Rang d’une famille de vecteurs - Définition et Exemple, Lectures de Algèbre linéaire

Télécharge Rang d’une famille de vecteurs - Définition et Exemple et plus Lectures au format PDF de Algèbre linéaire sur Docsity uniquement! Matrices et applications linéaires Vidéo m partie 1. Rang d’une famille de vecteurs Vidéo m partie 2. Applications linéaires en dimension finie Vidéo m partie 3. Matrice d’une application linéaire Vidéo m partie 4. Changement de bases Fiche d’exercices # Matrice d’une application linéaire Ce chapitre est l'aboutissement de toutes les notions d’algèbre linéaire vues jusqu'ici : espaces vectoriels, dimension, applications linéaires, matrices. Nous allons voir que dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie, l’étude des applications linéaires se ramène à l'étude des matrices, ce qui facilite les calculs. 1. Rang d’une famille de vecteurs Le rang d’une famille de vecteurs est la dimension du plus petit sous-espace vectoriel contenant tous ces vecteurs. 1.1. Définition Soient E un K-espace vectoriel et {v,,.…, v,} une famille finie de vecteurs de E. Le sous-espace vectoriel Vect(v,,.…,v,) engendré par {v1,.… ,v,} étant de dimension finie, on peut donc donner la définition suivante : Définition 1 (Rang d’une famille finie de vecteurs). Soit E un K-espace vectoriel et soit {v1, .… , v,} une famille finie de vecteurs de E. Le rang de la famille {v1,...,v,} est la dimension du sous-espace vectoriel Vect(v.,.….,v,) engendré par les vecteurs v,,..…,v,. Autrement dit : ri v,) = dimVec(v,.,v,) Calculer le rang d’une famille de vecteurs n’est pas toujours évident, cependant il y a des inégalités qui découlent directement de la définition. Proposition 1. Soient E un K-espace vectoriel et {v,,.…,v,} une famille de p vecteurs de E. Alors : 1. O <rg(v,...,v,)< p : le rang est inférieur ou égal au nombre d'éléments dans la famille. 2. Si E est de dimension finie alors rg(v1,.….,v,) < dimE : le rang est inférieur ou égal à la dimension de l'espace ambiant E. Remarque. + Le rang d’une famille vaut O si et seulement si tous les vecteurs sont nuls. + Le rang d’une famille {v,,..., v,} vaut p si et seulement si la famille {v,,.…., v,} est libre. Exemple 1. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 1. RANG D'UNE FAMILLE DE VECTEURS 2 Quel est le rang de la famille {v1, v>, va} suivante dans l’espace vectoriel R*? 1 0 —1 0 1 = 1 = 1 = 0 1 or + Ce sont des vecteurs de R* donc rg(w, v2, vs) < 4. + Mais comme il n’y a que 3 vecteurs alors rg(v1, vo, vs) < 3. + Le vecteur v, est non nul donc rg(v,v2, va) > 1. + Ilest clair que v, et v, sont linéairement indépendants donc rg(v:, v2, vs) > rg(v:, vo) = 2. Il reste donc à déterminer si le rang vaut 2 ou 3. On cherche si la famille {v;, v2, v:} est libre ou liée en résolvant le système linéaire Av; + Aovo + A3v4 = 0. On trouve v; — v, + v; = 0. La famille est donc liée. Ainsi Vect(v;, v, vs) = Vect(v1, v2), donc rg(v1, vo, v3) = dim Vect(vi, vo, v3) = 2. 1.2. Rang d’une matrice Une matrice peut être vue comme une juxtaposition de vecteurs colonnes. Définition 2. On définit le rang d’une matrice comme étant le rang de ses vecteurs colonnes. Exemple 2. Le rang de la matrice 12 —1 0 af 4 1 o] € M400 est par définition le rang de la famille de vecteurs de K? : 4 v, = (1),v, = (2),v; = (3) = (2) } Tous ces vecteurs sont colinéaires à v1, donc le rang de la famille {v:, v>, vs, v4} est 1 et ainsirgA= 1. Réciproquement, on se donne une famille de p vecteurs {v1,.….,v,} d’un espace vectoriel E de dimension n. Fixons une base 3 — {e,...,e,} de E. Chaque vecteur v; se décompose dans la base 2 : v; = djje +--:+ @ije; +:-:+ anjen, &j ce que l’on note v, = a |. En juxtaposant ces vecteurs colonnes, on obtient une matrice A€ M p(K). Le rang de | 7 . la famille {v1,.….…., v,} est égal au rang de la matrice A. Définition 3. On dit qu’une matrice est échelonnée par rapport aux colonnes si le nombre de zéros commençant une colonne croît strictement colonne après colonne, jusqu’à ce qu’il ne reste plus que des zéros. Autrement dit, la matrice transposée est échelonnée par rapport aux lignes. Voici un exemple d’une matrice échelonnée par colonnes ; les x désignent des coefficients quelconques, les + des coefficients non nuls : + 0 x 0 * + x % x % x % ## +000 +60c0cco 2000000 200000 Le rang d’une matrice échelonnée est très simple à calculer. Proposition 2. Le rang d'une matrice échelonnée par colonnes est égal au nombre de colonnes non nulles. Par exemple, dans la matrice échelonnée donnée en exemple ci-dessus, 4 colonnes sur 6 sont non nulles, donc le rang de cette matrice est 4. La preuve de cette proposition consiste à remarquer que les vecteurs colonnes non nuls sont linéairement indépendants, ce qui au vu de la forme échelonnée de la matrice est facile. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 1. RANG D'UNE FAMILLE DE VECTEURS 5 1.5. Rang et matrice inversible Nous anticipons sur la suite, pour énoncer un résultat important : Théorème 1 (Matrice inversible et rang). Une matrice carrée de taille n est inversible si et seulement si elle est de rang n. La preuve repose sur plusieurs résultats qui seront vus au fil de ce chapitre. Démonstration. Soit A une matrice carrée d'ordre n. Soit f l’'endomorphisme de K” dont la matrice dans la base canonique est A. On a les équivalences suivantes : A derangn <> f derangn <— _f surjective <— _f bijective <— A inversible. Nous avons utilisé le fait qu’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie est bijectif si et seulement s’il est surjectif et le théorème sur la caractérisation de la matrice d’un isomorphisme. D 1.6. Rang engendré par les vecteurs lignes On a considéré jusqu'ici une matrice À € M, ,(K) comme une juxtaposition de vecteurs colonnes (v,,.…..,v,) et défini rgA= dimVect(v1,.….,v,). Considérons maintenant que A est aussi une superposition de vecteurs lignes (w1,.…..,w,). Proposition 4. rgA = dimVect(w;,...,w,) Nous admettrons ce résultat. Autrement dit : l’espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes et l’espace vectoriel engendré par les vecteurs lignes sont de même dimension. Une formulation plus théorique est que le rang d’une matrice égale le rang de sa transposée : rgA = rgAT Attention! Les dimensions dim Vect(v,,...,v,) et dimVect(w,,..….,w,) sont égales, mais les espaces vectoriels Vect(v1,...,v,) et Vect(w1,.…,w,) ne sont pas les mêmes. Mini-exercices. 1. Quel est le rang de la famille de vecteurs (6), @)? Même question pour (CE ) , ( i ) , ( 1 ) en fonction du paramètre t ER. 1 2 —4 —2 —1 2. Mettre sous forme échelonnée par rapport aux colonnes la matrice | O —2 4 2 O |. Calculer son 1 1 —2 —-1 1 1725 rang. Idem avec 2115 . 1 2 1 4 1 412 2 4 —5 —7 3. Calculer le rang de | —1 3 1 2 |Jenfonctiondeaetb. 1 a —2 b 4. Calculer les rangs précédents en utilisant les vecteurs lignes. 5. Soit f : E — F une application linéaire. Quelle inégalité relie rg(f(v1),…,f(v,)) et rg(v,..….,v,)? Que se passe-t-il si f est injective ? MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. APPLICATIONS LINÉAIRES EN DIMENSION FINIE 6 2. Applications linéaires en dimension finie Lorsque f : E — F est une application linéaire et que E est de dimension finie, la théorie de la dimension fournit de nouvelles propriétés très riches pour l'application linéaire f. 2.1. Construction et caractérisation Une application linéaire f : E — F, d’un espace vectoriel de dimension finie dans un espace vectoriel quelconque, est entièrement déterminée par les images des vecteurs d’une base de l’espace vectoriel E de départ. C’est ce qu’affirme le théorème suivant : Théorème 2 (Construction d’une application linéaire). Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K. On suppose que l'espace vectoriel E est de dimension finie n et que (e1,...,e,) est une base de E. Alors pour tout choix (v1,..….,v,) de n vecteurs de F, il existe une et une seule application linéaire f : E — F telle que, pour tout i =1,...,n: F)= vw. Le théorème ne fait aucune hypothèse sur la dimension de l’espace vectoriel d’arrivée F. Exemple 6. Il existe une unique application linéaire f : R” — R[X] telle que f(e;) =(X +1)' pouri=1 la base canonique de R"). Pour un vecteur x =(x1,...,x,),ona ..,n (où (e1,.…..,e,) est n FO) = fOne + ane) = x fe) + an fer) = Dxi(X +1). 1 Démonstration. + Unicité. Supposons qu’il existe une application linéaire f : E — F telle que f(e;) = v;, pour tout i = 1,...,n. Pour x €E, il existe des scalaires x,,x,.….,x, uniques tels que x = }};_, x;e;. Comme f est linéaire, on a rs (5se) 2Yxfte)= Dix. & i=l i=1 i=l Donc, si elle existe, f est unique. + Existence. Nous venons de voir que s’il existe une solution c’est nécessairement l'application définie par l’équation G&). Montrons qu’une application définie par l'équation (+) est linéaire et vérifie f(e;) = v;. Si(x1,...,x,) (resp. Y =(Y1,..., Yh)) sont les coordonnées de x (resp. y) dans la base (e1,.….,e,), alors f (es +Hyi x) = D Ax:+uyDf(e) is i=1 (x +uy) AD xfe)+u D yif(e)=Af(R)+uf C7). ii .,0) (avec un 1 en i-ème position), donc f(e;) = 1:v; = v;. Ce qui Enfin les coordonnées de e; sont (0,...,0,1,0, termine la preuve du théorème. Ü 2.2. Rang d’une application linéaire Soient E et F deux K-espaces vectoriels et soit f : E — F une application linéaire. On rappelle que l’on note f(E) par Imf, c'est-à-dire Imf = {f (Glx € E}. Im f est un sous-espace vectoriel de F. Proposition 5. Si E est de dimension finie, alors : + Imf = f(E) est un espace vectoriel de dimension finie. - Si(e1,.…,e,) est une base de E, alors Im.f = Vect(f(e;),.…, f(e,)). La dimension de cet espace vectoriel Im f est appelée rang de f : MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. APPLICATIONS LINÉAIRES EN DIMENSION FINIE 7 Ï rg(f)= dimim f = dim Vect (f (e1),.…, F(en)) Démonstration. Il suffit de démontrer que tout élément de Im f est combinaison linéaire des vecteurs f(e1),...,f(e,). Soit y un élément quelconque de Imf. Il existe donc un élément x de E tel que y = f(x). Comme (e,,...,e,) est n une base de E, il existe des scalaires (x1,...,x,) tels que x = Dre. En utilisant la linéarité de f, on en déduit que u 1 J=f()= Ds (e;), ce qui achève la démonstration. D 1 Le rang est plus petit que la dimension de E et aussi plus petit que la dimension de F, si F est de dimension finie : Proposition 6. Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f : E — F une application linéaire. On a 1g(f) < min(dimE, dimF). Exemple 7. Soit f : R° — R? l'application linéaire définie par f (x, y,z) = (3x — 4y +2z,2x —3y —z). Quel est le rang de f ? Si on note e, = (). e2= () etes = (8). alors (e1,e2,e3) est la base canonique de R°. Il s’agit de trouver le rang de la famille {v,, v, v;} : n=fe)=f(i)=(G) =fe)=f(r)=(4 ou, ce qui revient au même, trouver le rang de la matrice 3 —4 2 af —3 2) Commençons par estimer le rang sans faire de calculs. + Nous avons une famille de 3 vecteurs donc rgf < 3. + Mais en fait les vecteurs v1, w, v, vivent dans un espace de dimension 2 donc rg f < 2. +_f n’est pas l'application linéaire nulle (autrement dit v,, v,, v; ne sont pas tous nuls) donc rgf > 1. Donc le rang de f vaut 1 ou 2. Il est facile de voir que v, et v, sont linéairement indépendants, donc le rang est 2 : 18f =rg(f(e1), f (er), f(es)) = dimVect(v, v, vs) = 2 Remarque : il est encore plus facile de voir que le rang de la matrice A est 2 en remarquant que ses deux seules lignes ne sont pas colinéaires. = fe)=f(8)=(2) 2.3. Théorème du rang Le théorème du rang est un résultat fondamental dans la théorie des applications linéaires en dimension finie. On se place toujours dans la même situation : + f:E—F est une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels, + E est un espace vectoriel de dimension finie, + le noyau de f est Kerf = {x €E| f(x) =0-} ; c'est un sous-espace vectoriel de E, donc Ker f est de dimension finie, - l'image de f estimf = f(E)= {f(x)| x € E}; c'est un sous-espace vectoriel de F et est de dimension finie. Le théorème du rang donne une relation entre la dimension du noyau et la dimension de l’image de f. Théorème 3 (Théorème du rang). Soit f : E — F une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels, E étant de dimension finie. Alors dimE = dim Ker f + dimimf Autrement dit : | dimE = dimKer f +rgf Dans la pratique, cette formule sert à déterminer la dimension du noyau connaissant le rang, ou bien le rang connaissant la dimension du noyau. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. APPLICATIONS LINÉAIRES EN DIMENSION FINIE 10 Démonstration. C’est immédiat à partir du théorème du rang. En effet, la propriété f injective équivaut à Ker f = {0}, donc d’après le théorème du rang, f est injective si et seulement si dimimf = dimE. D’après l'hypothèse sur l'égalité des dimensions de E et de F, ceci équivaut à dimimf = dimF. Cela équivaut donc à Imf = F, c’est-à-dire f est surjective. O Exemple 10. Soit f : IR? — R? définie par f(x, y) = (x— y, x + y). Une façon simple de montrer que l'application linéaire f est bijective est de remarquer que l’espace de départ et l’espace d’arrivée ont même dimension. Ensuite on calcule le noyau : Gy)eKkerf = f(x, y)=0 > (x—y,x +7) = (0,0) x+y = 0 … 2 { x-y = 0 = (x,y)=(0,0) Ainsi Kerf = {(o, 0)} est réduit au vecteur nul, ce qui prouve que f est injective et donc, par le théorème 4, que f est un isomorphisme. Exemple 11. On termine par la justification que si une matrice admet un inverse à droite, alors C'est aussi un inverse à gauche. La preuve se fait en deux temps : (1) l’existence d’un inverse à gauche ; (2) l'égalité des inverses. Soit Ae M,(K) une matrice admettant un inverse à droite, c’est-à-dire il existe B € M,(K) tel que AB = I. 1. Soit f : M,(K) — M,(K) définie par f (M)= MA. (a) f est une application linéaire, car f (AM + uN) = (AM +uN)A= Af(M)+uf(N). () f est injective : en effet supposons f (M) = O (où O est la matrice nulle), cela donne MA= O. On multiplie cette égalité par B à droite, ainsi MAB = OB, donc MI = O, donc M = 0. (©) Par le théorème 4, f est donc aussi surjective. (d) Comme f est surjective, alors en particulier l'identité est dans l’image de f. C'est-à-dire il existe C € M,(K) tel que f(C) = 1. Ce qui est exactement dire que C est un inverse à gauche de A: CA=1. 2. Nous avons AB = I et CA= I. Montrons B = C. Calculons CAB de deux façons : (CAÏB=IB=B et C(AB)=CI=C doncB=C. Mini-exercices. 1. Soit (e1,e,e3) la base canonique de R°. Donner l'expression de f(x, y,z) où f : IR? — IR est l'application linéaire qui envoie e, sur son opposé, qui envoie e, sur le vecteur nul et qui envoie e; sur la somme des trois vecteurs €, €), €3. 2. Soit f : IR? — R? définie par f(x, y,z)=(x—2y —3z,2y + 3x). Calculer une base du noyau de f, une base de l'image de f et vérifier le théorème du rang. 3. Même question avec f : R°? — R° définie par f(x,y,z) =(—y+2,x+2,x+y). 4. Même question avec l'application linéaire f : R,[X]— R,[X] qui à X4 associe X*-1 pour 1 < k < net qui à 1 associe 0. 5. Lorsque c’est possible, calculer la dimension du noyau, le rang et dire si f peut être injective, surjective, bijective : + Une application linéaire surjective f : R7 — R4. + Une application linéaire injective f : R° — R$. + Une application linéaire surjective f : R*— R4. + Une application linéaire injective f :R° — Ré. PLICATION LINÉAIRE 11 MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 3. MATRICE D'UN 3. Matrice d’une application linéaire Nous allons voir qu’il existe un lien étroit entre les matrices et les applications linéaires. À une matrice on associe naturellement une application linéaire. Et réciproquement, étant donné une application linéaire, et des bases pour les espaces vectoriels de départ et d’arrivée, on associe une matrice. Dans cette section, tous les espaces vectoriels sont de dimension finie. 3.1. Matrice associée à une application linéaire Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Soient p la dimension de E et 8 = (e,...,e,) une base de E. Soient n la dimension de F et #°=(f,,...,f,) une base de F. Soit enfin f : E — F une application linéaire. Les propriétés des applications linéaires entre deux espaces de dimension finie permettent d'affirmer que : + l’application linéaire f est déterminée de façon unique par l’image d’une base de E, donc par les vecteurs fa), f(e2),...,f(es). + Pour je {1,...,p}, f(e;) est un vecteur de F et s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base 8° =(f,, fr, .…, fa) de F. Il existe donc n scalaires uniques As Dj An (parfois aussi notés Qijs Ge» Anj) tels que &j @j fe;)= jf +Qf2 ++ Qnjfn = An,j) ge Ainsi, l'application linéaire f est entièrement déterminée par les coefficients (a; ;J(; ÿe(1,..n}x{1.p}: 11 6st donc naturel d'introduire la définition suivante : Définition 4. La matrice de l'application linéaire f par rapport aux bases 4 et 4” est la matrice (ai) € M;,(K) dont la j-ème colonne est constituée par les coordonnées du vecteur f (e;) dans la base 8° =(f1, f2,..., fn) : FC) -.. fle;) -.. f(e) f fan j Gp f an Qj +. Gp fi Van je Gp En termes plus simples : c’est la matrice dont les vecteurs colonnes sont l’image par f des vecteurs de la base de départ #, exprimée dans la base d’arrivée #8”. On note cette matrice Matg, æ(f ). Remarque. + La taille de la matrice Maty, # (f ) dépend uniquement de la dimension de E et de celle de F. + Par contre, les coefficients de la matrice dépendent du choix de la base Z de E et de la base 3’ deF. Exemple 12. Soit f l'application linéaire de R° dans R? définie par f : R — R GisX2,X3) > (ri + 2x2 — X3,X1 — 2x2 + 3x3) : : 6 : ci A. : : x Il est utile d'identifier vecteurs lignes et vecteurs colonnes ; ainsi f peut être vue comme l’application f : (©) eo à ss ) 2x3 Soient = (e,,e, e3) la base canonique de R° et #’ = (f,, f)) la base canonique de R?. C'est-à-dire : 1 0 0 1 0 af) ef af) 20) 4-0) 0 0 1 1. Quelle est la matrice de f dans les bases % et 93°? + Ona f(e1) = f(1,0,0)= (1,1)= fi + f2. La première colonne de la matrice Maty, x(f ) est donc (1). MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 3. MATRICE D'UNE APPLICATION LINÉAIRE 12 + De même f(e2) = f(0,1,0) = (1,—2) = f, —2f2. La deuxième colonne de la matrice Maty (f ) est donc (2) —). - Enfin f(e3) = f(0,0,1) = (—1,3)=—f1 + 3/2. La troisième colonne de la matrice Maty, (f ) est donc (=! ). Ainsi : 1 1 —1 Matg,# (f) = Ç 2 3 ) 2. On va maintenant changer la base de l’espace de départ et celle de l'espace d’arrivée. Soient les vecteurs 1 1 0 1 1 a=[1) &=[0) e;s=|1 #=(1) #=(1) 0 1 1 On montre facilement que Z, = (€, €, 3) est une base de R° et B6 = (P1; 2) est une base de R2. Quelle est la matrice de f dans les bases 48, et 4 ? F(e:)=f(1,1,0)=(2,—1)= 38h: — 2, f(e2)= F(1,0,1)= (0,4) = —4h1 +42, f(é2) = f(0,1,1) = (0,1) = —1+ 2, donc Matt = (3, x 3) Cet exemple illustre bien le fait que la matrice dépend du choix des bases. 3.2. Opérations sur les applications linéaires et les matrices Proposition 8. Soient f,g : E — F deux applications linéaires et soient 8 une base de E et %' une base de F. Alors : + Maty 9 (+8) = Mat, 9 (7) + Maty (8) + Mat, (Af) = AMats,a(f) Autrement dit, si on note : A=Matg,(f) B=Mats(g) C=Matgg(f +8) D =Mats (Af) Alors : C=A+B D=)A Autrement dit : la matrice associée à la somme de deux applications linéaires est la somme des matrices (à condition de considérer la même base sur l’espace de départ pour les deux applications et la même base sur l’espace d'arrivée). Idem avec le produit par un scalaire. Le plus important sera la composition des applications linéaires. Proposition 9. Soient f :E — F et g : F — G deux applications linéaires et soient 8 une base de E, #' une base de F et 8" une base de G. Alors : Mat, (g ° f)= Maty,» (8) X Mat æ(f) Autrement dit, si on note : A=Mats sf) B=Matyu(g) C=Maty a(g0f) Alors C=BxA Autrement dit, à condition de bien choisir les bases, la matrice associée à la composition de deux applications linéaires est le produit des matrices associées à chacune d’elles, dans le même ordre. En fait, le produit de matrices, qui semble compliqué au premier abord, est défini afin de correspondre à la composition des applications linéaires. Démonstration. Posons p = dim(E) et & = (e,,...,e,) une base de E; n= dimF et B'=(f,...,f,) une base de F;q= dimG et 8" = (g1,...,84) une base de G. Écrivons À = Maty, 3(f) = (aij) € Mi)(K) la matrice de f, B=Mat,,(g) = (bij) € My n(K) la matrice de g, C = Maty,#(g © f) =(ci;) € Mop(K) la matrice de go f. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 3. MATRICE D'UN PLICATION LINÉAIRE 15 Voici le cas particulier très important d’un endomorphisme f : E — E où E est muni de la même base 4 au départ et à l’arrivée et A = Mat;(f). Corollaire 2. + _f est bijective si et seulement si A est inversible. + Si f est büjective, alors la matrice associée à f 7! dans la base est AT. Autrement dit : Mat y(f71) = (Maty). Exemple 16. Soient r : R? — R? la rotation d'angle + (centrée à l'origine) et s la réflexion par rapport à l'axe (y = x). Quelle est la matrice associée à (s or)! dans la base canonique Z ? 1 72 A |: 2 os Pour 9 = £, on trouve la matrice A= Mat(r)= (50 —5in0) + Pour 0 = %, on trouve la matrice A= Mata(r)=| 0 so ]= Cie NS : 24 avi 0 1 + La matrice associée à la réflexion est B = Mat g(s) = 1 0) B \t 2 = 1 T2 ATIB-l=... + On note que (BA) ! = BA ce qui, en termes d'applications linéaires, signifie que (so r)-? =so r. Autrement dit, sor est son propre inverse. 43 1 + La matrice desor est B ra [ 2 dE Las + La matrice de (so r)"! est (BA)! = ( sé ) On aurait aussi pu calculer ainsi : (BA)! = éjore Preuve du théorème 5. On note A= Maty, æ(f). + Si f est bijective, notons B = Mat, a(f 7). Alors par la proposition 9 on sait que BA= Maty a(f 7) X Mat 9 (f) = Mat, af 0 f)= Maty a(idy) =. De même AB = I. Ainsi A = Mat; % (f ) est inversible et son inverse est B= Maty, 3(f 1). *_ Réciproquement, si A = Mat; #(f) est une matrice inversible, notons B = A"1, Soit g : F — E l'application linéaire telle que B = Maty #(g). Alors, toujours par la proposition 9 : Mat,a(g ° f)= Mat, a(g) X Matz,æ(f) = BA=I Donc la matrice de g o f est l'identité, ce qui implique g o f = id;. De même f o g = id#. Ainsi f est bijective (et sa bijection réciproque est g). D Mini-exercices. 1. Calculer la matrice associée aux applications linéaires f, : R? — R? dans la base canonique : (a) f\ la symétrie par rapport à l'axe (Oy), (b) f, la symétrie par rapport à l’axe (y = x), (c) f; la projection orthogonale sur l'axe (Oy), () f, la rotation d’angle 5 Calculer quelques matrices associées à f, o f; et, lorsque c’est possible, af. 2. Même travail pour f, : IR? — R° : (a) fi l'homothétie de rapport À, () f, la réflexion orthogonale par rapport au plan (Oxz), (c)_f: la rotation d’axe (Oz) d'angle —%, (d) f4 la projection orthogonale sur le plan (Oyz). MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 4. CHANGEMENT DE Bases 16 4. Changement de bases 4.1. Application linéaire, matrice, vecteur Soit E un espace vectoriel de dimension finie et soit 3 =(e,,e,..., ep) une base de E. Pour chaque x €E, il existe un p-uplet unique d'éléments de K (x1,x2,...,x,) tel que X = Xi + X2e ++ Xpen. x 2 La matrice des coordonnées de x est un vecteur colonne, noté Mat;(x) ou encore )g “ E Dans R?, si est la base canonique, alors on note simplement | : | en omettant de mentionner la base. Xe Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et f : E — F une application linéaire. Le but de ce paragraphe est de traduire l'égalité vectorielle y = f(x) par une égalité matricielle. Soient une base de E et #” une base de F. Proposition 10. + Soit A= Maty, (f). E + Pourx€E, notons X = Mat (x) = | : Jay ui M + Pour y EF, notons Y =Mat(y) = ( : ) . V2 Alors, si y = f(x), on a Autrement dit : Maty (FC) = Mats a (f) X Matg(x) Démonstration. “ + Onpose #=(e,...,0,), 8 = (for. fe), À = (a) = Maty a () eLX = Maty(x)= * + Ona P n FGD=S (S«) =Dxe)=>x; (Eau). j=1 ji j=1 =1 En utilisant la commutativité de K, on a P Fe Dax JA ++ Dax fe ja Eiaax ‘ | Lada + La matrice colonne des coordonnées de y = f(x) dans la base (f, f2,.….., f,) est Xra Qn* Eiaax x Lada #2 + Ainsi la matrice Y = Maty (f (x)) = n’est autre que À an5X5 MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 4. CHANGEMENT DE BASES 17 Exemple 17. Soient E un K-espace vectoriel de dimension 3 et 3 = (e;,e,,e,) une base de E. Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base est égale à be 1 2 A=Mat;(f)=|2 3 11 © On se propose de déterminer le noyau de f et l'image de f. Les éléments x de E sont des combinaisons linéaires de e;, e, et ez : X = xje, +%X262 + X3e3. Ona 0 xekerf = f(x)=0% — Mat (f(x))= | 0 0 0 X1 0 — AX=|0| = Al x |=!0 0 X3 0 X1 + 2X2 + x3 = 0 — 2x, + 3x2 + x3 = 0 X1 + X2 = 0 On résout ce système par la méthode du pivot de Gauss. On trouve Kerf = {ie + Xo6o + Xae3 EE |X1+2X2+x3 = 0 etxo+X3 =0} = {Creer} =ve(),) Le noyau est donc de dimension 1. Par le théorème du rang, l’image Imf est de dimension 2. Les deux premiers 1 2 vecteurs de la matrice A étant linéairement indépendants, ils engendrent Im f : Imf = Vect (G ) , (5), ). 4.2. Matrice de passage d’une base à une autre Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. On sait que toutes les bases de E ont n éléments. Définition 5. Soit 8 une base de E. Soit #’ une autre base de E. On appelle matrice de passage de la base # vers la base ', et on note P,#, la matrice carrée de taille n x n dont la j-ème colonne est formée des coordonnées du j-ème vecteur de la base 4%”, par rapport à la base %. On résume en : La matrice de passage P4,# Contient - en colonnes - les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base 4” exprimés dans l’ancienne base Z. C’est pourquoi on note parfois aussi P3 par Mat (28). Exemple 18. Soit l’espace vectoriel réel R?. On considère 1) +) «+ On considère la base 8 = (e:,e2) et la base 8” = (61,62). Quelle est la matrice de passage de la base % vers la base 43’? Il faut exprimer €; et €, en fonction de (e;,e2). On calcule que : —1 1 an +a( ) au tte=(}) 2/3 4/3 La matrice de passage est donc : (ti a# | 2 4 On va interpréter une matrice de passage comme la matrice associée à l'application identité de E par rapport à des bases bien choisies. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 4. CHANGEMENT DE BASES 20 Le théorème 6 devient alors : Corollaire 3. B=P"tAP Exemple 20. Reprenons les deux bases de R° de l'exemple 19 : 1 0 3 1 0 0 m=|l1||1},|2 eæ æm=||-1|,|1],|0 0 0 —1 0 0 —1 Soit f : R° — R° l'application linéaire dont la matrice dans la base est : 1 0 —6 A=Matg(f)=|-2 2 —-7 0 0 3 Que vaut la matrice de f dans la base >, B = Mat, (f )? 1. Nous avions calculé que la matrice de passage de %, vers %: était 1 0 —3 P=pys=|2 1 — 0 0 1 1 0 3 2. On calcule aussi P1=|2 —1 5 0 O0 1 3. On applique la formule du changement de base du corollaire 3 : 1 0 3 1 0 —6 1 0 -3 1 0 0 B=P-tA4=|2 1 5|x{-2 2 -7|x|2 -1 -1]=[0 2 0 0 0 1 0 0 3 0 0 1 0 0 3 C’est souvent l'intérêt des changements de base, se ramener à une matrice plus simple. Par exemple ici, il est facile de calculer les puissances B*, pour en déduire les AË. 4.4. Matrices semblables Les matrices considérées dans ce paragraphe sont des matrices carrées, éléments de M,(K). Définition 6. Soient À et B deux matrices de M,(K). On dit que la matrice B est semblable à la matrice À s'il existe une matrice inversible P € M,(K) telle que B = PAP. C’est un bon exercice de montrer que la relation « être semblable » est une relation d'équivalence dans l'ensemble M,(R) : Proposition 14. + _La relation est réflexive : une matrice À est semblable à elle-même. + La relation est symétrique : si A est semblable à B, alors B est semblable à A. - La relation est transitive : si A est semblable à B, et B est semblable à C, alors A est semblable à C. Vocabulaire : Compte tenu de ces propriétés, on peut dire indifféremment que la matrice A est semblable à la matrice B ou que les matrices À et B sont semblables. Le corollaire 3 se reformule ainsi : Corollaire 4. Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme, mais exprimé dans des bases différentes. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 4. CHANGEMENT DE BASES 21 Mini-exercices. Soit f : R? — R? définie par f(x, y) = (2x +y,3x—2y), Soit v = canonique de R?. Soit 1 = ((3),(2)) une autre base de R2. € R? avec ses coordonnées dans la base Calculer la matrice de f dans la base canonique. Calculer les coordonnées de f(v) dans la base canonique. En déduire les coordonnées de v dans la base %,, et de f(v) dans la base ,. 1 2. 3. Calculer la matrice de passage de 36 à 1. 4. 5. Calculer la matrice de f dans la base 3,. Même exercice dans R° avec f : R? — R°, f(x, y,z) = (x —2y,y —2z,z — 2x), v = (à) Ee R° et , = (D.@.(). . Auteurs du chapitre + D’après un cours de Sophie Chemla de l’université Pierre et Marie Curie, reprenant des parties d’un cours de H. Ledret et d’une équipe de l’université de Bordeaux animée par J. Queyrut, + réécrit et complété par Arnaud Bodin. Relu par Vianney Combet.