Esercizi di Algebra Lineare: Spazi Vettoriali, Cambi di Base e Applicazioni Lineari, Prove d'esame di Algebra Lineare e Geometria Analitica

Scarica Esercizi di Algebra Lineare: Spazi Vettoriali, Cambi di Base e Applicazioni Lineari e più Prove d'esame in PDF di Algebra Lineare e Geometria Analitica solo su Docsity! Esercizi di Algebra Lineare Versione 27 febbraio 2020 Massimo Gobbino Materiale fornito per uso educational personale. Ogni altro utilizzo, ed in particolare ogni sfruttamento di tipo economico, è da considerarsi abusivo 2 Change log • Versione 6 ottobre 2013. Iniziato il progetto. Aggiunti primi esercizi su geometria nel piano, equazione della retta, Matrici 1 e Sistemi Lineari 1. • Versione 14 ottobre 2013. Aggiunti primi esercizi su geometria nello spazio. • Versione 2 novembre 2013. Aggiunti primi esercizi su spazi vettoriali, basi, generatori, sottospazi. Mancano applicazioni lineari. • Versione 3 novembre 2013. Aggiunte applicazioni lineari. Leggero restyling e correzione typos nella parte precedente. • Versione 9 dicembre 2013. Aggiunti esercizi sui cambi di base e sulle forme canoniche. • Versione 22 dicembre 2013. Aggiunti esercizi su forme quadratiche e prodotti scalari generali. Aggiunti capitoli “Saper dire” e “Saper fare”. • Versione 24 dicembre 2013. Aggiunti esercizi su trasformazioni del piano e dello spazio. • Versione 26 settembre 2014. Corretti errori segnalati sul Forum da GIMUSI. Aggiunti scritti d’esame del 2014. • Versione 14 settembre 2016. Aggiunti scritti d’esame del 2015. • Versione 28 settembre 2019. Aggiunti scritti d’esame del 2019. Piccolo adeguamento del codice. Miglioramento dei link ipertestuali. [Promemoria: servono esercizi parametrici su tutto] 3.2.2 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.3 Prodotti scalari e applicazioni simmetriche in generale . . . . . . . . . . . 75 3.3 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4 Geometria analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4.1 Trasformazioni affini e isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4 Scritti d’esame 81 Simulazione 2019 S1 (09 Novembre 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Simulazione 2019 S2 (17 Novembre 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Simulazione 2019 S3 (24 Novembre 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Simulazione 2019 S4 (16 Dicembre 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Simulazione 2019 S5 (24 Dicembre 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Simulazione 2019 S6 (31 Dicembre 2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Scritto 2014 1 (08 Gennaio 2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Scritto 2014 2 (27 Gennaio 2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Scritto 2014 3 (15 Febbraio 2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Scritto 2014 4 (14 Giugno 2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Scritto 2014 5 (05 Luglio 2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Scritto 2015 1 (08 Gennaio 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Scritto 2015 2 (26 Gennaio 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Scritto 2015 3 (14 Febbraio 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Scritto 2015 4 (08 Giugno 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Scritto 2015 5 (29 Giugno 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Prova in Itinere 2019 PI 1 (21 Gennaio 2019) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Prova in Itinere 2019 PI 2 (23 Febbraio 2019) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Scritto 2019 1 (08 Giugno 2019) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Scritto 2019 2 (24 Giugno 2019) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Scritto 2019 3 (15 Luglio 2019) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Scritto 2019 4 (21 Settembre 2019) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Scritto 2019 5 (11 Gennaio 2020) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Scritto 2019 6 (01 Febbraio 2020) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Scritto 2019 7 (22 Febbraio 2020) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5 Capitolo 1 Fare [Spiegare il significato di questo capitolo] 7 10 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Rette nel piano 2 Argomenti: Descrizione di rette nel piano Difficoltà: ? ? Prerequisiti: Descrizione cartesiana e parametrica di rette, prodotto scalare in R2 Sono date 2 rette r1 ed r2, descritte in vari modi. Per prima cosa si chiede di determinare l’equazione cartesiana della parallela ad r1 passante per l’origine (scrivendola nella forma y = mx + n o x = x0). Successivamente si chiede di stabilire se r1 ed r2 sono coincidenti (C), distinte e parallele (P), oppure incidenti (I). Nel caso in cui siano incidenti, trovare il punto di interesezione ed il coseno dell’angolo θ che formano (si intende che θ è l’ampiezza dei 2 angoli minori tra i 4 che le rette formano intersecandosi). r1 r2 Parallela C-P-I Intersezione cos θ y = 3x+ 2 y − 3x+ 2 = 0 y = 3x+ 2 (t− 1, 3t− 1) y = 3x+ 2 (t+ 1, 3t− 1) (2, 3) + t(−1, 2) (2t+ 3, 1− 4t) 3x+ 2y + 5 = 0 3x− 2y + 5 = 0 3x+ 2y + 5 = 0 3x+ 2y − 5 = 0 3x+ 2y + 5 = 0 −3x+ 2y + 5 = 0 x = 3 (5, 6) + t(3,−1) y + 7 = 0 (2− t, 6 + t) (1,−2) + t(2,−1) (−1, 2) + t(1,−2) (1, 3) + t(1, 1) (2− 3t, 3t) (1, t) (t, 2) (3,−t) 2x− 3y = 7 (3t+ 7, 2t− 1) 2y = 3x+ 5 (3t+ 7, 2t− 1) 3y = 2x+ 5 (6t, 0) x = −4 (6t, 0) y = −4 −y = −x− 1 (−t,−2t) −y = −x− 1 (−30, 29) + t(1,−1) 3x− 4y = 0 (−3t, 4 + t) 3x− 4y = 0 4x− 3y = log2 5 c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 3 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 11 Rette nel piano 3 Argomenti: Descrizione di rette nel piano Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: Descrizione cartesiana e parametrica di rette, prodotto scalare in R2 Sono dati una retta r (in vari modi) ed un punto (x0, y0). Si chiede di determinare l’equazione della parallela e della perpendicolare ad r passanti per (x0, y0), e della perpendicolare ad r passante per l’origine. Fornire la risposta nella forma y = mx+ n o nella forma x = x0. Retta r (x0, y0) Parallela Perpendicolare Perpend. origine y = 2x (1, 1) 2x+ y = 3 (1, 1) x = −7 (2, 3) 4− y = 0 (−3, 2) (2, 3) + t(−1,−1) (5, 5) (3 + t, 2t+ 5) (−2, 1) (1, 1)− t(2, 0) (3,−4) (t, t+ 1) (−1, 0) Sono dati un punto (x0, y0), un angolo θ (espresso talvolta in gradi sessagesimali, talvolta in radianti), ed una retta r (in vari modi). Si chiede di determinare la retta r1 passante per (x0, y0) che forma un angolo θ con il semiasse positivo delle x, e le rette r2 ed r3 che passano per (x0, y0) e formano un angolo θ con la retta data r. Fornire le risposte nella forma y = mx+ n o nella forma x = x0. (x0, y0) θ Retta r Retta r1 Rette r2 ed r3 (−1, 0) 45◦ x+ y = 7 (1, 0) 45◦ x+ 2y = 7 (2, 3) −π/3 x = 4 (2, 3) π/3 2x+ y = 3 (2,−1) 30◦ (1, 1) + t(3, 4) (0, 0) −π/4 (−t, 3t) (0, 1) arccos(1/3) 3x+ y = 1 (5, 3) arctan(1/2) (2t+ 1,−t+ 4) (3,−1) arccos(−1/3) (2t− 1, t) c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 4 Uso educational personale 12 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Geometria nel piano 1 Argomenti: Geometria nel piano Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: Uso dei vettori nel piano, norma, distanza e prodotto scalare in R2 1. Determinare il simmetrico del punto generico (x, y) rispetto ad un punto (x0, y0) dato. 2. Determinare la proiezione di un punto (x0, y0) su una retta ax+ by + c assegnata. Dedurne la formula per la distanza di un punto da una retta. 3. Determinare il simmetrico del punto generico (x, y) rispetto ad una retta ax + by + c assegnata. 4. Determinare le equazioni cartesiane delle bisettrici (ma quante sono queste bisettrici?) degli angoli formati dalle rette 2x+ 3y = 5 e x− y + 2 = 0. 5. Un triangolo ha i vertici nei punti (2, 3), (−1, 4), (1, 1). Determinare le equazioni delle mediane, delle altezze, degli assi e delle bisettrici del triangolo. 6. La retta r1 passa per il punto (2, 3) e forma con il semiasse positivo delle x un angolo θ tale che cos θ = 3/5. La retta r2 passa per il punto (3, 4) e forma con il semiasse positivo delle x lo stesso angolo θ. Determinare il luogo dei punti equidistanti da r1 ed r2. 7. Consideriamo nel piano cartesiano i punti A = (3, 1) e B = (4,−4). • Determinare il luogo dei punti P tali che PA = PB. • Determinare il luogo dei punti P tali che PA = 3PB. • Più in generale, determinare al variare del parametro λ > 0, il luogo dei punti P tali che PA = λPB. 8. Dimostrare che la coordinata polare θ di un punto (x, y) del piano può sempre essere calcolata mediante la seguente formula: θ =  indefinito se x = 0 e y = 0 π/2 se x = 0 e y > 0 −π/2 se x = 0 e y > 0 arctan(y/x) se x > 0 π + arctan(y/x) se x < 0 9. Sia Γ la circonferenza con centro in P0 = (x0, y0) e passante per il punto P1 = (x1, y1), diverso da P0. Determinare in forma parametrica ed in forma cartesiana l’equazione della retta tangente a Γ nel punto P1. c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 5 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 15 Spazi Euclidei – Esercizi teorici 1 Argomenti: Consolidamento della teoria Difficoltà: ? ? ? ? Prerequisiti: Prodotto scalare e norma in Rn, coordinate polari nel piano 1. Dimostrare le seguenti proprietà del prodotto scalare euclideo. Gli enunciati sono vo- lutamente imprecisi: prima di dimostrarli, bisogna renderli precisi “quantificando” e spiegando dove stanno le variabili. • Simmetria: 〈u, v〉 = 〈v, u〉 . • Distributività rispetto alla somma: 〈u+ v, w〉 = 〈u,w〉+ 〈v, w〉 • Comportamento rispetto al prodotto per una costante: 〈λu, v〉 = 〈u, λv〉 = λ〈u, v〉 . • Bilinearità: 〈au+ bv, w〉 = a〈u,w〉+ b〈v, w〉 e 〈u, av + bw〉 = a〈u, v〉+ b〈u,w〉 . 2. Dimostrare che vale la relazione 〈u, v〉 = ‖u‖ · ‖v‖ · cos θ per ogni coppia di vettori u e v in R2 in due modi distinti: • scrivendo le componenti di u e v in coordinate polari, • appliando il teorema di Carnot (detto anche teorema del coseno) nel triangolo con vertici in 0 (cosa vuol dire qui 0?), u, v. 3. Dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (come sempre da quantificare)∣∣〈u, v〉∣∣ ≤ ‖u‖ · ‖v‖ in due modi distinti: • sfruttando che P (x) = ‖u + xv‖2 è un polinomio di secondo gradi nella variabile x che non diventa mai negativo, dunque il suo discriminante . . . • sfruttando l’espressione per il prodotto scalare in termini di ‖u‖, ‖v‖ e del coseno dell’angolo compreso. Determinare in quali casi vale il segno di uguale. 4. Dimostrare le seguenti proprietà della norma euclidea (anche qui valgono le solite consi- derazioni sulla necessità di precisare gli enunciati “quantificando”). • Non-negatività: ‖u‖ ≥ 0 . • ‖u‖ = 0 se e solo se u = 0 . • Omogeneità: ‖λu‖ = |λ| · ‖u‖ . • Sub-additività: ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ . Interpretare questa disuguaglianza in termini di lati di un triangolo. c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 8 Uso educational personale 16 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Spazi Euclidei – Esercizi teorici 2 Argomenti: Consolidamento della teoria Difficoltà: ? ? ? ? Prerequisiti: Prodotto scalare, norma e distanza in Rn, uso geometrico dei vettori 1. Dimostrare le seguenti proprietà della distanza euclidea (anche qui valgono le stesse con- siderazioni dei punti precedenti sulla necessità di precisare gli enunciati), osservando attentamente come le proprietà della distanza derivino da quelle della norma. • Non-negatività: dist(u, v) ≥ 0 • dist(u, v) = 0 se e solo se u = v . • Simmetria: dist(u, v) = dist(v, u) . • Disuguaglianza triangolare: dist(u, v) ≤ dist(u,w) + dist(w, v) . Spiegare da dove deriva il nome di questa disuguaglianza. 2. Trovare formule per esprimere ‖u+ v‖2, ‖u− v‖2, e più in generale ‖au+ bv‖2, in termini delle norme di u e v e del prodotto scalare tra u e v. 3. Dimostrare l’identità di polarizzazione (come sempre da quantificare) nelle sue varie forme 〈u, v〉 = 1 4 (‖u+ v‖2 − ‖u− v‖2) , 〈u, v〉 = 1 2 (‖u+ v‖2 − ‖u‖2 − ‖v‖2) = 1 2 (‖u‖2 + ‖v‖2 − ‖u− v‖2) . 4. Trovare formule, in termini delle norme dei singoli vettori ed opportuni prodotti scalari, per ‖u+ v − w‖2 ‖u+ v − 2w‖2 ‖3u− 2v − w‖2. 5. Siano P e Q punti in Rn, pensati come vettori. Determinare, sempre come vettori: • il punto A del segmento PQ tale che AP = AQ, • il punto B del segmento PQ tale che BP = 7BQ, • il punto C della retta PQ, diverso da B, tale che CP = 7CQ, • il punto D della retta PQ, diverso da P , tale che DQ = PQ. 6. Siano A, B, C tre punti di Rn pensati come vettori e vertici di un triangolo. Determinare: • i vettori corrispondenti ai punti medi dei lati, • il vettore corrispondente al baricentro, • le espressioni per le lunghezze dei lati come norme di opportuni vettori, • le espressioni per le lunghezze delle mediane, prima come norme di opportuni vettori, poi in funzione delle lunghezze dei lati. c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 9 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 17 Rette e piani nello spazio 1 Argomenti: Diversi modi di assegnare un piano nello spazio Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: Equazioni (parametriche e cartesiane) di piani e rette nello spazio Viene fornita una descrizione parametrica di un piano. Si chiede di determinare l’equazione cartesiana dello stesso piano (nella forma ax + by + cz + d = 0, normalizzata se possibile in modo che tutti i coefficienti siano interi ed il primo coefficiente non nullo sia positivo) e la sua distanza dall’origine. Parametrica Cartesiana Dist. da O (1,−1, 2) + t(3, 0, 1) + s(1, 2, 0) (t− s, 2t− 3s, 1− t− 2s) (1,−1, 1) + t(2, 0, 2) + s(0, 1, 0) (1,−1, 3) + t(1, 1, 0) + s(0, 2, 0) (1 + t− 2s, 1 + 2t+ 3s,−2 + t− 2s) Scrivere l’equazione cartesiana (normalizzata quando possibile come sopra) e la distanza dall’origine del piano passante per i tre punti A, B, C assegnati. A B C Cartesiana Dist. da O (1, 0, 1) (−1, 3, 0) (0, 1, 2) (1, 1,−2) (1,−1, 0) (2, 0,−2) (1, 0, 0) (0,−1, 0) (0, 0, 1) (1,−1, 0) (0, 0, 5) (−2, 2, 2) (3, 0, √ 3) (−4, 0, π) (− √ 2, 0, 3 √ 5) Scrivere l’equazione cartesiana (normalizzata quando possibile come sopra) e la distanza dall’origine del piano passante per il punto assegnato e contenente la retta assegnata. Punto Retta Cartesiana Dist. da O (1,−1, 2) (3 + t, 2− 5t, t− 1) (0, 0, 0) (1,−2,−3) + t(1, 0,−2) (3,−4, 0) (1,−2, 1) + t(0, 0, 1) (0, 0, 3) (t,−t, t) (−5, 0, 0) (1,−2t, 2t) c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 10 Uso educational personale 20 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Rette e piani nello spazio 4 Argomenti: Mutua posizione di rette nello spazio Difficoltà: ? ? ? ? Prerequisiti: Equazioni (parametriche e cartesiane) di piani e rette nello spazio Consideriamo la retta r1 che passa per i 2 punti indicati nella prima colonna ed il punto P indicato nella seconda colonna. Sia r2 la retta passante per P e perpendicolare ad r1. Determinare le intersezioni di r2 con i piani xy, yz, xz (ovviamente quando univocamente determinate, specificando nei restanti casi se la r2 è contenuta o parallela al piano in questione). Retta r1 per . . . Punto P Int. xy Int. yz Int. xz (0, 1, 0) (1, 1, 0) (2, 1, 3) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1) (1, 2, 3) (4, 5, 6) (3, 2, 1) (−1, 2, 3) (−1, 4, 5) (−1,−2, 4) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 0, 1) Consideriamo la retta r1 che passa per i 2 punti indicati nella prima colonna e la retta r2 che passa per i 2 punti indicati nella seconda colonna. Determinare se r1 ed r2 sono coincidenti (C), distinte e parallele (P), incidenti (I) o sghembe (S). Se sono distinte e parallele, indicare nelle restanti 2 colonne l’equazione del piano che le contiene e la distanza. Se sono incidenti, indicare il punto di intersezione ed il coseno del minore angolo θ che formano. Se sono sghembe indicare il punto P1 di r1 ed il punto P2 di r2 per cui la distanza tra P1 e P2 risulta la minima possibile. Retta r1 per . . . Retta r2 per . . . Pos. Informazione 1 Informazione 2 (1, 1, 3) (1, 1,−4) (0, 0, 2) (0, 0, 1) (1, 1, 3) (1, 1,−4) (2, 0, 2) (2,−1, 2) (1, 2, 3) (−2,−1, 0) (2, 2, 3) (−1,−1, 0) (0, 2, 1) (1, 0, 2) (2,−2, 3) (−1, 4, 0) (0, 0, 0) (1, 1, 1) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (1, 1, 0) (−2, 0, 1) (1,−1,−2) (3, 1,−1) (0,−1, 0) (−2, 5,−4) (2,−2, 3) (0, 4,−1) (1, 2, 3) (4, 5, 6) (7, 8, 9) (10, 11, 12) (1, 2, 3) (4, 5, 6) (6, 5, 4) (3, 2, 1) (1, 1, 0) (0, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 1) c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 13 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 21 Geometria nello spazio 1 Argomenti: Geometria nello spazio Difficoltà: ? ? ? ? Prerequisiti: Uso dei vettori nello spazio, norma, distanza e prodotto scalare in R3 1. Determinare il simmetrico del punto generico (x, y, z) rispetto ad un punto (x0, y0, z0). 2. Determinare la proiezione di un punto (x0, y0, z0) sul piano ax+ by + cz + d = 0. Dedurne la formula per la distanza di un punto da un piano. 3. Determinare il simmetrico del punto generico (x, y, z) rispetto al piano ax+by+cz+d = 0. 4. Determinare la distanza del punto generico (x, y, z) dalla retta di equazione parametrica (x0, y0, z0) + t(x1, y1, z1). 5. Determinare l’equazione del luogo dei punti la cui distanza da una retta assegnata di equazione parametrica (x0, y0, z0) + t(x1, y1, z1) è uguale ad un numero reale positivo R assegnato. Di cosa si tratta geometricamente? 6. Consideriamo il triangolo con vertici nei punti (1, 1, 2), (2, 3,−1), (1, 0, 1). (a) Determinare le coordinate dei punti medi dei lati e del baricentro. (b) Determinare l’area del triangolo. (c) Determinare le coordinate dei piedi delle altezze e dell’ortocento (punto di interse- zione delle altezze). (d) Determinare il luogo dei punti dello spazio che sono equidistanti dai 3 vertici. (e) Determinare le coordinate del circocentro (il centro della circonferenza circoscritta). 7. I tre punti (1, 1, 2), (2, 3,−1), (1, 0, 1) sono tre vertici di un parallelogrammo. Determinare in quanti e quali punti può essere il quarto vertice. 8. In un parallelogrammo ABCD (si intende che il lato AB ed il lato CD sono paralleli, cos̀ı come pure il lato BC ed il lato AD) si ha che A = (1, 1, 2), B = (2, 3,−1), C = (1, 0, 1). (a) Determinare le coordinate di D e del punto di intersezione delle diagonali. (b) Determinare gli angoli del parallelogrammo. (c) Determinare l’area del parallelogrammo. 9. Determinare l’equazione del cono (o meglio dei 2 coni) che hanno come vertice il punto (x0, y0, z0), come asse la retta di equazione parametrica (x0, y0, z0) + t(x1, y1, z1), e come apertura (l’angolo tra l’asse e le generatrici) un angolo θ assegnato. Discutere i casi limite in cui θ tende a 0◦ o a 90◦. 10. Un cono ha il vertice in (1, 2, 3), passa per l’origine, ed il suo asse è perpendicolare al piano di equazione x− y + 2z = 5. Determinare l’equazione del cono e la sua apertura. c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 14 Uso educational personale 22 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Geometria nello spazio 2 Argomenti: Sfere nello spazio Difficoltà: ? ? ? ? Prerequisiti: Uso dei vettori nello spazio, norma, distanza e prodotto scalare in R3 1. Determinare l’equazione della sfera con centro nel punto (x0, y0, z0) e raggio R > 0. 2. Determinare sotto quali condizioni l’equazione x2 + y2 + z2 + ax+ by + cz + d = 0 rappresenta una sfera. In tal caso determinare centro e raggio in funzione di a, b, c, d. 3. Consideriamo nel piano cartesiano i punti A = (1, 2, 3) e B = (1, 4,−4). • Determinare il luogo dei punti P tali che PA = PB. • Determinare il luogo dei punti P tali che PA = 3PB. • Più in generale, determinare al variare del parametro λ > 0, il luogo dei punti P tali che PA = λPB. 4. Sia S la sfera con centro in P0 = (x0, y0, z0) e passante per il punto P1 = (x1, y1, z1), diverso da P0. Determinare l’equazione cartesiana del piano tangente ad S nel punto P1. 5. Per ciascuna delle condizioni assegnate, determinare l’equazione della sfera che la soddisfa (o eventualmente delle sfere che la soddisfano). (a) Ha centro in (1, 2, 3) e passa per l’origine. (b) Ha centro in (1, 2, 3) e passa per (2,−1, 4). (c) Ha centro in (1, 2, 3) ed è tangente al piano di equazione x+ y − 2z + 3 = 0. (d) Passa per (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) e (2,−1, 3). (e) Ha centro in (1, 2, 3) ed è tangente alla retta passante per (1, 1, 1) e (0,−1, 2). (f) Ha raggio 6 ed è tangente nel punto (1, 2, 3) al piano di equazione x− 2y + 2z = 3. (g) Ha centro in (1, 2, 3) ed è tangente esternamente alla sfera di equazione x2 + y2 + z2 + 2x− 4y + 4z + 5 = 0. (h) Ha centro in (1, 2, 3) e la sfera di equazione x2 + y2 + z2 + 2x− 4y + 4z + 5 = 0 le è tangente internamente. (i) Ha centro sulla retta passante per (1, 0,−1) e (1, 2, 3) ed è tangente ai piani di equazione x+ y + 2z = 3 e x+ y + 2z = 4. 6. Determinare l’equazione del cono con vertice in (2, 0, 4) e le cui generatrici sono tutte tangenti alla sfera di equazione x2 + y2 + z2 + 2x− 4y + 4z + 5 = 0 (come una pallina di gelato). c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 15 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 25 Spazi vettoriali – Esercizi teorici 3 Argomenti: consolidamento della teoria, verifica di assiomi Difficoltà: ? ? ? ? Prerequisiti: definizione di spazio vettoriale 1. Mostrare che i seguenti sono spazi vettoriali (con K = R), spiegando in ciascun caso come sono definite le operazioni, chi è lo 0 e chi è l’opposto. (a) Lo spazio Rn dei vettori n-dimensionali. (b) Lo spazio R[x] di tutti i polinomi a coefficienti reali. (c) Lo spazio Mm×n di tutte le matrici con m righe ed n colonne a coefficienti reali. (d) Lo spazio Funz([a, b],R) di tutte le funzioni f : [a, b] → R, dove [a, b] ⊆ R è un intervallo dato. (e) Lo spazio Funz(X, V ) di tutte le funzioni f : X → V , dove X è un insieme dato e V è uno spazio vettoriale su R dato. (f) Lo spazio di tutte le successione {an} di numeri reali. 2. Mostrare che i seguenti sono spazi vettoriali (con K = R), interpretandoli come sottospazi degli spazi definiti precedentemente (da cui ereditano le operazioni). (a) Lo spazio R≤k[x] di tutti i polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a k. (b) Lo spazio C0([a, b],R) di tutte le funzioni f : [a, b] → R continue, dove [a, b] ⊆ R è un intervallo dato. (c) Lo spazio Funzb(X,R) di tutte le funzioni f : X → R che sono limitate, dove X è un insieme dato. (d) Lo spazio di tutte le funzioni f : R→ R che sono continue e verificano f(2013) = 0. (e) Lo spazio di tutte le funzioni f : R→ R che si scrivono nella forma f(x) = a cosx+ b sinx, con a e b parametri reali. 3. (Questa domanda è semplice in alcuni casi, ma più delicata in altri) Stabilire, per ciascuno degli spazi dei due esercizi precedenti, se ha dimensione finita. In caso affermativo, determinare tale dimensione ed esibire una base. 4. Mostrare che i seguenti non sono spazi vettoriali (con K = R). Si intende che le operazioni sono quelle ereditate dagli spazi precedenti di cui sono sottoinsiemi. Precisare caso per caso quale requisito viene a mancare. (a) Lo spazio R≥k[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado maggiore o uguale a k. (b) Lo spazio R=k[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado uguale a k. (c) Lo spazio di tutte le funzioni f : R→ R che si scrivono nella forma f(x) = cos(ax) + sin(bx), con a e b parametri reali. c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 18 Uso educational personale 26 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Sottospazi vettoriali 1 Argomenti: spazi e relativi sottospazi vettoriali Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: definizione di sottospazio vettoriale Nei punti successivi sono dati uno spazio vettoriale V ed alcune relazioni (o insiemi di relazioni) che coinvolgono gli elementi di V . Determinare, per ciascuna delle relazioni (o insiemi di relazioni) date, se definiscono o meno un sottospazio vettoriale di V . In caso affermativo, non sarebbe male determinare la dimensione ed una base del sottospazio. (Si intende che per le relazioni che definiscono un sottospazio occorre fare una dimostrazione, per quelle che non definiscono un sottospazio occorre specificare quali richieste della definizione di sottospazio vengono a mancare) 1. Spazio vettoriale: R2 con elemento generico (x, y). Relazioni da esaminare: x+ y = 3, 2x+ 3y = 0, x ≥ 0, x2 + y2 = 1, xy ≥ 0, x ≥ 0 y ≥ 0 , x = y, x = 0, x2 + y2 ≥ 1, x2 + y2 ≤ 1. 2. Spazio vettoriale: R3 con elemento generico (x, y, z). Relazioni da esaminare: x+ y + z = 0, x+ y + z = 1, x+ y + z = 2x+ 3y + 4z, x = y = z, x2 = 0, x2 + y2 = 0, x2 + y2 + z2 = 0, x2 = y2, x3 = 0, x+ y + z = 0 2x+ 3y + 4z = 0 , x+ y = z y + z = x , x = 0 y = 0 , x+ y = 1 y + z = 0 . 3. Spazio vettoriale: R4 con elemento generico (x, y, z, w). Relazioni da esaminare: x+ y = 0, x+ y = z + w, x+ y + z + w = 0, x+ y = 2 + y + z, x2 = 0, y = x2, z ≥ w, x2 + y2 + w2 ≥ 0, x+ y2 + z3 = 2, x+ y = z + w x+ z = y + w , x = y z = w , x+ 2y = 3z + 4w y + 2z = 3w + 4x z + 2w = 3x+ 4y , x+ y = 0 y + z = 1 z + w = 0 . 4. Spazio vettoriale: R≤3[x] con elemento generico p(x). Relazioni da esaminare: p(0) = 5, p(5) = 0, p(0) = 0, p(5) = 5, p(0) = p(5), p(5) = p(π) = 0, p(π) = p(0) = 5, p(0) · p(π) = 0, p(9) ≤ 0, p(x) = p(−x), p(x) + p(2x) = 5x, p(x) = p(x2), 7p(x) = p(7x). 5. Determinare come sono fatti tutti i sottospazi vettoriali di R, di R2 e di R3. c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 19 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 27 Sottospazi vettoriali 2 Argomenti: spazi e relativi sottospazi vettoriali Difficoltà: ? ? ? ? Prerequisiti: definizione di sottospazio vettoriale Nei punti successivi sono dati uno spazio vettoriale V ed un po’ di relazioni che coinvolgono gli elementi di V . Determinare quale o quali delle relazioni date definiscono un sottospazio vettoriale di V . In caso affermativo, non sarebbe male determinare la dimensione ed una base del sottospazio (quando questa è finita, cioè nei primi due esercizi). (Si intende che per le relazioni che definiscono un sottospazio occorre fare una dimostrazione, per quelle che non definiscono un sottospazio occorre specificare quali richieste della definizione di sottospazio vengono a mancare) 1. Spazio vettoriale: M2×2 con elemento generico A. Relazioni da esaminare: A+ At = ( 0 0 0 0 ) , ( 2 0 1 0 ) A = ( 0 0 0 0 ) , A ( 2 0 1 0 ) = ( 0 0 0 1 ) , A2 = ( 0 0 0 0 ) , ( 1 2 3 4 ) A = ( 4 3 2 1 ) A, ( 1 2 3 4 ) A = A ( 4 3 2 1 ) , A ( 1 0 ) = ( 0 0 ) , A ( 1 0 ) = ( 1 0 ) , A ( 1 0 ) = A ( 0 1 ) , A2 = A, At = 2A, ( 1 2 3 4 ) A = A, ( 0 2 0 0 ) A = A. 2. Spazio vettoriale: M2×3 con elemento generico A. Relazioni da esaminare: A  1 2 3  = ( 0 0 ) , A  1 2 3 4 5 6 7 8 9  = A, (1, 2)A = (0, 2, 0), A  0 2 0 4 0 0 0 0 0  = A  0 0 0 0 0 0 0 3 0  , AAt = ( 0 0 0 0 ) , A  0 0 0  = ( 1 −1 ) . 3. Spazio vettoriale: funzioni f : R→ R. Relazioni da esaminare: f(3) = f(2013) = f(π) = 0 f(k) = 0 per ogni k ∈ Z f(x) ∈ [0, 2] per ogni x ∈ R f(x) = 0 per ogni x ∈ [0, 2] f(2x) = xf(x) per ogni x ∈ R f(2k) = f(2k + 1) per ogni k ∈ Z f derivabile e f ′(x) = x2f(x) per ogni x ∈ R f derivabile e f ′(x) = x[f(x)]2 c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 20 Uso educational personale 30 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Generatori e Span 2 Argomenti: Span di un insieme di vettori Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: Span, indipendenza lineare, generatori, algoritmo di Gauss Nel seguente tabella vengono assegnati uno spazio vettoriale ed un po’ di elementi dello spa- zio stesso. Determinare se gli elementi indicati sono linearmente indipendenti, e la dimensione del loro Span. Nel caso in cui non siano linearmente indipendenti, si chiede di determinare anche quali dei vettori assegnati possono essere eliminati in modo da ottenere una base dello Span stesso. Spazio Vettori Lin. ind.? Dim Span Possibili eliminandi R3 v1 = (1, 2, 0) v2 = (2, 1, 1) v3 = (2, 4, 0) v4 = (0, 1, 1) R4 v1 = (1, 0, 1, 0) v2 = (0,−1, 1, 1) v3 = (1, 1, 0,−1) v4 = (0, 0, 1, 1) R4 v1 = (1, 1, 1, 0) v2 = (0, 1, 1, 1) v3 = (1, 0, 0,−1) R5 v1 = (1, 2, 3, 4, 5) v2 = (5, 4, 3, 2, 1) v3 = (−1, 2,−3, 4,−5) v4 = (0, 1, 0, 2, 0) R≤3[x] v1 = x2 + 2x v2 = x3 + 2 R≤3[x] v1 = x− 1 v2 = x2 − 2 v3 = x3 − 3 R≤3[x] v1 = x3 − x2 v2 = x2 − x v3 = x− x3 R≤3[x] v1 = x2 + 2x+ 3 v2 = x3 − 2x2 + 1 v3 = 2x3 + x2 + x+ 1 v4 = x3 − x c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 23 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 31 Cambi di base 1 Argomenti: matrici di cambio di base Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: cambi di base, calcolo della matrice inversa Nel seguente tabella vengono assegnati uno spazio vettoriale e due basi B e B̂ dello spazio stesso (non sarebbe male verificare che si tratti effettivamente di basi), oltre alla solita base canonica C. Determinare le matrici di cambio di base tra le basi indicate nelle restanti colonne. Spazio B B̂ C → B C → B̂ B̂ → B R2 v1 = (2, 3) v2 = (1, 5) w1 = (−3, 4) w2 = (1,−3) R2 v1 = (−1, 4) v2 = (2, 5) w1 = (1, 6) w2 = (1, 7) R2 v1 = (0, 1) v2 = (1, 0) w1 = (1, 3) w2 = (2, 1) R3 v1 = (1, 2, 1) v2 = (2, 3, 0) v3 = (0, 1, 1) w1 = (1, 2, 0) w2 = (0,−1, 1) w3 = (3, 1, 4) R3 v1 = (0, 1, 1) v2 = (−1, 1, 0) v3 = (2, 0, 1) w1 = (1, 1, 1) w2 = (2, 0, 1) w3 = (2,−3, 0) R4 v1 = (1, 0, 1, 0) v2 = (2, 1, 1, 3) v3 = (1, 2, 0, 1) v4 = (1, 2, 0, 0) w1 = (0, 1,−1, 2) w2 = (0, 2, 1, 1) w3 = (1, 0, 1,−1) w4 = (3, 1, 1, 1) R≤2[x] v1 = x2 v2 = x2 + x v3 = x2 + x+ 1 w1 = x2 + x w2 = x2 + x+ 1 w3 = x R≤3[x] v1 = x+ 1 v2 = x3 + x v3 = x3 − x− 1 v4 = −x2 + 10x+ 2 w1 = x3 + x2 + x w2 = x3 + x2 + 1 w3 = x3 + x+ 1 w4 = x2 + x+ 1 Stesse domande dell’esercizio precedente, ma nello spazo M2×2 utilizzando le basi seguenti: v1 = ( 1 1 1 0 ) , v2 = ( 1 1 0 1 ) , v3 = ( 1 0 1 1 ) , v4 = ( 0 1 0 0 ) . w1 = ( 1 1 0 0 ) , w2 = ( 0 1 0 1 ) , w3 = ( 0 0 1 1 ) , w4 = ( 1 0 −1 0 ) . c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 24 Uso educational personale 32 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Sottospazi vettoriali 3 Argomenti: somma ed intersezione di sottospazi Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: Span, formula di Grassmann, dipendenza ed indipendenza lineare Nella seguente tabella vengono assegnati uno spazio vettoriale X e due sottospazi vettoriali V e W , definiti come lo Span dei vettori indicati nella corrispondente colonna. Determinare la dimensione di V , W , V ∩W , V + W . È molto istruttivo determinare anche una base per ciascuno di questi quattro sottospazi. X V W dim(V ) dim(W ) dim(V ∩W ) dim(V +W ) R2 (1, 0) (1, 1) R2 (1, 1) (2, 2) (3, 3) R2 (1, 2) (3, 4) (5, 6) R3 (1, 2, 3) (1, 1, 0) (0, 2,−1) R3 (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1) (1, 1, 1) R3 (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1,−1) (3, 1, 2) R3 (−1, 1, 1) (2, 1, 0) (1, 2, 1) (1, 0, 1) (0, 5, 0) (7,−6, 7) R4 (1, 2, 0, 1) (3, 0,−1, 1) (1, 0, 1, 0) (0, 2,−1, 1) R4 (0, 0, 1, 1) (0, 1, 1, 0) (1, 1, 0, 0) (1, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 1) R4 (0, 0, 1, 1) (0, 1, 1, 0) (1, 1, 0, 0) (1, 1, 1, 1) (2, 0,−2, 0) R4 (1, 1, 0,−2) (1, 0, 1, 7) (0, π, √ 3, 5) (0,−1, 2, 5) R≤4[x] x3 + x x4 + 2x2 + 1 x4 + 1 x3 + 2x2 + x x4 − πx2 + 1 x4 + 3x2 + 5 c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 25 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 35 Applicazioni lineari 1 Argomenti: applicazioni lineari Difficoltà: ? ? Prerequisiti: matrice associata ad un’applicazione lineare, Ker e immagine Nella seguente tabella vengono descritte delle applicazioni lineari. Per brevità, l’applicazione viene presentata indicando semplicemente lo spazio di partenza V , lo spazio di arrivo W , e l’immagine del generico elemento di V , cioè di (x, y), (x, y, z), . . . nel caso di Rn, p(x) nel caso di spazi di polinomi, A nel caso di spazi di matrici. Si richiede di determinare la dimensione del ker, dell’immagine, e la matrice associata al- l’applicazione, assumendo in partenza ed arrivo la base canonica (che nel caso degli spazi di polinomi è 1, x, x2, . . . ). Non sarebbe male determinare anche una base del ker e dell’immagine. V → W Applicazione dim(ker) dim(Im) Matrice R2 → R2 (x− y, 2x+ y) R2 → R2 (x− y, y − x) R3 → R3 (x+ y + z, 2x− z, 3x+ 2y + z) R2 → R3 (x+ y, x− y, 2x) R3 → R2 (x+ y − z, z − 3x) R2 → R4 (x+ y, x,−y, x) R3 → R3 (x− y, y − z, z − x) R4 → R2 (x+ y + z, x+ y − z − w) R3 → R 3x− 7y + 11z R→ R4 (x, 2x, 0, 5x) R4 → R4 (x+ y, y + z, z + w,w + x) R≤2[x]→ R≤2[x] p(x) + p(−x) R≤3[x]→ R≤3[x] p′(x) R≤3[x]→ R≤2[x] p′(x) R≤3[x]→ R≤3[x] (x+ 1)p′(x)− 2p(x) R≤3[x]→ R2 (p(1), p(2)) R≤2[x]→ R≤3[x] xp(2x) + x2p(1) M2×2 →M2×2 A+ At M2×2 →M1×2 (1, 2)A M2×2 →M2×1 A(1, 2)t c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 28 Uso educational personale 36 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Applicazioni lineari 2 Argomenti: applicazioni lineari Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: matrice associata ad un’applicazione lineare, cambi di base Nella seguente tabella vengono descritte delle applicazioni lineari tra due spazi vettoriali V e W , con le stesse convenzioni dell’esercizio precedente. Vengono poi date una base per lo spazio di partenza V ed una base per lo spazio di arrivo W . Si richiede di determinare la matrice associata all’applicazione rispetto a tale scelta delle basi in partenza ed arrivo. Non sarebbe male anche determinare, in aggiunta, la dimensione ed una base per ker e immagine. V W Applicazione Base di V Base di W R2 R3 (x− y, y, y − x) v1 = (1, 2) v2 = (1, 3) w1 = (1,−2, 0) w2 = (0, 2, 1) w3 = (1, 1, 1) R3 R2 (x+ y, 2x− y + 3z) v1 = (1,−2, 0) v2 = (0, 2, 1) v3 = (1, 1, 1) w1 = (1, 2) w2 = (1, 3) R3 R2 (x+ y, 2x− y + 3z) v1 = (1,−2, 0) v2 = (0, 2, 1) v3 = (1, 1, 1) w1 = (1, 3) w2 = (1, 2) R2 R2 (2x− 3y, x+ 4y) v1 = (1, 2) v2 = (1, 3) w1 = (1, 4) w2 = (1, 5) R2 R2 (2x− 3y, x+ 4y) v1 = (1, 4) v2 = (1, 5) w1 = (1, 2) w2 = (1, 3) R3 R3 (x+ y + z, 2x− z, 3x+ 2y + z) v1 = (1, 2, 0) v2 = (0, 1, 1) v3 = (1, 1, 1) w1 = (1, 0, 0) w2 = (0, 1, 0) w3 = (0, 0, 1) R3 R3 (x+ y + z, 2x− z, 3x+ 2y + z) v1 = (1, 0, 0) v2 = (0, 1, 0) v3 = (0, 0, 1) w1 = (1, 2, 0) w2 = (0, 1, 1) w3 = (1, 1, 1) R3 R3 (x+ y + z, 2x− z, 3x+ 2y + z) v1 = (0, 1, 0) v2 = (0, 0, 1) v3 = (1, 0, 0) w1 = (0, 0, 1) w2 = (0, 1, 0) w3 = (1, 0, 0) R≤2[x] R≤2[x] p(x+ 1) v1 = x2 v2 = x v3 = 1 w1 = x2 + 2x+ 1 w2 = x+ 1 w3 = 1 R≤2[x] R3 (p(0), p′(0), p(−1)) v1 = x2 v2 = x+ 1 v3 = x2 − 1 w1 = (1,−2, 0) w2 = (0, 2, 1) w3 = (1, 1, 1) c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 29 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 37 Applicazioni lineari 3 Argomenti: assegnazione di applicazioni lineari Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: basi, teorema di struttura per applicazioni lineari Nella seguente tabella vengono descritte delle applicazioni lineari tra due spazi vettoriali V e W . La descrizione consiste nell’indicare l’immagine di alcuni vettori dello spazio di partenza. Si chiede di stabilire se esiste (E) un’applicazione lineare che soddisfa le richieste, ed eventulamente se è unica (U). Nel caso in cui l’applicazione richiesta esista e sia unica, sarebbe opportuno determinare anche la matrice che la rappresenta tra le basi canoniche, nonché dimensione ed una base di ker e immagine. V W Condizioni E/U V W Condizioni E/U R2 R2 (1, 2)→ (2, 3) (1, 3)→ (7, 8) R2 R2 (1, 2)→ (2, 3) (2, 4)→ (7, 8) R2 R2 (1, 2)→ (2, 3) (2, 4)→ (4, 6) R2 R2 (1, 2)→ (2, 3) (1, 3)→ (2, 3) R2 R2 (1, 2)→ (2, 3) (1, 1)→ (−1,−2) (2, 3)→ (1, 0) R2 R2 (1, 2)→ (2, 3) (1, 1)→ (−1,−2) (2, 3)→ (1, 1) R2 R3 (1, 1)→ (1, 2, 3) (2, 2)→ (1, 2, 3) R2 R3 (1, 1)→ (1, 0,−1) (−1,−1)→ (−1, 0, 1) R2 R3 (1,−1)→ (1, 2, 3) (2, 2)→ (1, 2, 3) R2 R3 (1, 1)→ (0, 0, 0) (12, 11)→ (−1, 0, 1) R3 R3 (0, 2,−1)→ (−3, 2,−1) (1,−1,−1)→ (1,−1, 1) (−1, 0, 1)→ (−1, 0, 1) R3 R3 (−3, 2,−1)→ (0, 2,−1) (1,−1, 1)→ (1,−1,−1) (−1, 0, 1)→ (−1, 0, 1) R3 R3 (0, 1, 0)→ (0, 0, 1) (0, 2, 0)→ (0, 0, 1) R3 R3 (0, 1, 0)→ (0, 0, 1) (0, 0, 1)→ (0, 0, 2) R3 R3 (0, 1, 0)→ (0, 0, 1) (0, 2, 0)→ (0, 0, 2) R≤2[x] R2 x2 + 3→ (0, 1) x→ (−2,−1) R3 R3 (0, 1, 0)→ (0, 0, 1) (0, 0, 1)→ (0, 0, 1) R≤1[x] R2 x+ 3→ (−1, 3) x+ 2→ (−1, 3) R3 R3 (1, 1, 1)→ (0, 0, 1) (1, 1, 0)→ (0, 0, 2) (1, 0, 0)→ (0, 0, 3) R≤2[x] R3 x2 + 3→ (0, 1, 2) x→ (−2,−1, 5) x2 − 3→ (1, 0, 1) R3 R3 (1, 1, 1)→ (0, 0, 1) (1, 1, 0)→ (0, 1, 1) (1, 0, 0)→ (1, 1, 1) R≤4[x] R3 x3 + x→ (0, 0, 1) x2 + 2→ (0, 1, 2) (x+ 1)4 → (1, 2, 3) c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 30 Uso educational personale 40 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Applicazioni lineari 6 Argomenti: applicazioni lineari Difficoltà: ? ? ? ? ? Prerequisiti: tutto su applicazioni lineari, sottospazi, basi 1. Dati due spazi vettoriali V e W , indichiamo con End(V,W ) l’insieme delle applicazioni lineari f : V → W . (a) Dimostrare che End(V,W ) è a sua volta uno spazio vettoriale (detto cos̀ı non ha molto senso, perché bisognerebbe definire prima le operazioni, ma diciamo che questo fa parte dell’esercizio). (b) Se dim(V ) = n e dim(W ) = m, determinare la dimensione di End(V,W ). (c) Fissato un vettore non nullo v ∈ V , dimostrare che l’insieme di tutte le applicazioni lineari f ∈ End(V,W ) tali che f(v) = 0 è un sottospazio di End(V,W ). Determinare quindi la dimensione di tale sottospazio. (d) Fissato un sottospazio vettoriale V ′ ⊆ V , dimostrare che l’insieme di tutte le appli- cazioni lineari f ∈ End(V,W ) tali che f(v) = 0 per ogni v ∈ V ′ è un sottospazio di End(V,W ). Determinare quindi la dimensione di tale sottospazio, in funzione della dimensione di V ′. 2. Consideriamo in R3 il sottospazio V = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} ed il sottospazio W = Span{(1, 2, 3)}. (a) Trovare un’applicazione lineare f : R3 → R3 tale che ker(f) = V e Im(f) = W . (b) Descrivere l’insieme di tutte le applicazioni lineari f : R3 → R3 che soddisfano le condizioni del punto precedente. Si tratta di uno spazio vettoriale? 3. Consideriamo i sottospazi V e W di R3 descritti all’esercizio precedente. (a) Trovare un’applicazione lineare f : R3 → R3 tale che f(v) ∈ W per ogni v ∈ V e f(w) ∈ V per ogni w ∈ W . (b) Dimostrare che l’insieme di tutte le applicazioni lineari f : R3 → R3 che soddisfano le condizioni del punto precedente è uno spazio vettoriale, quindi determinarne la dimensione. 4. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita. Sia f : V → V un’applicazione lineare tale che f(f(v)) = 0 per ogni v ∈ V . (a) Dimostrare che Im(f) ⊆ ker(f). (b) Dimostrare che dim(ker(f)) ≥ 1 2 dim(V ). 5. (a) Trovare un’applicazione lineare f : R3 → R3 tale che f(f(f(v))) = 0 per ogni v ∈ R3, ma f(f(w)) 6= 0 per almeno un vettore w ∈ R3. (b) Descrivere l’insieme di tutte le applicazioni lineari f : R3 → R3 che soddisfano le condizioni del punto precedente. c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 33 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 41 Cambi di base 2 Argomenti: matrici di cambio di base Difficoltà: ? ? Prerequisiti: cambi di base, calcolo della matrice inversa Sia {v1, v2, v3} una base di uno spazio vettoriale V , sia {w1, w2} una base di uno spazio vettoriale W , e sia f : V → W l’applicazione lineare rappresentata, in quelle basi, dalla matrice( 1 2 3 4 5 6 ) . Determinare le matrici che rappresentano la stessa applicazione f rispetto alle basi indicate (se quelle indicate non sono basi, accorgersene e segnalare che la richiesta non ha senso). Base V e Base W Matrice Base V e Base W Matrice {v2, v1, v3} {w1, w2} {v1, v2, v3} {w2, w1} {v2, v3, v1} {w1, w2} {v3, v2, v1} {w1, w2} {v1, v3, v2} {w2, w1} {v3, v1, v2} {w2, w1} {v1, v2, v3} {w1, w1 + w2} {v3, v1, v2} {w1, w1 + w2} {v1, v2, v3} {w1 − w2, w1 + w2} {v3, v1, v2} {w1 − w2, w1 + w2} {v1 + v2, v2, v3} {w1, w2} {v1 + v2, v2, v3} {w2, w1} {v1, v2 + v3, v3} {w1 + w2, w1} {v1 + v2, v2, v3} {w2 + w1, w1} {v2, v1 + v3, v1 + v2 + v3} {w1, w2} {v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3} {w1, w2} {v1 + 2v3, v3, v2} {w1, w2} {v1 + 2v3, v3, v2} {w1 + 2w2, w2} {v1 + v2, v2 + v3, v3 + v1} {w1, w2} {v1 + v2, v2 + v3, v3 + v1} {w2, w1} {v1 − v2, v2 − v3, v3 − v1} {w1, w2} {v1, v2, v3} {w1 − w2, w2 − w1} {v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3} {w1, w1 + w2} {v1 − v3, v2 + v3, v1 − v2} {w2, w1 + w2} c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 34 Uso educational personale 42 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Cambi di base 3 Argomenti: matrici di cambio di base Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: cambi di base, calcolo della matrice inversa Sia {v1, v2, v3} una base di uno spazio vettoriale V , e sia f : V → V l’applicazione lineare tale che f(v1) = v1, f(v2) = 2v2, f(v3) = 2v3 + v2. Determinare le matrici che rappresentano la stessa applicazione f utilizzando in partenza ed arrivo le basi indicate. {Base partenza} {Base arrivo} Matrice {Base partenza} {Base arrivo} Matrice {v1, v2, v3} {v1, v2, v3} {v1, v3, v2} {v1, v3, v2} {v3, v2, v1} {v3, v2, v1} {v2, v3, v1} {v2, v3, v1} {v1, v2, v3} {v3, v2, v1} {v3, v2, v1} {v1, v2, v3} {v1, v2, v3} {v1, 2v2, v3} {v1, 2v2, v3} {v1, v2, v3} {v1, v2, v3} {v1, 2v2, 2v3 + v1} {v1, 2v2, 2v3 + v1} {v1, v2, v3} {−v1, v2, v3} {−v1, v2, v3} {v1, v2,−v3} {v1, v2,−v3} {−v1,−v2,−v3} {v1, v2, v3} {v1, v2, v3} {−v1,−v2,−v3} Determinare quali delle seguenti matrici rappresentano l’applicazione f descritta sopra usando in partenza la base {v1, v2, v3}, ed in arrivo una base eventualmente diversa (nei casi affermativi, determinare la base in arrivo). 1 0 0 0 2 1 0 0 2   1 0 0 0 1 0 0 0 1   1 0 0 0 2 0 0 0 3   1 0 0 0 2 2 0 0 2   0 0 1 0 2 0 3 0 0   1 1 1 1 1 1 1 1 1   1 0 1 0 1 0 1 0 1   1 2 3 4 5 6 7 8 9   1 2 3 0 4 5 0 0 6   0 1 0 2 2 2 3 4 5  c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 35 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 45 Forme canoniche 1 Argomenti: matrici simili Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: autovalori, autovettori, forme canoniche, matrici di cambio di base Consideriamo l’applicazione lineare f : R4 → R3 definita da f(x, y, z, w) = (x+ y + z, y + z + w,w − x). Determinare quali delle seguenti matrici rappresentano f per un’opportuna scelta delle basi in partenza ed arrivo (nei casi affermativi non sarebbe male anche fornire un esempio di tali basi).  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0   1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0   0 0 3 0 0 0 0 0 0 7 0 0   0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 9 0   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12   2 0 0 2 0 0 0 0 5 0 0 5   2 0 0 2 0 5 √ 2 5 √ 2 0 5 0 0 5   1 3 1 3 3 1 3 1 1 3 1 3  In ciascuna delle righe seguenti vengono presentate k matrici. Di queste, (k− 1) sono simili tra loro. Si richiede di determinare l’intrusa. Inoltre, per ogni coppia di matrici simili, non sarebbe male determinare la matrice di cambio di base (o meglio, una delle possibili matrici di cambio di base) che realizza la similitudine.( 1 0 0 2 ) ( 1 3 0 2 ) ( 1 0√ 3 2 ) ( 3 2 1 −1 ) ( 3 2 −1 0 ) ( 10 18 −4 −7 ) ( 0 5 1 4 ) ( 5 5 −2 −1 ) ( 2 −1 1 2 ) ( 1 −2 1 3 ) ( 2 1 −1 2 ) ( 4 −5 1 0 ) ( 2 1 0 2 ) ( 2 2 0 2 ) ( 1 −1 1 3 ) ( 6 −4 4 −2 ) ( 2 0 0 2 ) ( 2 0 7 2 )  1 0 0 0 3 0 0 0 −2   3 0 0 0 −2 0 0 0 1   1 0 0 6 −2 0 5 4 3   −3 0 0 0 2 0 0 0 −1   4 0 2 2 2 2 −3 0 −1   2 0 0 0 1 0 0 0 2   2 −1 2 0 1 2 0 0 2   1 0 0 0 3 1 0 −1 1   2 0 0 0 2 0 7 5 1   1 0 2 0 2 0 0 0 1   1 0 1 0 1 0 0 0 2   2 3 4 0 2 1 0 1 0   1 1 0 0 1 0 0 0 2   1 1 0 0 1 1 0 0 2   3 1 0 0 3 1 0 0 3   3 1 1 0 3 1 0 0 3   3 3 3 0 3 3 0 0 3   3 0 1 0 3 1 0 0 3   3 0 0 −1 3 0 0 1 3  c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 38 Uso educational personale 46 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Forme canoniche 2 Argomenti: forme canoniche di applicazioni lineari Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: autovalori, autovettori, forme canoniche, matrici di cambio di base 1. Determinare, per ciascuna delle seguenti matrici, la forma canonica reale e quella com- plessa (se diversa da quella reale). Determinare anche, nel caso reale ed eventualmente nel caso complesso, una possibile matrice di cambio di base che realizza il passaggio alla forma canonica.( 1 0 0 1 ) ( 1 0 0 −1 ) ( 0 1 1 0 ) ( 0 1 −1 0 ) ( 0 1 4 0 ) ( 0 −1 4 0 ) ( 1 −3 −1 3 ) ( 1 1 −1 3 ) ( 1 1 0 3 ) ( 1 1 −1 −1 ) ( 1 0 −1 −1 ) ( 1 2 4 −1 ) ( 1 −2 5 −1 ) ( 3 0 3 3 ) ( 3 3 3 3 ) ( −1 2 8 −1 ) ( −1 2 −8 −1 ) ( 0 3 1 0 ) ( 1 2 3 4 ) ( 1 2 −3 4 ) 2. Determinare per quali valori del parametro reale a la matrice ( 1 2 a 3 ) (a) è diagonalizzabile sui reali, (b) è diagonalizzabile sui reali mediante una matrice ortogonale, (c) ha il ker non banale, (d) ammette l’autovalore λ = 1, (e) ammette l’autovalore λ = 2 + i, (f) ammette (1, 5) come autovettore, (g) non è diagonalizzabile sui complessi. 3. Determinare per quali valori dei parametri reali a e b la matrice ( a 1 b 2 ) (a) ammette autovalori immaginari puri, (b) ammette l’autovalore λ = 3 + 5i, (c) è diagonalizzabile sui reali mediante una matrice ortogonale e rappresenta un’appli- cazione lineare non surgettiva, (d) ammette λ = 7 come autovalore con autovettore corrispondente (1, 1), (e) ammette λ = −1 come autovalore ma non è diagonalizzabile sui complessi, (f) è simile alla matrice ( 1 2 3 4 ) . c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 39 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 47 Forme canoniche 3 Argomenti: forme canoniche di applicazioni lineari Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: autovalori, autovettori, forme canoniche, matrici di cambio di base 1. Determinare, per ciascuna delle seguenti matrici, la forma canonica reale e quella com- plessa (se diversa da quella reale). Determinare anche, nel caso reale ed eventualmente nel caso complesso, una possibile matrice di cambio di base che realizza il passaggio alla forma canonica. 1 1 1 1 1 1 1 1 1   0 1 0 1 0 1 0 1 0   0 1 0 1 0 −1 0 1 0   0 −5 0 1 0 1 0 1 0   1 2 0 0 1 2 2 0 1   6 0 1 2 5 2 −1 0 4   2 0 0 −6 5 6 6 −3 −4   −1 −2 −1 2 3 1 4 2 4   1 2 2 2 1 2 2 2 1   0 2 0 0 0 2 2 0 0   −1 −1 −1 −2 −2 −2 3 3 3   −1 −1 −1 −2 −2 −2 −3 −3 −3  2. Determinare per quali valori del parametro a la matrice  1 1 3 0 2 a 0 0 1  è diagonalizzabile. 3. Determinare per quale valore del parametro reale a le due matrici 1 7 5 0 2 −2 0 0 a   1 0 0 0 2 0 0 0 a  sono simili. 4. Consideriamo le seguenti applicazioni lineari f : R3 → R3: (x, y, z)→ (y, z, z), (x, y, z)→ (x, x+ y, x+ y + z). Per ciascuna di essere determinare la forma canonica, ed una base in cui la matrice assume la forma canonica. 5. Consideriamo le seguenti applicazioni lineari f : R≤2[x]→ R≤2[x]: p(x)→ p(−x), p(x)→ p(x) + p(−x), p(x)→ p(x) + p(2x), p(x)→ p′(x), p(x)→ p(x) + p(x+ 1), p(x)→ p(7) · x2, p(x)→ xp′(x) + 2p(x), p(x)→ (x+ 2)p′(x), p(x)→ p(3) ·x+x2 ∫ 1 −1 p(x) dx. Per ciascuna di essere determinare la forma canonica, ed una base in cui la matrice assume la forma canonica. c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 40 Uso educational personale 50 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Forme quadratiche 2 Argomenti: segnatura di forme quadratiche Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: criteri per la segnatura (completamento quadrati, Sylvester, Cartesio) 1. Consideriamo le seguenti forme quadratiche q(x, y) in R2: x2 + 2y2 + axy, x2 + ay2 + 5xy, ax2 − 2axy − 3y2, −y2 + axy. Determinare, per ciascuna di esse, per quali valori del parametro reale a risulta (a) definita positiva, (b) indefinita, (c) nulla sul sottospazio V = {(x, y) ∈ R2 : x+ 3y = 0}, (d) definita positiva sul sottospazio V di cui al punto precedente. 2. Consideriamo le seguenti forme quadratiche q(x, y, z) in R3: x2 + 2y2 + 3z2 + axz, x2 + ay2 + 3z2 + 6xy − yz, y2 + axz − 4ayz. Determinare, per ciascuna di esse, per quali valori del parametro reale a risulta (a) definita positiva, (b) indefinita, (c) indefinita, ma definita negativa su almeno un sottospazio di dimensione 2, (d) nulla su almeno un sottospazio di dimensione 2, (e) nulla sul sottospazio generato da (1, 2, 3), (f) definita positiva su almeno un sottospazio di dimensione 2, (g) definita negativa su almeno un sottospazio di dimensione 1, (h) definita positiva sul sottospazio generato da (1, 1, 3) e (0, 2, 1). 3. Determinare, al variare del parametro reale a, la segnatura delle seguenti forme quadra- tiche q(x, y, z, w) in R4: x2 − y2 + az2 − w2 x2 + ay2 − w2 ax2 − y2 − (a+ 3)z2 − w2 −x2 − ay2 + (a+ 4)z2 − (2a+ 1)w2 x2 − y2 + 2z2 − w2 − 2xz + ayw az2 + 2y2 + 3z2 − x2 + 2axy + 2yw 2x2 + 3y2 + 4w2 + axz x2 + ay2 + w2 + 2yz ax2 + w2 + 2ayz + 2xz x2 + ay2 + 3z2 + 4w2 + 2xz + 4zw + 2ayz 4. Consideriamo la seguente forma quadratica in R3: q(x, y, z) = ax2 + 2y2 + 4z2 + 2xy + byz. Determinare per quali valori dei parametri reali a e b la forma risulta semidefinita positiva e nulla sul sottospazio generato da (−2, 2, 1). c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 43 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 51 Prodotti scalari 1 Argomenti: prodotti scalari generali Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: prodotti scalari, forme quadratiche, Gram-Schmidt 1. Consideriamo i prodotti scalari in R2 rappresentati, rispetto alla base canonica, dalle seguenti matrici:( 1 0 0 2 ) ( 1 0 0 −2 ) ( 2 3 3 5 ) ( 2 −3 −3 4 ) ( 1 2 2 4 ) Per ciascuno di essi si richiede di (a) determinare se è definito positivo oppure no, (b) determinare il prodotto scalare tra i vettori (1, 2) e (3,−1), (c) determinare la matrice che lo rappresenta rispetto alla base {(−1, 2), (3,−2)} (si con- siglia per le prime volte di svolgere questo punto sia direttamente con la definizione, sia con il cambio di base), (d) determinare l’equazione cartesiana del sottospazio ortogonale al vettore (−1, 1), (e) determinare un vettore ortogonale al sottospazio di equazione cartesiana x+ 2y = 0, (f) determinare una base “Sylvesterizzante”. 2. Consideriamo i prodotti scalari in R3 rappresentati, rispetto alla base canonica, dalle seguenti matrici: 3 1 0 1 3 1 0 1 3   1 −1 0 −1 3 1 0 1 1   1 1 1 1 2 1 1 1 3   6 1 0 1 1 2 0 2 5  Per ciascuno di essi si richiede di (a) verificare che è definito positivo, (b) determinare la matrice che lo rappresenta rispetto alla base {(−1, 2, 0), (3, 0,−2), (1, 1, 1)}, (c) determinare l’equazione cartesiana del sottospazio ortogonale al vettore (−1, 1, 3), (d) determinare una base ortogonale, costituita da vettori a coordinate intere, del sot- tospazio di equazione cartesiana x = 3y − z, (e) determinare un vettore a coordinate intere ortogonale a (1, 0, 0) e a (0, 1, 1), (f) determinare la proiezione ortogonale del vettore (1, 0, 0) sul sottospazio generato da (0, 1, 0) e (0, 0, 1), (g) determinare una base ortonormale di R3, (h) determinare la matrice che, rispetto alla base canonica, rappresenta la proiezione sul sottospazio di equazione cartesiana y + z = 0. c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 44 Uso educational personale 52 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Prodotti scalari 2 Argomenti: prodotti scalari generali Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: prodotti scalari, forme quadratiche, Gram-Schmidt Nei seguenti punti vengono presentate delle espressioni che coinvolgono due elementi generici di uno spazio vettoriale. Per ciascuna di essa si richiede di (a) stabilire se definisce un prodotto scalare oppure no, ed in caso negativo specificare quali proprietà vengono a mancare, (b) nel caso in cui si tratta di un prodotto scalare, determinare la matrice che lo rappresenta rispetto alla base canonica dello spazio in questione e stabilirne la segnatura, (c) determinare una base dello spazio vettoriale di partenza rispetto alla quale la matrice che rappresenta il prodotto scalare assume la forma alla Sylvester. 1. Spazio vettoriale: R3. Elementi generici: (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2). Espressioni: x1x2 + y1y2 + z1y2 + z2y1, x1x2 + y1y2 + z1y2 + z2y1 + 5z1z2, x1y1, x1x2, x1y2, x1y2 + x2y1, x1x2 + y1y2, x1y1 + x2y2, (x1 + y1)(x2 + y2), (x1 + y1)(x2 + y2) + 10z1z2, (x1 + y1 + z1)(x2 + y2 + z2), (x1 + x2)(y1 + y2), (2x1 + y1)(x2 + 2y2), (x1 + y1 + z1)(x2 + y2). 2. Spazio vettoriale: R≤2[x] con base canonica {1, x, x2}. Elementi generici: p(x) e q(x). Espressioni:∫ 1 −1 p(x)q(x) dx, ∫ 1 0 p(x)q(x) dx, ∫ 1 −1 p′(x)q′(x) dx, ∫ 1 0 p(x)q′(x) dx, p(x)q(x), p(0)q(0), p(1)q(0), p(0)q(1) + p(1)q(0), p′(0)q′(0), p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(−1)q(−1), p(0)q(0) + p′(1)q′(1) + p(−1)q(−1), (p(0) + 2p(1))(q(0) + 2q(1)), (p(0) + 2q(1))(q(0) + 2p(1)), p(0)q(0)− p(1)q(1),∫ 1 −1 p′(x)q′(x) dx+ p(3)q(3), ∫ 1 −1 p(x)q(x) dx− p(2)q(2). 3. Spazio vettoriale: R≤3[x] con base canonica {1, x, x2, x3}. Elementi generici: p(x) e q(x). Stesse espressioni del punto precedente. 4. Spazio vettoriale: M2×2. Elementi generici: A e B. Espressioni: AB, AB +BA, Tr(AB), Tr(A) · Tr(B), Tr(AtB), Tr(ABt), det(AB), (1, 0)AB ( 0 1 ) , (1, 0)(AB +BA) ( 0 1 ) , detA · detB. c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 45 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 55 Affinità Argomenti: trasformazioni affini e omotetie Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: affinità, matrici, sistemi lineari 1. Dimostrare che la composizione di due affinità da Rn in Rn è ancora un’affinità. 2. Dimostrare che un’affinità Ax + b è invertibile se e solo se la matrice A è invertibile, ed in tal caso determinare la trasformazione inversa. 3. Consideriamo le seguenti condizioni: f(1, 1) = (1, 2), f(0,−4) = (2, 1), f(1,−1) = (2, 0). (a) Dimostrare che esiste un’unica affinità f : R2 → R2 che soddisfa le condizioni precedenti. Determinare esplicitamente tale affinità. (b) Determinare l’immagine della retta y = 2x− 1. (c) Determinare la retta che ha come immagine la retta y = 2x− 1. 4. Consideriamo il rettangolo del piano con vertici in (3, 2), (6, 2), (6, 4), (3, 4). Determinare quante sono le affinità in R2 che mandano il rettangolo nel quadrato con vertici in (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Scrivere esplicitamente le espressioni di tali affinità. 5. (Omotetie rispetto all’origine di R2) (a) Scrivere l’espressione dell’omotetia di fattore 3 rispetto all’origine di R2. (b) Determinare i punti fissi di tale omotetia. (c) Determinare l’immagine delle seguenti rette: y = 2x, y = 2x+ 5, y = −2x+ 3, x+ y − 1 = 0. (d) Determinare quali rette hanno come immagine le rette precedenti. (e) Determinare l’immagine della circonferenza x2 + y2 − 3x = 0. 6. (Omotetie rispetto ad un punto qualunque di R2) (a) Scrivere l’espressione dell’omotetia di fattore 3 rispetto al punto (2,−1) di R2. (b) Determinare i punti fissi di tale omotetia. (c) Determinare l’immagine delle seguenti rette: y = 2x, y = 2x+ 5, y = −2x+ 3, x+ y − 1 = 0. (d) Determinare quali rette hanno come immagine le rette precedenti. (e) Determinare l’immagine della circonferenza x2 + y2 − 3x = 0. 7. Scrivere l’espressione generale dell’omotetia di fattore λ rispetto al punto (x0, y0) e deter- minare i suoi punti fissi. 8. Determinare quale trasformazione del piano si ottiene facendo prima l’omotetia di fattore 6 rispetto al punto (3, 7) e poi l’omotetia di fattore 1/2 rispetto al punto (2,−5). c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 48 Uso educational personale 56 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Isometrie del piano 1 Argomenti: isometrie del piano Difficoltà: ? ? ? ? Prerequisiti: isometrie nel piano, matrici ortogonali 1. (a) Descrivere l’insieme di tutte le matrici 2× 2 ortogonali. (b) Determinare quali matrici ortogonali hanno determinante uguale a +1 e quali hanno determinante uguale a −1. (c) Determinare chi sono gli autovalori delle matrici ortogonali descritte al punto pre- cedente. Nel caso di autovalori reali, determinare anche i rispettivi autospazi. 2. Scrivere le espressioni generali delle seguenti isometrie del piano: (a) traslazione di vettore (x0, y0), (b) simmetria rispetto alla retta di equazione cartesiana ax+ by + c = 0, (c) simmetria rispetto alla retta di equazione parametrica (x0, y0) + t(a, b), (d) rotazione antioraria di un angolo θ rispetto all’origine, (e) rotazione antioraria di un angolo θ rispetto al punto (x0, y0), (f) rotazione oraria di un angolo θ rispetto al punto (x0, y0), (g) simmetria centrale rispetto all’origine (in quale delle precedenti categorie rientra?) (h) simmetria centrale rispetto al punto (x0, y0) (in quale delle precedenti rientra?), (i) simmetria rispetto alla retta di equazione parametrica (x0, y0) + t(a, b), seguita da una traslazione di vettore (a, b). 3. Determinare quale trasformazione del piano si ottiene facendo . . . (a) prima la traslazione di vettore (x0, y0) e poi la traslazione di vettore (x1, y1), (b) prima la simmetria centrale rispetto al punto (x0, y0) e poi la simmetria centrale rispetto al punto (x1, y1), (c) prima la simmetria rispetto ad una retta e poi nuovamente la simmetria rispetto alla stessa retta, (d) prima la simmetria rispetto ad una retta r e poi la simmetria rispetto ad una retta r′ parallela ad r, (e) prima la simmetria rispetto ad una retta r e poi la simmetria rispetto ad una retta r′ incidente con r, (f) prima la rotazione antioraria di un angolo θ rispetto ad un punto (x0, y0) e poi la rotazione oraria di un angolo θ rispetto ad un punto (x1, y1), eventualmente diverso dal precedente, (g) prima la rotazione antioraria di un angolo θ0 rispetto ad un punto (x0, y0) e poi la rotazione antioraria di un angolo θ1, eventualmente diverso dal precedente, rispetto ad un punto (x1, y1), eventualmente diverso dal precedente. c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 49 Uso educational personale Capitolo 1: Fare 57 Isometrie del piano 2 Argomenti: isometrie del piano Difficoltà: ? ? ? Prerequisiti: isometrie nel piano, matrici ortogonali Nel seguito sono descritte alcune isometrie del piano. Per ciascuna di esse si richiede di • scrivere l’espressione generale, • determinare i punti fissi, • determinare l’immagine della retta y = 2x− 3 e della retta 2x+ 3y + 5 = 0, • determinare la retta che ha come immagine la retta 2x+ 3y + 5 = 0, • determinare l’immagine della circonferenza di equazione x2 + y2 + 3x− 2y = 10. Isometrie da esaminare: (1) traslazione di vettore (3,−1), (2) simmetria rispetto all’asse x, (3) simmetria rispetto all’asse y, (4) rotazione di 90◦ in senso orario rispetto all’origine, (5) simmetria rispetto alla retta x = −8, (6) simmetria centrale rispetto al punto (3, 4), (7) simmetria rispetto alla retta y = x, (8) simmetria rispetto alla retta y = 4 seguita da simmetria rispetto alla retta x = 3, (9) simmetria rispetto alla retta y = 2x, (10) simmetria rispetto alla retta y = 2x seguita da simmetria rispetto alla retta y = 2x− 3, (11) rotazione di 30◦ in senso antiorario rispetto al punto (−2, 3), (12) simmetria rispetto alla retta di equazione 3x+ 4y + 7 = 0, (13) simmetria rispetto alla retta di equazione 3x + 4y + 7 = 0 seguita da simmetria rispetto alla retta di equazione 3x− 4y + 11 = 0, (14) simmetria rispetto alla retta y + x = 0 seguita da traslazione di vettore (2,−2), (15) simmetria rispetto alla retta di equazione 3x− 4y− 7 = 0 seguita da rotazione antioraria di 90◦ rispetto al punto (1, 2), (16) rotazione oraria di 120◦ rispetto al punto (1, 2), seguita da rotazione oraria di 120◦ rispetto al punto (3,−2), seguita da rotazione oraria di 120◦ rispetto al punto (7, 1). c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 50 Uso educational personale 60 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Isometrie dello spazio 2 Argomenti: isometrie dello spazio Difficoltà: ? ? ? ? ? Prerequisiti: isometrie nello spazio, matrici ortogonali 1. Scrivere l’espressione generale e determinare i punti fissi per ciascuna delle seguenti isometrie dello spazio: (a) rotazione intorno all’asse y di 90◦ in un verso giudicato antiorario da un omino orientato secondo il semiasse positivo delle y, seguita da rotazione intorno all’asse z di 90◦ in un verso giudicato orario da un omino orientato secondo il semiasse positivo delle z, (b) rotazione intorno all’asse z di 90◦ in un verso giudicato orario da un omino orientato secondo il semiasse positivo delle z, seguita da rotazione intorno all’asse y di 90◦ in un verso giudicato antiorario da un omino orientato secondo il semiasse positivo delle y, (c) rotazione, intorno alla retta passante per l’origine e per (1, 1, 1), di 90◦ in un verso giudicato orario da un omino orientato secondo il semiasse positivo delle z, (d) la rotazione del punto precedente, seguita da simmetria centrale rispetto al punto (1, 0,−2), (e) rotazione, intorno alla retta passante per (2,−1, 5) e per (3, 0, 4), di 90◦ in un verso giudicato orario da un omino orientato secondo il semiasse positivo delle z, (f) rotazione, intorno alla retta passante per (2,−1, 5) e per (3, 0, 4), di 90◦ in un verso giudicato orario da un omino orientato secondo il semiasse positivo delle z, seguita da simmetria rispetto al piano di equazione 2x− y + 5z = 3. 2. Verificare che le seguenti espressioni rappresentano delle isometrie dello spazio e descrivere di cosa si tratta sulla base della classificazione, precisando anche gli elementi geometrici (cioè se si tratta di una simmetria occorre dire rispetto a quale piano, se si tratta di una rotazione occorre dire di quale angolo e rispetto a quale asse, e cos̀ı via). (x, y, z) (y, z, x) (y, x, z) (x,−y, z) (y,−z, x) (y,−x, z) (3 + x, 5 + y, 7 + z) (3− x, 5 + y, 7 + z) (3 + x, 5− y, 7− z) (3− x, 5− y, 7− z) (3 + x, 5 + z, 7 + y) (3− x, 5 + z, 7 + y) (3 + x, 5 + z, 7− y) (3− x, 5− z, 7 + y) (3 + x, 5− z, 7− y) (3− x, 5− z, 7− y) (3 + y, 5 + z, 7 + x) (3 + y, 5− z, 7 + x) (3− y, 5 + z, 7− x) (3− y, 5− z, 7− x) (3 + z, 5 + x, 7 + y) 3. Consideriamo i 3 punti A = (1, 2, 4), B = (1, 3, 6), C = (−1, 3, 4). Determinare le espressioni di tutte le isometrie dello spazio che mandano il triangolo ABC in se stesso (ma non è detto che mandino A in A, B in B e C in C). c© 2019 Massimo Gobbino Test di allenamento n. 53 Uso educational personale Capitolo 2 Saper dire [Spiegare il significato di questo capitolo] 61 62 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 2.1 Spazi vettoriali e applicazioni lineari 2.1.1 Spazi vettoriali, indipendenza lineare, generatori e basi 1. Definizione di campo (proprietà delle operazioni). 2. Definizione di campo (proprietà delle operazioni) indicando con ] la somma e con ∗ il prodotto. 3. Definizione di spazio vettoriale. 4. Definizione di spazio vettoriale (proprietà delle operazioni) indicando con ] la somma e con ∗ il prodotto di un vettore per una costante. 5. Definizione di vettori linearmente indipendenti. 6. Definizione di vettori linearmente dipendenti. 7. Dimostrare che n vettori sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di loro si può scrivere come combinazione lineare dei rimanenti. 8. In uno spazio vettoriale V siano dati n vettori v1, . . . , vn, due dei quali coincidono. Dimostrare che i vettori non sono linearmente indipendenti. 9. In uno spazio vettoriale V siano dati n vettori v1, . . . , vn, uno dei quali è il vettore nullo. Dimostrare che i vettori non sono linearmente indipendenti. 10. Definizione di sistema di generatori per uno spazio vettoriale. 11. Definizione di base per uno spazio vettoriale e di componenti di un vettore rispetto ad una base. Dimostrazione dell’esistenza e dell’unicità delle componenti di un vettore rispetto ad una data base. 12. Fare un esempio di spazio vettoriale che non ha dimensione finita (con dimostrazione). 13. Spazi vettoriali di dimensione finita e teorema di esistenza di una base: enunciato e dimostrazione. 14. Teorema di sostituzione (relazione tra insiemi di vettori linearmente indipendenti ed insiemi di generatori): enunciato e dimostrazione. 15. Ottenimento di una base per completamento a partire da un insieme linearmente indi- pendente: enunciato e dimostrazione. 16. Ottenimento di una base per eliminazione a partire da un insieme di generatori: enunciato e dimostrazione. 17. Enunciare come si può ottenere una base per completamento a partire da . . . e per eliminazione a partire da . . . . 18. Dimostrazione che tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi (se serve, si può enunciare senza dimostrazione il teorema di sostituzione). c© 2019 Massimo Gobbino Saper Dire Uso educational personale Capitolo 2: Saper dire 65 2.1.5 Determinante e rango 1. Enunciare le proprietà basic che caratterizzano univocamente il determinante ed il teorema di esistenza ed unicità del determinante. 2. Cosa vuol dire che il determinante è alternante? Come si deduce l’alternanza dalle proprietà basic? 3. Dimostrare, a partire dalle proprietà basic, che il determinante di una matrice è nullo quando le righe sono linearmente dipendenti. 4. Dimostrare, a partire dalle proprietà basic, la formula per il determinante di una matrice 2× 2. 5. Interpretazione geometrica del determinante di una matrice 2× 2: enunciato e dimostra- zione. 6. Come si comporta il determinante rispetto alle operazioni previste dall’algoritmo di Gauss? Perché? 7. Dimostrare il teorema di unicità del determinante. 8. Determinante di una matrice triangolare superiore: enunciato e dimostrazione. 9. Sviluppi di Laplace (sviluppi ricorsivi di un determinante per righe o per colonne). 10. Enunciato del teorema di Binet (determinante del prodotto di due matrici). 11. Legame tra il determinante di una matrice e quello della sua trasposta: enunciato e dimostrazione. 12. Legame tra il determinante di una matrice e quello della sua inversa: enunciato e dimo- strazione. 13. Formula che permette, in R3, di determinare un vettore perpendicolare a due vettori dati: enunciato e dimostrazione. 14. Definizioni di rango di una matrice ed enunciato della loro equivalenza. 15. L’R-rango di una matrice è uguale all’R-rango della matrice a scala ottenuta mediante l’algoritmo di Gauss? Perché? 16. Il C-rango di una matrice è uguale al C-rango della matrice a scala ottenuta mediante l’algoritmo di Gauss? Perché? 17. Quanto vale il rango di una matrice a scala? Quale rango? Perché? 18. Enunciare e dimostrare la relazione tra R-rango e C-rango per una matrice. 19. Enunciare e dimostrare la relazione tra R-rango e D-rango per una matrice. 20. Dimostrare che il determinante di una matrice è diverso da 0 quando le righe sono linearmente indipendenti. c© 2019 Massimo Gobbino Saper Dire Uso educational personale 66 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 2.1.6 Forme canoniche 1. Definizione di matrici simili. 2. Se due matrici A e B sono simili, è vero che A2 e B2 sono simili? Perché? Cosa succede per esponenti più grandi? 3. Definizione di polinomio caratteristico ed enunciato del suo legame con gli autovalori. 4. Definizione di autovalore, autovettore, autospazio. 5. Se due matrici sono simili, cosa possiamo dire dei loro polinomi caratteristici? Perché? 6. Se due matrici sono simili, cosa possiamo dire dei loro autovalori? Perché? 7. Se due matrici sono simili, cosa possiamo dire dei loro determinanti? Perché? 8. Se due matrici sono simili, cosa possiamo dire delle loro tracce? Perché? 9. Relazione tra autovalori e polinomio caratteristico: enunciato e dimostrazione. 10. Quanti sono al massimo gli autovalori di una matrice n× n? Perché? 11. Enunciare cosa hanno a che fare traccia e determinante con i coefficienti del polinomio caratteristico. 12. Relazione tra determinante e coefficienti del polinomio caratteristico: enunciato e dimo- strazione. 13. Definizione(i) di molteplicità di un autovalore. Enunciato della relazione tra le due nozioni. 14. Relazione tra le due nozioni di molteplicità per un autovalore: enunciato e dimostrazione. 15. Caratterizzazione della diagonalizzabilità in termini di molteplicità degli autovalori. 16. Enunciato del teorema spettrale e dimostrazione di una delle due implicazioni. 17. Dando per buona la caratterizzazione della diagonalizzabilità in termini di moltepli- cità degli autovalori, dimostrare che una matrice n × n con n autovalori reali distinti è diagonalizzabile. 18. Che cosa si può dire degli autovalori di una matrice simmetrica? E delle loro molteplicità? Perché? 19. Che cosa si può dire degli autovalori di una matrice diagonale? E delle loro molteplicità? Perché? 20. Che cosa si può dire degli autovalori di una matrice triangolare? E delle loro molteplicità? Perché? 21. Definizione di polinomio minimo di una matrice (o applicazione). Come sono fatti tutti i polinomi che annullano una matrice (solo enunciato)? c© 2019 Massimo Gobbino Saper Dire Uso educational personale Capitolo 2: Saper dire 67 22. Dimostrazione che esiste almeno un polinomio (non nullo) che annulla una matrice. 23. Enunciato del teorema di Hamilton-Cayley. 24. Se due matrici sono simili, cosa possiamo dire dei loro polinomi minimi? Perché? 25. Enunciato delle relazioni tra polinomio minimo e diagonalizzabilità. 26. Cosa si può dire delle radici del polinomio minimo? E della loro molteplictà? 2.2 Prodotti scalari 2.2.1 Prodotto scalare canonico 1. Definizione di base ortogonale e ortonormale rispetto al prodotto scalare canonico. Come si ottiene una base ortonormale a partire da una base ortogonale? 2. Cosa sono le componenti di un vettore qualunque rispetto ad una base ortonormale? E rispetto ad una base ortogonale? 3. Descrizione dell’algoritmo di Gram-Schmidt e delle relazioni tra la base che produce e quella di partenza. 4. Definizione di ortogonale di un sottospazio e dimostrazione che si tratta a sua volta di un sottospazio vettoriale. 5. Definizione di ortogonale di un sottospazio (caso del prodotto scalare canonico) e dimo- strazione che la sua intersezione con il sottospazio di partenza è . . . 6. Definizione di matrice ortogonale, legami tra la sua inversa e la sua trasposta, e legami con le basi ortogonali ed ortonormali. 7. Il prodotto di due matrici ortogonali è a sua volta ortogonale? Perché? 8. La somma di due matrici ortogonali è a sua volta ortogonale? Perché? 9. In prodotto di una matrice ortogonale per uno scalare è a sua volta una matrice ortogo- nale? Perché? 10. L’inversa di una matrice ortogonale è a sua volta ortogonale? Perché? 11. Quanto può valere il determinante di una matrice ortogonale? Perché? 12. Se una matrice ortogonale ha un autovalore reale, quanto può valere questo autovalore? Perché? 13. Definizione di applicazione simmetrica e di matrice simmetrica. 14. Un’applicazione simmetrica è rappresentata da una matrice simmetrica quando . . . 15. Autovalori distinti di un’applicazione simmetrica sono . . . Perché? c© 2019 Massimo Gobbino Saper Dire Uso educational personale 70 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 2. Prodotto scalare e angolo tra due vettori: enunciato e dimostrazione in R2. 3. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: enunciato e dimostrazione. 2.4.2 Trasformazioni affini e isometrie 1. Definizione di trasformazione affine e dimostrazione che la composizione di due affinità è a sua volta un’affinità. 2. Definizione di isometria ed enunciato del teorema di struttura delle isometrie di Rn. 3. Dimostrazione che tutte le affinità con matrice . . . sono isometrie. 4. Dimostrazione che un’isometria che fissa l’origine conserva le norme. 5. Dimostrazione che un’isometria che fissa l’origine conserva il prodotto scalare. 6. Teorema di struttura per le isometrie: enunciato e dimostrazione (si può dare per buono che un’isometria che fissa l’origine conserva norme e prodotti scalari). 7. Come sono fatte tutte le matrici 2 · 2 ortogonali? Perché? 8. Come è fatta la matrice che rappresenta nel piano la simmetria rispetto ad una generica retta passante per l’origine? 9. Come è fatta la matrice che rappresenta nel piano una rotazione rispetto all’origine? 10. Cosa possiamo dire degli autovalori di una matrice che rappresenta nel piano la simmetria rispetto ad una retta passante per l’origine? 11. Cosa possiamo dire degli autovalori di una matrice che rappresenta nel piano una rotazione rispetto all’origine? 12. Cosa possiamo dire degli autovalori di una matrice che rappresenta nello spazio la sim- metria rispetto ad un piano passante per l’origine? 13. Cosa possiamo dire degli autovalori di una matrice che rappresenta nello spazio una rotazione rispetto ad una retta passante per l’origine? 14. Enunciare la classificazione delle isometrie del piano sulla base del luogo dei punti fissi. 15. Enunciare la classificazione delle isometrie dello spazio sulla base del luogo dei punti fissi. c© 2019 Massimo Gobbino Saper Dire Uso educational personale Capitolo 3 Saper fare [Spiegare il significato di questo capitolo] 71 72 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 3.1 Spazi vettoriali e applicazioni lineari 3.1.1 Spazi vettoriali, indipendenza lineare, generatori e basi 1. Saper decidere se una data struttura algebrica è un campo; in caso negativo, saper indicare quale o quali degli assiomi non sono verificati. 2. Saper decidere se una data struttura algebrica è uno spazio vettoriale; in caso negativo, saper indicare quale o quali degli assiomi non sono verificati. 3. Saper decidere se un po’ di elementi assegnati di uno spazio vettoriale sono linearmente indipendenti, oppure se sono un sistema di generatori. 4. Saper determinare se uno spazio vettoriale ha dimensione finita esibendo esplicitamente una base. 5. Saper trovare una base di uno spazio vettoriale estendendo un insieme assegnato di vettori linearmente indipendenti, oppure estraendola da un assegnato insieme di generatori. 6. Saper determinare le componenti di un vettore dato rispetto ad una base prestabilita. 7. Saper vedere gli spazi vettoriali complessi come spazi vettoriali reali, sapendo distinguere dimensioni e basi come spazi vettoriali complessi da dimensioni e basi come spazi vettoriali reali. 3.1.2 Sottospazi vettoriali 1. Saper decidere se un dato sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un sottospazio vettoriale; in caso negativo, saper indicare quale proprietà manca. 2. Saper passare dalla presentazione cartesiana a quella parametrica di un sottospazio vet- toriale, e viceversa. 3. Saper determinare la dimensione di un sottospazio vettoriale, comunque questo sia defi- nito. 4. Saper determinare lo Span di un insieme dato di vettori, anche non linearmente indipen- denti, descrivendolo in maniera cartesiana o parametrica. 5. Dati due sottospazi vettoriali, comunque definiti, saper determinare la dimensione ed una base per la loro somma e la loro intersezione. 6. Saper decidere se uno spazio vettoriale è somma diretta di due sottospazi; in caso af- fermativo, saper calcolare le componenti di un dato vettore secondo i due sottospazi, e saper descrivere (ad esempio mediante le matrici ad esse associate) le due proiezioni dallo spazio grande ai due sottospazi. c© 2019 Massimo Gobbino Saper Fare Uso educational personale Capitolo 3: Saper fare 75 3. Saper determinare l’ortogonale di un sottospazio di Rn assegnato, descrivendolo in ma- niera cartesiana o parametrica (eventualmente ricorrendo ad una base ortogonale od ortonormale). 4. Saper scrivere la matrice che rappresenta la proiezione ortogonale su un sottospazio di Rn assegnato. 5. Saper decidere se una matrice è ortogonale oppure no, ed in caso affermativo saperne calcolare l’inversa molto velocemente. 3.2.2 Forme quadratiche 1. Saper trovare la matrice associata ad una forma quadratica e passare dall’espressione “polinomiale” a quella “matriciale” e viceversa. 2. Saper dedurre la segnatura di una forma quadratica in dimensione 2 dal segno del determinante e degli elementi sulla diagonale della matrice ad essa associata. 3. Saper scrivere una forma quadratica in ogni dimensione come somma e/o differenza di quadrati di termini linearmente indipendenti mediante il metodo di “completamento dei quadrati”. Saper dedurre la segnatura della forma da tale espressione. 4. Saper dedurre la segnatura di una forma quadratica dal segno degli autovalori della matrice associata. 5. Saper dedurre la segnatura di una forma quadratica applicando, ove possibile, il metodo di Sylvester (minori orlati), procedendo in varie direzioni a seconda della convenienza. 6. Saper dedurre la segnatura di una forma quadratica dal segno dei coefficienti del suo polinomio caratteristico (metodo di Cartesio). 3.2.3 Prodotti scalari e applicazioni simmetriche in generale 1. Saper decidere se una data espressione rappresenta un prodotto scalare in uno spazio vettoriale. In caso negativo, saper indicare quali proprietà vengono a mancare. 2. Saper determinare la matrice che rappresenta un prodotto scalare rispetto ad una data base, e saperla utilizzare per il calcolo effettivo del prodotto scalare. 3. Saper utilizzare le matrici di cambio di base per determinare le matrici che rappresentano uno stesso prodotto scalare rispetto a basi differenti. 4. Saper decidere la segnatura di un dato prodotto scalare assegnato. 5. Saper determinare una base di uno spazio vettoriale che sia ortonormale rispetto ad un assegnato prodotto scalare definito positivo. 6. Saper determinare, mediante opportuni prodotti scalari, le componenti di un vettore rispetto ad una base ortonormale assegnata. c© 2019 Massimo Gobbino Saper Fare Uso educational personale 76 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 7. Saper decidere se una data applicazione lineare è simmetrica rispetto ad un prodotto scalare assegnato. 8. Saper trovare una base ortonormale costituita da autovettori di un’applicazione simme- trica. 3.3 Sistemi lineari 1. Saper scrivere un sistema lineare in termini di matrici e vettori. 2. Saper applicare l’algoritmo di Gauss, sia nella versione ultra-ortodossa sia nella versione più elastica, per ottenere la riduzione a scala di una matrice. 3. Saper applicare l’algoritmo di Gauss nella versione Gauss-Jordan, quella cioè che permette di arrivare ad una matrice a scala con tutti 0 sopra i pivot. 4. Saper risolvere un sistema lineare mediante l’algoritmo di Gauss, scrivendo le eventuali soluzioni utilizzando un numero opportuno di parametri liberi. 5. Saper interpretare un sistema lineare come ricerca di una combinazione lineare che fornisce un vettore dato. 6. Sapere intepretare un sistema lineare omogeneo come ricerca del nucleo di una applica- zione lineare. 7. Sapere interpretare un sistema lineare in termini dell’applicazione lineare associata alla matrice dei coefficienti. 8. Sapere quando è possibile applicare il metodo di Cramer ad un sistema lineare e, in caso affermativo, saperlo applicare. 9. Sapere trarre conclusioni su di un sistema lineare (esistenza di soluzioni, loro eventua- le unicità, eventuale dimensione dello spazio delle soluzioni) sulla base del rango della matrice incompleta e della matrice completa. 10. Saper studiare un sistema lineare (esistenza di soluzioni, loro eventuale unicità, eventuale dimensione dello spazio delle soluzioni) al variare di eventuali parametri che compaiono nel sistema stesso. 3.4 Geometria analitica 1. Saper svolgere le operazioni elementari tra vettori: somma, differenza, prodotto di un vettore per una costante, e saper interpretare tali operazioni in termini geometrici. 2. Saper calcolare il prodotto scalare tra due vettori, la norma di un vettore, e la distanza tra due vettori. 3. Saper operare algebricamente con prodotti scalari, norme, distanze, conoscendo le prin- cipali proprietà e le relazioni tra questi oggetti. c© 2019 Massimo Gobbino Saper Fare Uso educational personale Capitolo 3: Saper fare 77 4. Saper calcolare l’angolo formato da due vettori mediante norme e prodotti scalari. Essere consapevoli che, se si pensa in termini di direzioni, ci sono due possibili angoli, che differiscono di π, e sapere come questa differenza si traduce nelle formule. 5. Saper utilizzare le coordinate polari nel piano, e passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari. 6. Saper passare dall’equazione cartesiana (implicita od esplicita) di una retta del piano a quella parametrica. Saper intepretare geometricamente i parametri che compaiono nelle varie equazioni. 7. Saper decidere se due rette del piano (presentate in vario modo) sono coincidenti, parallele o incidenti. Se sono parallele, saper determinare la distanza tra le stesse. Se sono incidenti, saper determinare il punto d’intersezione e l’angolo che formano. 8. Saper scrivere, sia in forma cartasiana sia in forma parametrica, l’equazione della retta del piano che passa per un punto dato e che è parallela o perpendicolare ad una retta data. 9. Saper scrivere, sia in forma cartasiana sia in forma parametrica, l’equazione delle rette del piano che passano per un punto dato e che formano un angolo assegnato con una retta data. 10. Saper determinare, nel piano, la distanza di un punto dato da una retta data. 11. Saper decidere se 3 punti nel piano, nello spazio, o più in generale in Rn, sono allineati. 12. Saper decidere se 4 punti nello spazio, o più in generale in Rn, appartengono ad uno stesso piano (sottospazio affine di dimensione 2). 13. Saper passare dall’equazione cartesiana (implicita od esplicita) di un piano nello spazio a quella parametrica. 14. Saper scrivere, nello spazio, l’equazione del piano che soddisfa opportune richieste: passare per 3 punti, passare per un punto e contenere una data retta, passare per un punto ed essere perpendicolare ad una data retta, o formare con essa un dato angolo. 15. Saper scrivere, nello spazio, l’equazione della retta che soddisfa opportune richieste: pas- sare per due punti dati, passare per un punto ed essere parallela ad una retta data, passare per un punto ed essere perpendicolare ad un piano dato. 16. Saper determinare, nello spazio, la distanza di un punto dato da un piano assegnato. 17. Saper determinare, nello spazio, la distanza di un punto dato da una retta assegnata. 18. Saper decidere se due piani dello spazio (presentati in vario modo) sono coincidenti, paralleli o incidenti. Se sono paralleli, saper determinare la distanza tra i piani stessi. Se sono incidenti, saper determinare la retta d’intersezione (descrivendola in vari modi) e l’angolo che formano. c© 2019 Massimo Gobbino Saper Fare Uso educational personale Capitolo 4 Scritti d’esame [Spiegare il significato di questo capitolo] 81 82 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Università di Pisa – Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica/Telecomunicazioni Simulazione scritto d’esame di Algebra Lineare Pisa, 09 Novembre 2013 1. Consideriamo i seguenti punti nello spazio A = (0, 0, 1), B = (0, 2, 0), C = (−1, 2, 3), D = (0, 1, 1). (a) Determinare il volume del tetraedro ABCD. (b) Determinare l’angolo che la faccia ABC forma con la faccia ABD. 2. Consideriamo in R3 i vettori v1 = (0, 2, 3) v2 = (−1, 0, 1) v3 = (1, 1, 1). (a) Dimostrare che esiste un’unica applicazione lineare f : R3 → R3 tale che f(v1) = v1 − v2, f(v2) = v2 − v3, f(v3) = v3 − v1. (b) Scrivere la matrice associata ad f nella base canonica. (c) Trovare la dimensione ed una base per il ker e l’immagine di f . 3. Sia R≤3[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore od uguale a 3. Consideriamo i sottospazi V = { p(x) ∈ R≤3[x] : p(0) = p(2) e p(1) = 0 } , W = Span { x2 + 1, x } . Determinare la dimensione ed una base di V , W , V +W , V ∩W . 4. Consideriamo il sistema lineare y + z = −1 3x+ 4y + 5z = 2 6x+ 7y + λz = 5 dove λ è un parametro reale. (a) Risolvere il sistema nel caso particolare λ = 0. (b) Determinare per quali valori di λ il sistema ammette un’unica soluzione. (c) Determinare cosa accade per i restanti valori di λ. c© 2019 Massimo Gobbino Simulazione 2019 S1 Uso educational personale Capitolo 4: Scritti d’esame 85 Università di Pisa – Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica/Telecomunicazioni Simulazione scritto d’esame di Algebra Lineare Pisa, 16 Dicembre 2013 1. Consideriamo nel piano cartesiano i punti P = (2, 1) e Q = (4, 4) e la retta r di equazione 5x+ y + 2 = 0. (a) Determinare quale punto si ottiene ruotando Q di 45◦ in senso antiorario intorno al punto P . (b) Determinare l’equazione cartesiana della retta che si ottiene ruotando r di 45◦ in senso antiorario intorno al punto P . (c) Determinare quale trasformazione del piano si ottiene facendo prima la simmetria rispetto ad r e poi la simmetria rispetto all’asse y. 2. Consideriamo la forma quadratica q(x, y, z) = y2 + 2xy − 6yz + axz, in cui a è un parametro reale. (a) Nel caso a = 1, determinare un sottospazio di R3 di dimensione 2 su cui la forma risulta definita positiva. (b) Determinare la segnatura della forma al variare del parametro a. 3. Sia b un parametro reale, e sia f : R2 → R2 l’applicazione lineare tale che f(1, 2) = (6, b), f(1, 3) = (8, b+ 5). (a) Determinare per quali valori di b l’applicazione f ammette una base ortonormale di autovettori, ed in tali casi determinare una tale base. (b) Determinare per quali valori di b l’applicazione f è diagonalizzabile sui reali. (c) Determinare per quali valori di b l’applicazione f non è diagonalizzabile sui com- plessi, ed in tali casi determinare la sua forma di Jordan reale. 4. Sia R≤2[x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore od uguale a 2. (a) Dimostrare che la formula 〈p(x), q(x)〉 = p(0)q(0) + 3p(1)q(1) + 5p(2)q(2) rappresenta un prodotto scalare definito positivo in R≤2[x]. (b) Determinare la matrice ad esso associata rispetto alla base {1, x, x2}. (c) Determinare una base ortonormale rispetto a tale prodotto scalare. c© 2019 Massimo Gobbino Simulazione 2019 S4 Uso educational personale 86 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Università di Pisa – Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica/Telecomunicazioni Simulazione scritto d’esame di Algebra Lineare Pisa, 24 Dicembre 2013 1. Consideriamo in R4 il triangolo con vertici nei punti A = (1, 1, 0, 0), B = (2, 0, 3, 1), C = (−1, 0, 2,−1). (a) Determinare la lunghezza ed il piede dell’altezza uscente dal vertice A. (b) Determinare l’area del triangolo. (c) Determinare una rappresentazione cartasiana del sottospazio affine di dimensione 2 (in poche parole, il piano) che contiene il triangolo ABC. 2. Consideriamo, nello spazio, la simmetria rispetto al piano di equazione z = x− 2y. (a) Determinare l’espressione della simmetria. (b) Determinare l’immagine del piano x+ y − 3z = 0, (c) Determinare quale isometria dello spazio si ottiene facendo prima tale simmetria e poi la simmetria centrale rispetto al punto (2, 3, 0). 3. Sia R≤3[x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore od uguale a 3. Consideriamo l’applicazione lineare da R≤3[x] in R≤3[x] definita da p(x)→ (x+ 2)p′(x). (a) Determinare la dimensione del ker e dell’immagine dell’applicazione. (b) Determinare gli autovalori dell’applicazione ed i relativi autospazi. (c) Determinare l’intersezione tra l’immagine e l’insieme dei polinomi dispari (cioè quelli tali che p(−x) = −p(x)). 4. Consideriamo la matrice Ba =  1 a 1 a 1 1 1 1 3 , dove a è un parametro reale. (a) Determinare, al variare del parametro a, la segnatura del prodotto scalare in R3 la cui matrice associata nella base canonica è Ba. (b) Nel caso particolare a = 0, determinare una matrice M tale che M tB0M sia l’iden- tità. (c) Determinare, se esistono, i valori di a per cui esiste una matrice ortogonale M tale che M tBaM sia l’identità. c© 2019 Massimo Gobbino Simulazione 2019 S5 Uso educational personale Capitolo 4: Scritti d’esame 87 Università di Pisa – Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica/Telecomunicazioni Simulazione scritto d’esame di Algebra Lineare Pisa, 31 Dicembre 2013 1. Consideriamo in R3 i punti A = (2,−1, 2) e B = (2, 3, 0). (a) Determinare l’equazione cartesiana del piano che contiene A e B e non interseca la retta passante per l’origine e per (1, 1, 1). (b) Siano C eD punti appartenenti al piano precedente e tali cheABCD sia un quadrato. Determinare le possibili coordinate di C e D. 2. Sia r la retta del piano che passa per A = (−1, 3) e per B = (3, 4). (a) Scrivere l’equazione cartesiana della retta r′ che passa per B, ha coefficiente angolare positivo, e forma con r un angolo θ tale che cos(θ) = 3/5. (b) Scrivere l’equazione cartesiana della retta r′′, simmetrica di r rispetto ad r′. (c) Determinare quale trasformazione del piano si ottiene facendo prima la simmetria rispetto ad r′ e poi la simmetria centrale rispetto ad A. 3. Consideriamo le matrici A =  1 2 3 4 5 6 a b c  , B =  1 0 0 0 2 0 0 0 3  . (a) Determinare per quali valori dei parametri a, b, c si ha che la matrice A è simile alla matrice B. (b) Nei casi in cui A è simile a B, determinare una matrice invertibile M che realizza la similitudine. 4. Sia V = Span{1, sinx, cosx, sin(2x), cos(2x)} lo spazio vettoriale delle combinazioni li- neari delle cinque funzioni indicate. (a) Dimostrare che la funzione sin2 x appartiene a V . (b) Dimostrare che la formula 〈f(x), g(x)〉 = ∫ 2π 0 f(x)g(x) dx rappresenta un prodotto scalare definito positivo in V , e determinare quindi una base ortonormale rispetto a tale prodotto. (c) Dimostrare che la formula f(x)→ f ′(x) definisce un’applicazione lineare da V in V , e determinare gli autovalori (eventualmente complessi) di tale applicazione lineare. c© 2019 Massimo Gobbino Simulazione 2019 S6 Uso educational personale 90 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Università di Pisa – Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica/Telecomunicazioni Scritto d’esame di Algebra Lineare Pisa, 15 Febbraio 2014 1. Consideriamo i seguenti 3 punti nello spazio: A = (1, 0, 1), B = (0, 2, 0), C = (−1, 2,−3). (a) Determinare la lunghezza ed il piede dell’altezza del triangolo ABC uscente dal vertice A. (b) Determinare l’area del triangolo ABC. (c) Sia r la retta passante per C e parallela alla retta AB. Determinare il punto di intersezione e l’angolo formato tra r ed il piano x− y = 0. 2. Consideriamo, al variare dei parametri reali a e b, il sistema lineare x+ ay + z = 0 2x− y + bz = 2 3x+ 2z = 5 Determinare per quali valori dei parametri il sistema ammette soluzione non unica, ed in tali casi determinare esplicitamente l’insieme delle soluzioni. 3. Consideriamo la matrice A = ( 1 −3 a 7 ) , dove a è un parametro reale. (a) Determinare per quali valori di a la matrice A ammette l’autovalore λ = 5. Per tali valori di A, determinare una matrice invertibile M tale che M−1AM sia diagonale. (b) Determinare per quali valori di a esiste una matrice ortogonale M tale che M−1AM sia diagonale, ed in tal caso determinare tale matrice diagonale. 4. Consideriamo in R3 il sottospazio W di equazione cartesiana x+y−2z = 0 ed il prodotto scalare rappresentato, rispetto alla base canonica, dalla matrice B =  3 −1 −1 −1 3 −1 −1 −1 3  . (a) Dimostrare che il prodotto scalare è definito positivo. (b) Determinare una base ortogonale di W (rispetto al prodotto scalare rappresentato da B) costituita da vettori a coordinate intere. (c) Determinare W⊥ (sempre rispetto al prodotto scalare di matrice B). c© 2019 Massimo Gobbino Scritto 2014 3 Uso educational personale Capitolo 4: Scritti d’esame 91 Università di Pisa – Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica/Telecomunicazioni Scritto d’esame di Algebra Lineare Pisa, 14 Giugno 2014 1. Consideriamo i seguenti 3 punti nello spazio: A = (1, 2, 3), B = (0,−1, 1), C = (2, 0, 1). (a) Determinare l’equazione cartesiana del piano passante per il punto C e perpendico- lare alla retta AB. (b) Determinare la distanza tra il punto A e la retta BC. (c) Determinare l’ampiezza dell’angolo che il piano ABC forma con il piano xy. 2. Consideriamo la forma quadratica in R4 q(x, y, z, w) = y2 + z2 + 4xy + 6xw. (a) Determinare un vettore v a coordinate intere tale che q(v) < 0 ed un vettore w a coordinate intere (e non nullo) tale che q(w) = 0. (b) Determinare la segnatura della forma quadratica. (c) Sia W = Span {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)} e sia W⊥ l’ortogonale di W rispetto al prodotto scalare associato alla forma q. Determinare una base di W⊥ costituita da vettori a coordinate intere. c© 2019 Massimo Gobbino Scritto 2014 4 Uso educational personale 92 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Università di Pisa – Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica/Telecomunicazioni Scritto d’esame di Algebra Lineare Pisa, 05 Luglio 2014 1. Consideriamo, nello spazio, il piano di equazione y = x+ 2z ed il punto P = (1, 1, 1). (a) Determinare il punto del piano più vicino a P . (b) Determinare l’angolo formato dal piano e dalla retta che passa per P e per l’origine. (c) Scrivere l’espressione della trasformazione dello spazio che rappresenta la simmetria rispetto al piano dato. 2. onsideriamo la matrice A =  1 2 3 0 5 a −1 0 3 , dove a è un parametro reale. (a) Determinare per quali valori di a l’applicazione lineare associata ad A (pensata rispetto alla base canonica) non è iniettiva. (b) Per i valori di a di cui al punto precedente, determinare la dimensione ed una base del nucleo e dell’immagine dell’applicazione. (c) Determinare per quali valori di a la matrice A ammette l’autovalore λ = −2, e per tali valori di a determinare il relativo autospazio. c© 2019 Massimo Gobbino Scritto 2014 5 Uso educational personale Capitolo 4: Scritti d’esame 95 Università di Pisa – Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica/Telecomunicazioni Scritto d’esame di Algebra Lineare Pisa, 14 Febbraio 2015 1. Consideriamo nello spazio i tre punti A = (1, 1, 1), B = (1, 1, 0), C = (3, 2,−1). (a) Determinare il punto di intersezione tra la retta AC ed il piano yz, e l’ampiezza dell’angolo che formano. (b) Determinare l’equazione cartesiana del piano che passa C e per l’origine, ma non interseca la retta AB. 2. Consideriamo, al variare dei parametri reali a e b, il sistema lineare ax+ 3y = 3− z 2x+ 4y − z = 0 x− z = b (a) Determinare per quali valori dei parametri il sistema ha soluzione unica. (b) Determinare per quali valori dei parametri il sistema non ha soluzione. (c) Determinare per quali valori dei parametri il sistema ha più di una soluzione, ed in tal caso risolvere esplicitamente il sistema. 3. Consideriamo la matrice A =  3 9 1 0 3 0 2 7 4  . (a) Dimostrare che A è simile ad una matrice diagonale. (b) Determinare la matrice diagonale simile ad A ed una matrice di cambio di base che realizza la similitudine. 4. Consideriamo in R3 la forma quadratica q(x, y, z) = a(x2 + y2 + z2) + 2xy + 2yz. (a) Nel caso a = 1, determinare la segnatura della forma quadratica. (b) Sempre nel caso a = 1, determinare (descrivendolo come span) un sottospazio di dimensione massima su cui la forma risulti definita positiva. (c) Determinare per quali valori di a la forma quadratica è definita positiva. c© 2019 Massimo Gobbino Scritto 2015 3 Uso educational personale 96 Esercizi di Algebra Lineare – Aggiornato al 27 febbraio 2020 Università di Pisa – Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica/Telecomunicazioni Scritto d’esame di Algebra Lineare Pisa, 08 Giugno 2015 1. Consideriamo nello spazio i quattro punti A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1), C = (1, 1, 0), D = (1, 2, 3). (a) Determinare la distanza di D dal piano ABC. (b) Determinare l’angolo che il piano ABC forma con il piano ABD. (c) Determinare la distanza del punto C dalla retta AB. 2. Consideriamo l’applicazione lineare f : R3 → R3 rappresentata, rispetto alla base cano- nica, dalla matrice A =  0 a 1 0 1 4 6 0 2  , in cui a è un parametro reale. (a) Determinare, in funzione di a, una base del nucleo di f . (b) Determinare per quali valori di a la matrice ammette l’autovalore λ = 1, ed in tal caso determinare il corrispondente autospazio. (c) Per i valori di a di cui al punto precedente, determinare la forma di Jordan di A. c© 2019 Massimo Gobbino Scritto 2015 4 Uso educational personale Capitolo 4: Scritti d’esame 97 Università di Pisa – Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica/Telecomunicazioni Scritto d’esame di Algebra Lineare Pisa, 29 Giugno 2015 1. Consideriamo nel piano cartesiano la retta r di equazione x − 3y = 4 ed il punto P = (−1, 1). (a) Determinare l’equazione cartesiana del simmetrico dell’asse y rispetto alla retta r. (b) Scrivere l’espressione che rappresenta la rotazione di 120◦ in verso orario intorno al punto P . 2. Consideriamo in R3 la forma quadratica q(x, y, z) = ax2 + y2 + 2z2 + 8xy + 2yz, dove a è un parametro reale. Sia poi W il sottospazio generato da (1,−1, 1). (a) Determinare per quali valori di a la forma è definita positiva. (b) Nel caso a = 1, determinare una base ortogonale di W⊥ costituita da vettori a coordinate intere (l’ortogonale si intende rispetto al prodotto scalare a cui la forma data risulta associata). (c) Determinare, sempre nel caso a = 1, la segnatura della restrizione della forma a W⊥. c© 2019 Massimo Gobbino Scritto 2015 5 Uso educational personale