Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de ..., Examens de Mathématiques

Télécharge Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de ... et plus Examens au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Chapitre 18 Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de dimension finie Table des matières 1 Somme de sous-espaces vectoriels - espaces vectoriels supplémentaires 3 1.1 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Famille génératrice d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Caractérisation d’une somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Le raisonnement par analyse-synthèse pour prouver qu’une somme est directe. . . . . . . . 6 1.2.4 Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Espaces vectoriels de dimension finie 8 2.1 Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.1 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.2 Théorème de la dimension et notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.3 Familles libres, génératrices en dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.4 Un dernier résultat à connaître : Base de Taylor Rn[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1 Rang d’une famille finie de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.2 Déterminer le rang d’une famille de vecteur en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Sommes de sous-espaces vectoriels en dimension finie 13 3.1 Dimension d’une somme en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Somme directe et dimension (en dimension finie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3 Espaces supplémentaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3.1 Cas de deux sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3.2 Généralisation à p sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 Preuves et solutions 16 4.1 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de dimension finie ECS1 - Mathématiques (I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de dimension finie 5 1.1.2 Famille génératrice d’une somme Proposition 4. (Somme de deux sev dont on a des familles génératrices) (Voir la preuve) Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E et F1 une famille génératrice de F et F2 une famille génératrice de G (et donc F = Vect(F1) et G = Vect(F2)). Alors F +G = Vect(F1 ∪ F2). Autrement dit : On obtient une famille génératrice de F + G en concaténant une famille génératrice de F et une famille génératrice de G. Exercice de cours 2. (Voir la correction) On pose E1 = Vect ((1, 0, 1) , (0, 1, 1)) et E2 = Vect ((1, 0, 0) , (0, 1, 0)). 1. Donner une famille génératrice de E1 + E2. 2. Montrer que E1 + E2 = R3. 1.2 Somme directe 1.2.1 Définition Définition 3. (Somme directe) Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E, on dit que la somme F +G est directe et on note F ⊕G, si tout vecteur z de F +G s’écrit de manière unique sous la forme z = x+ y avec x ∈ F et y ∈ G. On dit aussi que "F et G sont en somme directe" Remarque. La notation F ⊕G dit donc deux choses à la fois : elle désigne la somme de F et G et elle dit en même temps que cette somme est directe. Exemple 3. On a vu dans l’exercice 1 que le vecteur (1, 1, 1) pouvait s’écrire de plusieurs façons comme somme d’un élément de F et d’un élément de G. Donc la somme F + G n’était pas directe dans cet exercice. Définition 4. (Somme directe de p sous-espaces vectoriels) Soit p ∈ N∗, F1, F2, . . . , Fp des sous-espaces vectoriels de E. On dit que ces sous-espaces vectoriels sont en somme directe et on note F1 ⊕ F2 ⊕ . . . ⊕ Fp leur somme, si tout vecteur x ∈ F1 + F2 + . . . + Fp s’écrit de manière unique comme somme x = x1 + x2 + . . .+ xp avec x1 ∈ F1, x2 ∈ F2, . . . xp ∈ Fp. Remarque. F1 ⊕ F2 ⊕ . . .⊕ Fp se note aussi p⊕ k=1 Fk (I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts ECS1 - Mathématiques 6 Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de dimension finie 1.2.2 Caractérisation d’une somme directe Proposition 5. (Caractérisation d’une somme directe par l’intersection) (Voir la preuve) Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E. La somme F +G est directe si et seulement si F ∩G = {0}. Exercice de cours 3. (Voir la correction) On admet que les ensembles F et G ci-dessous sont des sous-espaces vectoriels de R3 : F = { (x, y, z) ∈ R3|4x+ 2y − 3z = 0 } et G = { (2t,−3t, t)|t ∈ R } . Montrer que F et G sont en somme directe. 1.2.3 Le raisonnement par analyse-synthèse pour prouver qu’une somme est directe. L’exercice suivant permet de se familiariser avec un certain type de raisonnement dit par analyse-synthèse. C’est un raisonnement qui est souvent utilisé pour prouver l’existence et l’unicité d’un objet mathématique. Mais dans la plupart des cas, on prouvera qu’un somme est directe de façon plus simple (voir la section suivante). Exercice de cours 4. (Voir la correction) Prouver les deux assertions suivantes, où Sn(R) etAn(R) désignent respectivement l’ensemble des matrices symétriques et antisymétriques réelles d’ordre n. Pour ces deux questions, vous utiliserez la méthode d’analyse-synthèse décrite ci-dessous. 1. Mn(R) = Sn(R)⊕An(R) 2. On note F l’ensemble des fonctions définie sur R, P l’ensemble des fonctions paires définies sur R et I l’ensemble des fonctions impaires définies sur R. On admet que P et I sont des sous-espaces vectoriels de F . Montrer que : F = P ⊕ I. Indication : méthode d’analyse-synthèse illustrée sur la question 1 Le but est de la question 1 est de prouver toute matrice M ∈ Mn(R) s’écrit de façon unique sous la forme : M = S + A où S ∈ Sn(R) et A ∈ An(R). Autrement dit, qu’il existe un unique couple (S,A) avec S ∈ Sn(R) et A ∈ An(R) tel que M = S +A. • Etape 1 - Analyse : Supposer qu’un tel couple existe et en déduire une expression de S et A en fonction de M . Cela prouvera que si le couple (S,A) existe, alors il est unique. • Etape 2 - Synthèse : Vérifier que si on prend S et A comme trouvées à l’étape 1, elles vérifient bien ce que l’on veut, c’est-à-dire : S ∈ Sn(R), A ∈ An(R) et M = S +A. ECS1 - Mathématiques (I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts 8 Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de dimension finie 2 Espaces vectoriels de dimension finie 2.1 Notion de dimension On définit la notion d’espace vectoriel de dimension finie avant même de donner une définition au terme de dimension. C’est une construction qui peut surprendre, mais qui permet d’introduire rigoureusement, dans un second temps, la notion de dimension. 2.1.1 Espaces vectoriels de dimension finie Définition 6. (Espace vectoriel de dimension finie) Un espace vectoriel est dit de dimension finie lorsqu’il admet une famille génératrice finie (c’est-à-dire une famille génératrice ayant un nombre fini d’éléments). Sinon on dit que c’est un espace vectoriel de dimension infinie. Exemple 5. • R3 admet comme famille génératrice (e1, e2 e3) avec e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). C’est une famille génératrice finie, donc R3 est un espace vectoriel de dimension finie. • R3[X] admet comme famille génératrice (X3, X2, X, 1) qui est une famille finie, donc R3[X] est un espace vectoriel de dimension finie. • M2(R) admet comme famille génératrice (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) avec E1,1 = ( 1 0 0 0 ) , E1,2 = ( 0 1 0 0 ) , E2,1 = ( 0 0 1 0 ) , E2,2 = ( 0 0 0 1 ) . C’est une famille finie doncM2(R) est un espace vectoriel de dimension finie. Proposition 7. (evdf de référence) Pour tout entier n ∈ N∗, Rn, Rn[X] etMn(R) sont des espaces vectoriels de dimension finie. Nous ne prouverons pas cette proposition mais la preuve est immédiate et basée sur la même idée que l’exemple ci-dessus. Exercice de cours 5. (Voir la correction) Montrer (par l’absurde) que R[X] est un espace vectoriel de dimension infinie. ECS1 - Mathématiques (I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de dimension finie 9 2.1.2 Théorème de la dimension et notion de dimension Dans cette partie, on va montrer que toutes les bases d’un espace vectoriel de dimension finie ont le même nombre d’éléments. On a besoin pour cela des des premiers théorèmes ci-dessous qui sont utiles également en eux-mêmes pour les exercices et qu’il faudra retenir. Théorème 8. (Théorème de la base extraite) (Voir la preuve) Si E admet une famille génératrice finie (x1, . . . , xn), alors il existe une base de E constituée de vecteurs de (x1, . . . , xn). (En résumé : De toute famille génératrice finie, on peut extraire une base) Théorème 9. (famille plus grande qu’une famille génératrice) (Voir la preuve) Une famille ayant plus d’éléments qu’une famille génératrice est liée. ou encore : Une famille ayant moins d’éléments qu’une famille libre n’est pas génératrice. Théorème 10. (Théorème de la dimension) (Voir la preuve) Toutes les bases d’un espace vectoriel de dimension finie ont le même nombre d’éléments. Définition 7. (Dimension d’un espace vectoriel de dimension finie) Soit E un espace vectoriel de dimension finie. On appelle dimension de E le nombre d’éléments de toute base de E. (d’après le théorème précédent, ce nombre ne dépend pas de la base choisie). Un espace vectoriel de dimension 1 est appelé droite vectorielle. Un espace vectoriel de dimension 2 est appelé plan vectoriel. Remarque. (Dimension d’un l’espace vectoriel réduit au vecteur nul) On admettra que : dim {0} = 0. Exemple 6. • R3 admet comme base (e1, e2 e3) avec e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Les bases de R3 ont donc 3 éléments. Donc dimR3 = 3. • R3[X] admet comme famille génératrice (1, X,X2, X3) qui a quatre éléments donc : dim (R3[X]) = 4. Attention au piège ! ! dim (R3[X]) 6= 3 ! ! ! ! ! ! ! • M2(R) admet comme famille génératrice (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) avec E1,1 = ( 1 0 0 0 ) , E1,2 = ( 0 1 0 0 ) , E2,1 = ( 0 0 1 0 ) , E2,2 = ( 0 0 0 1 ) . Donc dim (M2(R)) = 4. (I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts ECS1 - Mathématiques 10 Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de dimension finie Il faut connaître PAR COEUR la proposition suivante, qui est FONDAMENTALE ! (et dont la preuve est immédiate car nous connaissons les bases canoniques de ces espaces.) Proposition 11. (dimensions des evdf de référence) Pour tout entier n ∈ N∗, • dimRn = n • dimRn[X] = n+ 1 • dimMn(R) = n2 2.1.3 Familles libres, génératrices en dimension n Maintenant que la notion de dimension a un sens, voici deux propositions et un théorème très utiles en pratique. Il faut donc les connaître PAR COEUR. La proposition suivante est une conséquence immédiate du théorème 9 (mais vous devez comprendre pourquoi) : Proposition 12. (Tailles maximales (resp. minimale) des familles libres (resp. génératrices)) Dans un espace vectoriel de dimension n, • toute famille libre a au plus n éléments • toute famille génératrice a au moins n éléments Proposition 13. (Caractérisation des bases dans un ev de dimension n) (Voir la preuve) Soit E un espace vectoriel de dimension n • Toute famille libre de n éléments est une base de E • Toute famille génératrice de n éléments est une base de E. Voici un exercice classique à savoir refaire absolument par tous ! Exercice de cours 6. (Voir la correction) 1. Démontrer que B = ( (1, 0, 1), (2, 1, 0), (1, 1, 1) ) est une base de R3 2. Déterminer le vecteur u0 qui a pour coordonnées (−5,−3,−1) dans cette base. 3. On note u1 le vecteur de coordonnées (−5,−3,−1) dans la base canonique. Déterminer les coor- données de u1 dans la base B. Un autre, tout aussi classique, à savoir refaire ! Exercice de cours 7. (Voir la correction) 1. Démontrer que B = (1, X + 1, X2 − 1) est une base de R2[X]. 2. Déterminer le polynôme P de coordonnées (−2, 3, 1) dans cette base. 3. Déterminer les coordonnées dans la base B du polynôme Q = 2X2 − 3X + 1. ECS1 - Mathématiques (I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de dimension finie 13 Proposition 18. (Opérations sur le rang) Soit F = (u1, . . . , up) une famille de vecteurs. On ne change pas rgF si on : 1. enlève le vecteur nul (si la famille F en contient un !), ou un vecteur redondant, ou un vecteur qui s’écrit comme une combinaison linéaire des autres vecteurs, 2. permute des vecteurs, 3. multiplie un vecteur par un scalaire non nul, 4. remplace un vecteur par une combinaison linéaire de ce vecteur (avec un coefficient non nul pour ce vecteur) et d’autres vecteurs de la famille. Exercice de cours 10. (Voir la correction) On considère la famille F = (x1, x2, x3) avec x1 = (1, 0,−1), x2 = (−1, 2, 1), x3 = (1, 2,−1). Déterminer le rang de F . 3 Sommes de sous-espaces vectoriels en dimension finie 3.1 Dimension d’une somme en dimension finie Proposition 19. (Dimension de F +G (en dimension finie)) (Voir la preuve) Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On a : dim(F +G) = dimF + dimG− dim(F ∩G) Cette formule doit être connue par cœur par tous ! ! Vous remarquez qu’elle fait penser à la formule du crible vu en probabilité. Il ne faut pas confondre ces deux formules qui ne disent pas du tout la même chose (et donc ne pas écrire dim(F ∪G) = dimF + dimG−dim(F ∩G) car dim(F ∪G) n’a, en général, aucun sens, puisque F ∪G n’est, en général, pas un espace vectoriel !) 3.2 Somme directe et dimension (en dimension finie) Proposition 20. (Dimension d’une somme directe de 2 espace vectoriels) (Voir la preuve) Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Si F et G sont en somme directe alors dim(F ⊕G) = dimF + dimG Cette proposition se généralise à p sous-espaces : Proposition 21. (Dimension d’une somme directe de p espace vectoriels) (admis) Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F1, F2, . . . , Fp des sous-espaces vectoriels de E. Si ces sous-espaces vectoriels sont en somme directe, on a : dim (F1 ⊕ F2 ⊕ . . .⊕ Fp) = dimF1 + dimF2 + · · ·+ dimFp. (I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts ECS1 - Mathématiques 14 Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de dimension finie 3.3 Espaces supplémentaires en dimension finie 3.3.1 Cas de deux sous-espaces Toutes les propositions de cette section sont importantes ! Proposition 22. (Supplémentaire d’un sous-espace vectoriel en dimension finie) (Voir la preuve) Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E. F admet un supplémentaire. Autrement dit : Un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de dimension finie admet toujours un supplé- mentaire Proposition 23. (Caractérisation E = F ⊕G par la dimension de la somme et par F ∩G) (admis) Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On a : E = F ⊕G ⇐⇒ { dimF + dimG = dimE F ∩G = {0} . Exercice de cours 11. (Voir la correction) On reprend l’énoncé de l’exercice 3. Montrer que F ⊕G = R3. Exercice de cours 12. (Voir la correction) On reprend l’énoncé de l’exercice 2. On rappelle qu’on a posé E1 = Vect ( (1, 0, 1) , (0, 1, 1) ) et E2 = Vect ( (1, 0, 0) , (0, 1, 0) ) . On a vu dans l’exercice 2 que R3 = E1 + E2. Montrer que E1 et E2 ne sont pas supplémentaires. Exercice de cours 13. (Voir la correction) On pose F = Vect (2X + 1) et G = Vect ( X2, 1 ) . Montrer que F et G sont supplémentaires dans R2[X]. Proposition 24. (Caractérisation E = F ⊕G par concaténation des bases) (admis) Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On a : E = F ⊕G ⇐⇒ il existe une base de E qui est la concaténation d’une base de F et d’une base de G Une telle base de E est alors appelée base de E adaptée à F et G. Exercice de cours 14. (Voir la correction) Reprendre l’exercice précédent en utilisant la concaténation des bases. ECS1 - Mathématiques (I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de dimension finie 15 3.3.2 Généralisation à p sous-espace vectoriel Proposition 25. (Caractérisation de E = F1 ⊕ F2 ⊕ . . .⊕ Fp par la dimension) (admis) Soit p ∈ N∗ et F1, F2, . . . Fp des sous-espaces vectoriels de E un espace vectoriel de dimension finie. Alors E = F1 ⊕ F2 ⊕ . . .⊕ Fp ⇐⇒  E = F1 + F2 + . . .+ Fp et dimE = dimF1 + dimF2 + . . .+ dimFp Proposition 26. (Caractérisation de E = F1 ⊕ F2 ⊕ . . .⊕ Fp par concaténation des bases) (admis) Soit p ∈ N∗ et F1, F2, . . . Fp des sous-espaces vectoriels de E un espace vectoriel de dimension finie. Alors E = F1 ⊕ F2 ⊕ . . . ⊕ Fp si et seulement si il existe une base de E qui est la concaténation d’une base de F1, d’une base de F2, . . ., d’une base de Fp. (cette base est dite adaptée à la somme directe). (I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts ECS1 - Mathématiques Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de dimension finie 17 Preuve du théorème 8 Rappelons d’abortd un résultat vu dans le chapitre 15 qui sera utile : Si dans une famille génératrice (x1, . . . , xn), xn est combinaison linéaire des autres vecteurs, alors (x1, . . . , xn−1) est une famille génératrice. Prouvons maintenant le théorème de la base extraite : Traitons déjà le cas très particulier (et abstrait) où E est un espace vectoriel réduit à son vecteur nul. Dans ce cas, sa seule base est la famille vide qui est bien une sous famille de (x1, . . . , xn). On traite maintenant les cas où E n’est pas réduit à son vecteur nul. Si (x1, . . . , xn) est libre alors (x1, . . . , xn) est une base. Sinon, un vecteur de (x1, . . . , xn), disons xn (quitte à les renuméroter), est une combinaison linéaire des autres. Alors (x1, . . . , xn−1) est une famille génératrice. On recommence : soit (x1, . . . , xn−1) est libre et c’est une base, soit un de ses vecteurs, disons xn−1 (quitte à les renuméroter), est combinaison linéaire des autres. Alors (x1, . . . , xn−2) est génératrice. On continue ainsi de suite. Soit on arrive à une famille libre et donc à une base, soit on arrive à la fin au fait que la famille (x1) est génératrice, donc que x1 6= 0E (puisque E n’est par réduit à son vecteur nul) et donc que (x1) est une famille libre, donc une base. Dans tous les cas, on a extrait une base de la famille génératrice. (retour au théorème 8) Preuve du théorème 9 Commençons par prouver un lemme nommé lemme d’échange : Soit L une famille libre et L ′ une sous-famille stricte de L (L ′ ⊂ L et L ′ 6= L ). On suppose qu’il existe une famille F telle que G = L ′ ∪ F est génératrice. Alors on peut obtenir une famille génératrice en échangeant un élément de F par un élément de L \L ′. Preuve du lemme d’échange : Soit y ∈ L \L ′. G étant génératrice, y s’écrit comme combinaison linéaire des éléments de G = L ′ ∪ F : y = ∑ x∈G λxx. Dans cette combinaison, les coefficients des éléments de F ne sont pas tous nuls car sinon y serait combinaison linéaire d’éléments de L ′ ce qui contredit le fait que L soit libre. Donc il existe un élément x0 ∈ F tel que λx0 6= 0. On a alors x0 = 1 λx0 y − ∑ x∈G\{x0} λxx . Donc x0 ∈ Vect(G ′) où G ′ est la famille obtenue en échangeant x0 par y dans G . Donc tout élément de G est combinaison linéaire d’éléments de G ′. Or G est génératrice, donc G ′ est génératrice. On remarquera que dans ce lemme, la famille L ′ peut tout à fait être vide (oui, la famille vide est bien libre. Pourquoi ?) Prouvons maintenant le théorème : Supposons par l’absurde qu’il existe une famille génératrice G ayant n vecteurs et une famille libre L ayant m vecteurs avec m > n. D’après le lemme d’échange, on peut obtenir une famille génératrice en échangeant un vecteur G par un vecteur de L . On obtient alors une famille génératrice G1 constituée d’1 vecteur de L et de n− 1 vecteurs de G . On recommence, en échangeant un de ces n− 1 vecteurs de G par un des vecteur m− 1 vecteurs restant de de L . On obtient ainsi une famille génératrice G2 constituée de 2 vecteurs de L et de n− 2 vecteurs de G . On continue ainsi de suite jusqu’à obtenir une famille génératrice Gn constituées de n vecteurs de L c’est-à-dire uniquement de vecteurs de L . Puisque m > n, L \ Gn n’est pas vide. Il existe donc un vecteur de L qui est combinaison linéaire des autres vecteurs de L : absurde puisque L est libre ! (retour au théorème 9) (I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts ECS1 - Mathématiques 18 Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de dimension finie Preuve du théorème 10 Supposons par l’absurde qu’il existe une base B avec n éléments et une base B′ avec m éléments avec n < m. B′ est plus grande que B qui est génératrice. Donc, d’après le théorème 9, B′ est liée : absurde puisque c’est une base. (retour au théorème 10) Preuve de la proposition 13 Soit L une famille libre à n éléments. Supposons par l’absurde qu’elle ne soit pas génératrice. D’après le théorème de la base extraite (théorème 8), on peut extraire une base de L , ce qui est absurde car on aurait alors une base de taille strictement inférieure à n. Soit G une famille génératrice à n éléments. Supposons par l’absurde qu’elle ne soit pas libre. Alors un de ses vecteurs s’exprime comme combinaison linéaire des autres et donc on obtient encore une famille génératrice en ôtant ce vecteur de G . On obtient alors une famille génératrice à n− 1 éléments. Absurde d’après la proposition 12 qui dit qu’une famille génératrice de E a au moins n éléments ! (retour à la proposition 13) Preuve de la proposition 14 (x1, . . . , xp) n’est pas génératrice, donc il existe y ∈ E tel que y /∈ Vect(x1, . . . , xp). Montrons que (x1, . . . , xp, y) est encore libre. Soit (λ1, . . . , λp+1) ∈ Rp+1 tel que λ1x1 + · · ·+ λpxp + λp+1y = 0. λp+1 = 0 car sinon on pourrait exprimer y comme combinaison linéaire des xi. Donc λ1x1 + · · ·+ λpxp = 0, or (x1, . . . , xp) est libre, donc λ1 = · · · = λp = 0. On réitère ce processus jusqu’à avoir n n vecteurs. (retour à la proposition 14) Preuve du théorème 15 Si F est réduit au vecteur nul, alors il est de dimension 0 donc finie, et on a bien dimF ≤ dimE. Sinon, soit x1 ∈ F non nul. On procède comme dans la démonstration du théorème de la base incomplète : La famille (réduite à un seul vecteur) (x1) est libre (car x1 6= 0E) donc dimE ≥ 1. Soit cette famille est génératrice de F et donc c’est une base et donc F est de dimension finie et dimF = 1 ≤ dimE. Soit cette famille n’est pas génératrice de F et donc il existe x2 ∈ F telle que (x1, x2) est libre. Cela implique au passage que dimE ≥ 2. De nouveau, soit la famille (x1, x2) est génératrice de F et alors F est de dim finie avec dimF = 2 ≤ dimE. Soit la famille (x1, x2) n’est pas génératrice de F et donc il existe x3 ∈ F tel que (x1, x2, x3) est libre (ce qui implique au passage que dimE ≥ 4. On continue ce processus, qui s’arrête soit si on obtient une famille génératrice de F , soit si on arrive à n vecteurs avec n = dimE. Dans ce dernier cas, la famille est libre à n vecteurs donc c’est une base, donc elle est génératrice de E donc de F qui est donc égal à E. (retour au théorème 15) Preuve de la proposition 16 Notons n la dimension de G. On a donc aussi dimF = n. Donc il existe une base B de F avec n éléments. B est une famille libre de F , donc de G, et elle possède n éléments, c’est donc aussi une base de G. Ainsi tout vecteur de G s’écrit comme combinaison linéaire de vecteurs de B donc de vecteurs de F donc G ⊂ F . Or F ⊂ G ECS1 - Mathématiques (I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts Somme de sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels de dimension finie 19 donc F = G (retour à la proposition 16) Preuve de la proposition 17 1. (x1, . . . , xp) est par définition une famille génératrice de Vect(x1, . . . , xp) donc dim ( Vect(x1, . . . , xp) ) ≤ p. Vect(x1, . . . , xp) est inclus dans E donc dim ( Vect(x1, . . . , xp) ) ≤ n. 2. Si dim ( Vect(x1, . . . , xp) ) = p alors (x1, . . . , xp) est une famille génératrice de p vecteurs d’un espace de dimension p donc c’est une base donc elle est libre. Réciproquement, si (x1, . . . , xp) est libre, c’est une base de Vect(x1, . . . , xp) qui est donc de dimension p. 3. Si dim ( Vect(x1, . . . , xp) ) = n alors Vect(x1, . . . , xp) = E (d’après la proposition 16) et donc (x1, . . . , xp) est une famille génératrice de E. Réciproquement, si (x1, . . . , xp) est une famille génératrice de E alors tout vecteur de E est combinaison linéaire de cette famille. Donc E = Vect(x1, . . . , xp) et donc n = dimE = dim (Vect(x1, . . . , xp)). 4. D’après le point 2 avec p = n : rg (x1, . . . , xn) = n ⇐⇒ (x1, . . . , xn) est libre . D’après le point 3 avec p = n : rg (x1, . . . , xn) = n ⇐⇒ (x1, . . . , xn) est génratrice . Donc rg (x1, . . . , xn) = n ⇐⇒ (x1, . . . , xn) est une base . (retour à la proposition 17) Preuve de la proposition 19 Soit (x1, . . . , xp) une base de F ∩G. On la complète par yp+1, . . . , yr ∈ F de sorte que (x1, . . . , xp, yp+1, . . . , yr) est une base de F et par zp+1, . . . , zs ∈ G de sorte que (x1, . . . , xp, zp+1, . . . , zs) est une base de G. On remarque que (x1, . . . , xp, yp+1, . . . , yr, zp+1, . . . , zs) est une famille génératrice de F +G. En effet, si u ∈ F + G, alors u = uF + uG avec uF ∈ F et uG ∈ G et donc uF est une combinaison linéaire de (x1, . . . , xp, yp+1, . . . , yr) et uG une combinaison linéaire de (x1, . . . , xp, zp+1, . . . , zs) et au final, u est bien une combinaison linéaire de (x1, . . . , xp, yp+1, . . . , yr, zp+1, . . . , zs). Montrons que (x1, . . . , xp, yp+1, . . . , yr, zp+1, . . . , zs) est libre. Soit λ1, . . . , λp, µp+1, . . . , µr, γp+1, . . . , γs tels que∑ λixi + ∑ µiyi + ∑ γizi = 0 On a alors ∑ γizi = − ∑ λixi − ∑ µiyi ∈ F donc ∑ γizi ∈ F ∩ G, donc nécessairement ∑ γizi = 0 (car sinon on aurai ∑ γizi qui s’écrirait comme une combinaison linéaire des (x1, . . . , xp) ce qui contredit la liberté de la famille (x1, . . . , xp, zp+1, . . . , zs)). Et comme la famille (zi) est libre, les γi valent 0. De même ∑ µiyi ∈ G donc nécessairement ∑ µiyi = 0 et les µi valent 0 et ainsi les λi aussi (par liberté de la famille (xi). Donc la famille (x1, . . . , xp, yp+1, . . . , yr, zp+1, . . . , zs) est libre. Donc c’est une base de F + G et son cardinal est dimF + dimG− dim (F ∩G). (retour à la proposition 19) (I) : minimum vital | (II) : au programme | (III) : Pour les Experts ECS1 - Mathématiques