Télécharge Maths - Interrogation de cours n° 7 | corrigé et plus Exercices au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Interrogation de cours no 7. Mardi 6 avril 2021 Nom : Temps : 25 minutes Q1 : 2pts Donner la définition d’un K-espace vectoriel. Soit E un ensemble non vide muni d’une l.d.c.i notée + et d’une l.d.c.e notée . (E,+, .) est un K-espace vectoriel ⇔ 1) (E,+) est un groupe commutatif. 2) a) ∀x ∈ E, ∀(λ, µ) ∈ K 2, (λ + µ).x = λ.x + µ.x b) ∀(x, y) ∈ E2, ∀λ ∈ K, λ.(x + y) = λ.x + λ.y c) ∀x ∈ E, ∀(λ, µ) ∈ K 2, λ.(µ.x) = (λµ).x d) ∀x ∈ E, 1.x = x Q2 : 2pts Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel. Soit F une partie de E. A quelle condition nécessaire et suffisante F est-il un sous-espace de E (énoncer les deux caractérisations) ? F sous-espace de E ⇔ 0 ∈ F ∀(x, y) ∈ F 2, x+ y ∈ F ∀x ∈ F, ∀λ ∈ K, λ.x ∈ F F sous-espace de E ⇔ { 0 ∈ F ∀(x, y) ∈ F 2, ∀(λ, µ) ∈ K 2, λ.x+ µ.y ∈ F Q3 : 4pts Montrer que l’intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. • 0 ∈ F et 0 ∈ G. Donc, 0 ∈ F ∩G. • Soient (x, y) ∈ (F ∩G)2 et (λ, µ) ∈ K 2. (x, y) ∈ F 2 et donc λ.x+ µ.y ∈ F . De même, (x, y) ∈ G2 et donc λ.x+ µ.y ∈ G. Par suite, λ.x+ µ.y ∈ F ∩G. En résumé, F ∩ G contient le vecteur nul de E et est stable par combinaisons linéaires. Donc, F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E. Q4 : 4pts la somme F +G est directe ⇔ tout élément x de F +G s’écrit de manière unique comme somme d’un élément de F et d’un élément de G ⇔ l’application F ×G → E (x, y) 7→ x+ y est injective. les sous-espaces F et G sont supplémentaires ⇔ tout élément x de E s’écrit de manière unique comme somme d’un élément de F et d’un élément de G ⇔ l’application F ×G → E (x, y) 7→ x+ y est bijective. Q5 : 4 pts Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel. Soit A une partie de E. Donner la définition et la caractérisation de Vect(A), le sous-espace vectoriel engendré par la partie A. Vect(A) est le plus petit (au sens de l’inclusion) sous-espace vectoriel de E contenant A ou encore l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A. Vect(A) est aussi l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A.
