Proprietà e operazioni degli spazi vettoriali e matrici, Appunti di Algebra Lineare e Geometria Analitica

Scarica Proprietà e operazioni degli spazi vettoriali e matrici e più Appunti in PDF di Algebra Lineare e Geometria Analitica solo su Docsity! 1 Spazi Vettoriali 1.1 Definizione • Uno spazio vettoriale è una struttura algebrica (V,K,+, ·) dove: – V è un insieme i cui elementi si dicono vettori ; – K è un campo i cui elementi si dicono scalari ; – + : V × V → V è una operazione interna a V ; – · : K × V → V è una operazione esterna tra K e V con valori in V ; • per la quale sono verificate le seguenti proprietà: – (V,+) è un gruppo commutativo con elemento neutro 0; – · è distributiva e associativa; – se v ∈ V ⇒ 1 · v = v; • essendo 1 l’unità del campo K. • Nel dettaglio ∀u,v,w ∈ V , risulta: 1. (u + v) ∈ V : Chiusura della somma tra vettori; 2. (u + v) + w = u + (v + w): Proprietà associativa della somma tra vettori; 3. ∃0 : u + 0 = 0 + u = u: Esistenza dell’elemento neutro della somma tra vettori; 4. ∃(−u) : u+(−u) = 0: Esistenza dell’inverso rispetto alla somma tra vettori; 5. u + v = v + u: Proprietà commutativa della somma tra vettori; • che determinano la struttura di gruppo commutativo per (V,+) • invece ∀u,v ∈ V e ∀a, b ∈ K, risulta: 6. (a+ b) · u = a · u + b · u: Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma tra scalari; 7. a · (u + v) = a · u + a · v: Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma tra vettori; 8. a · (b · u) = (ab) · u: Proprietà associativa del prodotto; 9. 1 · u = u: Neutralità del prodotto esterno per l’unità. • che determinano le restanti proprietà per K e ·. 1 1.1.1 Esempi • Se R è il campo dei numeri reali, ed n è un numero naturale, la struttura: (Rn,R,+, ·) n ∈ N • è un campo vettoriale. • In tal caso i vettori vengono normalmente rappresentati come colonne di n elementi: v =  v1 v2 ... vn  vi ∈ R • In particolare se n = 3 si ha lo spazio tridimensionale ordinario. • A volte è utile considerare, come campo, l’insieme dei numeri complessi C: (Cn,C,+, ·) • si dice spazio vettoriale complesso di dimensione n. • Un altro campo utile per il corso è quello delle matrici m × n sul campo K: • Mm,n(K) con m,n ∈ N, che corrisponde a (Km ×Kn,K,+, ·). • Solitamente il campo è R ma si usa anche C. • Le matrici vengono rappresentate nella forma canonica: A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... . . . ... am1 am2 . . . amn  1.2 Sottospazi • Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e W un sottoinsieme di V : W ⊂ V . • Se ∀u,v ∈W e ∀a, b ∈ K risulta: – (a+ b) · (u + v) ∈W , • allora W si dice sottospazio vettoriale di V . • Ogni spazio vettoriale contiene almeno due sottospazi detti banali : 2 1.5 Dimensioni e Basi • Consideriamo uno spazio vettoriale V ed un suo insieme di vettori linear- mente indipendenti B = {vi ∈ V : i = 1, . . . , n}; • Se ∀u ∈ V ⇒ {v1, . . . ,vn,u} risulta essere linearmente dipendente, • allora lo spazio vettoriale V si dice n-dimensionale. • Inoltre l’insieme di vettori B viene detto Base dello spazio vettoriale V . • Se B è una base di V , allora ogni vettore di tale spazio può essere espresso in un unico modo come combinazione lineare dei vettori di base: ∀v ∈ V ∃!{ai ∈ K : i = 1, . . . , n} : v = n∑ i=1 ai · vi • essendo n la dimensione dello spazio V : n = dimV . • Gli scalari ai vengono chiamati Componenti del vettore v nella base {vi}. • Gli elementi di una base possono essere espressi in un qualunque ordine. • Fissando un certo ordine si ottiene un Riferimento dello spazio vettoriale • A questo punto, fissato un certo riferimento in uno spazio vettoriale ad n dimensioni, si stabilisce un isomorfismo tra lo spazio V e l’insieme Kn • Infatti ad ogni vettore viene associata una n−upla ordinata di scalari (a1, a2, . . . , an) che identificano univocamente il vettore v. • Risulta che due spazi vettoriali, sullo stesso campo, di uguale dimensione sono isomorfi. 1.5.1 Esempi • Se V = Rn si assumono, di norma, come riferimento, i vettori: e1 =  1 0 ... 0  e2 =  0 1 ... 0  . . . en =  0 0 ... 1  • che formano la base, o riferimento, naturale (o canonico). • In tal caso gli elementi del vettore si identificano con le componenti. • Se n = 3 si usa porre: e1 = i, e2 = j, e3 = k. 5 • Nello spazio tridimensionale i vettori: v1(1, 1, 1) v2(2, 1, 1) v3(3, 2, 2) • sono linearmente dipendenti. • Il sottospazio generato da questi vettori ha dimensione 2. • Invece i vettori: v1(2, 1, 1) v2(1, 2, 1) v3(1, 1, 2) • sono linearmente indipendenti. • La loro chiusura lineare ha dimensione 3 e quindi coincide con R3. 2 Matrici 2.1 Prodotto fra Matrici • Consideriamo due matrici A ∈Mm,n(K) e B ∈Mn,p(K). • Si definisce la matrice prodotto fra A e B, e si denota con: C = AB • la matrice C ∈Mm,p(K) i cui elementi sono: cij = n∑ k=1 aikbkj i = 1, . . . ,m j = 1, . . . , p • ossia:  c11 c12 · · · c1p c21 c22 · · · c2p . . . . . . . . . . . . cm1 cm2 · · · cmp  =  a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn   b11 b12 · · · b1p b21 b22 · · · b2p . . . . . . . . . . . . bn1 bn2 · · · bnp  • Il prodotto tra matrici ha le seguenti proprietà: – Proprietà Associativa: se A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K) e C ∈ Mp,q(K), allora: (AB)C = A(BC) – Proprietà distributiva a sinistra rispetto alla somma: se A ∈Mm,n(K) e B,C ∈Mn,p(K) allora: A(B + C) = AB + AC 6 – Proprietà distributiva a destra rispetto alla somma: se B,C ∈Mm,n(K) e A ∈Mn,p(K) allora: (B + C)A = BA + CA – Proprietà del prodotto per uno scalare: se A ∈ Mm,n(K) e B ∈ Mn,p(K) allora ∀a ∈ K si ha: a(AB) = (aA)B = A(aB) • È opportuno sottolineare che il prodotto tra matrici non è una operazione interna allo stesso spazio, anzi è indispensabile che le matrici fattori ap- partengano a spazi diversi; inoltre la matrice prodotto appartiene ad un terzo spazio; • In particolare, data la matrice AB, l’espressione BA, è, in generale, priva di senso; • Un notevole eccezione si ha per le matrici quadrate A ∈Mn,n(K). • Dunque se A,B ∈Mn,n(K), restano definiti anche i prodotti AB e BA; • Anche in questo caso, però, il prodotto fra matrici non è, in generale, commutativo: AB 6= BA. 2.2 Trasposizione • Data una matrice A ∈ Mm,n(K) si definisce trasposta di A, una matrice B ∈Mn,m(K): B = AT • ottenuta scambiando le righe di A con le sue colonne. • Ovviamente risulta: (AT )T = A • inoltre, se A ∈Mm,n(K) e B ∈Mn,p(K), si ha: (AB)T = BTAT 2.2.1 Esempi • Dette A ∈M3,2(R) e B ∈M2,2(R): A = 1 23 1 2 1  B = (1 −1 0 2 ) • risulta: AT = ( 1 3 2 2 1 1 ) BT = ( 1 0 −1 2 ) 7 – Una matrice A ∈ Mm,n ammette inversa destra se e solo se ρ(A) = m; – Una matrice A ∈Mm,n ammette inversa sinistra se e solo se ρ(A) = n; • Supponiamo che A abbia inverse destra e sinistra: AsA = In e AAd = Im; • Risulta: Ad = InAd = (AsA)Ad = As(AAd) = AsIm = As • Ovvero l’inversa destra e quella sinistra coincidono. • Questo richiede, naturalmente, che m = n = p, ovvero che A,As,Ad siano quadrate; • In tal caso, l’inversa esiste se e solo se ρ(A) = n, ovvero se A ha rango massimo; • Una matrice quadrata dotata di inversa, si dice invertibile; • Se A è invertibile, la sua inversa, che si denota con A−1, è unica: AA−1 = A−1A = I 2.4.1 Esempi • Se: A = 1 23 1 2 1  • si trova che ρ(A) = 2 e quindi A ammette inversa sinistra; • una inversa sinistra di A è data da: As = ( −1/3 0 2/3 −2/3 0 1/3 ) • si verifica facilmente che: AsA = I2 2.5 Algoritmo di Gauss • Per il calcolo del rango di una generica matrice m × n si può utilizzare l’Algoritmo di Gauss. • Tramite questo procedimento, eseguendo una serie di semplici trasforma- zioni aritmetiche sulla matrice, la si trasforma in una matrice a gradini di pari rango; 10 • Una matrice a gradini A ∈Mm,n è caratterizzata dalla seguente proprietà: – se ai+1,j 6= 0 e ai,k 6= 0⇒ j > k – ossia: il primo elemento non nullo ai+1,j della riga (i + 1)-esima si trova a destra del primo elemento non nullo della riga i-esima; • Il primo elemento non nullo di ogni riga si dice pivot ; • Il rango della matrice è pari al numero di pivot. • L’algoritmo si base sulle proprietà delle matrici elementari ; • Queste sono ottenute dalla matrice identica In con leggere modifiche: – Matrice di scambio Eij : si ottiene scambiando le righe i e j di I; – Matrice di moltiplicazione: Ei(a) si ottiene moltiplicando la riga i- esima di I per a; – Matrice di somma: Eij(a): si ottiene sommando alla riga i-esima il prodotto tra a e la riga j-esima; • Risulta: E−1ij = Eij , Ei(a) −1 = Ei(a −1), Eij(a) −1 = Eji(a −1) • Ovvero le matrici elementari sono invertibili e quindi hanno tutte rango uguale ad n. • Dunque, dato un insieme arbitrario di N matrici elementari Ei tutte di ordine n, la matrice ottenuta dal prodotto: B = E1E2 · · ·ENA • ha due notevoli proprietà: – se A ∈Mm,n anche B ∈Mm,n; – ρ(B) = ρ(A); • Dunque l’applicazione di matrici elementari non cambia il rango della matrice; • Con l’algoritmo di Gauss si effettuano trasformazioni elementari che por- tano la matrice originaria ad un forma a gradini. • In particolare, si eseguono i seguenti passi: Algoritmo di Gauss 1. Si inizia dalla prima riga e dalla prima colonna k = 1; 11 2. Se akk = 0 si esegue la trasformazione elementare Eki con i = k + 1, . . . , n finché akk = 0 o finché i = m, in quest’ultimo caso si passa al punto 4; 3. Per ogni elemento non nullo della colonna k-esima aik, con i > k, si esegue la trasformazione elementare: Eki(−aik/akk): in questo modo diventa nullo il k-esimo elemento della riga i-esima; 4. Si reitera dal punto 2, incrementando k fino a min(m,n); 2.5.1 Esempi • Applichiamo l’algoritmo di Gauss a: A = 1 23 1 2 1  • Risulta: A1 = E21(−3)A =  1 0 0−3 1 0 0 0 1 1 23 1 2 1  = 1 20 −5 2 1  A2 = E31(−2)A1 =  1 0 00 1 0 −2 0 1 1 20 −5 2 1  = 1 20 −5 0 −3  • Passando alla seconda riga (e quindi alla seconda colonna), sulla matrice: A2 = 1 20 −5 0 −3  • abbiamo: A3 = E32(− 3 5 )A2 = 1 0 00 1 0 0 − 35 1 1 20 −5 0 −3  = 1 20 −5 0 0  • A questo punto l’algoritmo è terminato, facendo la trasformazione com- plessiva: A = 1 23 1 2 1 → 1 20 −5 0 0  ⇒ ρ(A) = 2 12 • L’intero procedimento può essere applicato anche su una colonna. • Per l’utilizzo dell’algoritmo di Gauss, è opportuno innanzitutto osservare che il determinante di una matrice a gradini: A =  a11 a12 a13 · · · a1n 0 a22 a23 · · · a2n 0 0 a33 · · · a3n ... ... ... . . . ... 0 0 0 · · · ann  • si calcola semplicemente moltiplicando fra loro gli elementi della diagonale principale: |A| = n∏ i=1 aii • Risulta poi che le trasformazioni elementare modificano in maniera sem- plice il determinante; • Infatti la trasformazione Eij(a) non cambia il valore del determinante: |Eij(a)A| = |A| • La trasformazione Eij ne cambia solo il segno: |EijA| = −|A| • La trasformazione Ei(a) lo moltiplica per a: |Ei(a)A| = a|A| • Poiché nell’algoritmo di Gauss sono coinvolte solo trasformazioni Eij(a) e Eij , è sufficiente trasformare la matrice di partenza in una matrice a gradini, tenendo conto del numero di inversioni di righe per aggiustare il segno del determinate alla fine. 2.6.1 Esempi • Consideriamo la matrice: A =  1 3 −1 4 2 1 1 −2 1 3 1 1 2 4 1 1  • Applicando iterativamente il teorema di Laplace, si trova, dopo un labo- rioso procedimento: |A| = 3 15 • Ricorrendo invece all’algoritmo di Gauss, si trova una matrice a gradini. • Questa si ottiene applicando in sequenza le trasformazioni: E21(−2), E31(−1), E41(−2), E42(−4/10) e E43(−9/10); • La sua espressione finale è: A′ =  1 3 −1 4 0 −5 3 −10 0 0 2 −3 0 0 0 −3/10  • da cui si trova facilmente il determinante: |A| = 1 · (−5) · 2 · − ( 3 10 ) = 3 2.7 Matrici Inverse • Dal teorema di Laplace segue una interessante proprietà: Corollario (Laplace) Sia A ∈Mn; se i 6= k allora: n∑ j=1 aij(−1)i+j |Akj | = n∑ j=1 aijAkj = 0 • Ovvero, se si applica la formula di Laplace su una riga che contenuta nei minori complementari, lo sviluppo è nullo. • Questa proprietà è ovvia se si immagina che la formula precedente cor- risponde a calcolare il determinante di una matrice che ha due righe uguali. • In ogni caso questa relazione è utilissima per il calcolo di una matrice inversa. • Consideriamo infatti la matrice A ∈Mn: A =  a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... an1 an2 · · · ann  16 • A partire da questa matrice, costruiamo la matrice A−1, sempre n × n, nella quale ad ogni elemento sostituiamo il suo complemento algebrico, che si dice reciproca di A: A−1 =  A11 A12 · · · A1n A21 A22 · · · A2n ... ... . . . ... An1 An2 · · · Ann  • A questo punto consideriamone la trasposta: AT−1: AT−1 =  A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 ... ... . . . ... A1n A2n · · · Ann  • Moltiplicandola per la matrice iniziale, si ha: AAT−1 =  a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... an1 an2 · · · ann   A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 ... ... . . . ... A1n A2n · · · Ann  • Ovvero la matrice: AAT−1 =  ∑ a1iA1i ∑ a1iA2i · · · ∑ a1iAni∑ a2iA1i ∑ a2iA2i · · · ∑ a2iAni ... ... . . . ...∑ aniA1i ∑ aniA2i · · · ∑ aniAni  • In cui si vede facilmente, utilizzando il teorema di Laplace ed il suo corol- lario, che tutti gli elementi della diagonale principale sono uguali ad |A|, mentre tutti gli elementi fuori diagonale sono nulli. • Dunque si ha: AAT−1 =  |A| 0 · · · 0 0 |A| · · · 0 ... ... . . . ... 0 0 · · · |A|  • Ossia: AAT−1 = |A|I ⇒ A AT−1 |A| = I 17