Transmission numérique en bande de base, Slides de Énergie

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Transmission numérique en bande de base ’Baseband Pulse Transmission’ Cours de Télécommunications Thierry Sartenaer Novembre 2006 Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 1 / 56 Introduction Outline 1 Introduction 2 Filtre adapté 3 Calcul du taux d’erreur 4 Interférence entre symboles 5 Critère de Nyquist 6 Codes à réponse partielle 7 Transmission PAM multi-niveaux 8 Egalisation linéaire MMSE 9 Egalisation adaptative et à rétroaction des décisions Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 2 / 56 Filtre adapté Filtre adapté Problème courant en télécom: détection d’une impulsion de forme connue g(t), corrompue par du bruit blanc de PSD N0/2 Observation du signal bruité sur un intervalle de durée T: x(t) = g(t) + w(t), 0 ≤ t ≤ T Choix d’un filtre h(t) dont la sortie en t = T permettra la détection du signal: y(t) = x(t)⊗ h(t) = g0(t) + n(t) Définition du rapport signal à bruit (à maximiser): η = |g0(T)|2 E[n2(t)] Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 5 / 56 Filtre adapté Filtre adapté Evaluation du numérateur (effet d’un filtre sur le spectre): |g0(T)|2 = ∣∣∣∣∫ ∞ −∞ H(f )G(f ) exp(2πjft)df ∣∣∣∣2 Evaluation du dénominateur (effet d’un filtre sur la densité spectrale de puissance): E[n2(t)] = ∫ ∞ −∞ SN(f )df = N0 2 ∫ ∞ −∞ |H(f )|2df Inégalité de Schwarz: Soit 2 fonctions complexes φ1(x) et φ2(x) d’énergie finie:∫ ∞ −∞ |φ1,2(x)|2dx < ∞ L’inégalité suivante est toujours vérifiée:∣∣∣∣∫ ∞ −∞ φ1(x)φ2(x)dx ∣∣∣∣2 ≤ ∫ ∞ −∞ |φ1(x)|2dx ∫ ∞ −∞ |φ2(x)|2dx Egalité dans le cas suivant (k constante arbitraire): φ1(x) = kφ∗2 (x) Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 6 / 56 Filtre adapté Filtre adapté Application de l’inégalité de Schwarz au numérateur:∣∣∣∣∫ ∞ −∞ H(f )G(f ) exp(2πjft)df ∣∣∣∣2 ≤ ∫ ∞ −∞ |H(f )|2df ∫ ∞ −∞ |G(f )|2df Borne supérieure sur le SNR (indépendante de H(f )!): η ≤ 2 N0 ∫ ∞ −∞ |G(f )|2df Egalité obtenue pour le filtre optimal: Hopt(f ) = kG∗(f ) exp(−2πjfT) Réponse impulsionnelle du filtre optimal: hopt(t) = k ∫ ∞ −∞ G∗(f ) exp[−2πjf (T − t)]df = k ∫ ∞ −∞ G(−f ) exp[−2πjf (T − t)]df = kg(T − t) Justification de l’appellation filtre ’adapté’! Valable pour du bruit Gaussien ou non-Gaussien Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 7 / 56 Calcul du taux d’erreur Outline 1 Introduction 2 Filtre adapté 3 Calcul du taux d’erreur 4 Interférence entre symboles 5 Critère de Nyquist 6 Codes à réponse partielle 7 Transmission PAM multi-niveaux 8 Egalisation linéaire MMSE 9 Egalisation adaptative et à rétroaction des décisions Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 10 / 56 Calcul du taux d’erreur Probabilité d’erreur due au bruit Soit un train d’impulsions binaire de type ’polaire NRZ’: les symboles 1 et 0 sont représentés par des impulsions rectangulaires positives ou négatives, d’amplitude A, et de durée Tb Signal reçu dans l’intervalle d’observation (0 ≤ t ≤ Tb): x(t) = +A + w(t), symbol 1 = −A + w(t), symbol 0 Le récepteur est supposé parfaitement synchronisé (connaissance parfaite de la position des intervalles de durée Tb), et la forme des impulsions est connue Objectif: sur base de l’observation du signal bruité, décider si le symbole transmis est 0 ou 1 Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 11 / 56 Calcul du taux d’erreur Probabilité d’erreur due au bruit Décision basée sur un seuil λ: le signal échantillonné en sortie du filtre adapté est comparé au seuil Deux types d’erreur possibles (analysées séparément): 1 Erreur de type 1: choix du symbole 1 alors que 0 a été transmis 2 Erreur de type 2: choix du symbole 0 alors que 1 a été transmis Sortie du filtre adapté pour la transmission d’un symbole 0: y = ∫ Tb 0 x(t)dt = −A + 1 Tb ∫ Tb 0 w(t)dt Y est une variable aléatoire Gaussienne de moyenne −A et de variance: σ2 Y = 1 T2 b E [∫ Tb 0 ∫ Tb 0 w(t)w(u)dtdu ] = 1 T2 b ∫ Tb 0 ∫ Tb 0 E[w(t)w(u)]dtdu = 1 T2 b ∫ Tb 0 ∫ Tb 0 Rw(t, u)dtdu Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 12 / 56 Calcul du taux d’erreur Probabilité d’erreur due au bruit Probabilité d’erreur de type 1 (y > Λ alors que le symbole 0 a été transmis): p10 = ∫ ∞ λ fy(y|0)dy = 1√ πN0/Tb ∫ ∞ λ exp ( − (y + A)2 N0/Tb ) Changement de variable: z = y + A√ N0/Tb Probabilité d’erreur de type 1: p10 = 1√ π ∫ ∞ (A+λ)/ √ N0/Tb exp(−z2)dz = 1 2 erfc ( A + λ√ N0/Tb ) De manière équivalente, on peut calculer la probabilité d’erreur de type 2: p01 = 1 2 erfc ( A− λ√ N0/Tb ) Probabilité d’erreur moyenne pour des probabilités a priori p0 et p1: Pe = p0p10 + p1p01 = p0 2 erfc ( A + λ√ N0/Tb ) + p1 2 erfc ( A− λ√ N0/Tb ) Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 15 / 56 Calcul du taux d’erreur Probabilité d’erreur due au bruit Le taux d’erreur moyen dépend du seuil λ qui peut se calculer de manière optimale comme suit: λopt = N0 4ATb log ( p0 p1 ) Cas particulier: symboles équiprobables (p0 = p1 = 0.5) Seuil optimal: λopt = 0 (correspond bien à l’intuition) Canal ’binaire symétrique’: p10 = p01 Probabilité d’erreur moyenne: Pe = 1 2 erfc ( A√ N0/Tb ) Energie du signal transmis par bit: Eb = A2Tb La probabilité d’erreur symbole dans un canal binaire symétrique dépend uniquement du rapport Eb/N0 entre l’énergie du signal transmis par bit Eb et la densité spectrale de puissance du bruit N0: Pe = 1 2 erfc (√ Eb N0 ) Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 16 / 56 Calcul du taux d’erreur Probabilité d’erreur due au bruit Borne supérieur sur la probabilité d’erreur symbole: Pe < exp(−Eb/N0) 2 √ πEb/N0 Amélioration exponentielle du taux d’erreur en fonction de Eb/N0 Une augmentation modeste du rapport Eb/N0 permet d’obtenir un taux d’erreur proche de 0 Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 17 / 56 Interférence entre symboles Interférence entre symboles Le signal reçu passe à travers un filtre de réception c(t) La sortie du filtre de réception est échantillonnée à cadence symbole, de manière synchrone avec l’émetteur Les échantillons reçus sont soumis à un organe de décision qui les compare à un seuil λ La sortie du filtre de réception peut s’écrire: y(t) = µ ∑ k akp(t − kTb − t0) + n(t) t0 représente un temps de propagation (délai) et peut être négligé sans perte de généralité L’impulsion p(t) résulte de la mise en cascade du filtre d’émission, du canal, et du filtre de réception: µp(t) = g(t)⊗ h(t)⊗ c(t) On normalise l’impulsion p(t): p(0) = 1, le facteur µ représente donc un facteur global de changement d’amplitude à travers la chaine de transmission Dans le domaine fréquentiel, on a: µP(f ) = G(f )H(f )C(f ) Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 20 / 56 Interférence entre symboles Interférence entre symboles Le signal échantillonné à la sortie du filtre de réception peut s’écrire: y(ti) = µ ∞∑ k=−∞ akp[(i− k)Tb] + n(ti) = µai + µ ∑ k 6=i akp[(i− k)Tb] + n(ti) En l’absence de bruit et d’interférence entre symboles, on a simplement y(ti) = µai La conception d’un système de transmission numérique en bande de base a pour objectif de minimiser l’effet du bruit et de l’interférence entre symboles (ISI) de manière à maintenir le taux d’erreur à un taux très faible Dans les systèmes à SNR élévé (exemple: réseau téléphonique), les performances sont principalement limitées par l’ISI, et la présence du bruit peut être négligée en première approximation Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 21 / 56 Critère de Nyquist Outline 1 Introduction 2 Filtre adapté 3 Calcul du taux d’erreur 4 Interférence entre symboles 5 Critère de Nyquist 6 Codes à réponse partielle 7 Transmission PAM multi-niveaux 8 Egalisation linéaire MMSE 9 Egalisation adaptative et à rétroaction des décisions Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 22 / 56 Critère de Nyquist Critère de Nyquist Canal de Nyquist idéal: spectre P(f ) rectangulaire, de bande passante W = 1 2Tb Impulsion correspondante dans le domaine temporel: p(t) = sin(2πWt) 2πWt = sinc(2Wt) Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 25 / 56 Critère de Nyquist Critère de Nyquist Les impulsions successives, échantillonnées aux instants t = 0,±Tb,±2Tb, · · · n’interfèrent pas les unes sur les autres Canal le plus économique en bande passante (fréquence de Nyquist W), mais 2 inconvénients: 1 Transition abrupte de la réponse du filtre, irréalisable en pratique 2 L’impulsion p(t) décroît en 1/|t| (lent!), ce qui provoque une dégradation importante des performances en cas d’erreur de timing Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 26 / 56 Critère de Nyquist Critère de Nyquist Solution: extension de la bande passante depuis la valeur minimale W = 1/2Tb vers une valeur ajustable entre W et 2W Pour un filtre dont le spectre est limité à la bande [−2W, 2W], on peut se contenter de spécifier le critère de Nyquist dans la bande [−W, W] comme ceci: P(f ) + P(f − 2W) + P(f + 2W) = 1 2W , −W ≤ f ≤ W Une solution répandue à ce problème est le filtre en cosinus surélevé (raised cosine spectrum) constitué d’une partie plate et une partie dite ’rolloff’ de forme sinusoïdale: P(f ) =  1 2W 0 ≤ |f | < f1 1 4W { 1− sin [ π(|f |−W) 2W−2f 1 ]} f1 ≤ |f | < 2W − f1 0 |f | ≥ 2W − f1 Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 27 / 56 Critère de Nyquist Critère de Nyquist La bande passante requise et la robustesse à l’encontre des erreurs de timing augmentent quand le facteur de rolloff évolue entre 0 et 1. Cas particulier du filtre ’full-cosine rolloff’ pour α = 1: P(f ) = { 1 4W [ 1 + cos ( πf 2W )] f1 ≤ |f | < 2W 0 |f | ≥ 2W Dans le domaine temporel: p(t) = sinc(4Wt) 1− 16W2t2 Propriétés: A t = ±Tb/2 = ±1/4W, on a p(t) = 0.5: l’impulsion mesurée à mi-hauteur a donc une largeur exactement égale à la durée du bit Tb L’impulsion passe par 0 aux instants t = ±3Tb/2,±5Tb/2, · · · en plus des passages par 0 habituels aux instants t = ±Tb,±2Tb, · · · Ces propriétés sont utiles pour assurer la synchronisation du signal reçu. Le prix à payer est que la bande passante est alors 2 fois plus élevée que pour le canal de Nyquist idéal correspondant à α = 0 Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 30 / 56 Codes à réponse partielle Outline 1 Introduction 2 Filtre adapté 3 Calcul du taux d’erreur 4 Interférence entre symboles 5 Critère de Nyquist 6 Codes à réponse partielle 7 Transmission PAM multi-niveaux 8 Egalisation linéaire MMSE 9 Egalisation adaptative et à rétroaction des décisions Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 31 / 56 Codes à réponse partielle Codes à réponse partielle La technique des codes à réponse partielle (’correlative-level coding’ ou ’partial-response signaling’) permet d’atteindre la limite théorique de 2W symboles par seconde dans un canal de largeur W Hertz, en utilisant des filtres réalisables (pas de transition abrupte du spectre) et tolérants aux erreurs de timing (affaiblissement rapide de la réponse impulsionnnelle) L’idée est d’introduire volontairement de l’ISI, de manière contrôlée, pour pouvoir l’interpréter correctement dans le récepteur Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 32 / 56 Codes à réponse partielle Codes à réponse partielle La réponse impulsionnelle est constituée de la somme de 2 impulsions de Nyquist distantes de Tb: hI(t) = sin(πt/Tb) πt/Tb + sin[π(t − Tb)/Tb] π(t − Tb)/Tb = sin(πt/Tb) πt/Tb − sin[πt/Tb] π(t − Tb)/Tb = T2 b sin[πt/Tb] πt(Tb − t) L’impulsion diminue en 1/|t|2, ce qui est plus rapide que l’impulsion de Nyquist Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 35 / 56 Codes à réponse partielle Codes à réponse partielle Le décodage peut se faire en soustrayant la décision âk−1 sur le symbole précedent: âk = ck − âk−1 Problème des systèmes à rétroaction de décision (’decision feedback’): risque de propagation des erreurs Solution possible: utilisation d’un précodage (addition modulo-2 = opération non-linéaire!): dk = bk ⊕ dk−1 Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 36 / 56 Codes à réponse partielle Codes à réponse partielle Combinaison du précodeur et du codeur duobinaire: ck = 0 pour un symbole binaire bk = 1, et ck = ±2 pour un symbole binaire bk = 0 Décodage simplifié: si |ck| < 1, on décide bk = 1 et si |ck| > 1, on décide bk = 0 Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 37 / 56 Codes à réponse partielle Codes à réponse partielle Généralisation: la distance de corrélation peut être quelconque (pas seulement 1 ou 2), et les poids associés au codeur peuvent aussi varier Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 40 / 56 Codes à réponse partielle Codes à réponse partielle Les différentes classes de codes à réponse partielle sont obtenues en construisant une combinaison linéaire d’impulsions de Nyquist décalées: h(t) = N−1∑ n=0 wnsinc( t Tb − n) Codage duobinaire: w0 = +1, w1 = +1; codage duobinaire modifié: w0 = +1 ,w1 = 0 et w2 = −1 Un choix approprié des coefficients permet d’obtenir les caractéristiques spectrales souhaitées, en fonction de l’application Prix à payer: moindre résistance au bruit en raison du plus grand nombre de niveaux d’amplitude Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 41 / 56 Transmission PAM multi-niveaux Outline 1 Introduction 2 Filtre adapté 3 Calcul du taux d’erreur 4 Interférence entre symboles 5 Critère de Nyquist 6 Codes à réponse partielle 7 Transmission PAM multi-niveaux 8 Egalisation linéaire MMSE 9 Egalisation adaptative et à rétroaction des décisions Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 42 / 56 Egalisation linéaire MMSE Egalisation linéaire MMSE Solution pour le bruit de canal: filtre adapté Solution pour l’interférence entre symboles: critère de Nyquist En pratique, bruit et ISI se produisent simultanément: le filtre de réception doit être conçu en conséquence Solution possible: égaliseur ’zero-forcing’ qui force l’ISI à zéro en inversant l’effet du canal physique, de manière à ce que la cascade ’filtre d’émission + canal physique + filtre de réception’ respecte le critère de Nyquist. Inconvénient: risque d’amplification du bruit dans les ’trous’ de la réponse en fréquence du canal Solution de compromis entre bruit et ISI: égaliseur MMSE (Minimum Mean Square Error) Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 45 / 56 Egalisation linéaire MMSE Egalisation linéaire MMSE Opération du filtre de réception sur le signal reçu: y(t) = ∫ ∞ −∞ c(τ)x(t − τ)dτ Expression du signal reçu: x(t) = ∑ k akq(t − kTb) + w(t) où q(t) = g(t)⊗ h(t) résulte du filtre de transmission g(t) et du canal physique h(t), ak représente le symbole transmis à t = kTb et w(t) est le bruit de canal Echantillon recueilli en sortie du filtre de réception: y(iTb) = ∑ k ak ∫ ∞ −∞ c(τ)q(iTb − kTb − τ)dτ + ∫ ∞ −∞ c(τ)w(iTb − τ)dτ = ξi + ni Idéalement, on voudrait recevoir y(iTb) = ai, on définit donc l’erreur comme: ei = y(iTb)− ai = ξi + ni − ai Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 46 / 56 Egalisation linéaire MMSE Egalisation linéaire MMSE Définition de l’erreur quadratique moyenne (MSE): J = 1 2 E[e2 i ] = 1 2 E[ξ2 i ] + 1 2 E[n2 i ] + 1 2 E[a2 i ] + E[ξini] + E[niai] + E[ξiai] Terme 1: E[ξ2 i ] peut être évalué pour i = 0 pour un signal stationnaire: E[ξ2 i ] = ∑ l ∑ k E[alak] ∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ c(τ1)c(τ2)q(lTb − τ1)q(kTb − τ2)dτ1dτ2 Pour des symboles +1 et -1 indépendants, on a E[alak] = 1 pour k = l et 0 ailleurs. On utilise la fonction d’autocorrélation de la séquence {q(kTb)}: Rq(τ2 − τ1) = ∑ k q(kTb − τ1)q(kTb − τ2) On a finalement: E[ξ2 i ] = ∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ c(τ1)Rq(τ1, τ2)c(τ2)dτ1dτ2 Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 47 / 56 Egalisation linéaire MMSE Egalisation linéaire MMSE Solution dans le domaine fréquentiel:( Sq(f ) + N0 2 ) C(f ) = Q∗(f ) Ce qui donne une solution explicite pour le filtre de réception MMSE: C(f ) = Q∗(f ) Sq(f ) + N0 2 La densité spectrale de puissance de la séquence {q(kTb)} peut se calculer comme suit: Sq(f ) = 1 Tb ∑ k ∣∣∣∣Q(f − k Tb ) ∣∣∣∣2 Le récepteur linéaire optimal est donc composé de 2 éléments en cascade: 1 Un filtre adapté de réponse q(−t) avec q(t) = g(t)⊗ h(t) 2 Un égaliseur transversal (ligne a délai à cadence 1/Tb) dont la réponse est l’inverse de la fonction périodique Sq(f ) + (N0/2) Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 50 / 56 Egalisation linéaire MMSE Egalisation linéaire MMSE La mise en oeuvre de l’égaliseur MMSE optimal implique généralement un nombre infini de coefficients (filtre IIR). En pratique, on approxime la solution par un nombre fini de coefficients {ck}N k=−N (FIR) La conception d’un récepteur MMSE statique ne convient pas en pratique: le canal q(t) n’est pas toujours connu (problème de l’estimation de canal), et le canal peut varier dans le temps La solution généralement adoptée est la conception d’un récepteur adaptatif qui assure une implémentation adaptative à la fois du filtre adapté et de l’égaliseur, de manière combinée. ’Fractionally-spaced equalizer’: plus facile à mettre en oeuvre, placé directement à la sortie du canal, travaille à cadence plus élevée (2/Tb) Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 51 / 56 Egalisation adaptative et à rétroaction des décisions Outline 1 Introduction 2 Filtre adapté 3 Calcul du taux d’erreur 4 Interférence entre symboles 5 Critère de Nyquist 6 Codes à réponse partielle 7 Transmission PAM multi-niveaux 8 Egalisation linéaire MMSE 9 Egalisation adaptative et à rétroaction des décisions Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 52 / 56 Egalisation adaptative et à rétroaction des décisions Egalisation à rétroaction des décisions Amélioration de l’égaliseur linéaire MMSE: égaliseur à rétroaction des décisions (’decision-feedback equalizer’ ou DFE) = égaliseur non-linéaire! Séquence reçue à la sortie du canal: x[n] = h[0]a[n] + ∑ k<0 h[k]a[n− k] + ∑ k>0 h[k]a[n− k] L’interférence due aux échantillons précurseurs peut être annulée en utilisant les décisions déjà prises par le récepteur Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 55 / 56 Egalisation adaptative et à rétroaction des décisions Egalisation à rétroaction des décisions La synthèse de la partie avant (’feedforward’) de l’égaliseur a pour but de réduire au minimum (sans amplifier le bruit de canal ) l’interférence entre symboles due aux échantillons postcurseurs du canal L’interférence due aux échantillons précurseurs sera ensuite parfaitement éliminée par la partie arrière (’feedback’) de l’égaliseur, à condition que les décisions soient correctes Inconvénient de la méthode: rique de propagation d’erreur Un algorithme adaptatif peut être utilisé pour mettre à jour conjointement les coefficients des 2 filtres sur base d’un même signal d’erreur Pour les canaux fortement dispersifs, l’égaliseur DFE apporte un gain de performance significatif par rapport à l’égaliseur linéaire Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 56 / 56