Elementi distintivi di un problema decisionale e approccio modellistico, Panieri di Ricerca Operativa

Scarica Elementi distintivi di un problema decisionale e approccio modellistico e più Panieri in PDF di Ricerca Operativa solo su Docsity! Quali sono gli elementi distintivi di un problema di decisione Un problema decisionale nell’ambito della matematica riguarda un problema di scelta in cui si deve prendere una decisione tra un elevato numero di soluzioni (ammissibili) alternative, sulla base di uno o più criteri. Si parla di problemi decisionali soprattutto all'interno del campo della matematica applicata e, più nello specifico, della ricerca operativa. I problemi decisionali sono caratterizzati da - Numero decisori: chi decide la soluzione al problema. • Numero obiettivi: in base a quali criteri è decisa la soluzione del problema. - Grado incertezza: dati con quali (quantitativamente e qualitativamente) informazioni si decide la soluzione del problema. Qual è la differenza tra analisi del problema decisionale e identificazione del modello nell'approccio modellistico? L'analisi del problema decisionale fornisce una descrizione qualitativa del problema che ne mette in evidenza i vincoli logici. L'identificazione del modello prevede i seguenti passi - Definizione di opportune variabili di decisione. dette anche incognite del problema: occorre definirne una per ogni grandezza reale del problema - Definizione della funzione obiettivo da massimizzare o minimizzare che sia funzione delle variabili di decisioni — Definizione dell'insieme dei vincoli del problema: ciascun vincolo (o famiglia di vincoli) esprime matematicamente i legami esistenti tra le variabili di decisioni e le limitazioni cui tali variabili sono soggette. Quali sono i passi previsti per l'identificazione del modello nell'approccio modellistico? Si individuano le variabili (o incognite) del problema. Si definisce la funzione obiettivo del problema. Si definiscono i vincoli che legano tra loro le grandezze modellate con le variabili del problema. Si definiscono i vincoli relativi all’insieme di definizione delle variabili del problema. Si determina la formulazione matematica del problema decisionale. 18. Descrivere in maniera sintetica l'approccio modellistico per la risoluzione di problemi di decisione Si modella la famiglia delle soluzioni ammissibili come un insieme di soluzioni di un problema matematico, detto modello. Le fasi della modellazione sono: ANALISI DEL PROBLEMA DECISIONALE – Si analizza la struttura del problema decisionale per individuare i legami logici tra gli elementi della decisione e gli obiettivi da perseguire nel processo decisionale IDENTIFICAZIONE DEL MODELLO – Si identifica il modello matematico e se ne descrivono le caratteristiche principali (variabili, vincoli e funzione obiettivo) in termini matematici ANALISI DEL MODELLO – In base al tipo di modello matematico, si derivano matematicamente (i) condizioni di esistenza e (eventualmente) unicità della soluzione ottima; (ii) condizioni di ottimalità e (iii) stabilità delle soluzioni SOLUZIONE NUMERICA – In base al tipo di modello matematico, si seleziona e si adotta un algoritmo di calcolo (algoritmo di soluzione) che determini la soluzione ottima del problema decisionale VALIDAZIONE DEL MODELLO – La soluzione ottima determinata viene interpretata dal punto di vista decisionale e validata attraverso una verifica sperimentale oppure tramite metodi di simulazione. Se la soluzione ottima determinata non è accettabile oppure non ha rilievo pratico, occorre tenere conto di ulteriori vincoli nel problema decisionale. lOMoARcPSD|17932480 19. Scrivere la forma standard di un problema di PL e dimostrare come qualsiasi problema di PL si possa ridurre nella forma standard Un problema di Programmazione Lineare può essere sempre scritto nella sua forma standard min𝑐𝑇𝑥 𝑠.𝑡. 𝑨𝑥=𝑏 ; 𝑥 ≥ 0 Dimostrazione 1. Se il problema di PL è un problema di massimizzazione max𝑐𝑇𝑥 ⇔−min(−𝑐) 𝑇𝑥 2. Se il problema di PL ha 𝑚 vincoli di disuguaglianza con minore o uguale, allora possiamo introdurre𝑚 variabili non negative 𝑢 ≥ 0 tali che𝑨𝑥≤𝑏⇔𝑨𝑥+𝑰𝒎𝑢=𝑏, 𝑢≥0 Le variabili 𝑦 vengono dette variabili di slack. 3. Se il problema di PL ha 𝑚 vincoli di disuguaglianza con maggiore o uguale, allora possiamo introdurre 𝑚 variabili non negative 𝑣≥0 tali che𝑨𝑥≥𝑏⇔𝑨𝑥−𝑰𝒎𝑣=𝑏,𝑣≥0 Le variabili 𝑦 vengono dette variabili di surplus. 4. Se il problema di PL ha una variabile non positiva, allora 𝑥≤0⇔−𝑥≥0 5. Se il problema di PL ha una variabile non vincolata in segno, allora possiamo definire due variabili𝑢 e 𝑣 vincolate in segno e porre: 𝑥∈ℝ ⇔ 𝑥=𝑢−𝑣; 𝑢≥0, 𝑣≥0. 20. Dire se i seguenti problemi di PL siano equivalenti o meno motivando la risposta Non sono equivalenti. Due problemi con la stessa regione ammissibile (1=2) e con la funzione obbiettivo cambiata di segno (1=-2), se sono uno di massimizzazione ed uno di minimizzazione sono equivalenti. 21. Dire se i seguenti problemi di PL siano equivalenti o meno motivando la risposta Due problemi con la stessa regione ammissibile (1=2) e con la funzione obbiettivo cambiata di segno (1=-2), se sono uno di massimizzazione ed uno di minimizzazione sono equivalenti. 11. Dimostrare che un semispazio chiuso è un insieme convesso Sia 𝑎∈ℝ𝑛 un vettore di ℝ𝑛 e 𝑏∈ℝ un numero reale Consideriamo il semispazio chiuso 𝑆≥ ={𝑥∈ℝ𝑛: 𝑎𝑇𝑥 ≥ 𝑏} (l’analoga dimostrazione per il caso 𝑆≤ ) Vogliamo dimostrare che per ogni coppia di vettori 𝑢,𝑣 ∈ 𝑆 ≥ e ogni valore 𝜆 ∈ [0,1] 𝜆𝑢 + (1− 𝜆) 𝑣 ∈ 𝑆≥ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆 ≥ implica che 𝑎𝑇𝑢 ≥ 𝑏 e 𝑎𝑇𝑣 ≥ 𝑏 Si noti che per ogni 𝜆 ∈ [0,1] 𝜆 𝑎𝑇𝑢 ≥ 𝜆b e 𝜆𝑎𝑇𝑣≥𝜆b Sia 𝑤=𝜆𝑢 +(1−𝜆)𝑣. Dal momento che 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆≥ per ogni 𝜆 ∈ [0,1] possiamo scrivere𝑎𝑇𝑤=𝑎𝑇 (𝜆𝑢 +(1−𝜆)𝑣) = 𝜆𝑎𝑇𝑢+(1−𝜆)𝑎𝑇𝑣 ≥ 𝜆 𝑏 +(1−𝜆) 𝑏 = 𝑏 Quindi 𝑤=𝜆𝑢 +(1−𝜆)𝑣 ∈ 𝑆≥ e possiamo concludere che 𝑆≥ un insieme convesso. lOMoARcPSD|17932480 08. Descrivere quali sono le principali differenze tra la Programmazione Lineare Intera e la Programmazione Lineare {0,1} Un problema di Programmazione Lineare Intera (PLI) è un problema di PL in cui le variabili sono vincolate ad assumere valori interi (nell’insieme ℤ) Se la restrizione riguarda un sottoinsieme proprio delle variabili il problema si dice di Programmazione Lineare Intera Mista (MILP). Come abbiamo visto, i problemi di PLI e MILP sono tipicamente caratterizzati da: •indivisibilità delle risorse •necessità di scegliere da un numero finito (molto grande, nella maggior parte dei casi) di possibili Alternative. Un problema di Programmazione Lineare {0,1} (PL01) è un problema di PLI in cui le variabili sono vincolate ad assumere valori binari nell’insieme {0,1} e rappresentano la possibilità che un evento si verifichi oppure no. 09. Dati due problemi di PL, definire l'equivalenza tra i due problemi Due problemi (𝑃1) e (𝑃2) di PL, con regioni ammissibili 𝑋1 e 𝑋2 rispettivamente, si definiscono equivalenti se: •sono entrambi inammissibili •sono entrambi illimitati •ammettono entrambi soluzioni ottime finite ed esistono due trasformazioni𝑓:𝑋1→𝑋2 𝑔:𝑋2→𝑋1 tali che: ‒ per ogni soluzione ottima 𝑥1∗ di 𝑃1 il vettore 𝑓𝑥1∗ è soluzione ottima di 𝑃2 ‒ per ogni soluzione ottima 𝑥2∗ di 𝑃2 il vettore 𝑓𝑥2∗ è soluzione ottima di 𝑃1 Casi di equivalenza: Problemi con stessa funzione obiettivo e stessa regione ammissibile sono equivalenti. Problemi con funzioni obiettivo che differiscano per una costante e stessa regione ammissibile. Problemi di minimizzazione 𝑃1 e di massimizzazione 𝑃2 aventi stessa funzione obiettivo ma cambiata di segno e stessa regione ammissibile sono equivalenti. 27. Definire un criterio di ordinamento delle formulazioni di un problema di PL01 Dato un problema di PL01 con insieme delle soluzioni ammissibili 𝑆⊆{0,1}𝑛𝑛 e vettore dei costi elementari c∈ℝ𝑛, esistono diverse formulazioni lineari per il problema. A ogni formulazione lineare corrisponde un diverso rilassamento lineare e un diverso lower bound per il problema. Una formulazione è tanto migliore quanto più alto è il valore del lower bound in maniera tale che il gap sia il più piccolo possibile. 04. Spiegare le principali differenze tra insiemi e parametri in AMPL definire un modello in AMPL significa dichiarare variabili, vincoli e funzioni obiettivo, per mezzo di insiemi (set) e parametri (parameter). AMPL consente di utilizzare la struttura dato parametro In AMPL i parametri sono i dati del problema, da non confondere con le variabili: una volta invocato il solutore, il valore dei parametri resta costante, mentre quello delle variabili viene restituito dal solutore. Per poter essere usato in AMPL un parametro dev’essere: • dichiarato (nel file .mod), dicendo all’interprete AMPL che un nome identifica il parametro che vogliamo utilizzare attraverso la parola chiave param • definito (nel file .dat), assegnando gli elementi all’insieme dichiarato con l’operatore di assegnazione :=. Gli insiemi in AMPL 1/2 AMPL consente di utilizzare la struttura dato insieme. Un insieme contiene zero o più elementi, detti anche membri dell’insieme. Ogni elemento di un insieme deve essere distinto dagli altri; quindi, deve avere una rappresentazione diversa. Ciascun elemento dell’insieme è una lista ordinata di uno o più componenti: tutti i membri di un insieme devono avere pari lunghezza della lista, detta dimensione dell’insieme. AMPL consente di utilizzare operazioni elementari tra insiemi, quali unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica e cardinalità. lOMoARcPSD|17932480 30. Dare la definizione di flusso e di rete di flusso Dato un grafo G(N, A) orientato ed un vettore d di domande definito sullʼinsieme N dei nodi del grafo ( G(N,A)-d(i)Є R, per ogni i Є N) ed un vettore c di capacità positive definito sullʼinsieme A degli archi del grafo ( G(N,A)-c(i,j)>0 R, per ogni (i,j) Є A), si definisce flusso di (G,c,d) un vettore x a componenti continue definito sullʼinsieme A del grafo G(N,A) tale che per ogni arco (i,j) del grafo in oggetto il flusso (i,j) non ecceda la capacità c(i,j) dellʼarco (vincolo di capacità) e che per ogni nodo i del grafo in oggetto la somma dei flussi entranti meno la somma dei flussi uscenti deve essere pari alla domanda d(i) del nodo (vincolo di conservazione del flusso). Una rete di flusso (G,c,x,d,w) è un grafo orientato G(N,A) in cui ogni arco (i,j) ha una capacità non negativa un flusso x ed un costo w positivo o negativo e in cui ogni nodo i ha una domanda di flusso d(i) che è positiva in caso di domanda o negativa in caso di offerta (la somma di domande ed offerta è pari a 0). 13. Descrivere le istruzioni utili alla dichiarazione del problema di flusso di costo minimo in AMPL Dichiariamo nel file MCF.mod tutti gli elementi che definiscono la struttura del modello della formulazione naturale MCF: •La dichiarazione di insiemi e parametri che descrivono la rete di flusso (G,c,x,d,w): - gli insiemi N e A e il parametro a due dimensioni - i vettori c, d e w • la dichiarazione delle variabili: parametro a una dimensione x • la struttura e la definizione della funzione obiettivo wTX • la struttura e la descrizione dei vincoli: M x = d, O|A| ≤ x ≥ c 04. Definire il problema del cammino di costo minimo da s a t Per formulare in AMPL il problema SP possiamo usare la stessa formulazione del problema MCF min wTx M x = d 0|A| ≤ x ≤ c x ∈ ℝ|A| Dal momento che la struttura del modello è uguale per i problemi SP e MCF possiamo utilizzare lo stesso file FCM.mod contenente le dichiarazioni relative alla struttura del modello del problema MCD. 04. Definire il problema del minimo taglio s- t Il problema di determinare il taglio di capacità minima nella rete di flusso, ovvero determinare il sottoinsieme proprio W ⊂ N di nodi tale che s ∈ W e sia di minima la capacità del taglio (W,N\W) è corrispondente la problema duale del massimo flusso. cTy*=Σu∈N1,v∈N2 cuvy*uv y* è il vettore incidenza del taglio (W,N\W) lOMoARcPSD|17932480