Télécharge Maths - Interrogation de cours n°11 | corrigé et plus Exercices au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Interrogation de cours no 11. Vendredi 16 avril 2021 Nom : Temps : 20 minutes Q1 : 1pt Définir le rang d’une application linéaire. Le rang d’une application linéaire est la dimension de son image : rg(f) = dim(Im(f)). Q2 : 2pts Enoncer avec précision le théorème du rang. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit F un K-espace vectoriel. Soit f ∈ L (E,F ). • La restriction de f à un supplémentaire S de Ker(f) dans E réalise un isomorphisme de S sur Im(f). • En particulier, dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(E). Q3 : 6pts Enoncer puis démontrer la relation de Grassmann. Relation de Grassmann. Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel de dimension finie. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Alors, F +G est de dimension finie et dim(F +G) = dim(F ) + dim(G)− dim(F ∩G). Démonstration. Soit ϕ : F ×G → E (x, y) 7→ x+ y . • ϕ ∈ L (F ×G,E) et Im(ϕ) = F +G. • Puisque dim(F ×G) < +∞, le théorème du rang fournit dim(F +G) = dim(Im(ϕ)) = dim(F ×G)− dim(Ker(ϕ)) = dim(F ) + dim(G) − dim(Ker(ϕ)). • Soit (x, y) ∈ F ×G. Si (x, y) ∈ Ker(ϕ), alors x ∈ F , y ∈ G et y = −x puis x ∈ F ∩ G et y = −x. Réciproquement, si x ∈ F ∩G, (x,−x) ∈ Ker(ϕ). Donc Ker(ϕ) = {(x,−x), x ∈ F ∩G}. • Soit ψ : F ∩G → Ker(ϕ) x 7→ (x,−x) . ψ est linéaire, surjective par définition de Ker(ϕ) et injective car si x ∈ Ker(ψ), alors (x,−x) = (0, 0) puis x = 0. Donc, ψ est un isomorphisme de F ×G sur Ker(ϕ). En particulier, dim(Ker(ϕ)) = dim(F ×G). Q4 : 2pts Soit (A,B) ∈ Mn,p(K)× Mp,q(K). Définir le produit A×B. A×B est l’élément de Mn,q(K) dont le coefficient ligne i, colonne j, (i, j) ∈ J1, nK × J1, qK est ci,j = p∑ k=1 ai,kbk,j . Q5 : 2pts Définir la matrice élémentaire Ei,j de Mn, p(K). Soit (i, j) ∈ J1, nK× J1, pK. Ei,j est la matrice dont tous les coefficients sont nuls à l’exception de celui situé ligne i, colonne j, qui est égal à 1. Ei,j = (δk,i × δl,j)(k,l)∈J1,nK×J1,pK. . Q6 : 5pts Donner le produit de deux matrices élémentaires puis démontrer le résultat. Soit (i, j, k, l) ∈ J1, nK × J1, pK × J1, pK × J1, qK. Alors, Ei,jEk,l = δj,kEi,l. Démonstration. Soit (u, v) ∈ J1, nK × J1, qK. Le coefficient ligne u, colonne v, de Ei,j × Ek,l est p∑ w=1 (δu,i × δw,j)× (δw,k × δv,l) = δu,iδv,l p∑ w=1 δw,jδw,k = δj,kδu,iδv,l (le terme δj,k est obtenu quand w = j). Le nombre δj,kδu,iδv,l est aussi le coefficient ligne u, colonne v, de la matrice δj,kEi,l. Les matrices Ei,j × Ek,l et δj,kEi,l ont les mêmes coefficients et donc ces matrices sont égales. Total : /18 points
