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Télécharge Statistiques et informatique E.C. PSY54AA et plus Guide, Projets, Recherche au format PDF de Statistiques sur Docsity uniquement! Licence de Psychologie - PSY54AA Statistiques et informatique E.C. PSY54AA Présentation du cours 2013/2014 Organisation matérielle Cours magistral : 12 heures Mercredi 11h30-12h30 - Amphi 2 Travaux dirigés : TD de statistiques – Gr 1 : Merc. 14h45-15h45 - A220 – Gr 2 : Mardi 9h15-10h15 - B315 – Gr 3 - Lun. 8h15-10h15 - A223 - sem. A TD d’informatique en sous-groupes salle info. (A204 ou A206), 2 h. par quinzaine – Gr 1-1 : Mardi 10h30-12h30 - sem. B – Gr 1-2 : Jeudi 13h45-15h45 - sem. B – Gr 2-1 : Mardi 10h30-12h30 - sem. A – Gr 2-2 : Merc. 16h-18h - sem. B – Gr 3-1 : Vend. 13h45-15h45 - sem B – Gr 3-2 : Vend. 13h45-15h45 - sem A Monitorat informatique – en alternance avec les TD Contrôle des connaissances : contrôle continu - 1ère session 70 % Examen écrit (2 heures) 30 % Note de TD 2ème session 100 % Examen écrit (2 heures) F.-G. Carpentier - 2013-2014 1 Licence de Psychologie - PSY54AA Bibliographie – B. Cadet Méthodes statistiques en psychologie. P.U. de Caen – G. Mialaret. Statistiques appliquées aux sciences hu- maines. PUF – B. Beaufils. Statistiques appliquées à la psychologie. Tomes 1 et 2. LEXIFAC Bréal – N. Guéguen. Manuel de statistiques pour psycho- logues – D.C. Howell. Méthodes statistiques en sciences hu- maines – M. Reuchlin. Précis de Statistiques. PUF Coll. Le Psychologue. – P. Rateau, Méthode et statistique expérimentales en sciences humaines, Ellipses – N. Gauvrit. Stats pour Psycho - 500 exercices cor- rigés. De Boeck – A. Méot. Introduction aux statistiques inférentielles. De Boeck – A. Méot. Les tests d’hypothèses en psychologie expé- rimentale. De Boeck – J. Navarro, L’essentiel de la statistique en psycho- logie, Ellipses, 2012 F.-G. Carpentier - 2013-2014 2 Licence de Psychologie - PSY54AA Loi Normale ou loi de Laplace Gauss Problème : trouver une loi théorique modélisant la distribution d’une variable dont les valeurs résultent d’une combinaison d’effets nombreux, indépendants entre eux, additifs et de même ordre de grandeur. Réponse : La loi normale. Loi normale centrée réduite Moyenne : µ = 0. Ecart type : σ = 1 Densité : f(x) = 1√ 2π e− x2 2 . -3 -2 -1 0 1 2 3 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 -3 -2 -1 0 1 2 3 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 Loi normale, cas général : transformation en Z La variable X suit une loi normale de paramètres µ et σ si la variable Z définie par : Z = X − µ σ suit une loi normale centrée réduite. “Transformation en Z” ou “centrage réduction” de la variable. F.-G. Carpentier - 2013-2014 5 Licence de Psychologie - PSY54AA Echantillonnage Echantillonnage - cas d’une moyenne µ : moyenne sur la population σ2 : variance sur la population Distribution d’échantillonnage de X, moyenne observée sur un échantillon tiré au hasard, de taille n. Loi normale (si n ≥ 30) Moyenne : Moy(X) = µ Variance : V ar(X) = σ2 n La racine carrée de cette variance est appelée erreur standard ou erreur type. Echantillonnage - cas d’une proportion p : proportion dans la population σ2 = p(1− p) Distribution d’échantillonnage de F , proportion ob- servée sur un échantillon de taille n. Loi normale (si np ≥ 15 et n(1− p) ≥ 15) Moyenne : Moy(F ) = p Variance : V ar(F ) = p(1− p) n F.-G. Carpentier - 2013-2014 6 Licence de Psychologie - PSY54AA Estimation de paramètres Statistiques inférentielles Raisonnement de type inductif : à partir de conséquen- ces (ce qui est observé sur un (ou des) échantillons de taille n), remonter aux causes les plus probables (valeurs des paramètres dans la population). Estimation ponctuelle de paramètres Population : µ, σ2 inconnus. Echantillon de taille n : x, s2 observés. Estimation de µ : µ̂ = x Estimation de σ2 : σ̂2 = s2c = n n− 1 s2 s2c est appelée variance corrigée. F.-G. Carpentier - 2013-2014 7 Licence de Psychologie - PSY54AA Introduction aux tests statistiques Démarche générale d’un test 35 sujets soumis à un apprentissage. Deux tests l’un avant, l’autre après l’apprentissage. Sujet 1 2 3 4 5 6 7 . . . Avant 8 13 12 17 14 9 10 . . . Après 11 11 14 21 12 10 15 . . . Problème : L’apprentissage a-t-il un effet sur la per- formance ? Remarques : Raisonner en termes “d’échantillon tiré d’une popula- tion” Variable pertinente : différence individuelle di = yi − xi Protocole dérivé des différences individuelles Sujet 1 2 3 4 5 6 7 . . . di 3 -2 2 4 -2 1 5 . . . Caractéristiques de position et de dispersion : d = 1.08 ; s2 = 5.05 ; s = 2.25 ; s2c = 5.20 ; sc = 2.28 F.-G. Carpentier - 2013-2014 10 Licence de Psychologie - PSY54AA Construction d’un test statistique Sujets observés : échantillon tiré dans une population δ : moyenne des effets individuels dans la population. 1. Formulation des hypothèses H0 : hypothèse nulle : δ = 0 H1 : hypothèse alternative : δ 6= 0 2. Choix d’un risque, ou seuil de signification Par exemple : α = 5% 3. Choix d’une statistique de test Une statistique est une variable qui peut être évaluée sur chaque échantillon tiré, et dont la distribution théorique, sous l’hypothèse H0, est connue. Ici, on prend : Z = d E avec E2 = s2c n . Les statisticiens ont montré que, sous l’hypothèse H0, Z suit approximativement une loi normale centrée réduite. 4. Calcul des valeurs critiques (règle de décision) Pour α = .05, on obtient zcrit = 1.96. 5. Calcul de la valeur observée de la statistique Ici : zobs = 1.08 0.38 = 2.84 6. Comparer zobs et zcrit. Appliquer la règle de décision Ici : zobs > zcrit. zobs est dans la zone de rejet de H0. Sous H0, l’échantillon tiré a une fréquence d’apparition inférieure à 5%. On refuse donc H0 et on choisit H1. F.-G. Carpentier - 2013-2014 11 Licence de Psychologie - PSY54AA Raisonner en termes de “niveau de significativité” Avec un logiciel de traitement statistique, les étapes 4, 5 et 6 sont remplacées par : 4’. Calcul de la valeur observée de la statistique Comme ci-dessus : zobs = 2.84 5’. Calcul de la p-value correspondante On évalue, sous l’hypothèse H0, la fréquence (ou pro- babilité) d’apparition de tous les protocoles au moins aussi extrêmes que celui observé. Ici : p = P (Z ≤ −2.84) + P (Z ≥ 2.84) = 1 − 2 × 0.4977 = 0.0046 = 0.46%. Autre formulation : si H0 est vraie, on a seulement 0.46% de chances de tirer un échantillon conduisant à Z ≤ 2.84 ou Z ≥ 2.84. 6’. Comparaison du seuil et de la p-value ; conclu- sion Ici : p = 0.46% et α = 5%. D’où p < α. Au seuil de 5%, on refuse donc H0 et on choisit H1. F.-G. Carpentier - 2013-2014 12 Licence de Psychologie - PSY54AA Test de comparaison d’une moyenne à une norme Notations X : variable numérique définie sur une population µ0 : moyenne (connue) de X sur la population de référence x : moyenne observée sur un échantillon sc : écart type corrigé observé sur l’échantillon n : taille de l’échantillon. On introduit µ : moyenne (inconnue) de X sur la po- pulation d’où est tiré l’échantillon. Hypothèses du test H0 : µ = µ0 H1 : A choisir parmi : µ 6= µ0 ou µ < µ0 ou µ > µ0 Statistique de test. Cas où n > 30 Z = x− µ0 E avec E2 = s2c n Sous H0, Z suit la loi normale centrée réduite. Statistique de test. Cas où n ≤ 30 T = x− µ0 E avec E2 = s2c n Sous H0, T suit la loi de Student à n− 1 ddl. F.-G. Carpentier - 2013-2014 15 Licence de Psychologie - PSY54AA Exemple Une enquête nationale a montré que le score moyen à un test de niveau à l’entrée au collège est de 40. Sur un groupe de 50 élèves, on observe une moyenne de 37, avec un écart type corrigé de 9.2. Peut-on considérer que ce groupe a été tiré au hasard dans la population de l’ensemble des collégiens ? µ : moyenne (inconnue) dans la population d’où a été tiré l’échantillon. H0 : µ = 40 H1 : µ 6= 40 (test bilatéral) Seuil choisi : α = 5% Valeur critique de la statistique de test : zc = 1.96. Règle de décision : si |zobs| ≤ 1.96, on conclut sur H0, sinon, on conclut sur H1. Calcul de la valeur observée de la statistique de test : E2 = 9.22 50 = 1.6928 ; E = 1.3011 zobs = 37− 40 1.30 = −2.31 On conclut donc sur H1. F.-G. Carpentier - 2013-2014 16 Licence de Psychologie - PSY54AA Loi de Student Densité de la loi de Student pour ddl=1, ddl=2, ddl=5 et ddl=100 Cas particulier : Ecart type σ connu Si la variable X est distribuée selon une loi normale dans la population parente, et si on connâıt son écart type σ, la statistique à utiliser est : Z = x− µ0 E avec E2 = σ2 n Z suit alors une loi normale, même si n ≤ 30. Exemple : test de QI sur un échantillon. F.-G. Carpentier - 2013-2014 17 Licence de Psychologie - PSY54AA Exemple pour une hypothèse H1 unilatérale “à droite” : Règle : Soit α le seuil et p le niveau de significativité. – Si p < α, on accepte H1, et on refuse H0 au seuil choisi – Si p ≥ α, on refuse H1, et on accepte H0 au seuil choisi F.-G. Carpentier - 2013-2014 20 Licence de Psychologie - PSY54AA Test de comparaison d’une proportion à une norme Notations X : variable dichotomique définie sur une population p0 : fréquence (connue) de la modalité “1” sur la po- pulation de référence f : fréquence observée sur un échantillon n : taille de l’échantillon. On introduit p : fréquence (inconnue) de la modalité “1” sur la population d’où est tiré l’échantillon. Hypothèses du test H0 : p = p0 H1 : A choisir parmi : p 6= p0 ou p < p0 ou p > p0 Statistique de test. Grands échantillons : np0 ≥ 15 et n(1− p0) ≥ 15 Z = f − p0 E avec E2 = p0(1− p0) n Sous H0, Z suit la loi normale centrée réduite. F.-G. Carpentier - 2013-2014 21 Licence de Psychologie - PSY54AA Tests de comparaison de moyennes Comparaison de deux moyennes. Groupes appariés Expérience menée selon un plan Sn ∗ A2. On introduit le protocole dérivé des différences indivi- duelles. Notations µ1, µ2 : moyennes respectives des deux variables étudiées δ : moyenne des différences individuelles sur la popu- lation (δ = µ1 − µ2) (distribution normale) n : taille de l’échantillon x1, x2 : moyennes respectives des deux variables sur un échantillon de taille n d : moyenne des différences individuelles sur un échantillon de taille n (d = x1 − x2) sc : écart type corrigé estimant l’écart type des différences individuelles sur la population parente Hypothèses du test H0 : µ1 = µ2, c’est-à-dire δ = 0 H1 : A choisir parmi : µ1 6= µ2 ou µ1 < µ2 ou µ1 > µ2 F.-G. Carpentier - 2013-2014 22 Licence de Psychologie - PSY54AA Comparaison de deux moyennes. Groupes indépendants Expérience menée selon un plan Sn < A2 > Notations µ1, µ2 : moyennes sur les populations parentes respec- tives (distributions normales de même variance) n1, n2 : tailles respectives des échantillons x1, x2 : moyennes respectives sur des échantillons de tailles n1 et n2 s1, s2 : écarts types des deux échantillons. s1c, s2c : écarts types corrigés estimés à partir des échantillons. Hypothèses du test H0 : µ1 = µ2 H1 : A choisir parmi : µ1 6= µ2 ou µ1 < µ2 ou µ1 > µ2 F.-G. Carpentier - 2013-2014 25 Licence de Psychologie - PSY54AA Statistique de test. Grands échantillons Cas où n1 > 30 et n2 > 30 Z = x1 − x2 E avec E2 = s21c n1 + s22c n2 Sous H0, Z suit la loi normale centrée réduite. Petits échantillons Cas où n1 ≤ 30 ou n2 ≤ 30 Groupes équilibrés : n1 = n2(= n) T = x1 − x2 E avec E2 = s21c + s 2 2c n Sous H0, T suit la loi de Student à 2(n− 1) ddl. Petits échantillons - cas général : T = x1 − x2 E avec E2 = n1s21 + n2s 2 2 n1 + n2 − 2 ( 1 n1 + 1 n2 ) Sous H0, T suit la loi de Student à n1 + n2 − 2 ddl. F.-G. Carpentier - 2013-2014 26 Licence de Psychologie - PSY54AA Exemple : Un groupe de 30 adultes jeunes, et un groupe de 30 adultes âgés. On soumet les sujets des deux groupes à une épreuve de fluence orthographique. Les paramètres calculés à partir des résultats observés sont les sui- vants : Fluence orthographique Jeunes Agés n 30 30 x 11.4 11.0 sc 3.1 3.2 H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 6= µ2 (on fait ici un test bilatéral). La statistique de test suit une loi de Student à 30 + 30− 2 = 58 ddl. Pour un seuil de 5%, la valeur critique déduite de la table est tc = 2.0017. La règle de décision est donc : – si −2.0017 ≤ tobs ≤ 2.0017, on retient H0. – si tobs < −2.0017 ou tobs > 2.0017, on rejette H0 et on retient H1. Or : E2 = 3.12 30 + 3.22 30 = 0.6617 d’où E = 0.81 et tobs = 11.4− 11.0 0.81 = 0.4917. On retient donc l’hypothèse H0 : on n’a pas mis en évidence de différence significative de la fluence ver- bale. F.-G. Carpentier - 2013-2014 27 Licence de Psychologie - PSY54AA Comparaison de deux proportions. Groupes appariés Deux groupes appariés : la même variable dichoto- mique a été utilisée pour tester un groupe de sujets dans deux conditions A1 et A2. Résultats résumés par le tableau de contingence : A1 Réussite Echec A2 Réussite a c Echec b d L’information utile est alors fournie par les effectifs “de discordance” b et c. Notations p1 : fréquence de la combinaison (réussite en A1, échec en A2) par rapport à la discordance totale dans la po- pulation. p2 : fréquence de la combinaison (échec en A1, réussite en A2) par rapport à la discordance totale dans la po- pulation. Hypothèses du test H0 : p1 = p2(= 50%) H1 : choisir entre : p1 6= p2 ou p1 < p2 ou p1 > p2 Statistique de test Z = b− c√ b+ c Si b + c > 30, sous H0, Z suit la loi normale centrée réduite. F.-G. Carpentier - 2013-2014 30 Licence de Psychologie - PSY54AA Pour un test bilatéral, on peut aussi utiliser comme statistique de test le χ2 de Mac Nemar : χ2 = (b− c)2 b+ c , ddl = 1 ou, avec la correction de Yates (petits effectifs) : χ2 = (|b− c| − 1)2 b+ c , ddl = 1 Exemple Test de la mémoire à 2 semaines et à un an. 2 semaines Reconnu Non reconnu Total Un Reconnu 81 8 89 an Non reconnu 46 49 95 Total 127 57 184 zobs = 46− 8√ 46 + 8 = 5.17 Pour un test unilatéral (Reconnaissance à 1 an < Re- connaissance à 2 semaines), zcrit = 1.645. La différence est significative. F.-G. Carpentier - 2013-2014 31 Licence de Psychologie - PSY54AA Conclusion Tests paramétriques Conditions d’application ou hypothèses a priori sur les populations parentes – Groupes indépendants : distributions normales de même variance pour la variable dépendante, – Groupes appariés : distribution normale des effets individuels dans la population parente ou échantillon de grande taille – Comparaison de fréquences : échantillons de taille suffisante et fréquence “ni trop grande, ni trop petite”. Il est généralement difficile de prouver que ces condi- tions sont respectées. Mais ces méthodes sont ro- bustes et fournissent des résultats corrects même si les hypothèses ne sont qu’approximativement respectées. Que fait-on quand elles ne le sont visiblement pas ? F.-G. Carpentier - 2013-2014 32 Licence de Psychologie - PSY54AA Statistique de test Distance du χ2 entre le tableau des effectifs observés et un tableau d’effectifs théoriques (cf. calcul infra). Cette statistique suit une loi du χ2 à (l−1)(c−1) ddl. Calcul de la distance du χ2 Données observées : tableau de contingence. Effectifs attendus (ou théoriques) si indépendance : Dans chaque case : Effectif théorique = total ligne× total colonne total général Contribution de chaque case au χ2 : Ctri = (Eff. Observé− Eff. Théorique)2 Eff. Théorique Distance du χ2 : χ2obs = ∑ Ctri. Sur l’exemple fourni : – On choisit un seuil de 5%. – Le nombre de ddl est : (3− 1)× (3− 1) = 4. – Valeur critique : χ2crit = 9.49 F.-G. Carpentier - 2013-2014 35 Licence de Psychologie - PSY54AA Effectifs observés MP MCP MA Total avant bac. 7 11 4 22 bac. 12 6 5 23 post bac. 17 13 20 50 Total 36 30 29 95 Effectifs théoriques MP MCP MA avant bac. 8.34 6.95 6.72 bac. 8.71 7.26 7.02 post bac. 18.95 15.79 15.26 Calcul de la “distance” du χ2 Mod. nij tij (nij − tij)2 tij MP. < Bac 7 8.34 0.21 MP. Bac . . . 1.23 MP. > Bac 0.20 MCP. < Bac 2.36 MCP. Bac 0.22 MCP. > Bac 0.49 MA. < Bac 1.09 MA. Bac 0.58 MA. > Bac 1.47 Total 7.85 On obtient : χ2obs ≤ χ2crit. – Conclusion : On n’a pas mis en évidence de différence de niveau d’étude selon le type de professionnalisation. F.-G. Carpentier - 2013-2014 36 Licence de Psychologie - PSY54AA Remarques – Correction de Yates pour les tableaux 2x2 – Condition sur les effectifs théoriques minimaux : moins de 20% des cases avec des effectifs théoriques strictement inférieurs à 5 ; pas de case avec un effectif théorique strictement inférieur à 1. Distributions du χ2 F.-G. Carpentier - 2013-2014 37 Licence de Psychologie - PSY54AA Test de Wilcoxon-Mann-Whitney Test U de Mann-Whitney Deux groupes indépendants : deux échantillons tirés de deux populations distinctes. Variable dépendante : ordinale ou numérique (par exem- ple, numérique comportant un très grand nombre de modalités). Construction du protocole des rangs On classe les n1+n2 sujets par valeurs croissantes (par exemple) de la variable. On attribue un rang à chaque sujet, avec la convention du rang moyen pour les ex æquos. Exemple de construction du protocole des rangs On reprend l’exemple “basket”. Deux groupes. Taille de chaque sujet. G1 : 152 163 164 173 174 176 177 177 178 178 181 184 G2 : 167 171 172 174 175 176 176 177 179 179 180 182 183 186 188 189 189 193 195 F.-G. Carpentier - 2013-2014 40 Licence de Psychologie - PSY54AA Protocole des rangs : Groupe Taille Rang 1 152 1 1 163 2 1 164 3 2 167 4 2 171 5 2 172 6 1 173 7 1 174 8.5 2 174 8.5 2 175 10 2 176 12 2 176 12 1 176 12 2 177 15 1 177 15 1 177 15 Groupe Taille Rang 1 178 17.5 1 178 17.5 2 179 19.5 2 179 19.5 2 180 21 1 181 22 2 182 23 2 183 24 1 184 25 2 186 26 2 188 27 2 189 28.5 2 189 28.5 2 193 30 2 195 31 Pour le groupe 1 : W1 = ∑ Ri = 145.5 Pour le groupe 2 : W2 = ∑ Ri = 350.5 F.-G. Carpentier - 2013-2014 41 Licence de Psychologie - PSY54AA Hypothèses Soient θ1 et θ2 les médianes de la variable dépendante dans les populations parentes. H0 : θ1 = θ2 H1 : Choix à faire entre : H1 : θ1 6= θ2 (hypothèse bilatérale), H1 : θ1 < θ2 (hypothèse unilatérale à gauche ) H1 : θ1 > θ2 (hypothèse unilatérale à droite) Construction de la statistique de test • n1 et n2 petits : utilisation de tables On calcule la somme des rangs du plus petit des deux échantillons : W On compare W aux valeurs critiques Ws ou W ′s fournies par la table. Sur l’exemple, test unilatéral à gauche au seuil de 5% : Somme des rangs du groupe 1 : W1 = 145.5 Valeur critique lue dans la table, pour un seuil de 5% : Ws = 150 W1 < Ws : on conclut sur H1 : les deux populations diffèrent du point de vue de la taille, les sujets de la première population ont une taille moins grande. F.-G. Carpentier - 2013-2014 42 Licence de Psychologie - PSY54AA • Cas des petits échantillons (N ≤ 30) Sous H0, la variable statistique “nombre de sujets pré- sentant une différence positive sur un échantillon de taille N” suit une loi binomiale de paramètres N et 0.5. On raisonne en termes de “niveau de significativité”. Par exemple, dans le cas d’un test unilatéral tel que H1 : fréquence inférieure à 50% on calcule la fréquence cumulée P (X ≤ D+) de D+ pour la loi binomiale B(N,0.5). Pour un seuil α donné : Si P (X ≤ D+) < α on retient H1 Si P (X ≤ D+) ≥ α on retient H0 Exemple. 14 sujets observés dans deux conditions. 2 différences positives, 10 différences négatives, 2 différences nulles. La statistique de test D+ suit une loi binomiale de paramètres N = 12 et p = 0.5. Calcul du niveau de significativité de D+,obs : P (D+ = 0) = C012 0.5 12 = 0.0002441 P (D+ = 1) = C112 0.5 12 = 0.0029297 P (D+ = 2) = C212 0.5 12 = 0.0161133 D’où : P (D+ ≤ 2) = 0.019 = 1.9% Au seuil de 5% unilatéral, on retient donc H1. F.-G. Carpentier - 2013-2014 45 Licence de Psychologie - PSY54AA • Cas des grands échantillons : approximation par une loi normale (N > 30) D = max(D+, D−) Z = 2D − 1−N√ N Z suit une loi normale centrée réduite. Remarque. Dans le cas d’un test unilatéral, la zone de rejet est toujours située “à droite”. Exemple. 40 sujets observés dans deux conditions. 10 différences positives, 30 différences négatives, 0 différence nulle. On a ici : D = 30 et Z = 60− 1− 40√ 40 = 3.00 Au seuil de 1% unilatéral, on retient H1 : les différences négatives sont significativement plus nombreuses que les différences positives. F.-G. Carpentier - 2013-2014 46 Licence de Psychologie - PSY54AA Test de Wilcoxon sur des groupes appariés Test T, ou test des rangs signés Un échantillon de sujets, placés dans deux conditions expérimentales différentes : groupes appariés. Variable dépendante : numérique. Soit θ la médiane des différences individuelles dans la population parente. On construit : – le protocole des effets individuels di – le protocole des valeurs absolues de ces effets |di| – le protocole des rangs appliqués aux valeurs absolues, en éliminant les valeurs nulles. T+ : somme des rangs des observations tq di > 0 T− : somme des rangs des observations tq di < 0 N = nombre de différences non nulles Tm = min(T+, T−) ; TM = max(T+, T−) Hypothèses H0 : θ = 0 H1 : choix à faire entre : H1 : θ 6= 0 (hypothèse bilatérale), H1 : θ < 0 (hypothèse unilatérale à gauche) H1 : θ > 0 (hypothèse unilatérale à droite) F.-G. Carpentier - 2013-2014 47 Licence de Psychologie - PSY54AA Analyse de Variance à un facteur Exemple introductif : Test commun à trois groupes d’élèves. Moyennes observées dans les trois groupes : x1 = 8, x2 = 10, x3 = 12. Question : s’agit-il d’élèves “tirés au hasard” ou de groupes de niveau ? Première situation : Gr1 Gr2 Gr3 6 8 10.5 6.5 8.5 10.5 6.5 8.5 11 7 9 11 7.5 9.5 11 8 10 12 8 11 13 10 11 13 10 12 14 10.5 12.5 14 xi 8 10 12 Deuxième situation : Gr1 Gr2 Gr3 5 4 6 5.5 5.5 7 6 7.5 9 6 9 10 6.5 9.5 11 7 10 12 7.5 11 13 10 13 14 12 15 18 14.5 15.5 20 xi 8 10 12 F.-G. Carpentier - 2013-2014 50 Licence de Psychologie - PSY54AA Démarche utilisée : nous comparons la dispersion des moyennes (8, 10, 12) à la dispersion à l’intérieur de chaque groupe. Comparer a moyennes sur des groupes indépendants Plan d’expérience : S < Aa > Une variable A, de modalités A1, A2, . . . , Aa définit a groupes indépendants. Variable dépendante X mesurée sur chaque sujet. xij : valeur observée sur le i-ème sujet du groupe j. Problème : La variable X a-t-elle la même moyenne dans chacune des sous-populations dont les groupes sont issus ? Conditions d’application : – distribution normale de X dans chacun des groupes – Egalité des variances dans les populations. Hypothèses du test : H0 : µ1 = µ2 = . . . = µa H1 : Les moyennes ne sont pas toutes égales. F.-G. Carpentier - 2013-2014 51 Licence de Psychologie - PSY54AA Exemple : 15 sujets évaluent 3 couvertures de magazine. Sont- elles équivalentes ? C1 C2 C3 13 17 14 5 15 16 11 9 14 9 9 14 7 15 12 xi 9 13 14 12 Variation (ou somme des carrés) totale : SCT = (13− 12)2 + (5− 12)2 + . . .+ (12− 12)2 = 174 Décomposition de la variation totale : Score d’un sujet = Moyenne de son groupe + Ecart C1 C2 C3 9 13 14 9 13 14 9 13 14 9 13 14 9 13 14 C1 C2 C3 4 4 0 -4 2 2 2 -4 0 0 -4 0 -2 2 -2 Variation (ou somme des carrés) inter-groupes : SCinter = (9− 12)2 + (9− 12)2 + . . .+ (14− 12)2 = 70 Variation (ou somme des carrés) intra-groupes : SCintra = 4 2 + (−4)2 + . . .+ (−2)2 = 104 F.-G. Carpentier - 2013-2014 52