Télécharge Maths - Interrogation de cours n° 9 | corrigé et plus Exercices au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Interrogation de cours no 9. Jeudi 8 avril 2021 Nom : Temps : 20 minutes Q1 : 1pt Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel. Qu’est ce qu’un hyperplan de E ? Un hyperplan de E est le noyau d’une forme linéaire non nulle sur E. Q2 : 1pt Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel. Qu’est ce qu’une homothétie de E ? Une homothétie de E est une application de la forme λIdE , λ ∈ K. Si f = λIdE , alors pour tout x de E, f(x) = λx. Q3 : 2pts Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Définir la projection p sur F parallèlement à G. Soir u ∈ E. Il existe (v, w) ∈ F ×G tel que u = v + w. Alors p(x) = v. Q4 : 4pts Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Soit p (resp. q) la projection sur F parallèlement à G (resp. sur G parallèlement à F ). Donner les propriétés usuelles de p et q. • p ∈ L (E) (et q ∈ L (E)). • p2 = p (et q2 = q). • p+ q = IdE et pq = qp = 0. • F = Im(p) = {u ∈ E/ p(u) = u} = Ker (IdE − p) = Ker(q) et G = Ker(p) = {u ∈ E/ p(u) = 0} = Im(q). . Q5 : 5pts Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel. Soit f ∈ L (E) tel que f2 = f . Montrer que E = Im(p)⊕ Ker(p) puis que f est la projection sur F = Im(p) sur G = Ker(p). • Soit x ∈ Ker(f) ∩ Im(f). Alors, f(x) = 0 et il existe y ∈ E tel que x = f(y). x = f(y) = f2(y) = f(f(y)) = f(x) = 0. Donc, Ker(f) ∩ Im(f) ⊂ {0} puis Ker(f) ∩ Im(f) = {0} car Ker(f) ∩ Im(f) est un sous-espace vectoriel de E. • Soit x ∈ E. x = f(x) + (x − f(x)) ou encore, en posant y = f(x) et z = x − f(x), on a x = y + z. y est dans Im(f) et d’autre part, f(z) = f(x− f(x)) = f(x)− f2(x) = 0 et donc z ∈ Ker(f). Ainsi, ∀x ∈ E, ∃(y, z) ∈ Im(f)× Ker(f)/ x = y + z. Donc, E = Im(f) + Ker(f). • E = Im(f) + Ker(f) et Ker(f) ∩ Im(f) = {0}. Donc, E = Im(f)⊕ Ker(f). • Soit p la projection sur F = Im(f) parallèlement à G = Ker(f). Soit x ∈ E. On décompose x en x = f(x) + (x − f(x)) avec f(x) ∈ Im(f) et x− f(x) ∈ Ker(f). Donc, p(x) = f(x). On a montré que f = p. . Q6 : 3pts Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Soit s la symétrie par rapport à F parallèlement à G. Donner les propriétés usuelles de s. • s = 2p− IdE et p = 1 2 (IdE + s) • s ∈ L (E) • s2 = IdE et en particulier s ∈ GL(E) • F = Ker (s− IdE) = {u ∈ E/ s(u) = u} et G = Ker (s+ IdE) = {u ∈ E/ s(u) = −u}. Total : /19 points
