Proprietà e caratteristiche dello spazio vettoriale - Prof. Sianesi, Appunti di Analisi Matematica II

Scarica Proprietà e caratteristiche dello spazio vettoriale - Prof. Sianesi e più Appunti in PDF di Analisi Matematica II solo su Docsity! Algebra lineare 20/02 Spazi vettoriali vettore geometrico nello spazio R l'insieme delle terne ordinate di numeri reali ER3 x = (x, x2 , 3) 1 , 2 ,3 ER 7 B 7 D ABCD componenti dell'elemento · A · C - · operazioni : · R si identifica con linsieme dei vettori geom. nello spazio introduco sistema di riferimento - somma : = ( , 2 , 3) - z 7 B x + 1 = (x1 + y1 , xz + yz , x3 + yz) 1 = (3 1, 32 , Yz) P & & xz - A T I ser - 1- prodotto I x = (x1 , x2 , xs) uno scalare : tER +z = (tx , +xz , +x3) O - I X Y > · operazioni tra vettori geometrici -="N T 7 - - somma : T 7 X & ⑧ & L -prodotto Y > 0 · a = (1, 2, 3) E corresponde il vettore per Scalare : X , + < 0 geometrico OP' con punto di Coordinate C R e l'insieme du vettoli geom. Si identificano anche (x1 , xz , X3) nelle operazioni : - E = (x1 , xz , x3) I = op · x + 3 = 0p + 00 · viceversa al vettore geometrico A corresponde un 1 = (1 , 32 , 33) 2 = 00 & + x = top elemento di R3 : (B- , YB - Ya , B - =) Proprieta delle operazioni , 1 , ER , SE 1) + 1 = 2 + 1 commutativa 5) +( + 1) = t + ty distributiva 2)(k + 3) + z = + (2 + z) associativa 6)(t + s(x = +x + sx I I 3) E elemento neutro (0 , 0 , 0) = 8 : + q = 7)(+1) = t(sk) = s(+z) /I /I ) E elemento Opposto (-X1 , -42 , -x3) : + (-) = Q 8) 1 = * Def : uno spazio vettoriale un insieme V in cui sono definite 2 operazioni (somma e prodotto per scalare) · F , y = V v + 1 EV · V ER EEV che verificano le 8 proprieta elencate in precedenza. Gli elementi di V si chiamano vettori OSS : dalle 8 proprieta ne seguono altre : · = 0 elemento neutro della somma Z 6 8 · I + 0 = 1 + 0 = (1 + 0)v = 1 = v o l'elemento neutro il vettore nullo (l'elemento neutro) a unico xv +a = v ev + 01 = v V COMBINAZIONI LINEARI 23/02 V spazio vettoliale (1 ,2 , ... k Ev (1 , 22 , 2 , ..., CER si chiama combinazione lineare di ...... k con coefficienti 2. .... k il Vettore + 2 ... K esempi : 1)V= 13 en = (1 , 0 , 0) la combinazione lineare di En , Ea e con Cog : 2,1 , 3 e il vettore : e z = (0, 1 , 0) versori Ez = (0, 0 , 1) 2(1 , 0 , 0) - 1(0 , 1 , 0) + 5(0, 0 , 1) = (2 , 0 , 0) + (0, - 1 , 0) + (0 , 0 , 3) = (2 , - 1 , 3) degli assi I , I , E la combinazione lineare di In , 12 , 83 con Cof. In , C2 , 23 il vettore ((1 , (2 , (3) generalizzande : In 1. " en = (1 , 0 , 0 , ... 0) la combinazione lineare di questi n vettori con coef. 21 , C2 , ... Cn ez = (0, 1 , 0 , ... 0) En = (0, 0 . 0... 1 > Elevettore : ei =, ca, ..., cn)- generico vettore di " 2 V=R , = ( , 2 , 0 il generico vettore del Sottospazio di Piano , y 4) V = R3 vn = (1 , 1 , ) Ez = (- 1 , 1 , 0) ↓ combinazione lineare di , 2 ? = (iv) + [2Ez No Perche (1 , (2 (1En + (2,z = ) , , 07 + (1 , 1 , 1) 5) = (1 , 2 , 0) e comb . lineare di En , E2 ? E (1 , 22E : < (1 , 1 , 0) + (2) 1 , 1 , 0) = (1 , 2 , 0) ((1 , (1 , 0) + ( - (2 , (2 , 0) = (1 , 2 , 0) See s 22 =1 - 221 = 3 (n = 3 x = =(1 , 1 , 0) + z ( - 1 . 1 , 0) Z SOTTOSPAZIO GENERATO da Vettori esempio : V = R3 ., E2 Z il sottoinsieme di R formato da tutte le combinazioni lineari di 21, E W = [EER3 : E = 221 + (2ez , C , CzER] E2, = , (2 , 0) :E un SotoSPAZIO vettoriale 39 En L generato da e ed 2 LX W OSS : E , El poiche e combinazione lineate di en ed 12 con =% e2EW i sottospazi di R3 che contengono en ed a sono R e u > contengono zu Def : V spazio vettoriale ; , , . V. Sia u il Sottoinsieme di V formato da tutte le comb. lineari di ,., K un sottospazio vettoriale di V detto Sottospazio generato da E, 2, ..., k · chiuso rispetto alla Somma : ~ = +... + v · chiuso rispetto al prodotto per uno - k Scalare wz = d11 + ... + dkEk 1 + wz = C1v1 + ... + (kk + d 1v1 + ... + dkk = = (1 + d1)v1 + ... + ((k + dk)Ek = W OSS : , ...,2 , il pi piccolo sottospazio di V contenente ....: infatti se un sottospazio di V Contiene , ... allora contiene anche Le chiuso rispetto al prodotto per scalare)- 1 zV2 ... e contiene anche .. (perch chiuso rispetto alla somma cio contiene es : qual il sottospazio di R" generato da En , 12, ... en ? w = [c, en + czez + ... + CnEn : (n , cz ...., CnE3 = G(c, cz ...., (n) : c , cz .... cnER] = R R generato da 2, 12, ... En e , e, ..., En formano un sistema di generatori di R => ogni R comb . lineare di , 12, ..., En il sottospazio di V generato da , ..., Ek Si Indica con : Span (....., k) es : V = R3 za 1 = (0 , 0 , 0) = Q (span(2) = 203 T T = , , pan() = 1 : ER = R che gener a anche v a - 1 da (2 , 2 , 2) = 03 Y a anche da e v -3 -1 + C2t2ER -X O : Span(, ..., ) = Span( , ..., ,) combinazione lineare di v, ... Un Span(1, ...,k , v) I Span(.. ..., k) Def : V , , ... si dicono linearmente dipendenti se uno e combinazione lineate degli attri -I vettori Si dicono linearmente indipendenti se nessuno e combinazione lineate degli altri es : V = R3 e , = (1 , 0 , 0) sono linearmente dipendenti : V = en + e2 E 12 = 20 , 1 , 0 v = 21 , 1 , 0 = 1, 0, 0 sono linearmente dipendenti : = 0 + 02 E 22 = 20 , 1 , 0) v = (0, 0 , 0) es : V = 13 v1 = C 1 , 1 , 0) sono linearmente dip.? v = (1 , 1 , 1)- Z z = (0, 0 , 7) se x + yez + zz = 0 (x , x , 0) + (Y , Y , Y) + (0 , 0 , 77) = 20, 0 , 0) (x + y , x + y , y + 7z) = (0, 0,0) x + y = 0 E (3 = - 7z zER y + 7z =0x = 7E x = 7 y = - 7 z = 1 7(1 , 1 , 0) - 7 (1 , 1 , 1) + (0 , 0 , 7) = (0 , 0 , 0) 3 combinazione lineare dei primi 2 : 3 = - =, + 752 SONO LINEARMENTE DIPENDENTI Def. equivalente , ..., V sono linearmente dipendenti se una loro combinazione lineare uquale a con almeno un Coef.. non hullo (0) Sono linearmente dipendenti se l'unica loro Combinazione lineare uguale quela con Coef. tutti nulli es : V = R El , e , ... En sono lin . indipendenti infatti nessuno di loro e combinazione lineate degli attri oppure perche 2,,+... + Chen = Q (C, (2 ...., (n) = (0 , 0 , 0 ... 0) Proprieta 1 EV linearmente dipendente se O t. c. = Q cioese = = 0 2) , sono linearmente dipendenti se = oppur = d, cio se sono proportionali (paralleli) 3) Sena famiglia di vettoi contiene q allora sono lin . dipendenti infattie e comb. lineare degla ↳ se a una famiglia di vettori lin. di si aggiunge un vettore qualsiasi vimane lin. dipendenti , , . .., lin. dipendenti ad esempio 1 = 2 + ... + EK aggiungo > sono lin dip : n = 2 + ... + CkEk + 0k + esempio V= R3 En = (1 , 2 , 3) zz = (2 , 4 , 6) E3 = (1 , 0 ,7) sono linearmente dipendenti perch =2 + 0 3 una famiglia di vettori ↓ 5) se a una famiglia di vettori lin. dip si toglie un vettore qualsiasi rimane lin . dipendenti , 2, ..., K lin . dipendenti , , ..., - lin. dipendenti Consequenza della 4) , , . .. Sarebbero lin. dipendenti 6) , ... k lin. . indipendenti , ... , lin. dipendenti combinazione lineare di , ., K un sistema di riferimento in R formato da 3 vettori non complanari BASE di uno spazio vettoriale in Def : si chiama BASE di V (se esiste una famiglia a = [..., En tale che : 1) Er, , ... En generano V (i EV n = C. n + ... + (nEn) Z 2, .. En sono linearmente indipendenti esempio : VERY a = E, E2 , ..., en3 sono una base di IR Base canonica esempio : V = R3 [., E2] e una base di 2 E2, 39 En un'altra base di W = (1 , 1 , 0) e (2 , 1 , 0 L LX W ogni spazio vettoriale ammette una base ? 27/02 · V = 22 non ha una base 18 lin. dipendente :di · V = RX . A . [ , 2 , 3, ..., n sia una base di P · [v, 2, ..., pr] generano V ci RX] p = C , p . +22 + C33 + ... + Cnpn es : = =3 C , x + 2 infinitipolinomi con grado massimo 3) se ha grado maggiore di max g, ... 9n3 noEGran eg n riesco a rappresentarlo come comb . lineare di [p , ..., pn] ~ non ha una base perche on e finitamente generato Dato V spazio vettoriale di dimensione Finita dimV = (per def. no una base formata da n vettoril V si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di a = 5, ..., En] -O* = + 22 + ... + En si identifica con = (1 , 2, ..., n ER = Vell re delle Coordinate ([]a) di rispetto alla base a se o 1,2, ..., EV saranno linearmente indipendenti se e solo se le cooordinate [Ja, [a ... Sa lo sono MATRICI una matrice A di m right ed a colonne man) esempi 1 A ... an Ogni riga di A e un vettore in I M · matrici m Sonovettoi colonna A = 921 ..... ogni colonna di A un vettore in M matricixh sono vettori riga -am amz am ...an M (m,) l'insieme di tutte le matrici x uno spazio vettoriale di dimensione m . n dotato di somma di matrici : sommando gli elementi di posto correspondente prodotto per uno scalare : moltiplico per lo scalare tutti gli elementi della matrice base canonica di M min E1 =: .. EMw =·· · MATRICI PARTICOLARI trasposta di una matrice (xm) e la trasposta di A se il suo elemento di posto (i , j) l'elemento di Posto ( , i ina e A == at =3 una matrice quadrata si dice Simmetrica se A = At 356. I I A = 245 At = 22s natrici diagonali matrici triangolari = matrici xn t . c. 9. = 0 ij = matrici quadrate x t . c . gli elementi Sotto/sopra la diagonale principale sono nulli proprieta della trasposizione 1) (a + B)+ = At + Bt 2) (a) = k(At) KER A , B EM (m ,n) 3)(At)t = A · PRODOTTO di 2 matrici possibile solo se il no di colonne della prima = no di righe della seconda => composizione di funzioni lineari -123 = 54 A(m x n) AB = AB = - 2 - 8- Bm) es : 0 - 17 O 2 (2x 2) 7 - 2. B(n x k) ... 0 . rigadi . prodotto scalare) ↓ ! non gode di proprieta commutativa (1 .(- 5) + 2 . 0 + 3 . 1) = - 5 + 3 = - 2 (1, 1) = Colonna di B proprieta (0 . (h) + (- 1) . 2) + 7 . 0) = - 2 (2 , 2) ~) (AB) = A(BC) associativa 2) (kA(B = (kB(A = k(AB) 3) (A + B)c = Ac + BC ; A(B + C) = AB + Ac 4) (AB)+ = B+ At Casi particolari 1 ex nx ... J ... Cx 32 . 1 = x + y = prodottotra eaju Vettore Colonna prodotto scalare tra 2 vettori in R L convenzione := fu%. e 2)(m + n)(n + 1) amannan un vestore mxnl: - am ... amn In - -- - - I - - a, es : A . ex = 9an ... an O - 921 = /Seconda Colonna di A Il prodotto di una matrice mxn :... : : per un vetto re di R (n x 1) un -Owell am.... amn Ax = A(X en + xzez + ... + kn (n) ne re in RW che e combinazione-0 . - am1 li are delle CO Con coef. Il componenti del vettore 3) A(X- (n) + A(x2(z) + ... + A(knen) I = -O - = - 1 I 2 kn(ten) + ... + kn(Aen)es . a - +is = x1q1 + x292 + ... + Xpan MATRICI QUADRATE · o= matrice nulla - elemento nentoi > una matrice A e invertibile se B della somma · - A = Opposta di A = (- 1) A =(-aij) t. c . AB = BA = I - 10 ... 0 1 O : · elemento neutro del prodotto : matrice identita = % O :. o B = inversa di A = A - 1 non tutte le matrici hanno inversa · -O .. · 01 - esempio : A = 2 non e invertibile perche : -24 * = teorema Se A e invertibile, la sua inversa e unica -z en. dim : EB nxn t . c . AB = BA = 1 e suppongo EC : AC = A = I AB = I = C(AB) = CI = C = ↓ Proprietaassociatione (CA)B = C IB = C B = C * teorema se 2 matrici A , B hxn sono invertibili allora AB E invertibile (ABI BAT dim : (AB)(B A - ) = A(BB ( A = A I A = AA = I (B+ A - ')(AB) = I Determinante di una matrice Data= se cancello no pirighe di A elo una o pi colonne d A Ottengo una SotTOMATRICEa : - ama ann- se cancello riga e 1 Colonna di A si ottiene una sotomatrice quadrata di Ordine n-1 Mij e la sottomatrice di A che si ottiene cancellando la riga i e la Colonna ; di A Ai = -1 det (Mij) complemento algebrico dell'elemento di posto i ,j Se A w det A = 9 , All + 9 ,2012 + ... + 9 ,Ain (- 13de+ [ ) = Il es : A = - a b - detA = a An + bAiz = ad- bC - a Il - a b - (- 1)(v + 1) . det ca = 9I I teorema di Laplace la somma deiprodotti di una qualunquerigao colonna per i rispettivi complementi algebrici e sempre uguale a deta esempio : A = 2 0 3 - 110 - · Azz = (-1)5det = = = - 13 scelgo R3 detA = 1Az , + 1 A32 + 0Azz = - 7 ↓ + 31 = (- 1) det 25 - 12 - 5 - 12 deta = (1 . 0 . 0) + (2 . 3 - 1) + ( - 5 . 2 . 1) 20 320 Solo per le matrici 3x3 si puo usare la regola di SARRUS : - ''0 . ' I - [(- 5 . 0 . 1) + (1 . 3 - 1) + (2 . 2- 0)] = 6 - 10 - 3 = - 7 Proprieta del determinante 5103 A nxh quadrata 1) deta = det At 2) se si scambiano 2 righe/colonne di A il dezA cambia segno a s r -12 3 - 3)Se 2 righelcolonne di A Sono uguali , deta = 0 > det 456 =- det 45G E > detA = 0 4) se si motiplica una rigal Colonna per det = detA 12 3 . 123 5) se ha 2 right/Colonne proportionali deta = 0 - 1 23 = 791 = (1 , 2 , 3) 6) il determinante additivo rispetto a ogni riga e a ogni Colonna det o - 1 7 qn = b + c = (1 , 0 , - 1) + (0 , 2 , 4) 7) Se una rigal Colonna e Comb . lineare delle altre det = 0 - 358- -24 det 1 2 3- 79 1 det q. + det 2. = 0 = det T o - , 0 - 17592 92 92 5) 0 - 17 + det 0 - 17 -3 72. 321 - 92 39 - - 92 - 358. - 358 . det I = 1 det n = det In- = - det. en = 71 . 72 . z .... An O - 9) Teorema di Binet se e B sono quadrate AB quadrata e det(AXB) = detAx det B Invertibilita di una mat quadrata Anxn e invertibile se B uxn t . c. A=x = I = A inversa di A Oss: A invertible deta O Infatti se AxB =I det(AxB) = det(1) = 1 = det(A) . det (B) > detA" = I = A NON Binet det A singolare Condizione necessaria e suff. affinch una quadrata sia invertibile che Sia NON singolare V diretta consequenza L se deAO A invertibile de Binet Teorema : Le f . l . sono univocamente determinate dalle immagini dei vettori di una base del dominio L : V > W a = 3, ... En base di v 'c'e un unica f. l . t . c . (( . ) = ~, . . ., 4 (n) = en WiEW ~ applicazione proprieta di linearita : Nucleo e Immagine L L : V , W S si chiama nucleo di L KerL il sotoinsieme di V formato dai linearl · ker ↓ W ImL vettori di V che hanno per immagine il vettore nullo di W per la Ker=Ev : L = ] 0 infatti Quekert (linearita : (Q) = Qw * Teorema KerL e un sottospazio vettoriale di V dim : chiuso rispetto alla Somma : En, EkerL ((1) = <(2) = & linearita L(n + =2) = ((v1) + L(z) = 0 + 2 = 81(kn + Ez) EkerL · chiuso rispetto al prodotto per scalare : R KerL (L() = Q linearita L(x() = x(L(z)) = x . 0 = 0 EkerL si Chiama Immagine di L il sottoinsieme di W formato dai vettori di W che sono immagine dei vettori di V Im L =Ew : w = L(v) , EEv] * Teorema mL un sottospazio vettoriale di W dim : chiuso rispetto alla Somma : ~ , waemt Weller ((ed +<(2) (en +2) = (n + 2) = In L Wa = L(vz) Perinearita ↓ ·Chiuso rispetto al prodotto per scalare :We W =(() = XL() = L(E) xEl es : Sia L la prolezione ortogonale di un punto (X , Y ) hel piano ( , y). Verifico che L e lineare L : R3 > R 2 En · Ker L = E(x, Y . z)ER : ((x , Y , z) = (0,0)] A t . C. = ((x, y , z)E3 : x = 0 ; y = 0 ; zER] 2x3 -00 == L lineare perche L(t) = AX · Int = (((x, y , z) : (x , 3 ,z)ER33 = R Y posso scriverla come 01 o prodotto Matx vettore proprieta dell'immagine L : V , W se =...., n] base di V , InL il sottospazio di W generato dalle immagini dei vettori della bas infatti Se Em( = <(e) Con =V V = C,1 + ... + CnEn W = L(v) =C , L(v 1) + ... + Cn((en) proprieta del nucho L : V - iniettiva se elementi distinti di V hanno immagini distinte in W * Teorema L : V, iniettiva Kerl = 503 dim : Linietiva, = , infattie ker((() = (2) = 2 (non iniettival J Se =L iniettiva L(u) = L(v) · U L H · v .- linearita) (4) - L() = 0 L -- v...0 => > (k - E) EkerL =>(1- ) = 0 = 1 =v((4 - ) = Q : ↳ contiene um sovetto se iniettiva Es : L(x, 4,) = (x-y + 2z, 2x + Y) Verifico linearita, trovo Ker e immagine + dico se iniettiva L : R3 < R 2 x - y + 2z ·+2xz = 1 - 12 = x = = L lineare v Y - 210 - z. - 2x + Y - · KerL =((x, y , z) ER3 : L(x , y , z) = (0 . 0)3 St S 3x + 2z = 0 Ex Kerz = E(x-2x , x) : Ele y = - 2x & rea neo spazio mer) =① · mL Sottospazio de H generato da E , E , (3) proprieta dell'immaginsee (((2) = 1 , 1)] Im1 = span (1 , 2) , (- 1 , 1) , (2)03 = R Sono 12· Injectivita :ilnuclo contienesoe (((3) = (2 , 0) - 2010nue ↳ possoierlo -ore nullo ? No, K erL della matrice A una retta passante per o L(1) = A / L(( ,) = Al = a) (I(o. A) · Suriettivita : Int = W , L = R v L((z) = A (z = q2 (I coL . A) ↑ L((3) = A(z = q3([(0) . A) L : V + Ne Suriettiva se ogni elemento del codominio Relazione tra dimker, dim m e dim V immagine di almeno dimW = he un elemento del domini T Teorema nullita rango Se L lineare e se dimV=u alloraCo dimkerL + dim Im = dim V Osserazioni : iniettiva dimke = 0 dimm = dim V · L suriettiva = dimL = dimW Le biunivoca > m = n ? se = m . Liniettiva LSuriettiva · L SuriettivaLiniettiva ? Se Liniettiva < dim L = n ? se Suriettiva /dimd = m L. di uno spazio di dim = m per forza n m dimkerL + dimmL = n es : Liniettiva . c . L : R , 12 => m es : Lsurietiva L:2 / 13 Teorema di rappresentazione delle funzioni lineari quali sono le f. Lineari tra V e W & · caso particolare : L : ,R linear ment.. L ) = A unica ed la Matrice rappresentativa Le Colonne di A Sono ((,), (2), ..., Len Im ( = Span[L(e , ! , ((z) , . . ., (n)] . di R generato dalle colonne di A = CoLA ImL = Col A Im A = Im L Edim Im( = 2 (A) KerA= Ker L · Liniettiva( >(A) = W · L Suziettiva (A) = M · inivoca = = A) Ci A quadrata con de O es : ((x, y , z) = (x + Y - z , xY , 2x + z) lineare ? No L(x) = A ... in XI Non O Prodotti dell : VARIABILI L(x, x2 , ..., Xn) = : 1 : Yho solo polinomi de · I grado nelle variabile !! am.... amn . Xn. no termine not I La composizione di F. lineari si identifica con il prodotto di matrici R R ↳T lineari m associata ad L ~ Bam associat a T To L (ToL)(x) = +(L(z)) = T(Az) = B(Az) = B .A es : rotazione in R2 di 90 ° in senso antiorario ((x , y = (- y , x) = 0 - 1 x II O Y - - - - L matrice di rotazione (LoL)(x, y) = ( - x , - y) = = 10 x Y 10... - - 1 - 0 -- O 10 ... 0 . = - I2 OSS : Se L : R R biunivoca Anx L() = A det0 A e invertibile A e associata a L-1 · caso generale L : VW dim = no dim N =mc a = 2,,..., ] base di V b = \w, ..., m] base di W L lineare i se indichiamo con Xi , 2,..., an le coordinate di un vettore V nella base a e con y, ... m le coordinate di LW nella base b Si na che y =1 matrice mxn unica legame tra : = P p = [v, ..., En = 2- - V Y ey' : y = Dy - V 3. 1 x ex : = = Ax 4. - + x'eX' : y ' = By x' = p + x , P (A) ,, (P+ A) PE' = (P + AP) x (2) = (PAP) per l'unicit della mature rappresentativa PAP = B X' = Bx' Def : A e B Sono Simili (x) se P (nxn) invertibile t . c. B = PAP -PB-AP Se e B rapresentano la stessa L : R ,I rispetto a (A-PBP) PBP= A 2 basi diverse allora A e B sono simili Def : L : R R = A A matrice rappresentativa rispetto alla base canonica ↓ diagonalizzabile se B base di R rispetto alla quale la mat. app. Ai Le diagonale (D) L diagonale se simile a D espressione in Coordinate I' = DX' Xi = x, x 1 ESEMPIO L : R2 , R2 E= n S L(X, xz) = (Y1 , Yz) A S . R (base) pil conveniente · (x, x2) z riflessione rispetto a f - v- Er nuova base B = [1 , 2] ↑ = . (41 , y2) E2ES 2 - I - S che proprieta hanno , e 2 L(X, , x2') = (xi , - xi) D = !0 che fa si che la mat. ra. di C - rispetto a B sia diagonale ? ↓ diagonalizzabile perche diagonale Li) deve essere un multiplo di , S le loro immagini So no parallele ai veu L(2) deve essere un multiplo di 2 - oci Stessi AUTOVETTORI E AUTOVALORI Oss : autovalori di L : tutti i vettori (eccetto ) di 2 sono autorettori relativi all'autovalore = 1 tutti i vettori (eccetto ) di s sono autorettori relativi all'autovalore = -1 Def : 1 : R linear R 0 Sichiama autorettore di L Se EXE t . c . (() = ↑ autovalore autorettore di un'applicazione lineare L : R o di una matrice Anx (() = A ↑ un vettore " , Q t . c . E t. C . (()= matrice rappresentativa di L rispetto alla base canonica di Rh OSS : Q non e un autorettore = 0 un autovalore se E, Q. C. L() = 0 = 0 Ci Se KerL403 (XEIR e un autovalore di LseEER , + Q t . c . (() = ) · se un autorettore di L relativo a un autovalore x , 0 un autorettore relativo all'autovalore , infatti = * AUTOSPAZIO di L relativo all'autovalore L (1) = L(+ x) = tL(x) = +x = = x 1 l'insieme di tutti gli autovettori relativi all'autovalore , con l'aggiunta di 2 : V = < * ER" : ((1) = x <] ((2) = 70 ·ensnsements + (1) = ** + x = tis · dim dim 0 = 50] ES : L : R , R2 rotazione intorno all'origine in verso antiorario di angolo L e lineare - 1L(1) Ci sono autorettori ? Se = = -1 , = R r2* · sex = 0 , 2π x = 1 V , = R S altrimenti non ci sono autorettori Teorema : L : " lineare diagonalizzabile una base di R formata da autorettori di L infatti L e diagonalizzabile se ,..., En di R rispetto alla quale la matrice che rapresenta Le diagonale - .... La prima colonna e formata dalle coordinate , rispetto a B di ((E, ) : ((1) = x , 1 + 02 + ... + ownD = xn00 come si trovano gli autorettori ? * Teorema Determinazione analitica degli autovalori L :R / (() = A E un autovalore di Ldet(A-I) = 0 (eg . polinomiale di grado n : E. CARATTERISTICA) dim : I un autovalore di LSeE, Q t . c . L() = * Ax = 1 = Ax - xx = 0 A - xI = 0 Ax = b (A-I = Q Sistema lineare di n eg . in n incognite Con matrice dei Coef. (A-xI) ↓ un autovalore di L sil Sistema (A-XI) = 0 ha una soluzione Q ~ det (A-I) 0 = ha una e una sola so 0 Es : A = 0- , 1) autovalori A - xl = = x O - 1 O 2 O 2 - x O -10 1 - 21 autorettovi - I O 1 - x - - 3) A diagonalizzabile ? det (A - xl) = (2 - x)det + - x - = - x(x - 2) = 02 > x = 0 O x - z = 0 X -0-2 x = 0 -10 - 1 x - - autovalori m . Algebrica 02 0 Y = & -10 . .z . . 0. x1 = 0 1 x - z = 0 &24eno [z= x (x , 0 , x)x + 0 xz = 2 2 Y = 0 Van = q(x, 0 , x) : xEIR] ② Ax = 2 di x 1 dim = 1 = m . Algebrica CarleX (1 , 0 , 1) - = O E = - X (piano) V = Span (1 , 0 , 1) O O S E YEIR Van= KerA (A) = 2 -- 1 O - 1 - (x , y , - x) (dimVz = 2 ( = 3 - 2(2) dimker A = 3 -(A) = 1 3) E base di I formata da autorettori di A ? 3 autorettori lin , indip ? Si · 1 = (1 , 0 , 1) relative a 71 = 0 · (x , Y , - x) = (x , 0 , - x) + (0, Y , 0) Ez = 21 , 0 , - 1) Y+2 = Span(1 , 0 , -1) , 10, 1 , 013 E3 = (0, 1 , 0) Teorema : autorettori relativi ad autovalori distinti sono lin. indipendenti ->molteplicita Teorema :1 d m geometrica = dim Vx = n - 2 (A - xI) ↑ mottelicita algebrica di x OSS : A xn p(x) polinomio caratteristico di grado h Siano 1,..., k le sue radici Me, ..., k le 100 most. algebriche > M1 + mz + ... + Mk [ W 1d1 + ... + dk = w Es : A = 1 - , p(x) = (1 - x)2 + 1 non ci sono ES : A = -0 , - A - xI = - x , autovalori ni -' autorettori -00 -0 - x A - xI = 1 - x - 1 A non e diagonalizzabile p(x) = x 7 = 0 11-4 - x 1 = 0 m , = 2 E dn = 2 - r(A) = 1 non base di 12 formata da autorettori condizione di diagonalizzabilita A n e diagonalizzabile detti , ..., 7 i suoi autovaloi m, + mz + ... + Mk = W (, = d.; m =d ;...; Mk = ) Sono regolari OsS : se ha moltep . Algebrica = 1 allora regolare 1 a , a = 1