Grandezze Vettoriali e Scalari: Tipi di Vettori, Operazioni e Teoremi - Prof. Galassi, Schemi e mappe concettuali di Statica

Scarica Grandezze Vettoriali e Scalari: Tipi di Vettori, Operazioni e Teoremi - Prof. Galassi e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Statica solo su Docsity! GRANDEZZE VETTORIALI E SCALARI Per effettuare il calcolo strutturale si usano due tipi di grandezze:  Scalari, definite esclusivamente mediante numeri, naturalmente associati ad un’unità di misura. Esse sono usate principalmente per definire le dimensioni di una struttura;  Vettoriali, ossia tutte quelle grandezze che non possono essere definite esclusivamente da un numero, ma anche da una direzione e da un verso. Per questo di parla di vettori, cioè di segmenti orientati caratterizzati da modulo, direzione e verso. Nel campo delle strutture i vettori si usano per rappresentare le azioni che sollecitano la struttura oppure per rappresentare lo spostamento in alcuni punti. I VETTORI E I LORO TIPI I vettori possono essere considerati secondo 3 tipologie, in base a cosa rappresentano: liberi, quando il loro effetto non cambia se spostato parallelo a sé (naturalmente lasciando verso e modulo) rappresenta l’insieme di  vettori paralleli a quello dato; scorrevoli (cursori), quando il loro effetto non cambia se spostato, ma sempre sulla sua retta d’azione; applicati (fissi), quando il loro effetto cambia allo spostamento, esso viene definito “applicato in P” e perciò lì deve rimanere. OPERAZIONI CON VETTORI  La componente di un vettore lungo una retta, si ottiene con 2 rette ortogonali ad s e passanti per A e per B e trovo A’ e B’. la componente di un vettore su uno scalare è uno scalare, |ux|=|u⃗|cosα o|uy|=|⃗u|sinα.  Il componente di un vettore è la componente + il verso del vettore, è una grandezza vettoriale, |us|=|u⃗|cosα , se moltiplico la componente per il versore sull’asse x è “i”, su y è “j” e su z è “k” trovo il componente.  Somma e sottrazione: metodo del parallelogramma o metodo testa-coda;  vettore per scalare, aumento la lunghezza di x volte in base allo scalare e se è negativo cambio verso;  prodotto scalare tra vettori, k=v⃗ ×u⃗=|u⃗|⋅|v⃗|⋅cosα (è = 0 quando i due vettori sono ortogonali), arccos [ |⃗u|⋅|v⃗|k ]=α  prodotto vettoriale, w⃗=u⃗∧ v⃗=|u⃗|⋅|⃗v|⋅sinα ⋅ n (è = 0 quando i vettori sono paralleli), α=(u y νz−uz v y ) i⃗+(uz v x−ux vz ) j⃗+(ux v y−u y vx ) k⃗ si può anche fare -> w⃗=u⃗∧ v⃗=det [ ⅈ j k ux u y uz vx v y νz]  momento di un vettore rispetto ad un polo, considerando un vettore applicato in un punto P, posso trovare un momento rispetto ad un polo m (0 )=(P−0 ) ∧u⃗ (oppure vettore x braccio), se ho più vettori dovrò fare il calcolo di più momenti e poi sommarli tra loro; il momento è nullo quando il braccio è zero o quando il polo di riferimento è posto sull’intersezione delle rette d’azione (sull’asse centrale avrò sempre momento nullo). TEOREMA DI CULLMAN (E ASSE) Viene introdotto parlando dello spostamento del polo: considerando un sistema di vettori, e il poligono che si ottiene da un qualsiasi polo. Scegliendo, ora, un nuovo polo si consideri il nuovo poligono funicolare che si ottiene. Indipendentemente dai punti di partenza dei due poligoni funicolari, il lati omologhi si incontrano tutti in punti Q1, …, Qn che sono allineati su di una retta parallela alla congiungente i due poli P1 e P2. Si consideri un sistema di vettori, e si consideri il poligono p1 che si ottiene da un qualsiasi polo P1. Si consideri ora un nuovo polo P2 e si consideri il nuovo poligono funicolare p2 che così si ottiene. Indipendentemente dai punti di partenza dei due poligoni funicolari, il lati omologhi si incontrano tutti in punti Q1, …, Qn che sono allineati su di una retta parallela alla congiungente i due poli P1 e P2. Dato un sistema piano di vettori, e costruiti due poligoni funicolari che connettono entrambi il dato sistema di vettori: a) i punti di intersezione dei lati omologhi sono allineati su una retta che prende il nome di "asse di Culmann"; b) l'asse di Culmann è parallelo alla retta congiungente i due poli. TEOREMA DI VARIGNON Due sistemi di vettori sono equivalenti quando la loro azione su un corpo è la sessa o quando il momento è uguale -> R = R’ o m(O) = m’(O). Il teorema di Varignon: dato un sistema di n vettori questo è equivalente ad un altro sistema costituito solo dalla risultante sull’asse centrale. Il sistema di vettori causa la traslazione, se il momento è  0 esso causerà la rotazione del corpo, se il momento per qualunque polo è 0 allora la traslazione non ha rotazione. Dati due sistemi di vettori, si dicono equilibrati se i loro risultanti e i loro momenti sono opposti. MOMENTO CON CAMBIO DI POLO m⃗ (0' )=m⃗ (0 )+(0−0' ) ∧R -> se i vettori sono paralleli allora m (0’) = m (0), ciò avviene anche quando R=0 (ossia quando si ha un poligono dei vettori chiuso). La legge di variazione del momento al variare del polo è: m⃗ (0 )=(P1−0 ) ∧u⃗1+(P2−0 ) ∧u⃗2 o anche m(O’) = m(O) + (O – O’) ∧ R. POLIGONO FUNICOLARE In caso di più rette trovo l’asse centrale col poligono funicolare. Inizio considerando i vettori come liberi, li pongo testa-coda, scelgo un punto P arbitrario e lo congiungo con tutti i vertici del sistema testa-coda (questi segmenti prenderanno il nome di “raggi proiettanti” e li nominerò con numeri romani). Ora riporto i raggi proiettanti nel 1 disegno dei vettori e li dispongo in modo da farli rapportare con i vettori stessi (posti parallelamente ai raggi proiettanti), ottengo così i lati del poligono funicolare. I lati del poligono saranno sempre n + 1 rispetto al numero di vettori associati. Trovo il risultante nel sistema testa-coda e anche la sua retta d’azione, ma il risultante è dato anche dalla somma dei due raggi proiettanti (visti come vettori) I e IV. Per farlo basta trovare la scomposizione dei 3 vettori e sommarla, elaborando una riduzione. Ora faccio scorrere nel poligono i vettori fino ai vertici dei lati. Porto anche i vettori delle rette d’azione nei loro punti d’applicazione. Annullo vettori uguali ed opposti e riduco così il sistema precedente in un sistema a 2 vettori. L’asse centrale avrà un punto nell’intersezione k delle rette d’azione dei due vettori, l’inclinazione sarà, invece, quella del poligono dei vettori. Se voglio posso imporre delle condizioni al poligono funicolare, riducendo così il numero di soluzioni di esso possibili. Posso scegliere il passaggio del poligono per un punto o un determinato polo per il poligono (se lo sposto in due direzioni vale come doppio vincolo e ho solo ∞1 soluzioni) CINEMATICA La cinematica è la scienza che studia il movimento dei corpi. In particolare, nel nostro caso, abbiamo studiato il moto infinitesimo dei corpi rigidi. Il moto si definisce rigido se il corpo a cui è soggetto non subisce deformazioni. VINCOLI I vincoli sono particolari dispositivi che collegano parti strutturali tra di loro e/o con il suolo. Un corpo rigido nel piano ha 3 gradi di libertà (x, y e rotazione), causati dalle azioni esterne, per impedire il movimento di una struttura, essi vanno contrastati con delle reazioni originate dai vincoli. I vincoli, in base agli spostamenti che impediscono, si classificano in:  vincoli semplici, impediscono un solo spostamento e sono il carrello e la biella o il pendolo;  vincoli doppi, impediscono due spostamenti e sono la cerniera e il doppio pendolo;