Analisi_1 Ancora teoremi di analisi 1, Appunti di Analisi Matematica I

Scarica Analisi_1 Ancora teoremi di analisi 1 e più Appunti in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity! SUCCESSIONI Si chiama Successione una funzione a:N-5R e s,. denola cone (AM) ne o (an) TEORE NA SUCCESSIONE CRESCENTE Sia (cn) vna successione crescenk allea 3 Cm (2) ed esso coincide con sup fan [nen] hno>ees® COLLEGANENTO TRA SUCCESSIONI E FUNZIONI Sia 4:A9IÈ, ASI, Xe e D(A) (ce peo essere vache £ 00) Seno equivalenti ) fin JO) 0 le ) Von , 54 eCSSIONE, né IN e lim Wvan= Yo affo Yne IN nre Maahl =, d(an) e a sua vella una SuccEssIONE bin, SOTTOSUCCESSIONE Sia (an) una Successione con Nel Sia K:N-3ÎN definiamo (@un) Soltosuccessione di Qa TEOREMI SULLE SOTTO SUCCESSIONI 1)Se lin, (uo) allora A lin (00) 2) Se G LN Qn= € , lei aller, se eSishe, lim an=€ n<9r 09 nuirao >) Se LA Wan * -L Cc Ln Winr4 >( Aloe Lin anel nare 4) Se Il, 7.7, =(, CeR allo esiste il limite di og Solbosunessione di an Cd esso vale ( S)se | lim nnt, er e lim Oomrg > le con ti a} alla F lin 000 TEORENA Sia (0) una Successione Drevano che converge se lina Ans l eR albimenb: se fim ant 00 si clice che diverse TEORENA Sia (cn ) uNa successione convergenbe allora essi e libska TEOREMA Siano (an) e (ba) successioni Diciamo che as c'Vascorabile rispetto a (ba) se: Lin, {20} "0 esi india con da o(bo) TEORETNA Siano 2 successioni Gn)e (br), diciano che (an) e as'nbica a (Ln) se Lin Qui 1 e sì scrive an-ba CRITERIO DEL RAPPORTO Sia fan) una successione a fermiai poshv per n>K KEN € sia ei lia Se leL => Cima Aan°6 Se L>L => im &N>400 NepeG9 Se (l*1 non abbiano informazioni CRITERIO DELLA RADICE Sia (Ga) una Successicse è leymia: non negativi Sia lim Saa- 6 [2,+00( 4)Se 04€<1 allor lim, an: 2)se €24 allora Lim a Was +00 3)se (1 non abbiamo informazioni TEOREMA ELININAZIONE DEI TRASCURABILI NELLA ScrtrA Siano an,bn,an,bn successioni cen unzo(an) e bn-o(bn) Allora Linn aN+an> lim an e lim an tan, im an n->r00 n r09 babi he o bIfosTRAZioO NE 70 ( Lim ansaa= Lim vnl4 +21)» Lim n + lin 1 > Lim cun x h->too n?rm Gn N-2 t00 N ‘>*60 Nuarco TEOREHA DI ESISTENZA DEGLI V Sia {:Jab[> KR / { conbiova ce sia Lim fe)co e fin {(1>0 ale I xo eSob[/ 1 =O TEOREMA I FERHAT Sia {:1>R, IcR, I inlervallo 4) Sia xe € Inf I 2)Sia | derivabile ja xo 3) Sia {(1)-0 allow Xe cun punto di min fra» relativo di f DIrOSTRAZIONE Considero ce ce di max vel Lin 30) A), lin 36)50e) Sappiamo che Xod Pr: disc. bilalero => ee To 36 i xre E f edeeivabile in xo ->Î Em { Ga) {(r°) .£ X-dX0 arto Considero va punto x € Is(x- , KeXo p° to {09 € 34) => fe, del. max rel. , quindi TÀ, m d()-46 ia na > xd Tx xX0, c per th. perm. segno anche tn 3 6)-408 S(1 do. sa ese” Ora considero xe Ile), X>Xo J)- 10%) Lo fin, Tx o TEORETTA bi ROLLE » SL4oR 1)tcowhava ‘0 (3,67 e){ devivabile ia Ta bl DETORZIO, Allora 3 è / {@)=0 DIMOSTRAGIONE {) allo ca (3 pe” forta #O Per 11 teorema di wereshass devone Ax4%. e [3,67 / Xi sia nmitimo assolulo e vesiamassino assolilo. Siccome {(w)-{(L) almeno 1 hr xs,X2 € (a,b[. Supponiano sia x2 porto di max assolelo. Alora x2 È anche punto di max rel. e per th. di Fenmal {(4)=> TEOREMA DI LACRANGE Sia {:[a5]>R 4) f continva in Cab} 2)f derivalile Ja, 5[ Alcia se considero y la vetta possa nte per i svoi eskeni fi) PIO fe) Jeek| {MAO DIMOSTRAZIONE. Nokiamo che ya) e conlinva in (a,6] e denvabile in Jabl b-ao perche” e LN polinomio. Chiamiamo 4: (4,46% IR, la finzione 1G)- y(x) Nobiamo che q e dervabile e continua E ; suo: eskemi sono: q(8)= fl) - fax o PIORTONRICE Possiamo quindi applicare Relle 27° concludiamo che Iel4q():0 Ila Io. d(6)-f(e) =O =5 46) 1-3) confermando il beorerà — x CRITERI DI MonoTONIA Sia fiI-R inbT7 4 allora Sono equivalenk:: (1 derivabile) 4) f crescenle 2){()zo xe i Oppure 4) D d ecrescente 2)f() o Veer DINOSTRAGIONE cAso f crescente => Hp. ] cre sce nhe , Th: J)z0 Vee Î {G)-ln {6-10 30 Ver so TT E Hp. {)zo Th. ferescenle Scelgo xipz € T /xiexa. Considero cm f base conkinia e derv. Per lagange so che IC /{0)- d(x)-{(4) => dl) (1-4) + JG2)-3(4) X2- XA J2)-f4) Îo => d2)> Sx) =? 10) e crescente Ia {(e) 20 per Hp {di f coslanle =0 Sia {:I-R, f conbinva e dervabile Se di)-e .ceRVYxe I => 3t4)>0 Vee T DIMOSTRAZIONE => Ouvia in quan $(x)=0 = Se fJ&)20 => f cresceale pre codante 1) ‘o =>[ decrescente HoWoTONIA E $ pari Sia } :T9R, pari e derivabile Consideriamo } crescente Consideriamo il 43 , le bIEI , alb Se Je crescenke ia 3,57 allor fe decrescente in [4 -2( CRITERIO DI STRETTA _MONOTOASIA Sono equivalenti: )Î strettamente cescente 2)J)20 Vee I, Fx Xe xe / {GY=0 , XE pref