». Groupe d’élèves 1 CRPE concours exceptionnel Créteil – mai 2015 (corrigé page 91) Annales 2015 COPIRELEM Page 42 Groupe d’élèves 2 Annales 2015 COPIRELEM Page 45 CORRIGÉS DES QUATRE SUJETS 2015 Mise au point à propos de la proportionnalité Annales 2015 COPIRELEM Page 47 MISE AU POINT À PROPOS DE LA PROPORTIONNALITÉ1 La notion de « proportionnalité » est très présente dans les sujets du CRPE. Il nous semble important de faire une mise au point sur le vocabulaire utilisé pour parler des propriétés afférentes. À toute situation de proportionnalité, on peut associer une fonction linéaire qui traduit la relation liant les deux grandeurs en présence. Cette fonction décrit et généralise la situation. De manière générique, on peut noter cette fonction linéaire. Les deux propriétés principalement citées pour décrire une procédure ou analyser une situation sont les suivantes : (A) (B) On montre, par exemple dans [simard2012] que les propriétés (A) et (B) sont des propriétés caractéristiques d’une fonction linéaire (sous réserve d’une condition de continuité de la fonction ). La propriété (A) est communément appelée propriété additive ou propriété linéaire additive. La propriété (B) est communément appelée propriété multiplicative ou propriété linéaire multiplicative ou encore propriété d’homogénéité. La locution « propriété linéaire additive » est redondante, nous préférerons « propriété additive » pour désigner la propriété (A). Nous choisirons, de même, la locution « propriété multiplicative » pour désigner la propriété (B). Le terme mathématique « homogénéité » est moins connu du public auquel s’adresse ce document donc nous ne l’utiliserons pas. Une situation de proportionnalité met en jeu deux grandeurs liées par un coefficient multiplicateur, on passe d’une grandeur à l’autre en multipliant par un nombre a. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité de la situation. La fonction linéaire sous-jacente est définie par . Ce nombre a a de multiples significations qu’il convient de distinguer : - a est le coefficient de proportionnalité lorsque l’on considère la structure multiplicative de la situation - a est la valeur commune des rapports des deux grandeurs en jeu lorsque l’on considère la situation en terme de rapports égaux - a est le coefficient qui définit la fonction linéaire associée à la situation de proportionnalité lorsque l’on considère la situation d’un point de vue fonctionnel - est la valeur de l’unité (ou valeur pour « un ») lorsque l’on considère une procédure de passage à l’unité - est le coefficient directeur de la droite représentative de la fonction linéaire associée à la situation de proportionnalité lorsque l’on se place dans le cadre graphique. On peut également dire que a est la pente ou l’inclinaison de la droite représentative de la fonction linéaire associée. Ces distinctions permettent d’être précis lorsque l’on décrit une procédure. Une procédure de retour à l’unité insiste sur la valeur pour « un », alors qu’une procédure de recherche du coefficient de proportionnalité insiste sur le coefficient multiplicatif qui lie une grandeur à l’autre. Le tableau de proportionnalité est un tableau de valeurs de la fonction linéaire associée à la situation. La construction d’un tel tableau relève d’une compétence d’organisation et de gestion de données. Cette structure s’avère efficace pour clarifier une situation de proportionnalité, en particulier identifier le statut des différentes données, éventuellement mieux « visualiser » des liens entre les nombres présents (correspondant à une même grandeur ou liés par la relation), et pour schématiser la procédure utilisée par l’élève. Les propriétés additive et/ou multiplicative sont généralement représentées par des flèches avec un symbole « » ou « », le coefficient de proportionnalité par une flèche avec « » qui « fait passer » d’une grandeur à l’autre, le passage à l’unité est exprimé en ajoutant, le cas échéant, une ligne ou une colonne avec la valeur pour « un ». Un tableau de proportionnalité ne donne pas la réponse à la 1 Référence : [simard2012] Simard A., « Fondements mathématiques de la proportionnalité dans la perspective d’un usage didactique », Petit x, n° 89, 2012, 51-63 CRPE groupement 1 – avril 2015 (sujet page 15) Annales 2015 COPIRELEM Page 50 Méthode 1.3. : une méthode par complémentation A"$103+3#!"0$+!$'()'(3/0/$.9!..303?30/$.&#$!3(&#8$!?&%$+&#$")0!03)"#$.&$+!$2351(&$%3:!'(,#8$ +9!3(&$.1$')+45)"&$ BCD AE$&#0$+!$.322/(&"%&$.&$+9!3(&$.1$(&%0!"5+&$DmVn$&0$.&$+!$#)--&$.&#$!3(&#$.&#$.&1<$0(3!"5+&#$CmB$&0$ An8$&0$.1$0(!',f&$BVAE=$ $ !3(&$HBCD AEJ$K$!3(&HDmVnJ$:$!3(&HCmBJ$:$!3(&H AnJ$:$!3(&HBVAEJ$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$i Dm P mV o CmPmB ` o nPnA ` o XBV^EAZPVA ` $ $ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$i pq P ab o cP` ` o YPY ` o Xr^YZPc ` s$1=!=$K$cd8Y$1=!=$ $ Méthode 2 : par pavage par des surfaces unités e"$'&10$'!?&($+&$')+45)"&$!?&%$.&#$%!((/#$.&$%I0/$a$1=+=$H.9!3(&$a$1=!J8$.&#$0(3!"5+&#$t$.&-3:%!((/#$u$&0$.&#$ 0(3!"5+&#$t$.&-3:(&%0!"5+&#$u$%)--&$#155/(/$'!($+!$2351(&$%3:!'(,#$@$$ 6!($'!?!5&8$!?&%$+&#$")0!03)"#$.&$+!$2351(&$%3:.&##1#8$)"$)*03&"0$@$$$ !3(&$HBCD AEJ$K$` P a$1= != ^$v$1= != ^Y P b8Y$1= != ^ld$1= ! i cd8Y$1= !=$ CRPE groupement 1 – avril 2015 (sujet page 15) Annales 2015 COPIRELEM Page 51 PARTIE B - Utilisation de la formule de Pick sur des exemples 1) En appliquant la formule de Pick au polygone ABCDEF e"$ ./")-*(&$ #1($ +!$ 2351(&$@$ i K$ld$ H")-*(&$ .&$ ')3"0#$ .1$ (/#&!1$ #0(3%0&-&"0$ 3"0/(3&1(#$ !1$ ')+45)"&$ BCD AEJ$&0$b$K$`l$H")-*(&$.&$')3"0#$.1$(/#&!1$#1($+&$*)(.$.1$')+45)"&J=$ A"$(&-'+!w!"0$i &0$b$'!($%&#$?!+&1(#$.!"#$+!$2)(-1+&$.&$63%78$)"$)*03&"0$@$ !3(&XBCD AEZ i xld ^ `l` o ay $1= != i Xld ^ aa8Y o aZ$1= != i cd8Y$1= !=$ e"$(&0()1?&$+!$?!+&1($)*0&"1&$')1($+9!3(&$.&$BCD AE$.!"#$+!$z1&#03)"$B=$ 2) En appliquant la formule aux polygones ABCDF et DEF 6)1($ +&$ '&"0!5)"&$BCD E8$ )"$ ./")-*(&$ #1($ +!$ 2351(&$@$ i$K$`d$ H")-*(&$ .&$ ')3"0#$ .1$ (/#&!1$ #0(3%0&-&"0$ 3"0/(3&1(#$!1$')+45)"&$BCD EJ$&0 b$K$ar$H")-*(&$.&$')3"0#$.1$(/#&!1$#1($+&$*)(.$.1$')+45)"&$BCD EJ=$ A"$(&-'+!w!"0 i$&0$b$'!($%&#$?!+&1(#$.!"#$+!$2)(-1+&$.&$63%7$8$)"$)*03&"0$')1($BCD E$@$ !3(&XBCD EZ i x`d ^ ar` o ay $1= != i X`d ^ q o aZ$1= != i lY$1= !=$ 6)1($+&$0(3!"5+&$ AE8$)"$./")-*(&$#1($+!$2351(&$@ i$K$v$&0$b$K$aY= A"$(&-'+!w!"0$i$&0$b$'!($%&#$?!+&1(#$.!"#$+!$2)(-1+&$.&$63%7$.)""/&8$)"$)*03&"0$')1($ AE$@$ !3(&X AEZ i xv ^ aY` o ay $1= != i Xv ^ d8Y o aZ$1= != i a`8Y$1= !=$ B3"#38$ • !3(&$HBCD EJ$W$!3(&$H AEJ$K$lY$1=!=$W$a`8Y$1=!=$K$cd8Y$1=!=$M$ • !3(&$HBCD AEJ$K$cd8Y$1=!=$Hz1&#03)"$CaJ$M$ La somme des résultats obtenus est bien égale au résultat trouvé à la question B1. Remarque : La propriété d'additivité est à considérer avec prudence : en réunissant ces surfaces pour recomposer ABCDEF, les aires sont additionnées mais ce n'est pas le cas pour le nombre de points intérieurs, ni pour le nombre de points sur le bord. $ $ PARTIE C - Quelques conséquences de la formule de Pick e"$ !.-&0$ .!"#$ %&00&$ '!(03&$ z1&$ +!$ 2)(-1+&$ .&$ 63%7$ &#0$ ?!+3.&$ &0$ )"$ /01.3&$ z1&+z1&#$ '()'(3/0/#$ .&#$ ')+45)"&#$.&$63%7$.9!3(&$.)""/&=$ 1) Preuve de l'inexistence d'un polygone de Pick d'aire 7,5 u.a. avec un nombre pair de points sur le bord. {3$ b$ &#0$ '!3(8$ |R$&#0$ 1"$ ")-*(&$ &"03&($ .)"%$ } ^ ~ ` $o a$&#0$ 1"&$ #)--&$ .&$ ")-*(&#$ &"03&(#$ .)"%$ &#0$ 1"$ ")-*(&$&"03&(8$&0$"&$'&10$.)"%$'!#$0(&$/5!+$;$d8Y=$$ Il n'existe donc pas de polygone de Pick d'aire 7,5 u.a. avec un nombre pair de points sur le bord.$ 2) Valeur maximale du nombre b pour un polygone de Pick d'aire 7,5 : !"#$%"&$'()*)+('&$,-.#./"')"&0$('$*$1$$ 2 3 $4 5 6 7 $8 9$ 3 :0;$&(+)$b$<$7$=:0;$>$9$?$i@$<$9:$?$7$iA$ B(CC"$i$"&)$D'$'(CE-"$"')+"-0$i$"&)$,(&+)+F$(D$'D%0$/('#$b$<$9:$?$7$i$"&)$*D$,%D&$.G*%$H$9:$1$9:$"&)$/('#$D'$ C*I(-*')$/"$bA$$ J"$,%D&0$%"&$&D-F*#"&$#+K*,-L&0$/M*+-"$:0;$DA*A0$")$,(D-$%"&ND"%%"&$b$<$9:0$-.*%+&"')$#"$#*&$1$9:$"&)$/('#$E+"'$%*$ !*%"D-$C*O+C*%"$ND"$,"D)$,-"'/-"$bA$ $ CRPE groupement 1 – avril 2015 (sujet page 15) Annales 2015 COPIRELEM Page 52 Remarque : Les différentes contraintes sont vérifiées par plusieurs polygones de Pick. 3) Polygones de Pick d'aire 7,5 u.a. contenant un seul point intérieur !"#$%"&$'()*)+('&$,-.#./"')"&0$&+$A$<$:0;$")$i$<$90$('$(E)+"')$1$b$<$7$=:0;$>$9$?$i@$<$9;A$ P"&$F+GD-"&$#+K/"&&(D&$&(')$/"&$"O"C,%"&$/"$,(%QG('"&$/"$R+#S$!.-+F+*')$#"&$#('/+)+('&A$ Remarque : Les différentes contraintes sont vérifiées par plusieurs polygones de Pick. 4) Nombre maximal de points sur le bord d'un polygone de Pick dont l’aire est donnée T(+)$D'$,(%QG('"$/"$R+#S$/M*+-"$A DA*AA$P*$F(-CD%"$/"$R+#S$"&)$1$2 3 $4 5 6 7 $8 9A$ P"$'(CE-"$/"$,(+')&$/D$-.&"*D$&D-$%"$E(-/$/D$,(%QG('"$"&)$1$b$<$7$=A >$9$? i@$<$7A$>$7$?$7iA$ B(CC"$ i$ ='(CE-"$"')+"-$/"$,(+')&$ +').-+"D-&@$"&)$,(&+)+F$(D$'D%0 b$"&)$C*I(-.$,*-$7A$>$7$1$ %"$'(CE-"$/"$ ,(+')&$&D-$%"$E(-/$/UD'$,(%QG('"$/"$R+#S$/U*+-"$A DA*A$"&)$/('#$C*I(-.$,*-$7A$>$7A$ V%$-"&)"$H$ID&)+F+"-$NDM+%$"&)$)(DI(D-&$,(&&+E%"$/"$#('&)-D+-"$D'$,(%QG('"$/"$R+#S$/M*+-"$A DA*A$/(''."0$/(')$%"$ '(CE-"$ /"$ ,(+')&$ &D-$ %"$ E(-/$ "&)$ 7A$>$7$W$ ,(D-$ #"%*0$ +%$ &DFF+)$ /"$C(')-"-$ NDU+%$ "&)$ )(DI(D-&$ ,(&&+E%"$ /"$ #('&)-D+-"$D'$,(%QG('"$/"$R+#S$/M*+-"$A DA*A$/(''."0$/(')$%"$'(CE-"$/"$,(+')&$+').-+"D-&$"&)$'D%$=#U"&)KHK /+-"$,(D-$%"ND"%$i$<$X@A$ P"$'(CE-"$A "&)$a priori D'$'(CE-"$,(&+)+F$ =,*&$'.#"&&*+-"C"')$"')+"-@A$B","'/*')0$ %*$ F(-CD%"$/"$R+#S$ =*/C+&"@$C(')-"$NDM+%$Q$*$"'$F*+)$/"DO$#*&$,(&&+E%"&$,(D-$%*$'*)D-"$/D$'(CE-"$/"$A0$"'$F('#)+('$/"$%*$,*-+).$ /D$'(CE-"$b$=ND+$%D+$/.&+G'"$%"$'(CE-"$/"$,(+')&$/D$E(-/0$")$"&)$/('#$'.#"&&*+-"C"')$D'$'(CE-"$"')+"-@$1$ • #*&$(Y$b "&)$,*+-$1$A$"&)$*%(-&$D'$'(CE-"$"')+"-$W$%"$-"#)*'G%"$#+K/"&&(D&0$/"$/+C"'&+('&$9$DA%A$")$A DA%A0$ #('!+"')$=%*$C"&D-"$/"$&('$*+-"$"&)$A0$+%$'U*$*D#D'$,(+')$+').-+"D-0$")$7Z2 5 9[ 3 72 5 7$,(+')&$&D-$ &('$E(-/@$1$ • #*&$(Y$b$ "&)$ +C,*+-$1$A$ "&)$*%(-&$D'$'(CE-"$/"$ %*$ F(-C"$5 $97$0$ (Y$N$ "&)$D'$"')+"-0$ ")$ %"$ )-*,L\"$#+K /"&&(D&0$ /"$ /+C"'&+('&$ ]2 8 $97^ DA %A$ ")$ ]2 5 $ 9 7^ DA %A$#('!+"')$ =%*$ C"&D-"$ /"$ &('$ *+-"$ "&)$ 2 3 ]2 8 9 7^ _ 9 5 9 7 _ 9$0$+%$'U*$*D#D'$,(+')$+').-+"D-0$")$7Z2 5 9[ 3 72 5 7$,(+')&$&D-$&('$E(-/@$1$ J('#$+%$"&)$)(DI(D-&$,(&&+E%"$/"$#('&)-D+-"$D'$,(%QG('"$/"$R+#S$/M*+-"$/(''."$&*'&$,(+')$+').-+"D-$=i$<$X@.$ Le nombre maximal de points sur le bord d'un polygone de Pick d'aire A u.a. donnée est donc bien 2A+2.$ CRPE groupement 1 – avril 2015 (sujet page 15) Annales 2015 COPIRELEM Page 55 2) Volume d'eau liquide à mettre à geler pour obtenir 9 litres de glace k'"$ %"#)D-"$ /+-"#)"$ ,"-C")$ /"$ /.)"-C+'"-$ #"$ '(CE-"$ ND+$ #(--"&,('/$ H$ %U*E&#+&&"$ /D$ ,(+')$ /D$ &"GC"')$ /U(-/(''."$sA$B"))"$*E&#+&&"$"&)$#(C,-+&"$"')-"$t09$")$t0;A Il faut entre 8,1 et 8,5 litres d’eau liquide pour obtenir 9 litres de glace.$ 3) Caractérisation de la relation entre le volume de glace et le volume d'eau liquide P*$ -",-.&"')*)+('$G-*,`+ND"$/"$ %*$ F('#)+('$ND+$ *&&(#+"$ %"$ !(%DC"$/"$ G%*#"$ *D$!(%DC"$/U"*D$ %+ND+/"0$ &D-$ %U+')"-!*%%"${X$W$990;|$"&)$D'$&"GC"')$,(-).$,*-$D'"$/-(+)"$ND+$,*&&"$,*-$%"$,(+')$c$=X$W$X@A$n%%"$#(--"&,('/$H$ %*$ -",-.&"')*)+('$ G-*,`+ND"$ /UD'"$ F('#)+('$ %+'.*+-"0$ #"$ ND+$ #*-*#).-+&"$ D'"$ -"%*)+('$ /"$ ,-(,(-)+(''*%+).$ "')-"$#"&$/"DO$G-*'/"D-&A Le volume de glace est proportionnel au volume d'eau liquide.$ 4) Calcul du pourcentage d’augmentation du volume d'eau lorsqu’il gèle Méthode 1 : c'$*/C")$ND"$9X$%+)-"&$/M"*D$%+ND+/"$/(''"')$9X0t$%+)-"&$/"$G%*#"A$ R(D-$9X$%+)-"&$/U"*D$%+ND+/"0$%U*DGC"')*)+('$/"$!(%DC"$"'$G"%*')$"&)$1$X0t$%+)-"A$PU*DGC"')*)+('$/"$!(%DC"$ "&)$ ,-(,(-)+(''"%%"$ *D$ !(%DC"$ +'+)+*%$ /('#$ ,(D-$ 9XX$ %+)-"&$ /U"*D$ %+ND+/"0$ %U*DGC"')*)+('$ /"$ !(%DC"$ "'$ G"%*')$&"-*$1$t$%+)-"&0$&(+)$8 % d’augmentation =('$*$D)+%+&.$+C,%+#+)"C"')$+#+$%*$,-(,-+.).$&D+!*')"$1$&+$b$"&)$ ,-(,(-)+(''"%$H$a0$*%(-&$b$?$a$"&)$,-(,(-)+(''"%$H a$W$b$/.&+G'"$+#+$%"$!(%DC"$/"$G%*#"0$")$a$%"$!(%DC"$/M"*D$ %+ND+/"A@$ Méthode 2 : P"$,(D-#"')*G"$/M*DGC"')*)+('$ "&)$}~0€}~}~ $<$~0}~ $<$8 %, #"$ND+$ #(--"&,('/$ H$D'$ #("FF+#+"')$CD%)+,%+#*)+F$ /"$90XtA$ Méthode 3 : P"$ #("FF+#+"')$ /"$ ,-(,(-)+(''*%+).$ "')-"$ %"$ !(%DC"$ /U"*D$ %+ND+/"$ ")$ %"$ !(%DC"$ /"$ G%*#"$ "&)$$ }~0 }~ $<$90Xt$<$9$>$X0Xt0$ #"$ ND+$ )-*/D+)$ une augmentation de 8 % du volume$ *D$ #(D-&$ /D$ #`*'G"C"')$ /U.)*)A$ 5) Volume de glace correspondant au volume d’eau fourni par la ville de Lyon pour 30 jours de nettoyage Remarque : On admet que dire que 10 litres d’eau liquide donnent 10,8 litres de glace permet d’affirmer que 10,8 litres de glace donnent 10 litres d’eau en fondant. D*')+).$/U"*D$%+ND+/"0$"'$CL)-"$#DE"0$F(D-'+"$"'$yX$I(D-&$,*-$%*$!+%%"$/"$PQ('$1$7X$C‚$_$yX$<$vXX$C‚A$ D*')+).$ /U"*D$ %+ND+/"0$ "'$ %+)-"0$ F(D-'+"$ "'$ yX$ I(D-&$ ,*-$ %*$ !+%%"$ /"$ PQ('$1$ %UD)+%+&*)+('$ /"&$ -"%*)+('&$ 9$Cy$<$9$XXX$/Cy$")$9$/Cy$<$9$P$,"-C")$/"$/.)"-C+'"-$%*$ND*')+).$/U"*D0$"'$%+)-"0$F(D-'+"$"'$yX$I(D-&$,*-$%*$ !+%%"$/"$PQ('A$n'$"FF")0$vXX$Cy$<$vXX$XXX$/Cy$<$vXX$XXX$PA$ n'$D)+%+&*')$%"$#("FF+#+"')$CD%)+,%+#*)+F$,-.#./"')0$#"))"$ND*')+).$/U"*D$%+ND+/"$#(--"&,('/$H$1$ vXX$XXX$P$_$90Xt$<$648 000 L de glaceA$ Autre méthode : vXX$XXX$P$<$vX$XXX$_$9X$P$W$ (-$ 9X$P$ /M"*D$ %+ND+/"$ /(''"')$ 9X0t$P$ /"$ G%*#"0$ /('#$ vXX$XXX$P$ /(''"')$ vX$XXX$_$9X0t$P$/"$G%*#"$&(+)$648 000 L de glaceA$ $ CRPE groupement 1 – avril 2015 (sujet page 15) Annales 2015 COPIRELEM Page 56 EXERCICE 3 Remarque préliminaire : En cohérence avec l'énoncé, la notation AB désigne dans ce corrigé la mesure en cm de la longueur du segment AB. 1) Construction du trapèze rectangle ABFE respectant les contraintes de l'énoncé et du point G, symétrique du point F par rapport à la droite (AB). CRPE groupement 1 – avril 2015 (sujet page 15) Annales 2015 COPIRELEM Page 57 2) EM + MG EP + PG c'$*,,"%%"$R$%"$,(+')$/U+')"-&"#)+('$/"&$/-(+)"&$= w@$")$=np@A$ R(D-$)(D)$,(+')$q0$nq$>$qp$ƒ$np$=+%$&M*G+)$/"$%M+'.G*%+).$)-+*'GD%*+-"@$")0$"'$*/C"))*')$ND"$R$"&)$D'$,(+')$/D$ &"GC"')${np|0$np$<$nR$>$RpA$ J('#$,(D-$)(D)$,(+')$q0$EM + MG EP + PG$ Valeur minimale de EM + MF p$"&)$%"$&QC.)-+ND"$/D$,(+')$„$,*-$-*,,(-)$H$%*$/-(+)"$= w@$/('#$= w@$"&)$%*$C./+*)-+#"$/D$&"GC"')${p„|A$$ q0$,(+')$/"${ w|0$"&)$/('#$.ND+/+&)*')$/"$p$")$„$1$q„$<$qpA$ J('#$ nq$>$q„$<$nq$>$qp$ ")$ nq$>$qp$ƒ$nR$>$Rp$ =/M*,-L&$ %"$ -.&D%)*)$ ,-.#./"')@0$ ('$ "'$ /./D+)$1$ EM + MF EP + PG$ B"))"$ +'.G*%+).$)-*/D+)$ %"$ F*+)$ND"$ la valeur EM + MF est minimale lorsque M est placé en P =,(+')$/"$ { w|@.$ 3) a) Preuve de l’égalité $ …† ‡ˆ€…† 3 ‰ Š Méthode 1 : en utilisant le théorème de Thalès P"&$,(+')&$ 0$R$")$w$&(')$*%+G'.&$*+'&+$ND"$%"&$,(+')&$n0$R$")$pA$P"&$/-(+)"&$= n@$")$=wp@$&(')$,*-*%%L%"&$=#*-$ )(D)"&$/"DO$,"-,"'/+#D%*+-"&$H$= w@@A$ JU*,-L&$%"$)`.(-LC"$/"$‹`*%L&0$('$,"D)$.#-+-"$1$ŒŽ 3 Œ Ž$A$ • B(CC"$R$"&)$D'$,(+')$/D$&"GC"')${ w|0$wR$<$w $?$ R$*!"#$w $<$9b$/('#$wR$<$9b$?$ R$A$ • n$<$y$ • B(CC"$p$"&)$%"$&QC.)-+ND"$/"$„$,*-$-*,,(-)$H$= w@$")$#(CC"$=„w@$,"-,"'/+#D%*+-"$H$= w@0$w$"&)$%"$ C+%+"D$/"${„p|$")$wp$<$w„$<$sA$ c'$(E)+"')$1$$ Œ }‘€Œ 3 ’ “$A$ Méthode 2 : en considérant des angles - q(')-('&$ND"$%U*'G%"$w„R” $"&)$.G*%$H$%U*'G%"$wpR” A$ R$"&)$D'$,(+')$/"$= w@$")$p$"&)$%"$&QC.)-+ND"$/"$„$,*-$-*,,(-)$H$= w@A$ P"$)-+*'G%"$wRp$"&)$/('#$%"$&QC.)-+ND"$/D$)-+*'G%"$wR„$,*-$-*,,(-)$H$%*$/-(+)"$= w@A$ P*$&QC.)-+"$*O+*%"$#('&"-!"$%"&$*'G%"&$/('#$%U*'G%"$w„R” $"&)$.G*%$H$%U*'G%"$wpR” A$ - q(')-('&$ND"$%U*'G%"$wpR” $"&)$.G*%$H$%U*'G%"$ nR” $1$ = n@$ ")$ =p„@$ &(')$ ,*-*%%L%"&$ #*-$ )(D)"&$ /"DO$ ,"-,"'/+#D%*+-"&$ H$ = w@$W$ =pn@$ "&)$ &.#*')"$ H$ #"&$ /"DO$ /-(+)"&$,*-*%%L%"&$/('#$%U*'G%"$wpR” $"&)$.G*%$H$%U*'G%"$ nR” $=*'G%"&$*%)"-'"&K+')"-'"&@A$ +'&+$%U*'G%"$w„R” $"&)$.G*%$H$%U*'G%"$ nR” A$ c-0$/*'&$%"$)-+*'G%"$w„R$-"#)*'G%"$"'$w0$)*'$w„R” $<$ŽŽ•$0$ ")$/*'&$%"$)-+*'G%"$ nR$-"#)*'G%"$"'$ 0$)*'$ nR” $<$ŒŒ$A$ P"&$*'G%"&$w„R” $")$ nR” $.)*')$.G*DO0$ŒŒ 3 Ž Ž•$0$&(+)$"'#(-"$ Œ Ž 3 Œ Ž•$A$ B(CC"$R$"&)$D'$,(+')$/D$&"GC"')${ w|0$wR$<$w $?$ R$*!"#$w $<$9b$/('#$wR$<$9b$?$ R$A$ +'&+0$$ …† ‡ˆ€…† 3 ‰ Š$$A$ 3) b) Calcul de AP R 9b 8 R 3 y s$ s$ R$<$y$_$=9b$?$ R@$ s$ R$<$b7$?$y$ R$ 97$ R$<$b7$ R$<$–— AP = 3,5$ CRPE groupement 1 – avril 2015 (sujet page 15) Annales 2015 COPIRELEM Page 60 2) Définition d’un nombre décimal que l’on peut donner à l’école primaire Remarque préliminaire : Dans la suite, « fraction » est utilisé pour désigner une écriture d’un nombre rationnel ; il arrive aussi que « fraction » fasse référence à un nombre. $ %U.#(%"$ ,-+C*+-"0$ %"&$ '(CE-"&$ /.#+C*DO$ &(')$ +')-(/D+)&$ *,-L&$ *!(+-$ -"'#(')-.$ /"&$ #*&$ ,*-)+#D%+"-&$ /"$ F-*#)+('&$1$%"&$F-*#)+('&$/.#+C*%"&A$c'$,(D--*+)$/('#$%"&$/.F+'+-$#(CC"$/"&$'(CE-"&$,(D!*')$&U.#-+-"$&(D&$ %*$F(-C"$/UD'"$F-*#)+('$/.#+C*%"$=#U"&)KHK/+-"$D'"$F-*#)+('$/(')$%"$/.'(C+'*)"D-$"&)$9X0$9XX0$9XXX0Ÿ@$(D$ &(D&$%*$F(-C"$/UD'"$&(CC"$/UD'$"')+"-$")$/"$F-*#)+('&$/.#+C*%"&A$ o.*'C(+'&0$ ('$ ,"D)$ ,"'&"-$ NDUH$ %U.#(%"0$ +%$ 'U"&)$ ,*&$ '.#"&&*+-"$ /"$ /(''"-$ D'"$ /.F+'+)+('$ F(-C"%%"$ /UD'$ '(CE-"$ /.#+C*%0$ C*+&$ ND"$ %U('$ ,"D)$ &"$ #(')"')"-$ /"$ /.F+'+)+('&$ F('#)+(''"%%"&0$ H$ ,*-)+-$ /U"O"C,%"&$ G.'.-+ND"&A$ R*-$"O"C,%"$1$  }~ W $$   }~ $5 ’ }~~ W $$$ – — 3 y 5 $}— 3 y 5   }~ $ W $$$b$$&(')$/"&$'(CE-"&$/.#+C*DOA$ Remarque : Pour les nombres décimaux, on introduit à l’école primaire une écriture plus concise que les écritures fractionnaires : l’écriture à virgule (expression utilisée ici comme synonyme d’écriture décimale). Les nombres décimaux, sont, parmi les nombres réels, les nombres qui admettent une écriture à virgule finie. Néanmoins, à l’école, on ne s’interroge pas encore sur le caractère éventuellement infini d’une écriture à virgule. Utiliser ce critère comme définition d’un nombre décimal ne paraît donc pas pertinent à ce stade de l’apprentissage. $ SITUATION 2 1) Analyse de la copie de Lara : ses erreurs, avec pour chacune une origine possible P*-*$#(CC")$/"DO$)Q,"&$/U"--"D-&A$ • n%%"$&"$)-(C,"$/*'&$%*$#('!"-&+('$/"&$/.#(C,(&+)+('&$*//+)+!"&$#*'('+ND"&$"'$D'"$&"D%"$F-*#)+('A$ n%%"$(E)+"')$"'$"FF")$/*'&$%"&$/"DO$#*&$D'"$F-*#)+('$/(')$%"$/.'(C+'*)"D-$"&)$9XXX$*%(-&$NDU+%$/"!-*+)$ i)-"$.G*%$H$9XX$1$ $7 5 ; 9X $5 7 9XX 3 7;7 9XX$")$'('$ — — }~~~$0$$")$$$7 5 v 9X $5 9 9XX 3 7v9 9XX$$$")$'('$ —¡} }~~~$A$ R-(,(&"-$D'"$(-+G+'"$,(&&+E%"$,(D-$#"))"$"--"D-$H$,*-)+-$/"$#"))"$&"D%"$,-(/D#)+('$"&)$#(C,%+ND.A$ B"))"$ .%L!"$ *$ ,"D)Ki)-"$ IDO)*,(&.$ %"&$ #`+FF-"&$ 70$ ;$ ")$ 7$ ,(D-$ F(-C"-$ %"$ 'DC.-*)"D-$W$ ,(D-$ %"$ /.'(C+'*)"D-0$ D'"$ )"')*)+!"$ /"$ -./D#)+('$ *D$CiC"$ /.'(C+'*)"D-$ =9X$O$9XX$<$9$XXX@$ ,*-*z)$ )-L&$ ,"D$,%*D&+E%"$=#"#+$-"%L!"$/D$#(%%LG"@$W$+%$"&)$,(&&+E%"$ND"$%U.%L!"$*+)$IDO)*,(&.$%"&$\.-(&$/"$9X$")$9XX$ ,(D-$F(-C"-$9$XXXA$ c'$,"D)$.!"')D"%%"C"')$,"'&"-$.G*%"C"')$H$D'"$#('#",)+('$"--('."$ND+$#('&+&)"-*+)$H$'U.#-+-"$ND"$ /"&$ F-*#)+('&$ /(')$ %"$ 'DC.-*)"D-$ "&)$ ,%D&$ ,")+)$ ND"$ %"$ /.'(C+'*)"D-0$ (D$ *DO$ "FF")&$ /UD'$ `Q,()`.)+ND"$ "')-*z'"C"')$ -.#"')0$ -.*%+&.$ %(-&$ /U*D)-"&$ "O"-#+#"&0$ (Y$ +%$ *D-*+)$ F*%%D$ *I(D)"-$ )-(+&$ F-*#)+('&$="'$/+O+LC"&0$#"')+LC"&0$C+%%+LC"&@$")$/(''"-$%"$-.&D%)*)$"'$C+%%+LC"&Ÿ$ • ,-L&$*!(+-$#('!"-)+$#(--"#)"C"')$%"&$F-*#)+('&$/.#+C*%"&$ — —}~~~$")$ —¡} }~~~$"'$.#-+)D-"&$H$!+-GD%"0$"%%"$&"$ )-(C,"$ND*'/$"%%"$.#-+)$e$X07;7$<$7;7$f$")$e$X07v9$<$7v9$f$W$+#+$*D&&+0$+%$"&)$/+FF+#+%"$/"$,-(,(&"-$D'"$ (-+G+'"$,%*D&+E%"$ &*'&$*!(+-$,%D&$/U.%.C"')&A$ V%$ "&)$,(&&+E%"$ND"$ #"))"$.%L!"$*+)$D)+%+&.$/"$C*'+L-"$ *ED&+!"$%"$&+G'"$e$<$f$"'$*Q*')$"'$)i)"$ND"$/*'&$%*$&D+)"0$#U"&)$&"D%"C"')$%"$'(CE-"$/"$C+%%+LC"&$ND+$ &"-*$D)+%"$,(D-$%*$#(C,*-*+&('$"')-"$%"&$/"DO$'(CE-"&A$ Remarque : Nous avons supposé que l’élève a utilisé le signe « = » entre les différentes écritures, même si parfois on peut se demander si ce n’est pas le signe « : » qu’elle utiliserait pour articuler deux expressions. 2) Analyse de la copie de Clément : une compétence dans le domaine de la numération qui semble acquise par cet élève B%.C"')$&"CE%"$&*!(+-$,*&&"-$/"$%*$/.#(C,(&+)+('$*//+)+!"$#*'('+ND"$/UD'$'(CE-"$="'$D'+).&0$/+O+LC"&0$ #"')+LC"&@$H$%U.#-+)D-"$H$!+-GD%"$/"$#"$'(CE-"$=+%$%"$F*+)$"'$)(D)$#*&$#(--"#)"C"')$,(D-$%"&$'(CE-"&$70;7$")$ 70v9$1$+%$*&&(#+"$#('!"'*E%"C"')$#`*ND"$F-*#)+('$/.#+C*%"$/"$%*$/.#(C,(&+)+('$*D$-*'G$/D$#`+FF-"$*&&(#+.$ /*'&$%U.#-+)D-"$H$!+-GD%"@A$ CRPE groupement 1 – avril 2015 (sujet page 15) Annales 2015 COPIRELEM Page 61 3) Analyse de la copie de Léonie : une règle qui semble implicitement utilisée par cette élève pour comparer deux nombres décimaux donnés par leurs écritures à virgule P.('+"$.,-(D!"$%"$E"&(+'$/"$#('!"-)+-$%"&$/.#(C,(&+)+('&$"'$.#-+)D-"&$F-*#)+(''*+-"&$"'$.#-+)D-"&$H$!+-GD%"$ ,(D-$"FF"#)D"-$ %*$#(C,*-*+&('$/"&$/"DO$'(CE-"&A$n%%"$ F('/"$&*$-.,('&"$&D-$ %*$#(C,*-*+&('$/"&$#`+FF-"&$ /"&$/+O+LC"&$/"&$/"DO$'(CE-"&$ =)(D)$ "'$.)*')$ #('&#+"')"$ND"$ %"$ #`+FF-"$/"&$ #"')+LC"&$/"$70;7$"&)$,%D&$ G-*'/$ND"$#"%D+$/"$70v9@A$ c'$,"D)$,"'&"-$NDU"%%"$D)+%+&"$+C,%+#+)"C"')$%"$,-(#./.$&D+!*')$1$70v9$")$70;7$(')$%*$CiC"$,*-)+"$"')+L-"0$ /('#$ ,(D-$ %"&$ #(C,*-"-0$ ('$ #(C,*-"$ %"D-&$ ,*-)+"&$ /.#+C*%"&$ X0v9$ ")$ X0;7A$ R(D-$ #"%*0$ ('$ #(C,*-"$ %"&$ #`+FF-"&$ /"&$ /+O+LC"&$1$ v$ "&)$ ,%D&$ G-*'/$ND"$ ;0$ /('#$ 70v9$ "&)$ ,%D&$ G-*'/$ ND"$ 70;7A$ T+$ %"&$ /"DO$ '(CE-"&$ ,-(,(&.&$ *!*+"')$ "D$ %"$ CiC"$ #`+FF-"$ /"&$ /+O+LC"&0$ P.('+"$ *D-*+)$ "'&D+)"$ ,-(E*E%"C"')$ #(C,*-.$ %"&$ #`+FF-"&$ /"&$ #"')+LC"&0$ ")#A0$ *D)-"C"')$ /+)$ "'$ #('&+/.-*')$ %"&$ #`+FF-"&$ /"&$ /+FF.-"')&$ -*'G&$ /"$ G*D#`"$ H$ /-(+)"A$ $ SITUATION 3 1) Différences entre ces trois problèmes qui relèvent tous de la division J*'&$ %"&$ ,-(E%LC"&$ R9$ ")$ Ry0$ %"&$ /(''."&$ &(')$ /"&$ G-*'/"D-&$ /"$ CiC"$ '*)D-"$ =`(C(GL'"&@$W$ #"&$ ,-(E%LC"&$&(')$)(D&$%"&$/"DO$/"&$,-(E%LC"&$/"$division-quotition$1$D'"$G-*'/"D-$.)*')$/(''."0$('$!"D)$%*$ ,*-)*G"-$ "'$ ,*-)&$ /"$ !*%"D-$ #(''D"0$ ")$ ('$ #`"-#`"$ %"$ '(CE-"$ ="')+"-@$ /"$ ,*-)&$ ND"$ %U('$ ,"D)$ F*+-"$ *D$ C*O+CDC$1$ - *!"#$9;X$#P0$#(CE+"'$/"$!"--"&$/"$t$#P$,"D)K('$-"C,%+-$¢$=R9@$ - *!"#$9;X$.%L!"&0$#(CE+"'$/"$)*E%"&$/"$t$.%L!"&$F*D)K+%$,-.,*-"-$¢$=Ry@$ B"&$ /"DO$ ,-(E%LC"&$ ,"D!"')$ i)-"$ -.&(%D&$ "'$ "FF"#)D*')$ %*$ /+!+&+('$ "D#%+/+"''"$ /"$ 9;X$ ,*-$ t$=H$ &*!(+-$1$ 9;X$<$t$O$9t$>$v@A$V%&$/+FFL-"')$#","'/*')$/*'&$%U+')"-,-.)*)+('$/D$ND()+"')$")$/D$-"&)"$/"$#"))"$/+!+&+('$1$ - $9;X$#P$<$9t$_$t$#P$>$v$#P0$/('#$('$,"D)$-"C,%+-$9t$!"--"&$")$+%$-"&)"-*$v$#P$W$ - 9;X$ .%L!"&$ ,"-C"))"')$ /"$ F(-C"-$ 9t$ )*E%"&$ /"$ t$ .%L!"&0$ ")$ v$ .%L!"&$ &"-(')$ *&&+&$ H$ D'"$ /+OK '"D!+LC"$)*E%"0$/('#$+%$F*D)$,-.,*-"-$9s$)*E%"&A$ P"$,-(E%LC"$R7$"&)$ND*')$H$%D+$D'$,-(E%LC"$/"$division-partition$1$D'"$G-*'/"D-$"&)$/(''."$=%"$,-+O$)()*%$ /"&$BJ@0$")$('$!"D)$%*$,*-)*G"-$"'$D'$'(CE-"$="')+"-@$#(''D$/"$,*-)&$+/"')+ND"&$W$('$#`"-#`"$%*$!*%"D-$/"$ #`*#D'"$/"&$,*-)&$ =ND+$ "&)$D'"$G-*'/"D-$/"$CiC"$'*)D-"$ND"$ %*$ G-*'/"D-$/(''."0$ /(')$ %*$C"&D-"$,*-$ -*,,(-)$H$%UD'+).$#`(+&+"$"&)$D'$'(CE-"$-."%0$,*&$'.#"&&*+-"C"')$"')+"-0$'+$CiC"$/.#+C*%@$1$('$*$*I(D).$t$ F(+&$%"$CiC"$,-+O$,(D-$(E)"'+-$9;X$£$W$ND"%$"&)$#"$,-+O$¢$ B"$,-(E%LC"$,"D)$i)-"$-.&(%D$"'$"FF"#)D*')$%*$/+!+&+('$*!"#$ND()+"')$/.#+C*%$/"$%U"')+"-$9;X$,*-$%U"')+"-$t0$ /(')$%U+')"-,-.)*)+('$"&)$+CC./+*)"$1$9;X$£$<$t$_9t0:;$£A$ Remarques Pour des élèves qui n’ont pas recours spontanément à la division (par exemple car ils se savent fragiles sur l’exécution de la technique posée), la différence entre problèmes de « division-partition » et problèmes de « division-quotition » peut avoir un impact sur la nature des procédures personnelles qui peuvent être mises en œuvre : les problèmes P1 et P3 se prêtent assez naturellement à une résolution par des additions ou soustractions itérées de 8 élèves ou de 8 cL, alors qu’il est peu naturel de résoudre le problème P2 par de telles stratégies. Toujours pour des élèves qui n’ont pas recours spontanément à la division, la stratégie par encadrement de 150 entre deux multiples consécutifs de 8 (trouvé par exemple en remarquant que 160 = 20 _ 8 et 152 = 19 _ 8, et en déduisant que 18 _ 8 < 150 < 19 _ 8) suffit pour répondre aux problèmes P1 et P3 (avec cependant une différence d’interprétation de cette double inégalité) ; en revanche, pour le problème P2, cet encadrement ne suffit pas : il faut trouver le nombre qui, multiplié par 8, donne 150 ; ce nombre est compris entre 18 et 19, mais il reste 6 € à partager en 8 (ou à trouver une écriture multiplicative de 600 avec le nombre 8)). 2) Un ordre dans lequel ces exercices pourraient être proposés aux élèves. J.F+'+-$D'$(-/-"$"')-"$#"&$"O"-#+#"&$/.,"'/$/"$%U(EI"#)+F$ND"$%U('$&"$F+O"$1$ • &+$ %"&$ .%L!"&$ (')$ ID&NDU*%(-&$ D'+ND"C"')$ )-*!*+%%.$ *!"#$ /"&$ /+!+&+('&$ "D#%+/+"''"&$ ")$ &+$ %U('$ !"D)$ C()+!"-$%U+')-(/D#)+('$/UD'"$'(D!"%%"$(,.-*)+('0$*%(-&$('$,"D)$,-(,(&"-$/U*E(-/$%"&$,-(E%LC"&$R9$ CRPE groupement 1 – avril 2015 (sujet page 15) Annales 2015 COPIRELEM Page 62 ")$ Ry$ =,(D-$ %"&ND"%&$ D'"$ /+!+&+('$ "D#%+/+"''"$ &DFF+)@0$ ,D+&$ &(DC"))-"$ *DO$ .%L!"&$ %"$ ,-(E%LC"$ R70$ ,(D-$ %"ND"%$ %"$#(')"O)"$ F*C+%+"-$/"$ %*$C(''*+"$,(D--*+)$C(')-"-$ %U+'&DFF+&*'#"$/"$ %*$/+!+&+('$*!"#$ ND()+"')$"')+"-0$")$+'#+)"-$%"&$.%L!"&$H$/+!+&"-$%"$-"&)"$=CiC"$&+$#"$,-(E%LC"$,"D)$*D&&+$i)-"$-.&(%D$ ,*-$D'"$/+!+&+('$"D#%+/+"''"$,*-$t$/"&$9;$XXX$#"')+C"&$/U"D-(@A$ • &+$%"&$.%L!"&$(')$/.IH$)-*!*+%%.$*!"#$/"&$/+!+&+('&$"D#%+/+"''"&$")$/.#+C*%"&$=/D$,(+')$/"$!D"$&"'&$")$ #*%#D%@0$")$&+$('$!"D)$)-*!*+%%"-$&D-$%"$#`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y$=+%$'U"&)$ ,*&$ '.#"&&*+-"$ /U*%%"-$ ID&NDUH$ D'$ ND()+"')$ /.#+C*%$W$ D'"$ /+!+&+('$ "D#%+/+"''"$ &DFF+)0$ C*+&$ +%$ F*D)$ *I(D)"-$D'$*D$ND()+"')$(E)"'D$,(D-$-.,('/-"$H$%*$ND"&)+('$,(&."@A$ $ SITUATION 4 : technique opératoire de la division. R(D-$F*#+%+)"-$%U*'*%Q&"$/"&$#*%#D%&$+')"-C./+*+-"&$/"$#`*#D'$/"&$.%L!"&0$('$,"D)$#(CC"'#"-$,*-$"FF"#)D"-$ %*$ /+!+&+('$ "D#%+/+"''"$ /"$ yt$:s7$ ,*-$ y:$ ,*-$ D'"$ )"#`'+ND"$ ,(&."$ F*+&*')$ *,,*-*z)-"$ %"&$ &(D&)-*#)+('&$ +')"-C./+*+-"&A$ $ y t : s 7 y$: K$ y : 9$X$b$t $ 9 : s $$$ $ K 9 b t $ y 99 97 $ K 7 9s v $ 9 v +'&+0$yt$:s7$<$y:$_$9Xbt$>$9v$ 1) Un avantage de chacune des techniques opératoires utilisées respectivement par Adama et Anaïs. o(D&$-*,,"%('&$"'$+')-(/D#)+('$D'$"O)-*+)$/"&$/(#DC"')&$/U*##(C,*G'"C"')$/"&$,-(G-*CC"&$/"$7XX70$ -"%*)+F$H$%*$/+!+&+('$,(&."$1$ « La technique usuelle française, telle qu’elle a été longtemps enseignée, est très dépouillée (pas de soustractions posées) et donc source de nombreuses erreurs. De plus, celles-ci sont difficiles à repérer puisque tous les calculs effectués n’ont pas donné lieu à une trace écrite. Par ailleurs, il s’agit d’un calcul « à risque », insécurisant, dans la mesure où un chiffre essayé au quotient n’est jamais absolument certain. C’est également le seul calcul où l’estimation intervient en cours de calcul, alors que, pour les autres opérations, elle intervient soit au début, soit à la fin comme instrument de prévision ou de contrôle. Il faut également souligner le peu d’usage qui est actuellement fait de cette technique… et en tirer la conséquence : plus encore que pour les autres opérations, le travail doit être principalement orienté vers la compréhension de l’articulation des différentes étapes du calcul. ». CRPE groupement 2 – avril 2015 (sujet page 21) Annales 2015 COPIRELEM Page 65 GROUPEMENT 2 – avril 2015 PREMIERE PARTIE PARTIE A - Réalisation d’un patron de la pyramide 1) a ) Longueurs DE et DG Toutes les faces du pavé droit sont des rectangles. [DE] et [DG] sont les diagonales d'un rectangle de 12 cm sur 9 cm. Elles ont la même longueur. Le triangle DHE est rectangle en H. La longueur DH est 12 cm. D'après le théorème de Pythagore, appliqué au triangle DHE, DE² = HE²+HD² = 9²+12² = 81+144 = 225 donc DE = 15cm. On conclut que DE = DG = 15 cm. 1) b) Nature des triangles DGF et DEF Le triangle DGF est rectangle en G. Le triangle DEF est rectangle en E. Justification (non demandée) : Dans le pavé droit, la droite (GF) est orthogonale au plan (DHG) en G, elle est donc perpendiculaire à toute droite de ce plan passant par G, donc la droite (GF) est perpendiculaire à la droite (DG) : DGF est un triangle rectangle en G. De même, (EF) est orthogonale au plan (DHE) donc la droite (EF) est perpendiculaire à la droite (DE) et DEF rectangle en E. 2) Tracé du patron à l’échelle 1/3 À l'échelle 1/3, les dimensions du pavé droit sont 3 cm, 3 cm et 4 cm. Un exemple de patron possible est donné en page suivante. CRPE groupement 2 – avril 2015 (sujet page 21) Annales 2015 COPIRELEM Page 66 PARTIE B - Étude d'un cas particulier JH = 2cm 1) Nature du quadrilatère JKLM La section est faite parallèlement à la base, donc le quadrilatère JKLM est une réduction du quadrilatère EFGH. Ces deux quadrilatères sont donc de même nature. Comme les faces d'un pavé droit sont des rectangles, EFGH est un rectangle. Comme sa longueur et sa largeur mesurent 9 en cm, c'est un carré. Autre justification possible : En considérant que dans l'énoncé, il est précisé que la pyramide DJKLM est une réduction de la pyramide DEFGH, la justification suivante est acceptée. La pyramide DJKLM est une réduction de la pyramide DEFGH, les quadrilatères JKLM et EFGH sont de même nature. EFGH est une face du pavé droit, c'est un rectangle. HG = EF = 9 cm, EFGH est donc un carré. JKLM est un carré. 2) Longueurs JK et JM Dans le triangle DHE, J appartient à [DH] , K appartient à [DE] et (JK) est parallèle à (HE) ; d'après le théorème de Thalès, on a : donc soit Comme JKLM est un carré, JK = JM et JK = JM = 7,5 cm Autre méthode : On peut identifier le rapport k de réduction des longueurs entre les deux pyramides : CRPE groupement 2 – avril 2015 (sujet page 21) Annales 2015 COPIRELEM Page 67 Dans cette réduction, toutes les longueurs de DJKLM sont obtenues par multiplication des longueurs correspondantes de DEFGH par . Par conséquent, 3) Volume B de sable blanc et le volume R de sable rouge contenus dans la pyramide Le sable blanc est contenu dans la pyramide DJKLM, dont la base est un carré de 7,5 cm de côté et la hauteur est 10 cm. Le volume de sable rouge s'obtient en faisant la différence entre le volume de la pyramide DEFGH et le volume de la pyramide DJKLM : Le volume de sable blanc est 187,5 cm³ et le volume de sable rouge est 136,5 cm³. Autre méthode pour calculer B : On peut calculer le volume de la pyramide DEFGH (324 cm3, voir ci-dessus) puis en déduire le volume de la pyramide réduite DJKLM en multipliant par k3. PARTIE C - Étude du cas général Soit 1) Valeurs possibles pour x Comme le point J est un point du segment [HD], les valeurs possibles pour sont les nombres compris entre 0 et 12. On peut aussi écrire : appartient à [0;12] (ou ]0;12[ si on considère qu'on doit avoir du sable de deux couleurs). Remarque : Les nombres considérés sont des réels, toute réponse faisant intervenir des nombres entiers (0, 1, 2…, 12) ou décimaux (de 0,1 à 11,9) n'est pas acceptable. Elle dénote une conception erronée d'une longueur qui est une grandeur continue. 2) a) Volumes respectifs de sable blanc et de sable rouge dans la pyramide si la hauteur de sable rouge est 5 cm Le volume de sable blanc pour une hauteur de 5 cm s'obtient en lisant l'ordonnée du point de la courbe de B qui a pour abscisse 5. On lit Le volume de sable rouge pour une hauteur de 5 cm s'obtient en lisant l'ordonnée du point de la courbe de R qui a pour abscisse 5. On lit Remarques : Dans une lecture graphique, on admet une marge d'erreur (2 cm3 par exemple) ce qui donnerait pour B(5) toute valeur comprise entre 63 cm3 et 67 cm3. Il est attendu ici deux lectures graphiques et non la lecture d'une valeur et la déduction de l'autre par le calcul (la somme des deux volumes est 324 cm3). 2) b) Volumes respectifs de sable blanc et de sable blanc dans la pyramide si la hauteur de sable rouge est 5 cm Si la hauteur de sable blanc est 5 cm, la hauteur de sable rouge est . On lit et CRPE groupement 2 – avril 2015 (sujet page 21) Annales 2015 COPIRELEM Page 70 EXERCICE 3 La moyenne des salaires se calcule en divisant la somme des salaires cumulés par le nombre de personnes. Le salaire cumulé des femmes est Le salaire cumulé des hommes est Pour que les moyennes soient égales, il faut que les salaires cumulés soient égaux. Le salaire de la quatrième femme doit être Autre rédaction : Après avoir calculé les salaires cumulés des femmes et des hommes, on traduit par une équation l'égalité des salaires moyens. Soit le salaire de la quatrième femme qui sera embauchée, on a alors : On en déduit Pour que le salaire moyen des hommes et des femmes de l’entreprise soit égal, il faut que la quatrième femme reçoive un salaire de 2350 €. Remarque : La donnée du salaire médian et de l'étendue des salaires des femmes permet de calculer les salaires des trois employées. Cependant, cela nécessite de calculer le salaire cumulé qui suffit à déterminer ce que l'on cherche. Ce sont donc des données inutiles dans ce problème. EXERCICE 4 Le fleuriste veut composer des bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs, le nombre de bouquet est un diviseur commun de 12 et 18. Méthode 1 : utilisant le PGCD On décompose 12 et 18 en produit de facteurs premiers : Le PGCD de 12 et 18 est 6. On peut faire au maximum 6 bouquets, les nombres de bouquets possibles sont les diviseurs de ce PGCD. On peut faire : · 6 bouquets avec 2 tulipes et 3 roses · 3 bouquets avec 4 tulipes et 6 roses · 2 bouquets avec 6 tulipes et 9 roses · 1 bouquet avec 12 tulipes et 18 roses (cette possibilité n'est pas retenue compte tenu que l'énoncé précise que le fleuriste veut constituer plusieurs bouquets). Note : le PGCD peut également être calculé en utilisant l'algorithme d'Euclide ou l'algorithme des soustractions successives. Méthode 2 (compte tenu de la taille des nombres en jeu) : On écrit la liste des diviseurs de 12 (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12) et la liste des diviseurs de 18 (1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18). Un nombre de bouquets possibles est un diviseur commun à 12 et 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6. Il reste à trouver la composition des bouquets ainsi formés (voir plus haut). Méthode 3( compte tenu de la taille des nombres en jeu) : On peut écrire 12 comme produit de deux nombres entiers naturels de trois manières différentes : . De même, on peut écrire : . On déduit alors les bouquets possibles (voir plus haut). Méthode 4 : On peut tester toutes les possibilités de bouquets, de 1 à 12 (car il y a 12 tulipes). On écarte tous les bouquets pour lesquels il reste des fleurs non utilisées et on retrouve ainsi les trois solutions. CRPE groupement 2 – avril 2015 (sujet page 21) Annales 2015 COPIRELEM Page 71 TROISIÈME PARTIE SITUATION 1 Remarque préliminaire : La fraction peut avoir plusieurs significations : · Fractionnement de l'unité : soit ( termes égaux à ). · Partition de la pluralité : partie de ( partagé en parts). · Opérateur : prendre les d’une grandeur ou d'un nombre. · Quotient : le nombre qui, multiplié par , donne (scalaire, sans unité)... À l'école primaire, seules les deux premières significations sont abordées, les autres relèvent du collège. Ainsi, ce problème ne peut être proposé en cycle 3 que dans une activité de recherche. Ceci explique les difficultés rencontrées par les élèves dans les productions présentées. 1) Fractions : nombres ou opérateurs Les fractions apparaissent comme des opérateurs car elles opèrent sur des longueurs. Il s'agit de prendre les trois cinquièmes d'une longueur en centimètres et les trois quarts d'une autre. 2) a) Deux compétences qui semblent acquises dans le domaine grandeurs et mesures Remarque : Les élèves n'ayant pas accès à la signification de la fraction en tant qu'opérateur, leurs procédures relèvent plutôt du fractionnement de l'unité (« l'unité » étant successivement la longueur 60 cm et la largeur 50 cm). Eva : Elle connaît les notions de longueur et de largeur d'un rectangle. Elle connaît et sait utiliser les formules donnant le périmètre et l'aire d'un rectangle. Jeanne : Elle sait tracer un rectangle dont elle connaît les dimensions (ici, elle trace le rectangle à l'échelle 1/10). Elle sait que le périmètre est associé à la longueur du contour de la figure et que l'aire est associée à la surface, en comptant le nombre de « cases » ; elle sait utiliser un pavage pour mesurer des aires. Maxime : Il connaît les formules de l'aire et du périmètre d'un rectangle. Il connaît l'unité de mesure de longueur (le cm, pour le périmètre) et l'unité de mesure d'aire (le cm²). 2 b) Analyse de la production d’Eva Eva écrit une décomposition additive de 60 : 15+15+15+15. Elle partage ainsi 60 en 4 parts égales. Par calcul mental, elle obtient la valeur de 3 parts : 45. Elle procède de la même façon pour 50, qu'elle décompose en une somme de 5 termes : 10+10+10+10+10, puis en prend trois parts. Malgré son écriture erronée et , elle témoigne de la bonne compréhension de la notion de fraction, notamment du rôle du numérateur et du dénominateur. 2 c) Analyse de la production de maxime Maxime traduit l'écriture par 3,4 et par 3,5. Ceci traduit une mauvaise compréhension de la notion de fraction : la barre est vue comme un « séparateur » de deux entiers. Il en est de même pour la virgule dans un nombre décimal. Maxime voit un nombre décimal comme deux entiers séparés par une virgule, tout comme il voit la fraction comme deux entiers séparés par une barre. 3) Intérêt et les difficultés éventuelles pour chacune de ces options Dans le choix des dimensions du rectangle de carton, deux paramètres entrent en jeu : · la taille des nombres, qui permet ou non de représenter le rectangle ; · la relation entre les nombres (qui permet ou non le recours au calcul mental) : la divisibilité des dimensions par 4 pour la longueur et par 5 pour la largeur permet d'obtenir ou non des valeurs entières pour le rectangle découpé. CRPE groupement 2 – avril 2015 (sujet page 21) Annales 2015 COPIRELEM Page 72 Le choix des dimensions 60 cm et 50 cm ne permet pas aux élèves de dessiner le rectangle et oblige à calculer (même si l'élève Jeanne a finalement réussi à passer par une procédure de dessin, mais celle-ci ne lui permet pas d'accéder aux dimensions réelles du rectangle découpé). Ce choix d'un multiple de 4 pour la longueur et de 5 pour la largeur rend ces calculs possibles mentalement, et donne des valeurs entières. Le choix des dimensions 10 cm et 16 cm permet aux élèves de dessiner le rectangle en vraie grandeur, et d'obtenir les dimensions du rectangle découpé sans calcul, uniquement par dessin. 16 et 10 étant respectivement multiples de 4 et de 5 (dans les tables de multiplication de 4 et 5), les dimensions obtenues sont entières et simplifient le calcul du périmètre et de l'aire. Le choix des dimensions 10 cm et 14 cm permet le dessin du rectangle en vraie grandeur mais le découpage en 4 parts du segment de 14 cm donne une valeur décimale (3,5), qu'il faut ensuite multiplier par 3 pour obtenir la longueur du rectangle découpé. Ceci nécessite d'utiliser le calcul sur les décimaux. Obtenir la valeur de 14 divisé par 4 peut se faire par calcul mental : la moitié de 14 est 7, la moitié de 7 est 3,5. Une fois obtenues les dimensions du rectangle découpé, pour le calcul du périmètre et de l'aire, les élèves devront maîtriser l'addition et la multiplication d'un nombre décimal par un entier. SITUATION 2 1) Deux pré-requis nécessaires dans le domaine de la géométrie Deux pré-requis nécessaires dans le domaine de la géométrie pour résoudre cet exercice (parmi ceux proposés) : · Lire un dessin en perspective d'un solide (imaginer les faces et sommets cachés...) · Connaître la nature et le nombre de faces d'un pavé droit. · Connaître les propriétés du rectangle, notamment savoir que ses médianes sont de même longueur que les côtés correspondants. Remarque : Les pré-requis donnés en dehors du domaine de la géométrie (par exemple savoir calculer le volume d’un pavé droit , qui relève du domaine des grandeurs et mesures)) ne sont pas recevables. 2) a) Différentes étapes du raisonnement de l’élève L'élève procède en enlevant au fur et à mesure les longueurs de ruban connues à la longueur totale de ruban. Il cherche ainsi la dimension manquante du pavé. 1ère phase : L'élève soustrait 28 à 120, pour tenir compte du ruban nécessaire au nœud. Le calcul est juste. 2ème phase : L'élève calcule la longueur cumulée du ruban nécessaire pour les faces du dessus et du dessous, puis la soustrait à la valeur obtenue phase 1. Le calcul est juste. Il lui reste alors 56 cm de ruban pour les faces latérales. 3ème phase : L'élève ne voit que 2 parties de ruban sur les faces latérales (au lieu de 4). Il divise 56 par 2 et obtient 18. Le calcul est juste. L'élève produit une phrase réponse cohérente avec son résultat. 2) b) Erreurs éventuelles ou oublis L'élève a oublié deux parties de rubans sur les faces latérales, probablement celles qui ne se voient pas sur le dessin, ou bien influencé par le fait que, dans les calculs précédents, la longueur et la largeur sont comptées deux fois, d'où sa division par 2 de 56 à la phase 3. Il aurait dû diviser 56 par 4 pour obtenir la longueur de chaque partie manquante et ainsi obtenir la bonne hauteur de la boite : 9 cm. Il faut également noter la mauvaise utilisation du symbole « = », 92 – 56 n'est pas « = » à 18 (transitivité de l'égalité non respectée). Par cette écriture, il traduit fidèlement sa démarche (le sens du signe « = » correspond pour lui, comme sur la calculatrice, à « ça donne »). Enfin, il n'a pas terminé l'exercice, puisqu'il termine par une phrase de conclusion donnant seulement la hauteur de la boite. Il a oublié la question initiale : calculer le volume de la boite. CRPE groupement 3 – avril 2015 (sujet page 27) Annales 2015 COPIRELEM Page 75 Il est donc possible d’avoir les deux carrés de côté 3 cm et les deux triangles équilatéraux de côté 4 cm dans la disposition de la figure 2. 1) b) Comparaison de l’aire d’un carré de côté 3 cm et d’un triangle équilatéral de côté 4 cm. L’aire d’un œil carré est de 9 . L’aire d’un œil triangulaire est inférieure à 6,95 : L’aire d’un œil carré est ici strictement supérieure à celle d’un œil triangulaire. Les aires du carré et du triangle ne sont donc pas égales. 2) Choix des dimensions pour les yeux en fonction des contraintes Remarque 1 : Il est possible de répondre au problème posé autrement que par une mise en système. Dans la « disposition de la figure 2 » le carré et le triangle équilatéral représentant les yeux ont même périmètre. Soit E le sommet commun au carré et au triangle sur le côté [DC]. Si la longueur DE diminue, la longueur EC augmente et dans ce cas le périmètre du carré (4 DE) diminue tandis que celui du triangle (3 EC) augmente : les périmètres ne sont donc plus égaux. Inversement, si EC diminue, DE augmente et les périmètres ne sont plus égaux. Il n’est donc pas possible de trouver d’autres dimensions vérifiant les contraintes données. Remarque 2 : x et y sont des longueurs de côté, leurs mesures en cm sont donc des réels positifs. 2) a) Mise en équation Si x et y sont solutions du problème, un œil carré de côté x et un œil triangulaire de côté y doivent déjà avoir même périmètre. Comme leurs périmètres respectifs sont (un carré a 4 côtés) et (un triangle a 3 côtés), on doit avoir l’égalité , qui est équivalente à , première égalité du système. Par ailleurs, pour respecter la disposition de la figure 2 et en reprenant le raisonnement développé au 1)a), x et y doivent respecter les trois contraintes suivantes : Le long des côtés [AB] et [DC], la somme des longueurs des côtés d’un œil carré et d’un œil triangulaire doit être égale à 7 cm pour que les deux yeux se touchent et qu’ils aient chacun un sommet commun avec le carré ABCD. D’où . Le long du côté [AD], le double de la longueur du côté d’un œil carré doit être inférieur ou égale à 7 cm. D’où . Le long du côté BC], la longueur du double de la hauteur d’un œil triangulaire doit être inférieure ou égale à 7 cm. Comme la hauteur d’un œil triangulaire est égale à , on doit avoir , c’est-à- dire . Ainsi, si x et y sont solutions du problème, ils doivent bien être solution du système : 2) b) Représentation graphique du problème Soit (x ; y) un couple de nombres solution du système précédent. Ce couple doit déjà être solution du système formé par les deux premières équations, c’est-à-dire du système CRPE groupement 3 – avril 2015 (sujet page 27) Annales 2015 COPIRELEM Page 76 En cherchant dans chacune de ces deux équations à exprimer y en fonction de x, on fait apparaître les fonctions f et g. En effet, la première équation est équivalente à et donc à . C’est-à-dire à Ainsi les couples (x ; y) de nombres qui vérifient la première équation sont les coordonnées des points de la courbe (Ɗ) représentative de la fonction f (courbe qui est une droite puisque f est une fonction linéaire et qui est croissante car son coefficient directeur est positif). De même, la seconde équation est équivalente à , c’est-à-dire à Ainsi les couples (x ; y) de nombres qui vérifient la deuxième équation sont les coordonnées des points de la courbe (Δ) représentative de la fonction g (courbe qui est une droite puisque g est une fonction affine et qui est décroissante car son coefficient directeur est négatif, c’est -1). Au final, pour être solution du système , formé des deux premières équations, le couple (x ; y) doit correspondre aux coordonnées d’un point appartenant à la fois à la droite (Ɗ) représentative de la fonction f et à la droite (Δ) représentative de la fonction g. Or celles-ci n’ont qu’un seul point d’intersection. Et l’on obtient par lecture graphique et . Le problème admet donc au plus une solution, mais il reste à vérifier que ces valeurs satisfont aussi les deux dernières inéquations du système : quand x vaut 3, l’inéquation est évidemment vérifiée ( quand y vaut 4, l’inéquation est aussi vérifiée car Ainsi, à l’aide de la représentation graphique, on peut affirmer qu’un seul couple de nombres vérifie les deux premières équations du système. Par lecture graphique, on peut supposer que les solutions pour x et y sont respectivement 3 et 4 et que ce sont bien des réponses au problème posé car ces valeurs vérifient aussi les deux dernières inéquations. Toutefois, il convient d’être prudent car les valeurs 3 et 4 lues graphiquement pourraient n’être que des valeurs approchées des valeurs de x et de y solutions du système formé par les deux seules premières équations. Dans ce cas, nous n’aurions plus l’assurance que les valeurs exactes de x et de y satisfont aussi les deux dernières inéquations (c’est en particulier vrai pour la toute dernière, la valeur 6,94 étant très proche de 7). 2) c) Résolution par le calcul du système Il s’agit d’un système de deux inconnues à deux équations. On peut le résoudre de plusieurs façons. Parmi les méthodes classiques : Une méthode par substitution : Le système est équivalent à d’où d’où d’où d’où d’où Une méthode par combinaison linéaire : Le système est équivalent à d’où par addition d’où x = 3. En reportant cette valeur de x dans l’équation x + y = 7, on obtient y = 4. CRPE groupement 3 – avril 2015 (sujet page 27) Annales 2015 COPIRELEM Page 77 Une méthode par comparaison : On peut aussi réutiliser le travail réalisé à la question précédente : Le système est équivalent à on a alors l’équation en x : d’où 4x = 21 – 3x d’où 7x = 21 d’où x = 3. En reportant cette valeur de x dans l’équation + = 7, on obtient = 4 On obtient finalement et Notons que l’on retrouve les valeurs données au 1)a). Pour que ce couple soit solution du problème, il reste à vérifier que ces valeurs de x et de y vérifient aussi les deux inéquations du système. Comme x , on a bien . Comme , on a bien , car la valeur approchée au centième près de est 6,93. Ainsi le problème possède une unique solution. Ce sont les valeurs de x et de y rencontrées lors du 1)a). 3) Nombre minimal de feuilles cartonnées de format A3 à prévoir Commençons par quelques remarques préliminaires : La longueur d’une feuille de format A3 est de 42 cm, c’est-à-dire exactement le triple de 14 cm. La largeur d’une feuille de format A3 est de 29,7 cm, c’est-à-dire un peu plus du double de 14 cm. Il donc aisé de fabriquer 6 carrés de 14 cm de côté dans une feuille de format A3, ceci avec peu de chute de carton. Par ailleurs, 7 cm représente exactement la moitié de 14 cm et 3,5 cm, qui est la moitié de 7 cm, représente un quart de 14 cm. Ainsi sur la surface occupée par un carré de 14 cm de côté, on peut à la place choisir de fabriquer 8 rectangles de 7 cm sur 3,5 cm. Il n’est alors pas trop difficile de trouver des solutions utilisant 5 feuilles cartonnées. Par exemple : 6 carrés de 14 cm de côté dans les 4 premières feuilles découpées ainsi Carré de 14 cm de côté Carré de 14 cm de côté Bordure non utilisée : 1,7 cm de large puis dans la 5ème feuille, découpée comme ci-dessous - le 25ème carré de 14 cm de côté ; - 3 fois 8, soit 24 rectangles de 7cm sur 3,5 cm à la place qu’auraient pu occuper trois autres carrés de 14 cm ; - et pour finir le 25ème rectangle. Carré de 14 cm de côté non utilisé Carré non utilisé Bordure non utilisée 1,7 cm de large CRPE groupement 3 – avril 2015 (sujet page 27) Annales 2015 COPIRELEM Page 80 DEUXIEME PARTIE EXERCICE 1 1) Vitesse moyenne du vététiste par la route goudronnée On utilise ici la relation liant la vitesse moyenne à la distance parcourue et au temps de parcours. L’énoncé n’impose pas d’unité pour la vitesse moyenne, nous choisissons de l’exprimer en km/h. La distance parcourue est ici . Le temps de parcours est de 1 heure et 30 minutes qu’il nous faut exprimer en heure. On peut au choix exprimer cette durée : en heure décimale, 1 h 30 min 1 5 h et la vitesse moyenne s’obtient par le calcul : à l’aide d’une fraction, 1 h 30 min 1h 1 2 h 2 h et la vitesse moyenne s’obtient par le calcul 2 Autre méthode : Le vététiste parcourt 27 km en 1 h 30, soit en 3 fois une demi-heure. À vitesse constante, il parcourt donc 9 km en 30 min, soit 18 km en 1 h. Il a donc roulé à une vitesse moyenne de 18 km/h. 2) Vitesse moyenne du vététiste par la piste en terre. Commençons, comme précédemment, par calculer cette nouvelle vitesse moyenne en km/h. La distance parcourue est ici . Le temps de parcours est de 1 heure et 45 minutes qu’il nous faut exprimer en heure. On peut encore, au choix, exprimer cette durée : en heure décimale, et la vitesse moyenne s’obtient par le calcul à l’aide d’une fraction, et la vitesse moyenne s’obtient par le calcul : Autre méthode : Le vététiste parcourt 28 km en 1 h 45, soit en 7 fois un quart d’heure. À vitesse constante, il parcourt donc 4 km en 15 min, soit 16 km en 1 h. Il a donc roulé à une vitesse moyenne de 16 km/h. Pourcentage de diminution de sa vitesse moyenne Le rapport entre la nouvelle et la précédente vitesse est de . Ce rapport traduit une baisse d’environ 11% de la vitesse moyenne entre la première et la seconde semaine ( Remarque : Dans cet énoncé les données relatives aux altitudes de départ et du col ne sont d’aucune utilité. CRPE groupement 3 – avril 2015 (sujet page 27) Annales 2015 COPIRELEM Page 81 EXERCICE 2 1) Longueur mesurée par le ressort si on suspend une masse de 70 g Si on suspend une masse de 70 g, on aura ajouté 7 fois 10 g. Le ressort s'allongera de 7 fois 0,5 cm, c’est-à- dire de 3,5 cm et il aura alors pour longueur . 2) Masse suspendue au ressort s’il mesure 28 cm Si le ressort mesure 28 cm, c’est qu’il s’est allongé de 14 cm en plus des 14 cm de sa longueur au repos. Ces 14 cm supplémentaires correspondent à 28 fois 0,5 cm. La masse suspendue au ressort est donc de 28 fois 10 g, c’est-à-dire 280 g. 3) La longueur du ressort est-elle proportionnelle à la masse suspendue ? La réponse, qui est négative, peut être justifiée par des arguments de différentes natures. On peut se situer : Méthode 1 : dans le registre numérique en donnant un contre-exemple issu des résultats obtenus aux questions précédentes La propriété prioritairement mobilisée ici est celle de linéarité multiplicative. Par exemple : ü La longueur du ressort est de 28 cm quand la masse suspendue est de 280 g. S’il y avait proportionnalité, lorsque la longueur du ressort est moitié moins, c’est-à-dire 14 cm, la masse suspendue devrait être moitié de 280 g, c’est-à-dire 140 g. Or 14 cm est la longueur du ressort à vide. ü Ou encore : 280 g est le quadruple de 70 g. S’il y avait proportionnalité, la longueur du ressort lorsque l’on suspend ces 280 g devrait être le quadruple de sa longueur lorsque l’on suspend 70 g, c’est-à-dire le quadruple de 17,5 cm. Cette longueur devrait donc être de , or elle n’est que de 28 cm. ü Ou encore, sans calcul : si la longueur du ressort était proportionnelle à la masse suspendue, elle serait nulle pour une masse nulle, or 14 cm est la longueur du ressort à vide. Méthode 2 : dans le registre fonctionnel en explicitant la relation exprimant la longueur l du ressort (exprimée en cm) en fonction de la masse m suspendue (exprimée en g) Le résultat que l’on va mobiliser ici est le suivant : « lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, la fonction permettant d’exprimer l’une de ces grandeurs en fonction de l’autre est linéaire, c’est-à-dire de la forme ». La situation décrite par l’énoncé se traduit par la relation ou encore par . La fonction f exprimant l en fonction de m est donc la fonction définie par : . Cette fonction est affine (elle est de la forme ) mais elle n’est pas linéaire en raison de la présence de la constante b qui n’est pas nulle ; b vaut ici 14. Méthode 3 : dans le registre graphique, en représentant dans un repère les points correspondants aux résultats déjà obtenus Le résultat ici mobilisé est le suivant : « lorsqu’il y a proportionnalité entre deux grandeurs, la courbe représentative de la fonction exprimant l’une en fonction de l’autre est une droite passant par l’origine ». On peut ici placer les points (70 ; 17,5) et (280 ; 28). On constate que si ces points sont bien alignés (deux points le sont toujours), la droite qui les porte ne passe pas par l’origine. On pouvait aussi placer en plus le point (0 ; 14) qui se déduit de l’énoncé, et qui rend le constat évident. Toujours en se référant au registre graphique, on pouvait même se contenter de citer ce seul point (0 ; 14). Et dire que, puisque la courbe représentative ne passe pas par l’origine, il ne peut y avoir situation de proportionnalité. CRPE groupement 3 – avril 2015 (sujet page 27) Annales 2015 COPIRELEM Page 82 EXERCICE 3 1) Valeur(s) possible(s) pour p Un nombre dont la valeur approchée par excès à près est 1,118 est compris entre 1,117 et 1,118 (précisons qu’il peut être égal à 1,118 mais pas à 1,117). Ainsi le nombre entier p doit vérifier la double inégalité . D’où ; d’où . Il y a donc deux valeurs possibles pour p : 1999 et 2000. 2) Comparaison de deux nombres ayant pour écritures fractionnaires et où n est un nombre entier naturel non nul. 2) a) Comparaison de et ; et ; et . Conjecture Le but de cette question étant d’établir une conjecture, on peut pour y répondre utiliser trois méthodes. Méthode 1 : Comparer les fractions après les avoir réduit au même dénominateur. Cette méthode plus calculatoire a l’avantage de se généraliser (cf. question b). Méthode 2 : S’appuyant sur les valeurs exactes ou approchées de ces quotients obtenues à la calculatrice, méthode que l’énoncé n’interdit pas d’utiliser mais qui ne se généralise pas et trouve ces limites lorsque les nombres sont grands et dépassent les capacités des calculatrices, ce qui est le cas pour beaucoup d’entre elles à la question c). Méthode 3 : Écrire les fractions sous la forme avec a entier naturel non nul et comparer ces écritures. Cette méthode qui nécessite au préalable une transformation d’écriture a le mérite de fournir une explication simple des résultats obtenus. Et comme comparer et revient à comparer et , elle permet une démonstration rapide du résultat général (cf. question suivante). En détail : Méthode 1 : ü et . Donc . ü et . Donc . ü et . Donc . Méthode 2 : ü et . Donc . ü et . Donc . ü et . Donc . Dans les deux premiers cas, il s’agit de valeurs exactes (même si certaines sont illimitées périodiques), dans le dernier cas la comparaison se fait à partir de valeurs approchées. CRPE groupement 3 – avril 2015 (sujet page 27) Annales 2015 COPIRELEM Page 85 2) Probabilité d'obtenir la couleur jaune sur le dé tétraédrique et un nombre impair sur l’autre dé. Il y a 6 cas favorables (Q2) sur les 24 cas possibles, d’où . TROISIÈME PARTIE Remarque préliminaire : Si les quatre situations proposées dans cette troisième partie sont bien indépendantes, il faut noter qu’elles relèvent toutes à la fois du cycle 3, CM1 ou CM2, et des structures multiplicatives. Plus précisément : - Situation 1 : division euclidienne - Situations 2 à 4 : proportionnalité simple selon la typologie de G. Vergnaud, avec : - Situations 2 et 4 : division décimale (division quotition ou division partition) - Situation 3 : recherche d’une quatrième proportionnelle SITUATION n°1 L’exercice ci-dessous a été donné en évaluation à des élèves de CM1. Une école organise une sortie de fin d’année. Pour se déplacer, le directeur loue des bus qui peuvent accueillir 42 passagers chacun. Il y a 157 élèves dans l’école et 20 adultes les accompagneront. Combien faut-il réserver de bus ? 1) Opération mathématique, enjeu du problème L’opération mathématique, enjeu de ce problème, est la division euclidienne. Il s’agit, dans le cas de cet exercice, d’arriver à l’une des deux écritures mathématiques suivante qui la caractérise : Écriture 1 : 177 = 42 4 9 et 0 ≤ 9 < 42 Écriture 2 : 42 4 ≤ 177 < 42 5 Remarque : Effectuer la division euclidienne de l’entier naturel a par l’entier naturel non nul b permet d’obtenir un couple d’entiers (q,r), quotient et reste de cette division, tel que : Écriture 1 : a = b q r et 0 ≤ r < b Écriture 2 : b q ≤ a < b (q 1) avec r = a b q Dans le problème ci-dessus, on ne s’intéresse qu’au quotient et la solution s’obtient en ajoutant 1 au quotient de la division euclidienne de 177 par 42. 2) Explication des procédures utilisées Remarque préliminaire : La consigne « expliquer une procédure utilisée » pourrait être comprise de diverses manières. Dans ce corrigé, nous faisons le choix « d’expliquer » de façon entièrement détaillée : - nous commençons par dire si l’élève a réussi à trouver la bonne réponse ou non, - nous donnons le raisonnement sous-jacent à la procédure qu’il utilise, - nous explicitons ensuite toutes les étapes de la procédure de l’élève en nous référant à ce raisonnement. Élève A : L’élève A a trouvé la bonne réponse. Il a fait une représentation schématique de la situation qui est contrôlée par des soustractions successives (soustractions successives de 42 à partir de 177). Ce nombre de 177 passagers semble avoir été trouvé mentalement (157 + 20). Il a rempli un premier bus en schématisant les passagers (42 passagers organisés en 7 groupes de 6 passagers). On peut supposer qu’il pose ensuite la soustraction 177 42 pour savoir combien de passagers doivent encore prendre place dans un bus. Il recommence ainsi pour le deuxième, troisième et quatrième bus. Après avoir rempli le quatrième bus, il trouve qu’il lui reste 9 passagers à placer et dessine un cinquième bus ne comportant que 9 passagers. CRPE groupement 3 – avril 2015 (sujet page 27) Annales 2015 COPIRELEM Page 86 Remarque : La procédure de l’élève A permet d’arriver à l’écriture 1 (cf. question 1.) Élève B : L’élève B a trouvé la bonne réponse. Il procède à l’encadrement du nombre de passagers (177) par des multiples de 42 (nombre de places dans un bus.) L’élève B a trouvé le nombre de passagers en posant l’addition 157 + 20 en colonnes. Il a ensuite posé plusieurs multiplications lui permettant de trouver le nombre total de places dans 3, 4 et 5 bus. Les multiplications sont correctes. Il arrive à interpréter ses calculs pour donner la bonne réponse (4 bus ne suffisent pas car seuls 168 passagers peuvent prendre place. 5 bus conviennent car on peut alors transporter 210 passagers). Remarque : La procédure de l’élève B permet d’arriver à l’écriture 2 (cf. question 1.) Élève C : L’élève C a trouvé la bonne réponse. Il procède en posant la division de 177 par 42. L’élève C a trouvé le nombre de passagers en posant l’addition157 + 20 en colonnes. Il a ensuite posé la division de 177 par 42. Ses calculs sont corrects. Il arrive à interpréter le résultat obtenu par la division posée pour donner la bonne réponse (le quotient de la division de 177 par 42 est 4 et le reste est 9. 4 bus seront remplis et il reste 9 passagers. Il faut donc 5 bus pour transporter toutes les personnes). Remarque : La procédure de l’élève C permet d’arriver à l’écriture 1 (cf. question 1.) Élève D : L’élève D a trouvé la bonne réponse. Il a fait une représentation schématique de la situation correspondant à des additions successives de 42 pour se rapprocher de 177. Le nombre de passagers (177) semble avoir été trouvé mentalement (157 + 20). Il a rempli un premier bus en schématisant le bus et en indiquant au-dessus le nombre de passagers qu’il transporte. Il dessine ensuite de la même façon un deuxième bus et calcule le nombre de passagers des deux premiers bus (84 passagers). Il recommence ainsi pour le troisième et le quatrième bus. Après avoir rempli le quatrième bus, il trouve que 168 passagers sont transportés. Il dessine un cinquième bus au- dessus duquel il indique 9 et écrit 177 à la suite de 168. Nous n’avons pas d’indication sur la procédure mise en œuvre par cet élève pour trouver le nombre de passagers restant à installer dans le cinquième bus. Remarque : La procédure de l’élève D permet d’arriver à l’écriture 1 (cf. question 1.) 3) Division de 157 par 20 Effectuer la division de 157 élèves par 20 adultes revient à trouver le nombre d’élèves encadrés par chaque adulte lors de la sortie (157 = 20 7 17 et 0 ≤ 17 < 20 ou alors 20 7 ≤ 157 < 20 8. Chaque adulte encadre 7 ou 8 élèves.) Une question pourrait donc être : « combien d’élèves chaque adulte encadre-t-il ? ». 4) Explicitation des sens différents de la division Dans la situation du problème de départ, il s’agit de trouver le nombre de bus pour transporter 177 personnes. Il s’agit d’un problème de division quotition (recherche du nombre de groupements de 42 dans 177). Dans la situation de la question 3, il s’agit de trouver le nombre d’élèves encadrés par adulte. Il s’agit d’un problème de division partition (recherche de la valeur du groupement si on partage 157 entre 20). SITUATION n°2 1) Opération permettant de répondre à la question L’opération permettant de répondre à la question est la division (division dans l’ensemble des rationnels positifs) : 28 : 8 = 3,5. CRPE groupement 3 – avril 2015 (sujet page 27) Annales 2015 COPIRELEM Page 87 Chaque bidon a une contenance de 3,5 litres. Selon la typologie de Vergnaud, il s’agit d’un problème de proportionnalité simple de type division partition (recherche de la valeur d’une part) que l’on peut schématiser de la façon suivante : Nombre de bidons Contenance en litre 1 ? 8 28 2) Explication des procédures utilisées Remarque préliminaire : La consigne « expliquer une procédure utilisée » pourrait être comprise de diverses manières. Dans ce corrigé, nous faisons le choix « d’expliquer » de façon entièrement détaillée : - nous commençons par dire si l’élève a réussi à trouver la bonne réponse ou non, - nous donnons le raisonnement sous-jacent à la procédure qu’il utilise, - nous explicitons ensuite toutes les étapes de la procédure de l’élève en nous référant à ce raisonnement. Élève E : L’élève E a trouvé la bonne réponse. Il a trouvé la contenance d’un bidon par ajustement et additions successives en s’appuyant sur une représentation schématique de la situation (une droite graduée de 0 à 28). Il commence par remplir chacun des 8 bidons avec trois litres d’essence comme le montre son schéma : 8 groupes de 3 traits sont représentés et sont numérotés de 1 à 8. Il lui reste alors 4 litres d’essence à répartir entre les 8 bidons. Chacun de ces litres est partagé en deux ½ litres (ce qui lui donne un partage équitable du nombre de litres restant entre les 8 bidons) et chaque ½ litre est rajouté à un bidon à l’aide d’une « flèche » : « + ½ » est noté à côté de chacun des numéros des bidons. Il donne ensuite la bonne réponse, à savoir 3,5 L par bidon. La relation 1L = 1000 mL qu’il a écrit sur sa feuille ne lui a pas servi. Élève F : L’élève F a trouvé la bonne réponse (dans le tableau). Il a trouvé la contenance d’un bidon en « distribuant » de façon organisée (sous forme de tableau) les 28 litres entre chacun des 8 bidons. Il commence par faire un tableau à 8 colonnes. Il distribue ensuite les 28 litres, 1 à 1, à chacun des 8 bidons. Des traces partiellement effacées à droite du tableau (8 en bout de première ligne, 8 encore en bout de seconde ligne et 16 plus à droite) semblent indiquer que l’élève comptabilise 8 litres à la fin de chaque tournée. Il arrive à faire 3 tours de « distribution » (il a alors « distribué » 24 litres, soit trois fois 1 litre à chacun des 8 bidons). Il continue alors son partage en donnant ½ L par bidon. On ne sait pas s’il a vérifié qu’il arrivait bien à 28 litres à la fin de son partage. La contenance d’un bidon trouvée dans le tableau est correcte (1L + 1L + 1L + ½ L). Cependant, il n’a pas su traduire le résultat sous forme d’un nombre décimal (3,5 qui peut se lire trois ET demi et non pas 3 demi). Remarque : Les procédures des élèves E et F sont proches. Élève G : L’élève G a trouvé la bonne réponse. Il procède en posant la division de 28 par 8. L’élève G a poursuivi la division de 28 par 8 jusqu’à trouver un reste nul. Il obtient donc un quotient décimal qu’il sait interpréter. SITUATION n°3 1) Notion(s) mathématique(s) en jeu Selon la typologie de Vergnaud, il s’agit d’un problème de proportionnalité simple de type quatrième proportionnelle. Nombre de bidons Contenance en litre 8 28 ? 7 CRPE groupement 3 – avril 2015 (sujet page 27) Annales 2015 COPIRELEM Page 90 4) Quotient d’un nombre décimal par 8 Méthode 1 : en utilisant la caractérisation des nombres décimaux au travers de leur écriture fractionnaire irréductible. Soit x un nombre décimal. x peut s’écrire sous de fraction irréductible avec a entier, b entier non nul de la forme avec p et q entiers naturels. On a donc Alors, , avec p + 3 et q entiers naturels : il s’agit bien de l’écriture d’un nombre décimal. Le quotient d’un nombre décimal par 8 est donc toujours un nombre décimal. Méthode 2 : En utilisant le fait que les nombres décimaux peuvent s’écrire sous la forme de fractions décimales. Soit x un nombre décimal. x peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale avec a entier et n entier. Diviser par 8, c’est multiplier par son inverse , qui est égal à 0,125 ou encore à . Ainsi qui est une fraction décimale. Donc est bien un nombre décimal. Méthode 3 : En utilisant les propriétés des opérations entre nombres décimaux. Plus précisément, on sait que la somme, la différence et le produit de deux nombres décimaux sont toujours des nombres décimaux. Par contre, le quotient de deux nombres décimal n’est pas toujours un nombre décimal, ce qui justifie la question posée. Diviser un nombre par 8, c’est le multiplier par son inverse , qui est égal à 0,125 ou encore à qui est donc décimal. Le quotient d’un nombre décimal x par 8 est donc égal au produit de x et de qui sont tous les deux décimaux. Leur produit est donc toujours un nombre décimal. CRPE Concours exceptionnel Créteil – mai 2015 (sujet page 35) Annales 2015 COPIRELEM Page 91 CONCOURS EXCEPTIONNEL CRÉTEIL – mai 2015 PREMIERE PARTIE PARTIE A – Tous les rectangles étudiés ont un côté de longueur 10 cm 1) a) Format d’un rectangle dont la longueur du deuxième côté est 2,5 cm Puisque 2,5 cm < 10 cm, la longueur du deuxième côté correspond à la largeur du rectangle. Le format est alors donné par : F = . Soit : F = 4. Le format du rectangle de dimensions 2,5 cm et 10 cm est 4. 1) b) Format d’un rectangle dont la longueur du deuxième côté est 40 cm Puisque 40 cm > 10 cm, la longueur du deuxième côté correspond à la longueur du rectangle. Le format est alors donné par : F = . Soit : F = 4. Le format du rectangle de dimensions 40 cm et 10 cm est 4. 2) Tableau de valeurs Lorsque la longueur du deuxième côté est inférieure à 10 cm, il s’agit de la largeur l du rectangle : c’est le cas pour les valeurs 2 et 4 (en cm). Dans ce cas, le format est donné par la formule : F = . Lorsque la longueur du deuxième côté est supérieure à 10 cm, il s’agit de la longueur L du rectangle : c’est le cas pour les valeurs 18 ; 32 et 60 (en cm). Dans ce cas, le format est donné par la formule : F = . Lorsque la longueur du deuxième côté est égale à 10 cm, tous ses côtés ont la même longueur donc ce rectangle est un carré. Dans ce cas, le format est égal à : F = = 1. Le tableau de valeurs se remplit alors de la manière suivante : Mesure (en cm) du deuxième côté 2 4 10 18 32 60 Format du rectangle 1 Proportionnalité éventuelle du format par rapport à la mesure du deuxième côté Méthode 1 : calcul de différents rapports entre la mesure du deuxième côté et le format Le calcul du rapport entre la mesure du deuxième côté et le format pour les deux premiers couples donne : = 2,5 et =0,625 Ces rapports ne sont pas égaux. Donc le format n'est pas proportionnel à la longueur du deuxième côté. Remarque : On aurait pu choisir d’autres couples de valeurs : 2 et 10 ; 2 et 18 ; 2 et 32 ; 2 et 60 ; 4 et 10 ; 4 et 18 ; 4 et 32 ; 4 et 60. Méthode 2 : utilisation des relations multiplicatives entre grandeurs de même nature Par exemple entre les deux premiers couples de données : 4 = 2 ´ 2, mais 2,5 ≠ 2 ´ 5 ! CRPE Concours exceptionnel Créteil – mai 2015 (sujet page 35) Annales 2015 COPIRELEM Page 92 La linéarité multiplicative ne s’applique donc pas. Par conséquent, le format n’est pas proportionnel à la longueur du deuxième côté. Remarque : On aurait pu choisir d’autres couples de valeurs : 2 et 10 ; 2 et 18 ; 2 et 32 ; 2 et 60 ; 4 et 10 ; 4 et 18 ; 4 et 32 ; 4 et 60. Méthode 3 : expression de la fonction On appelle F la fonction qui à la mesure x du deuxième côté (en cm) associe le format du rectangle. La fonction est alors définie par : L’expression de cette fonction ne correspond pas à celle d’une fonction linéaire. Par conséquent, il ne s’agit pas d’une situation de proportionnalité. Remarque : On peut remarquer que dans le cas où x ≤ 10, le format est inversement proportionnel à la mesure du côté (exprimée en cm). En revanche, dans le cas où x ≥ 10, alors le format est bien proportionnel à la mesure du côté car F(x)= est une fonction linéaire (de coefficient directeur ). Méthode 4 : utilisation du « produit en croix » Si le tableau était un tableau de proportionnalité, alors en considérant les deux premières colonnes de valeurs, la recherche de la quatrième proportionnelle comme valeur correspondant à 4 avec la technique du produit en croix donnerait : = 10 ( ≠ 2,5 !). Le format n’est pas proportionnel à la longueur du deuxième côté. Remarque : On aurait pu choisir d’autres couples de valeurs : 2 et 10 ; 2 et 18 ; 2 et 32 ; 2 et 60 ; 4 et 10 ; 4 et 18 ; 4 et 32 ; 4 et 60. 3) a) Détermination graphique de la valeur de la mesure du deuxième côté de tous les rectangles de format égal à 3 Les valeurs cherchées sont les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est 3. On lit deux valeurs : environ 3,5 et environ 30. Remarque : Les valeurs cherchées correspondent également aux abscisses des points d’intersection de la courbe et de la droite d’équation y = 3 (parallèle à l’axe des abscisses). Les rectangles de format 3 ont pour mesure de leur deuxième côté environ 3,5 et 30 (exprimées en cm). CRPE Concours exceptionnel Créteil – mai 2015 (sujet page 35) Annales 2015 COPIRELEM Page 95 2) Égalité = On considère un rectangle de dimensions L0 et l0 et d’aire égale à 1 m². Par conséquent : . (1) On suppose de plus que ce rectangle a un format commercial. Alors : = (d’après la question B 1)). On a donc aussi : . (2) En remplaçant dans l’égalité (1) L0 par sa valeur exprimée en fonction de l0, on obtient ainsi une nouvelle égalité : Puis : Ainsi : = . On obtient effectivement : = . Égalité Méthode 1 : Utilisation de l’égalité (2) D’après l’égalité (2) : . Donc : . Soit : . Or : = . On en déduit : = = = . Ainsi : . Méthode 2 : Utilisation la valeur de l’aire du rectangle Comme : , alors : . Donc : = En conclusion, . 3) Dimension d’un rectangle de format A5 Lorsqu’on passe du rectangle format A0 au rectangle format A1, nous avons vu (question B – 1) qu’alors : L1 = l0 et que l1 = L0/2. En généralisant ce résultat, d'une étape à la suivante, la longueur devient la largeur précédente, et la largeur devient la moitié de la longueur précédente. Par conséquent, les dimensions d'une feuille de format A4 sont obtenues à partir des dimensions d'une feuille A3 : - la longueur est égale à la largeur d'une feuille A3 : L4 = l3 ; soit par lecture de la feuille de tableur : L4 = 0,297 m ; - et la largeur est égale à la moitié de la longueur d'une feuille A3 : l4 = L3/2 ; soit par lecture de la feuille de tableur : l4 = 0,210 m. De même, on obtient les dimensions d'un rectangle de format A5 : - la longueur est égale à la largeur d'une feuille A4 : L5 = l4 ; soit L5 = 0,210 m ; - et la largeur est égale à la moitié de la longueur d'une feuille A4 : l5 = ; soit l5 = 0,1485 m. En arrondissant au millimètre, les dimensions du rectangle de format A5 sont 0,210 m et 0,149 m, soit 210 mm et 149 mm. CRPE Concours exceptionnel Créteil – mai 2015 (sujet page 35) Annales 2015 COPIRELEM Page 96 DEUXIEME PARTIE EXERCICE 1 1) Au bout de 3 secondes la puce a effectué 3 sauts. Avant de répondre aux différentes questions, on modélise les parcours envisageables sur 3 sauts. Méthode 1 : Mise en évidence des différents chemins possibles en 3 sauts 0 → 1 → 2 → 3 0 → 1 → 2 → 1 0 → 1 → 0 → 1 0 → 1 → 0 → -1 0 → -1 → -2 → -3 0 → -1 → -2 → -1 0 → -1 → 0 → -1 0 → -1 → 0 → 1 Il y a huit chemins possibles équiprobables. Méthode 2 : utilisation d’un arbre de probabilité Établissons les différents chemins possibles en 3 sauts par un arbre indiquant les possibilités de cases d’arrivée après chaque saut. Il y a huit chemins possibles équiprobables. Pour le calcul des probabilités de chaque événement (case d’arrivée après le 3ème saut), nous pouvons donc appliquer la formule : é à é ′é é é 1) a) Probabilité que la puce soit au point d’abscisse 0 au bout de 3 s Aucun chemin n'arrive sur le point d'abscisse 0 (événement impossible), donc la probabilité que la puce soit au point d'abscisse zéro au bout de trois secondes est 0. 1) b) Probabilité que la puce soit au point d’abscisse 1 au bout de 3 s Trois chemins arrivent sur le point d'abscisse 1, donc la probabilité que la puce soit au point d'abscisse 1 au bout de trois secondes est 3/8. 1) c) Probabilité que la puce soit au point d’abscisse 2 au bout de 3 s Aucun chemin n'arrive sur le point d'abscisse 2 (événement impossible), donc la probabilité que la puce soit au point d'abscisse 2 au bout de trois secondes est 0. 1) d) Probabilité que la puce soit au point d’abscisse 3 au bout de 3 s Un seul chemin arrive sur le point d'abscisse 3, donc la probabilité que la puce soit au point d'abscisse 3 au bout de trois secondes est 1/8. ! "! #! $"! %! #! #! $%! "! "! $"! "! $"! $"! $ ! 3ème saut 2ème saut 1er saut CRPE Concours exceptionnel Créteil – mai 2015 (sujet page 35) Annales 2015 COPIRELEM Page 97 2) Probabilité de gagner une boisson avec une carte en grattant deux cases au hasard Pour le premier grattage il y a 4 cases possibles. Pour le deuxième grattage, il reste seulement 3 cases possibles puisqu’une case a déjà été grattée. Méthode 1 : mise en évidence de tous les résultats possibles sous forme de tableau ou d’arbre Symbole après le premier grattage Symbole après le deuxième grattage * * & & * * & & & * * & & * Il y a 12 résultats équiprobables. Pour gagner, il faut obtenir deux symboles identiques. Il y a donc 4 résultats « gagnants » (repérés par les cases grisées dans le tableau ou par les flèches dans l’arbre). En appliquant la formule (*), la probabilité de gagner une boisson est donc de : , soit . La probabilité de gagner une boisson avec une carte est . Méthode 2 : réalisation d’un arbre pondéré des probabilités. La probabilité d’obtenir un cœur au premier grattage est : = . Pour le deuxième grattage, comme il reste trois cases à gratter et un seul cœur, la probabilité de gratter un deuxième cœur est . On applique le même raisonnement sur les autres grattages possibles. On obtient alors l'arbre pondéré de probabilité suivant : La probabilité de gagner une boisson avec une carte est . La probabilité d’avoir deux cœurs est : × = La probabilité d’avoir deux étoiles est : × = La probabilité de gagner est égale à la somme de la probabilité d'avoir deux cœurs et de la probabilité d’avoir deux étoiles : = . & & & * * *