TD n°4 Circuits linéaires du premier ordre − Corrigé, Exercices de Physique

Télécharge TD n°4 Circuits linéaires du premier ordre − Corrigé et plus Exercices au format PDF de Physique sur Docsity uniquement! Physique − TD n°4 − Corrigé Page 1 / 10 PCSI Année 2021-2022 TD n°4 Circuits linéaires du premier ordre − Corrigé Thème I. Ondes et signaux I Exercices d’application directe du cours Exercice n°1 Étude expérimentale d’un circuit RC série Capacités exigibles : 3 Algébriser les grandeurs électriques et utiliser les conventions récepteur et générateur. 3 Interpréter et utiliser les continuités de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité dans une bobine, pour déterminer notamment les conditions initiales. 3 Établir l’équation différentielle du premier ordre vérifiée par une grandeur électrique dans un circuit comportant une ou deux mailles. 3 Déterminer analytiquement la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon 3 Distinguer, sur un relevé expérimental, régime transitoire et régime permanent au cours de l’évolution d’un système du premier ordre soumis à un échelon. Soit le montage de la figure ci-contre, dans lequel un conducteur ohmique de résistance R et un condensateur de capacité C sont associés en série. Ce circuit « R,C » est relié à un générateur de tension constante, de force électromotrice E et de résistance interne Rg, selon les modalités suivantes : — t < 0 : K en position (1) afin de décharger totalement le conden- sateur ; — t ≥ 0 : K en position (2) afin de charger progressivement le conden- sateur Pour t > 0 E i Rg (2) C RK uc (1) Voie BVoie A R1. Établir l’équation différentielle vérifiée par uC(t) pour t ≥ 0. Solution: Loi des mailles : uC + (R+Rg)i = E Avec i = C duC dt , soit uC + (R+Rg)C duC dt = E On obtient alors : duC dt + uC C(R+Rg) = E C(R+Rg) On introduit la constante de temps du circuit telle que 1 τ = 1 C(R+Rg) , soit τ = C(R+Rg) R2. Établir l’expression de uC(t) en fonction de R, Rg, C et t pour t ≥ 0. Solution: Solution générale de l’équation homogène : uH(t) = Ae− t τ Solution particulière recherchée sous la forme d’une constante : uP τ = E τ Solution générale de l’équation différentielle : uC(t) = uH(t) + uP = Ae− t τ + E On a déchargé le condensateur pour t < 0, donc uC(0−) = 0. Or la tension aux bornes du condensateur ne peut pas subir de discontinuité, donc uC(0+) = uC(0−) = 0 On en déduit A telle que : uC(0+) = A+ E = 0 Ainsi uC(t) = E ( 1− e− t τ ) R3. Déterminer l’expression de t1, pour laquelle uC(t1) = 0, 9E. Solution: t1 est tel que uC(t1) = 0, 9E, soit E ( 1− e− t1 τ ) = 0, 9E, soit e− t1 τ = 0, 1, soit t1 = −τ ln(0, 1) = τ ln(10) Physique − TD n°4 − Corrigé Page 2 / 10 PCSI Année 2021-2022 On observe l’oscillogramme ci-contre en utilisant un générateur délivrant des signaux créneaux. Les sensibilités sont : 1 V/carreau vertical ; 0,1 ms/carreau horizontal. On néglige les caractéristiques de l’oscilloscope. R4. Identifier les courbes (1) et (2) aux voies A et B en justifiant votre choix. Solution: La courbe (2) correspond à un signal discontinu dans le temps, elle ne peut pas représenter la tension aux bornes du condensateur qui ne peut pas subir de discontinuité, donc elle correspond à la voie A. Par élimination, la courbe (1) représente la voie B. R5. Préciser l’expression de la tension au point P. Sachant que R = 100 Ω, déterminer Rg. Comment aurait-il fallu choisir R pour visualiser correctement le signal créneau ? Solution: Le point P est sur la courbe (2) : La loi des mailles donne : u2(t) = E−Rgi(t) = E−RgC duC dt = E−RgC τ Ee− t τ , soit u2(t) = E ( 1− Rg Rg +R e− t τ ) À t = 0+ : u2(0+) = E ( 1− Rg Rg +R ) , soit u2(0+) = RE Rg +R On lit u2(0+) = 4 V et E = 6, 0 V (valeur finale) On peut déterminer Rg = R ( E u2(0+) − 1 ) A.N. : Rg = 100× (6 4 − 1 ) , soit Rg = 50 Ω :-) R6. En déduire la valeur de C. Solution: Pour cela, on peut mesurer l’instant t1 sur la courbe fournie, en utilisant l’indication 90%. On lit t1 = 0, 42 ms Or t1 = τ ln(10) = C(R+Rg) ln(10), soit C = t1 (R+Rg) ln(10) A.N. : C = 1, 2 µF R7. Estimer une majoration de la fréquence du signal créneau utilisé. Solution: Le régime transitoire est observé en totalité, le régime permanent a le temps de s’installer, donc la demie-période du créneau est supérieure à quelques τ . Ainsi T2 > (R+Rg)C, soit f < 1 2C(R+Rg) La fréquence du GBF est limitée par fmax = 2, 7 kHz R8. Comment pourrait-on observer l’intensité ? Page 2 Physique − TD n°4 − Corrigé Page 5 / 10 PCSI Année 2021-2022 Solution: Bien distinguer : « établir l’équation différentielle » et « en déduire l’expression de s (c’est-à-dire résoudre l’équation différentielle établie précédemment) » Établissement de l’équation différentielle Il y a 5 inconnues : i, iL, i2, s, u, il faut donc écrire 5 équations indépendantes : Lois d’Ohm : u = Ri (1) et s = R 2 iR (2) Loi des nœuds : i = iL + i2 (3) Loi des mailles : u+ s = E (4) Relation de la bobine : s = L diL dt (5) (3) dans (5) : s = L di dt − L di2 dt (5’) (2) et (1) dans (5’) : s = L R du1 dt − L R 2 ds dt (5”) (4) dans (5”) : s = L R d(E − s) dt − 2L R ds dt Alors s = −L ( 1 R + 2 R ) ds dt ⇔ ds dt + R 3Ls = 0 que l’on peut identifier avec ds dt + s τ = 0 avec τ = 3L R la constante de temps du circuit étudié. Résolution Solution générale de l’équation différentielle (sans second membre) : s(t) = Ke− t τ Or s(0+) = E 3 , donc K = E 3 . Ainsi s(t) = E 3 e − t τ t s s(0+) 0, 10s(0+) Régime transitoire Régime permanent t0 s(0+) 0, 10s(0+) t0 R4. Exprimer L et R, le temps t0 au bout duquel la tension s a été divisée par 10. Solution: t0 est tel que s(t0) = s(0+) 10 ⇔ E 3 e −t0/τ = E 30 ⇔ e−t0/τ = 1 10 ⇔ t0 = τ ln(10) = 3L R ln(10) R5. Proposer une méthode expérimentale pour déterminer t0 à l’aide d’un oscilloscope. On précisera le montage à utiliser et la méthode de mesure pratique. Solution: Le montage à utiliser est le montage réalisé ci-dessus. Il faut mesurer à l’aide des curseurs s(0), puis calculer 0, 10s(0) et placer les curseurs de temps afin de mesurer l’écart de temps séparant t = 0 et l’instant t0 où s vaut 0, 10s(0). R6. On mesure t0 = 3, 0 µs pour R = 1000 Ω. En déduire la valeur de L. On donne 1 ln(10) ≈ 0, 43. Page 5 Physique − TD n°4 − Corrigé Page 6 / 10 PCSI Année 2021-2022 Solution: L = t0R 3 ln(10) A.N. : L = 3.10−6 × 103 3 ln(10) = 1 ln(10) × 10−3, soit avec l’indication numérique : L = 0, 43 mH R7. On remplace le générateur idéal de tension par un générateur délivrant un créneau de période T . Quel est l’ordre de grandeur de la fréquence à utiliser pour pouvoir effectivement mesurer t0 par la méthode proposée ci-dessus ? Solution: Si le circuit est alimenté par un signal créneau, le régime étudié est observé lorsque le créneau est en haut, soit durant la moitié de la période du créneau. Pour pouvoir mesurer t0, il faut que t0 soit très inférieur à T 2 : T2  t0 ⇔ 1 2f  t0 ⇔ f  1 2t0 = 103 6 Hz ≈ 1, 7.102 Hz Le critère souvent choisi est T2 de l’ordre de grandeur de 5τ (durée approximative du régime transitoire). Exercice n°3 Charge d’un condensateur réel Capacités exigibles : 3 Algébriser les grandeurs électriques et utiliser les conventions récepteur et générateur. 3 Interpréter et utiliser les continuités de la tension aux bornes d’un condensateur ou de l’intensité dans une bobine, pour déterminer notamment les conditions initiales. 3 Établir l’équation différentielle du premier ordre vérifiée par une grandeur électrique dans un circuit comportant une ou deux mailles. 3 Déterminer analytiquement la réponse temporelle dans le cas d’un régime libre ou d’un échelon. Un condensateur réel est modélisé par l’association parallèle d’un condensateur idéal de capacité C et d’une résistance r dite « de fuite ». Le condensateur réel est chargé par un générateur idéal de fem E, à travers une résistance R. Pour t < 0, l’interrupteur K est ouvert et le condensateur déchargé. À t = 0, on ferme K. E i R K rC uc Condensateur réel R1. Que vaut la tension uc(t = 0+) juste après la fermeture de l’interrupteur ? Solution: Le condensateur est initialement déchargé, donc uc(0−) = 0 V. La tension aux bornes du condensateur ne peut pas subir de discontinuité, donc uc(0+) = uc(0−) = 0 V . R2. Déterminer la valeur finale uc(∞) atteinte par uc à la fin du régime transitoire en utilisant le comportement des composants en régime permanent. Solution: En régime permanent, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert. Comme il n’y a plus qu’une seule maille : i(∞) = ir(∞) Loi des mailles : E −Ri(∞) = ri(∞)⇔ i(∞) = E R+ r Loi d’Ohm : uc(∞) = ri(∞) = r E R+ r E i(∞) R r ir(∞) = i(∞) uC Page 6 Physique − TD n°4 − Corrigé Page 7 / 10 PCSI Année 2021-2022 R3. Établir l’équation différentielle vérifiée par uc(t) et l’écrire sous forme canonique et identifier τ 1. Solution: Nommer toutes les intensités et les tensions AVANT de commencer 5 inconnues => 5 équations indépendantes 1. Loi des nœuds : i = ir + ic 2. Relation du condensateur : ic = C duc dt ; 3. Loi d’Ohm à r : ir = uC r 4. Loi d’Ohm à R : uR = Ri 5. Loi des mailles : uC + uR − E = 0 Ainsi e) dans d) : i = uR R = E − uC R d’) b), c) et d’) dans la loi des nœuds : E − uC R = uc r + C duc dt E i R r ir C iC uC uR Sous forme canonique : duc dt + 1 C ( 1 R + 1 r ) uc(t) = E RC que l’on peut identifier avec duc dt + uc τ = uc(∞) τ , avec la constante de temps τ du circuit tel que 1 τ = 1 C ( 1 R + 1 r ) ⇔ τ = rRC r +R et uc(∞) τ = Er r +R × r +R rRC = E RC Rq : 1 τ > 1 RC ⇔ τ < RC : la constante de temps du circuit est plus faible lorsque l’on prend en compte la résistance de fuite. R4. Résoudre complètement l’équation différentielle précédente, en prenant en compte les conditions initiales. Solution: La solution générale de l’équation différentielle précédente s’écrit uc(t) = uc,h(t) + uc,p, avec : • uc,h est la solution générale de l’équation homogène : duc,h dt + uc,h τ = 0, donc uc,h = Ke−t/τ , avec K un réel. • uc,p est une solution particulière recherchée sous la forme du second membre, c’est-à-dire constante ici : uc,p = E RC τ = r r +R E Ainsi : uc(t) = Ke−t/τ + r r +R E Or d’après les conditions initiales : uc(0+) = 0 = K + r r +R E, Ainsi uc(t) = r r +R E ( 1− e−t/τ ) R5. Tracer le graphe de uc(t). Quelle est la tension finale aux bornes du condensateur ? Solution: lim t→∞ uc(t) = r r +R E 1. Méthode : 1. Appliquer la loi des nœuds. 2. Exprimer les intensités à travers r et C en fonction de uc. 3. Exprimer i en fonction de uc. 4. En déduire que l’équation différentielle s’écrit : duc dt + 1 C ( 1 R + 1 r ) uc(t) = E RC Page 7