ONDES : LA PROPAGATION DES SIGNAUX, Dissertation de Physique

Télécharge ONDES : LA PROPAGATION DES SIGNAUX et plus Dissertation au format PDF de Physique sur Docsity uniquement! 1 ONDES MECANIQUE : PROPAGATION R. DUPERRAY Lycée F. BUISSON PTSI « J'allai au bord de la rivière, j'ai toujours aimé l'eau et le doux mouvement des vagues qui se poussent; elle était paisible, les nénuphars blancs tremblaient au bruit du courant, les flots se déroulaient lentement, se déployant les uns sur les autres; au milieu, les îles laissaient retomber dans l'eau leurs touffes de verdure, la rive semblait sourire, on n'entendait rien que la voix des ondes.» Gustave Flaubert (1821-1880), extrait de Novembre (1842) Les ondulations sur un étang, la vibration d’une corde de guitare, le son doux d’une flûte, un tremblement de terre, les couleurs d’un arc-en-ciel sont des exemples d’ondes. Une onde se manifeste quand un système est perturbé par rapport à sa situation d’équilibre et quand cette perturbation peut se propager d’une région du système à une autre avec une vitesse donnée. Sur l’image ci-dessus, la surfeuse, qui glisse sur l’onde qu’est la vague, entend en même temps les ondes acoustiques et voit les ondes de lumière. I – Le modèle des ondes 1.1 Classification des ondes suivant la nature physique de l’onde On peut classer dans un premier temps les ondes en trois catégories : 1- LES ONDES MECANIQUES. Dans cette catégorie, les ondes se propagent dans un milieu matériel tel que l’air, l’eau ou les solides. Le son ou les vagues à la surface de l’eau sont deux exemples familiers d’ondes mécaniques. Quand la perturbation se propage dans le milieu matériel, les particules constituant ce milieu subissent divers déplacements par rapport à leur position d’équilibre selon la nature de l’onde (cd. Figure 15.1). En PTSI, nous allons essentiellement parler des ondes mécaniques. ONDES : LA PROPAGATION DES SIGNAUX 2 Note : L’onde, la perturbation, se propage dans le milieu mais ce dernier dans son ensemble ne se propage pas. Les particules du milieu oscillent autour d’une position d’équilibre, elles restent donc localisées autour de cette position. Une onde transporte de l’énergie à partir de l’origine de la perturbation du milieu mais ne transporte pas de matière. La matière reste localisée autour de sa position initiale, l’onde se propage, la matière oscille. 2- LES ONDES ELECTROMAGNETIQUES , du domaine des ondes radio, du visible aux rayons X sont des oscillations auto-entretenues du champ électromagnétique. Les ondes électromagnétiques ne requièrent aucun milieu matériel pour se propager et peuvent donc voyager dans le vide. La lumière du soleil se propage dans le vide et met environ 8 mn pour apporter son énergie sur Terre. Les ondes électromagnétiques seront étudiées en détail dans le cours de PT (Electromagnétisme et optique physique). 3- LES ONDES DE MATIERE. Ces ondes vous sont certainement moins familières. Elles sont associées aux particules du monde atomique et subatomique comme le proton, le neutron, l’électron, le quark etc. Ces particules peuvent exhiber des propriétés physiques qui sont caractéristiques des ondes comme les interférences et la diffraction. Nous parlerons des ondes de matière dans le chapitre consacré à l’introduction au monde quantique. Quelle que soit la nature physique de l’onde, il faut retenir la propriété essentielle suivante commune à toutes les ondes : Une onde transporte de l’énergie dans l’espace à partir de l’origine de la perturbation mais ne transporte pas de matière. 5 De façon générale, nous noterons S x,t( ) (pour signal) la variation de la grandeur physique à la position et à l’instant par rapport à sa valeur d’équilibre lors du passage de l’onde unidimensionnelle. S x,t( ) s’appelle la FONCTION D’ONDE1. Les résultats précédents obtenus pour le cas de la corde sont tout à fait généraux et nous retiendrons : Soit une onde se propageant d'un point O à un point M. A un instant t, la perturbation S x,t( ) d'un point M d'abcisse x est la même que celle qu'avait le point d'abcisse x −v t( ) à l'instant initial t = 0 soit: S x,t( ) = ft=0 x −v t( ) }⇒ onde se propageant dans la direction + x S x,t( ) = gt=0 x +v t( ) }⇒ onde se propageant dans la direction - x 2.3 Equation horaire d’un point donné de la corde On peut aussi raisonner en disant que la hauteur de la corde y en x et à l’instant t est la même que la hauteur de la corde en x = 0 mais à l’instant t − x v puisque la corde a mis le temps x v pour aller de x = 0 à x quelconque. On peut écrire : y = f t − x v( ) onde se propageant dans la direction +x Un raisonnement analogue pour un ébranlement se propageant vers la gauche donne : y = g t + x v( ) onde se propageant dans la direction -x Nous retiendrons : Soit une onde se propageant d'un point O à un point M. La perturbation S x,t( ) d'un point M d'abcisse x à un instant t est la même que celle qu'avait le point d'origine O à l'instant t − x v , x v mesurant la durée mise par l'onde pour parcrourir la distance OM soit: S x,t( ) = fx=0 t − x v( ) }⇒ onde se propageant dans la direction + x S x,t( ) = gx=0 t + x v( ) }⇒ onde se propageant dans la direction - x Note : L’expression mathématique des fonctions f et g dépend de la forme de l’onde qui se propage (forme triangulaire, rectangulaire, tordue etc…). Dans ce cours, nous allons nous consacrer aux formes sinusoïdales (ou harmoniques, les deux termes sont synonymes). En effet, les fonctions harmoniques jouent un rôle central en mathématiques et en physique comme nous le verrons. 1 Il n’y a pas de notation universelle pour la fonction d’onde, cela dépend de la nature de l’onde étudiée, des auteurs etc… Cependant, pour les ondes de matière (cf. cours sur la physique quantique), la notation utilisée par tout le monde est la lettre grecque psi ψ . x t Fig. 3.5 — Recherche de l'équation horaire de la source. La séquence des schémas relate la naissance de la déformation de la corde (au point M). En bas, représentation graphique de l'équation horaire du point Mo. : Hop PSE . 3.6 — Recherche de l'équation horaire d'un point quelconque. La séquence des schémas relate la déformation de la corde au point M. En bas, représentation graphique de l'équation horaire du point M. La célérité d’un signal transversal se déplaçant le long d'une corde élastique est c=6,2m-s '. Le point A, extrémité de la corde, subit un ébranlement transversal dont l'équation horaire est donnée de façon simplifiée par la représentation graphique de la figure ci-dessous. |) Représentez graphiquement l'équation horaire de l'ébrantement que subit le point B situé à la distance = 1,24m du point À. 2) Dessinez l'aspect de la corde à l'instant t1=0,150s. Joe, ne Hantee ee travele 15,7 A sinusoidal longitudinal wave trav- ne LS de CSL Sen eling to the right in a fluid. The wave has : the same amplitude À and period T as the The string is shown at time intervals of & period oscillation of the piston. for a total of one period 7. The highlighting shows the motion of one wavelength of the wave. Longitudinal waves are shown at intervals of àT for one period 7. Oscillator Three points on the string generating wave Plunger Two particles in the medium, moving in one wavelength À apart Particles oscillate The wave advances with amplitude A. by one wavelength À during each period T. The wave advances by one wavelength À during each period T. Ÿ Each point moves up and down in place. Particles one wavelength apart move in phase with each other. 10  11 Note : La période, ou la fréquence, est une grandeur intrinsèque de l’onde (elle dépend juste de la période d’excitation responsable de la production de l’onde). Par contre la longueur d’onde λ dépend de la vitesse de propagation de l’onde. Dans les ondes mécaniques que l’on considère, la vitesse de l’onde v ne dépend que des propriétés physiques du milieu dans lequel elle se propage, la vitesse est donc la même pour toutes les fréquences f ; on dit que le milieu est non dispersif. Ce n’est pas le cas de la lumière dont la vitesse de propagation dans un milieu physique, comme le verre, dépend de sa fréquence comme nous le verrons dans le cours d’optique. 3.2 Onde progressive harmonique longitudinale Dans la figure 15.6 ci-dessus, on déplace de façon périodique un piston dans un cylindre contenant un fluide (de l’air ou un liquide). Ceci va générer dans le cylindre une onde de pression, ou onde sonore, longitudinale. La grandeur qui subit une perturbation harmonique n’est plus le déplacement transversal de la corde par rapport à sa position d’équilibre mais la pression à l’intérieur du fluide par rapport à la pression d’équilibre. On va donc observer une suite de compression (surpression) et raréfaction (sous pression) du fluide (cf. figure 15.7). Chaque molécule du fluide va osciller à la période T par rapport à sa position d’équilibre lors du passage de l‘onde. Par contre une zone de compression (ou de raréfaction) va se propager à la vitesse v de l’onde et, pendant une période T , se déplace d’une longueur d’onde λ . On a donc toujours la relation importante λ = vT valable pour toutes les ondes (transverses et longitudinales). Figure 16.5 Longitudinal wave pulse propagating along a spring. é pe € mme a ——————— These coils displaced to right at instant shown. Figure 16.6 Wave function and displacement curve for a longitudini wave pulse propagating along a spring. (a) Snapshot of wave pulse at instant #, displacement ofloop initially … located atx = 0.3m undisturbed coil position --» 1 12  15 IV – Ordre de grandeur des fréquences pour divers types d’ondes 4.1 Ondes acoustiques N’importe quelle source (objet) qui vibre dans un milieu matériel (par exemple un instrument de musique) est la source d’une onde acoustique donc de la production d’un son que notre oreille et notre cerveau sont capables de capter, d’enregistrer. La fréquence du son dépend de la fréquence de vibration de la source. L’oreille humaine est capable de percevoir des sons dont la fréquence est comprise en gros entre 20 Hz et 20 000 Hz. Bien sûr ce domaine varie d’une personne à l’autre et en général devient plus étroit en vieillissant, ainsi les personnes âgées perçoivent peu les fréquences au-delà de 10 000 Hz. La vitesse de propagation du son dépend des propriétés physiques du milieu dans lequel il se propage (cf. tableau ci-contre). Par la relation λ = v f , la longueur d’onde dépend du milieu dans lequel l’onde se propage. Attention, la fréquence d’une onde est une grandeur intrinsèque (propre à l’onde) et ne dépend pas du milieu considéré. Exercice d’application 2 Quelle est la longueur d’onde dans l’air à 20°C d’une note de fréquence 262 Hz (Do moyen du piano) ? 16 4.2 Ondes électromagnétiques Dans le vide, la vitesse de la lumière est une constante et vaut c = 2,99792458 ×108 m.s-1 (exactement) pour toutes les fréquences. Dans la matière, la vitesse de propagation de la lumière est telle que v < c . On introduit alors l’indice optique d’un milieu n par v = c n (sans unité). Comme dans les milieux v < c alors n >1 . Nous reparlerons de tout ceci dans le cours d’optique. La fréquence des ondes électromagnétiques (cf. figure ci-dessus) peut s’étendre de quelques dizaines de Hz ( ondes produites par des courants alternatifs ) jusqu’à 1020 Hz (cas des rayonnements gamma issus d’objets astrophysiques très énergétiques comme les trous noirs). Comme nous le verrons dans le cours d’introduction au monde quantique et en chimie, on peut aussi considérer que la lumière est constituée de photons qui se comportent, suivant les circonstances, comme une onde ou comme une particule (ou corpuscule) de masse nulle qui se propage toujours à la vitesse c dans le vide (un photon n’est jamais au « repos »). L’énergie transportée par un photon de fréquence f est donnée par la relation de Planck- Einstein E = h f où h = 6,22×10−34 J.s est la constante de Planck. Ainsi plus la fréquence d’une onde électromagnétique est importante, plus l’énergie qu’elle transporte est importante. Comme nous l’avons déjà signalé, la fréquence d’une onde est une grandeur intrinsèque (propre à l’onde) et ne dépend pas du milieu de propagation considéré mais uniquement de la 17 fréquence à laquelle « vibre » la source qui produit cette onde. Par contre, la longueur d’onde dépend du milieu dans lequel se propage l’onde par la relation v = λ T . On a ainsi : → Dans le vide: λ0 = cT → Dans un milieu d'indice n : λn = vT = cnT ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ ⇒ λn = λ0 n Ainsi comme n > 1 , la longueur d’onde diminue dans la matière, la fréquence (ou période) restant la même (cf. figure 20.24) L’œil n’est capable de voir qu’une infime partie du spectre des ondes électromagnétiques (que l’on appelle justement lumière) compris approximativement entre 400 nm pour le violet/bleu et 750 −800 nm pour le rouge/ infrarouge. Dans le vide cela correspond à des fréquences comprises entre 4 ×1014 Hz et 7,5×1014 Hz . Ces valeurs sont infiniment plus importantes que les fréquences sonores audibles pour l’oreille humaine (cf. exercice d’application 3). V – Vitesse et accélération des particules dans une onde Les résultats que nous allons obtenir dans ce paragraphe ne sont pas à connaître dans le cadre du programme de PTSI. Ils le seront en PT. Mais l’équation d’onde que nous allons établir est tellement importante que nous allons commencer à en parler. Nous allons reprendre l’exemple de la propagation d’ondes transversales sur une corde (suivant les x positifs).