Programmation linéaire Corrigé, Exercices de Mathématiques Appliquées

Télécharge Programmation linéaire Corrigé et plus Exercices au format PDF de Mathématiques Appliquées sur Docsity uniquement! Unité D Programmation linéaire Corrigé MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S3 + Corrigé Les solutions sont accompagnées d'une annexe intitulée « Notes à l'intention des élèves ». Ces notes peuvent être copiées et remises aux élèves. Aussi, les questions de l'exercice 5 « Résolution de problèmes de programmation linéaire » peuvent être utilisées dans les tests et les examens. Exercice 1 : Problèmes préliminaires - corrigé Ces problèmes ont été conçus pour être effectués par les élève à l'aide de feuilles de calcul. Ils donnent aux élèves un aperçu de l'unité. L'enseignant doit remettre aux élèves une feuille de calcul semblable à celle illustrée ci-dessous et intitulée « Chandails ». Les élèves ne doivent changer que le nombre de chandaïls. A B c D E 1 Nombre Temps de coupe| Temps de couture| Prof 2 | Manches longues 10 | =4B2 =3"B2 =1,1B2 3 | Manches courtes 20 | =383 =B3 =0.6"B3 4 | Total =B2+B3 =C2+C3 =D2+D3 =E2+E3 Les élèves devraient copier les formules utilisées dans la feuille de calcul « Chandaïls » pour qu'elles leur servent de guides lorsqu'ils créent leur propre feuille de calcul pour le deuxième problème préliminaire. 1. Cellule Formule c2 cs C4 D2 D3 D4 E2 ES E4 Réponse : 12 à manches longues, 24 à manches courtes = profits de 27,60 $ 2. Cellule Formule c2 =1,5*B2 cs =0,5*B3 C4 =C2+0C3 D2 =1*B2 D3 =2*B3 D4 =D2+D3 E2 =250*B2 ES =180*B3 E4 =E2+E3 Réponse : 10 réguliers, 30 supérieurs = profits de 7 900 $ Programmation linéaire D-15 LLLLLLE RER N N RÈ À KQ NI NN NI RS LL DLL L) LL LL 2 AI LL) LEZ CL TU) Programmation linéaire lan - corrigé (suite) LÉO LL TT lités sur un p inéga MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S3 + Corrigé Exercice 3 : Graphiques d’ —x-7 x 2x— y y et + IA IA 20) —5x-2y<14— -5x-2y=14 _ <14 test (0, 0) 20) 7(0) > 35 0>35 non test (0, 0) O<14 oui + 2x-7y>35— —5(0) 5 6. T 8 D-18 MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S3 + Corrigé lan - corrigé (suite) és sur un p lit inéga Exercice 3 : Graphiques d’ LL NS NS N Q RS & NS NS NS N NN NN NN NN NN U NN ss KKK RRRKKKKKK RS ANR RQ RKKKKKÇ RKKKK KR NI] KG RKKKKKKÇ RKKKK 0+2(0) + ul 1 + ? vo Tr ? T a ! 8 Won à » IN a > 2 I ml + Pt 1 RL | I 8 vi A me à 8 » > > am m DT em om T l IN M + M T > 8» VI za © 8 < s T > © nya À A 2 5 : in Us à S o 2 à 2 2 vi VI 8 8 Tu +1 8 > 8 me + ln o # + a S El A a a a D-19 2-2 02-2 oui Programmation linéaire MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S3 + Corrigé Exercice 4 : Graphiques et résolutions de systèmes d'équations linéaires - corrigé 1.a) (1) y<-2x+3-—y=-2x+38 (2) y>4x-1—y=4x-1 test (0, 0) test (0, 0) 0<-2{0)+3 0>4(0)- 0<3 oui 0>-1 oui TZ LL 2 7 T2 : b) (D) 2x+3y20- 2x+3y=9 (2) -3x+4y2-4-—>-3x +4y = 4 Y= Ex +3 Y= Lx 1 test (0, O) test (0, O) 20) +3(0) z0 —3(0) +4(0) z-4 029 non 024 oui 2 73 D-20 Programmation linéaire MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S3 + Corrigé Exercice 4 : Graphiques et résolutions de systèmes d'équations linéaires - corrigé (suite) 9) (1) y<-2x+4—y=-2x+4 (2) x>-38—x=-8 test (0, 0) (4) y21-y=1 0<-2(0)+4 O<4 oui y<-2x+4,x>-8,y21 a nn Se SR RKIKKKKKK Re NSSSNS G LL LL COLLE £ h) (1) -x+3y<5-—-x+3y=5 (2) 3x-2y26—3x-2y=6 1 5 3 VY=ZX+— Y=—x-3 3 3 2 test (0, 0) test (0, O) —0+3(0)<5 3(0)-2(0) 26 0<5 oui 026 non (3) -4x+y<3-—-4x+y=3 y=4x=3 test (0, 0) -4(0)+0<3 0<3 oui x—3,y<4x+3 2 LL LT LL D Programmation linéaire D-23 MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S3 + Corrigé Exercice 4 : Graphiques et résolutions de systèmes d'équations linéaires - corrigé (suite) 2. a) y<x+2 b) y<x Y<-x+4 y>-lr+4 y>0 8 38 ©) y<-x-2 d x>-2 x<-2 x<4 1 8 YLSX+— 3 3 1 8 YZ-=X-— 3 3 e) y2x-3 f) x2-3 y<-2x y<-x+l vel À 7 7 9 y2-4 h) y<-2x+2 Y<x-4 2 10 Y<TxX-— 3 3 D y<-lrso ) y<Èx+2 2 3 3 Y>-3x-3 3 Y£E-—x+7 3 2 J27*-8 y<4 2 7 YZ-=xX-— 5 5 D-24 Programmation linéaire MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S3 + Corrigé Exercice 5 : Résolution de problèmes de programmation linéaire - corrigé Note à l'enseignant : La dernière partie de chaque problème permet à l'élève de découvrir que la meilleure solution se situe au sommet de la région des solutions réalisables. 1. a)x+y < 100 b) 10x + 30y > 1 500 d] 100 50 (75, 25) d) Les solutions comprennent tous les points de la zone ombragée. 2. a) y < 2x b) 2x + 2y < 48 c) xy z 32 d) 24 e) Les solutions comprennent tous les points de la zone ombragée. Programmation linéaire D-25 MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S3 + Corrigé Exercice 5 : Résolution de problèmes de programmation linéaire - corrigé (suite) T. x +y < 240 x2z3y 240 | (180, 60) 9 240 La meilleure solution est 180 sacs de Munchies et 60 sacs de Crispios pour des profits de 390 $. 8. 3x + Ty < 420 2x + 8y < 400 La meilleure solution est 56 tabourets et 36 chaises pour des profits maximaux de 1 640 $. D-28 Programmation linéaire MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S3 + Corrigé Exercice 5 : Résolution de problèmes de programmation linéaire - corrigé (suite) 9. 3x+2y2> 10 ax + 6y > 20 x+3Y27 Points possibles d’intersection : (2, 2) et (3, #2). Deux sacs de chacun coûteraient 14 $. Trois sacs de régulier et deux sacs de supérieur (impossible d'acheter £ de sacs) coûteraient 17 $. 10. x+y < 100 30x + 50y < 4000 100 50 m° — poivrons 50 m°— carottes Profits de 1000 $. Programmation linéaire D-29 MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S3 + Corrigé Exercice 5 : Résolution de problèmes de programmation linéaire - corrigé (suite) 11. 10x + 5y > 40 Bx + 5y > 80 Bx + 20y > 110 La meilleure solution est 14 heures pour Jean et 2 heures pour Benoît pour des coûts minimaux de 143 $. 12. Cette question est plus difficile que les autres. 242 250 42 > 40 15 10 12720 800 750 (300, 300) 500 La meilleure solution est 5 heures pour chacun pour des coûts minimaux de 100 $. D-30 Programmation linéaire MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S3 + Corrigé Inégalités linéaires (suite) Exemple 5 Résous le problème et mets ta réponse sur graphiques. 3(x-2x)>4x-27 3x-6x24x-27 —3x-4x2-27 -7x2-27 —27 x< -7 x < 38,6 HE ++ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Graphiques d’inégalités sur un plan La formule générale des inégalités linéaires à deux variables est Ax + By < C ou Ax + By > C. Pour mettre sur graphique une inégalité comme 3x + 5y > 6, tu dois la traiter comme une équation et la réarranger pour la mettre en équation définie par l'intersection avec l’axe y et la pente (y = mx + b). N'oublie pas que m est la pente et que b est l’ordonnée à l’origine. Étapes : 1. Détermine la valeur de y. 2. Trace une droite comme si le > ou le < était un =. Remarque : utilise une ligne pleine si tu as un z ou un <; utilise une ligne pointillée si tu as un > où un <. 3. Si > ou >, tu dois ombrager la zone au-dessus de la droite. Si < ou < , tu dois ombrager la zone dessous la droite. Exemple 1 —X—2y2z4 Programmation linéaire D-33 MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S3 + Corrigé Graphiques d’inégalités sur un plan (suite) Calcule les exemples ci-dessous avec ta calculatrice graphique. Exemple 2 y+2<0 y< —2 m=0,b=2 Exemple 3 Xx+y> —l Exemple 4 2x-y<3 D-34 Programmation linéaire MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S3 + Corrigé Graphiques et résolution de systèmes d’inégalités Lorsque tu dois résoudre un système d’inégalités, tu dois mettre les deux inégalités sur la même série d’axes. Les systèmes d'équations ont un « et » implicite. Habituellement, nous ne devrons traiter que deux inégalités, mais les problèmes de programmation linéaire peuvent compter plus de deux inégalités. Exemple 1 Résous le problème et mets ta réponse sur graphique. Donne des exemples de points de solution possibles. x+y>-1 3x-2y>4 Les points possibles sont {(2, -1) (5, 2) (4, 4)} Exemple 2 Résous le problème et mets ta réponse sur graphique. 2x-y<3 x<-2 7 2x-y<-3 C/ —y <-2x -3 F Y22x+3 F m=2,b=3 Er L + Ds -5 L 5 x<-2 T Programmation linéaire D-35