Analisi 1 - Definizioni e Teoremi, Sintesi del corso di Analisi Matematica I

Scarica Analisi 1 - Definizioni e Teoremi e più Sintesi del corso in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity! INSIEMI, LOGICA E NUMERI – Capitolo 1 Logica elementare. Irrazionalità di radice di 2 (Teorema 1.2*). Sommatorie e coefficienti binomiali (paragrafo 2). Fattoriale di n. BINOMIO DI NEWTON (𝑎 + 𝑏)! = '( 𝑛 𝑘 +𝑎!"#𝑏# ! #$% CAMPI ORDINATI In matematica, un campo è una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto e da due operazioni binarie interne (chiamate somma e prodotto) che godono di proprietà assimilabili a quelle verificate da somma e prodotto sui numeri razionali o reali o anche complessi. Proprietà (S1) Commutatività della somma (S2) Associatività della somma (S3) Esistenza elemento neutro (0) (S4) Esistenza elemento opposto (SP) Distributività (P1) Commutatività del prodotto (P2) Associatività del prodotto (P3) Esistenza elemento neutro (1) (P4) Esistenza elemento inverso, per (numero diverso da 0) (O1) Riflessività (O2) Antisimmetria (O3) Transitività (O4) Relazione d’ordine è totale (SO) 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐 (PO) 𝑎 ∗ 𝑐 ≤ 𝑏 ∗ 𝑐 Un campo ordinato è un insieme dotato di operazioni +, * e di relazione d’ordine, soddisfacenti le proprietà (S1- S4), (P1-P4), (O1-O4), (SO), (PO). INSIEMI LIMITATI. MAGGIORANTI E MINORANTI DI UN INSIEME Un maggiorante di un insieme è un qualsiasi elemento che è maggiore o uguale a tutti gli elementi dell'insieme. Analogamente, un minorante di un insieme è un qualsiasi elemento che è minore o uguale a tutti gli elementi dell’insieme. Per poter parlare di maggiore o uguale abbiamo bisogno di una relazione d'ordine, quindi l'insieme deve essere ordinato. È sempre meglio supporre che gli insiemi di cui si tratta siano sottoinsiemi di insiemi più grandi. Se l’insieme ammette almeno un maggiorante allora si dice che è limitato superiormente (analogamente per il minorante, inferiormente). Se l’insieme possiede sia maggioranti che minoranti, allora si dice che l’insieme è limitato. ESTREMO SUPERIORE, ESTREMO INFERIORE, MASSIMO E MINIMO DI UN INSIEME L’estremo superiore di un insieme è il più piccolo elemento dei maggioranti dell’insieme. L’estremo inferiore di un insieme è il più grande dei minoranti dell’insieme. Se l’estremo superiore (inferiore) appartiene all’insieme, coincide con il massimo (minimo). I concetti di estremo superiore e inferiore sono applicabili ad ogni struttura matematica per la quale è chiaro cosa si intende per un elemento essere "maggiore o uguale" di un altro elemento. Quindi il concetto di estremo superiore si applica agli insiemi ordinati, per esempio sottoinsiemi di numeri reali, razionali, naturali, ma non per esempio di numeri complessi. PROPRIETÀ DELL’ESTREMO SUPERIORE Un insieme X soddisfa la proprietà dell’estremo superiore se ogni sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato superiormente possiede estremo superiore in X. DEFINIZIONE ASSIOMATICA DI R L’assioma di continuità oppure assioma di completezza, riguarda l'insieme dei numeri reali R. Esso afferma che ogni insieme S di numeri reali che non sia vuoto e che sia limitato superiormente possiede un estremo superiore in R, vale a dire un numero reale uguale o maggiore di tutti gli elementi di S e tale che non esista nessun reale più piccolo con tale proprietà. L'assioma di completezza permette di porre in corrispondenza biunivoca i punti di una retta con gli elementi dell'insieme R. VALORE ASSOLUTO Il valore assoluto o modulo di un numero reale x è una funzione che associa a x un numero reale non negativo secondo la seguente definizione: - Se x è non negativo, il suo valore assoluto è x stesso - Se x è negativo, il suo valore assoluto è -x |𝒂| = 1−𝒂 𝒔𝒆 𝒂 < 𝟎 𝒂 𝒔𝒆 𝒂 ≥ 𝟎 Disuguaglianza triangolare |𝒙 + 𝒚| ≤ |𝒙| + |𝒚| 𝑐𝑜𝑛 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ INTERVALLI Un intervallo chiuso di estremi a e b l’insieme dei numeri reali maggiori o uguali di a e minori o uguali di b, ovvero il segmento sulla retta reale che ha per estremi i numeri a e b. [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Un intervallo aperto di estremi a e b è l’insieme dei numeri reali strettamente maggiori di a e strettamente minori di b. (𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} Proprietà di densità di Q in R Se ho due numeri reali, diversi, esiste sempre un numero razionale tale che sia compreso tra i due. ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑥 < 𝑦, 𝑥 < 𝑟 < 𝑦 RADICI N-ESIME ARITMETICHE 𝑥 = H𝑦! = 𝑦 & ! LOGARITMI log' 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎( = 𝑏 con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0 𝑎)*+" , = 𝑏 INSIEMI INFINITI Un insieme infinito è un insieme per il quale non sia possibile elencare i suoi elementi. - Un insieme X è infinito se non è finito ovvero non esiste una corrispondenza biunivoca tra X e un numero naturale (insieme non-finito) CARDINALITÀ DI UN INSIEME, CARDINALITÀ NUMERABILE Due insiemi A e B si dicono “equi cardinali” se fra i loro elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca, cioè sia iniettiva che suriettiva. In altre parole, ciò accade se è possibile creare una relazione per cui ad ogni elemento di A è possibile associare uno ed un solo elemento di B, e viceversa. GENERALITA’ SULLE FUNZIONI – Capitolo 2 IL CONCETTO DI FUNZIONE, GENERALITÀ Una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. DOMINIO, CODOMINIO, IMMAGINE, CONTRO-IMMAGINE, GRAFICO Il dominio e il codominio di una funzione sono gli insiemi su cui essa è definita. Data una funzione f di dominio X e codominio Y, comunque scelto un elemento x del dominio, si chiama immagine di x il corrispondente elemento del codominio, indicato con f(x). Analogamente, se y è un elemento del codominio che sia immagine di un elemento x del dominio, cioè se y=f(x), si dice che x è una contro-immagine di y. Mentre a ogni elemento del dominio di f è assegnata una e una sola immagine, è possibile che un elemento nel codominio possegga diverse contro immagini, o che non ne possieda affatto. Il grafico di una funzione è l'insieme delle coppie ordinate costituite dagli elementi del dominio e dalle rispettive immagini. FUNZIONI LIMITATE, ESTREMO SUPERIORE, ESTREMO INFERIORE, MASSIMO E MINIMO DI UNA FUNZIONE Una funzione f definita su un insieme X e con valori reali o complessi si dice limitata se la sua immagine è un insieme limitato. Nel caso specifico di una funzione reale, una funzione è limitata se può assumere solo valori compresi in un intervallo. Si indica come funzione limitata superiormente una funzione il cui valore non può mai essere superiore ad un dato valore e come funzione limitata inferiormente una funzione il cui valore non può mai essere minore di un dato valore. Se 𝑓: 𝐴 → ℝ, 𝑐𝑜𝑛 𝐴 ⊆ ℝ Estremo superiore: sup 𝑓(𝑥) = sup 𝐼𝑚𝑓 Estremo inferiore: inf 𝑓(𝑥) = inf 𝐼𝑚𝑓 Massimo: max𝑓(𝑥) = max 𝐼𝑚𝑓 se esiste Minimo: min𝑓(𝑥) = min 𝐼𝑚𝑓 se esiste RESTRIZIONE DI UNA FUNZIONE Per restrizione di una funzione si intende una funzione ottenuta dalla precedente per restrizione del suo dominio. Sia 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑐𝑜𝑛 𝐷 ⊆ 𝐴 La restrizione di f a D è la funzione: 𝑓|>(𝑥) = 𝑓(𝑥) FUNZIONI PARI E DISPARI Una funzione è pari se: 𝒇(𝒙) = 𝒇(−𝒙) (simmetrica rispetto all’asse y) Una funzione è dispari se: 𝒇(𝒙) = −𝒇(𝒙) (simmetrica rispetto all’origine) FUNZIONI MONOTONE Una funzione si dice monotona - Strettamente crescente, se ∀𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ∈ 𝑨: 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 → 𝒇(𝒙𝟏) < 𝒇(𝒙𝟐) - Crescente, se ∀𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ∈ 𝑨: 𝒙𝟏 ≤ 𝒙𝟐 → 𝒇(𝒙𝟏) ≤ 𝒇(𝒙𝟐) (stesso ragionamento per decrescente) FUNZIONE PERIODICHE Una funzione si dice periodica di periodo T se 𝒇(𝒙 + 𝑻) = 𝒇(𝒙) Esempio: funzioni trigonometriche Funzioni simmetriche. Funzioni elementari, domini, grafici e proprietà FUNZIONI COMPOSTE Date due funzioni 𝑓: 𝑋 → 𝑌 𝑒 𝑔: 𝑌 → 𝑍, definiamo la funzione composta: 𝑔 ∘ 𝑓: 𝑋 → 𝑍 (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒈((𝒇(𝒙)) Applicando prima f a x e quindi applicando g al risultato f(x). FUNZIONI INVERSE Sia 𝑓: 𝐴 → 𝐵 Una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. In tal caso si ha che l'immagine coincide con il codominio. Im f = B Una funzione iniettiva è una funzione che associa, a elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio. 1) ∀𝑥&, 𝑥. ∈ 𝐴: 𝑥& ≠ 𝑥. → 𝑓(𝑥&) ≠ 𝑓(𝑥.) 2) ∀𝑥&, 𝑥. ∈ 𝐴: 𝑓(𝑥&) = 𝑓(𝑥.) → 𝑥& = 𝑥. 3) ∀𝑦 ∈ 𝐼𝑚𝑓 ∃! ∈ 𝐴 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑦 Se f è suriettiva esiste almeno una soluzione, se f è iniettiva esiste al più una soluzione. Se una funzione è invertibile, allora è biiettiva, ovvero è sia iniettiva che suriettiva. - Se f è suriettiva: ∀𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴 - Se f è iniettiva: ∀𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑠𝑒 𝑦 ∉ 𝐼𝑚𝑓, 0 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑖; 𝑠𝑒 𝑦 ∈ 𝐼𝑚𝑓, 1 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 Data una funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥) la funzione inversa 𝑓"& è una funzione che collega ogni elemento del codominio Y a un elemento del dominio X. INVERTIBILITÀ DELLE FUNZIONI STRETTAMENTE MONOTONE (TEOREMA 2.1*) Una funzione strettamente monotòna è una funzione invertibile, e la funzione inversa è anch’essa strettamente monotona. Il grafico dell’inversa è simmetrico rispetto alla bisettrice y = x. Esistono funzioni invertibili che non sono monotone: 𝑦 = 1𝑥 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 3 − 𝑥 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 Trovare la funzione inversa significa risolvere l’equazione: 𝑦 = 𝑓(𝑥) nell’incognita 𝑥 SUCCESSIONI E LIMITI – Capitolo 3 DEFINIZIONE DI SUCCESSIONE. GRAFICO Una successione è una funzione definita da 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 ≥ 𝑛%}, a valori in R. 𝑓:ℕ → 𝐴, 𝑎! = 𝑓(𝑛) Esempi 1) 𝑎! = & ! 2) 𝑎! = log (𝑛 − 4) 3) 𝑎! = & !"A Una successione si dice limitata: - Dal basso: 𝑎! ≥ 𝑛 - Dall’alto: 𝑎! ≤ 𝑀 Se è limitata sia dal basso che dall’alto: 𝑛 ≤ 𝑎! ≤ 𝑀 DEFINIZIONE DI LIMITE Il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una successione al crescere illimitato dell'indice (limite di una successione). 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C 𝒂𝒏 = 𝒍 Se ∀𝜺 > 𝟎 ∃𝑵 ∈ ℕ 𝒕𝒂𝒍𝒆 𝒄𝒉𝒆 ∀𝒏 ≥ 𝑵: |𝒂𝒏 − 𝒍| < 𝜺 Limite per eccesso: 𝒍 − 𝜺 < 𝒂𝒏 ≤ 𝒍 Limite per difetto: 𝒍 ≤ 𝒂𝒏 < 𝒍 + 𝜺 Per verificare un limite dato è, quindi, sufficiente seguire i seguenti passi: - Scrivere la disequazione presente nella definizione di limite considerato e risolverla - Esaminare la soluzione per verificare che si sia ottenuto o meno l’intorno richiesto dal tipo di limite trattato - Concludere che il limite è verificato, in quanto si è effettivamente ottenuto l’intorno dato nella definizione; concludere che il limite è errato in quanto non si è ottenuto l’intorno previsto. PROPRIETÀ SODDISFATTE DEFINITIVAMENTE DA UNA SUCCESSIONE Per le successioni non sempre alcune proprietà sono sempre vere, ma solo da un certo punto in poi: queste proprietà si dicono valide definitivamente. Per la precisione, una certa proprietà si dice valida definitivamente per la successione (esiste un N tale per cui la proprietà è valida ∀𝑛 ≥ 𝑁). Esempi 1) 𝑎! = & ! è definitivamente minore di 𝑎! = & .= (𝑛 > 2𝜋, 𝑣𝑒𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑟 𝑛 ≥ 7) TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE (*) Se la successione ha un limite, questo è unico. SUCCESSIONI DIVERGENTI E SUCCESSIONI IRREGOLARI Una successione che diverge è una successione di numeri che non tende a nessun numero finito, ma cresce indefinitamente fino all'infinito. Quindi il suo limite è infinito. 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C 𝒂𝒏 = +∞ Se ∀𝑴 > 𝟎 ∃𝑵 ∈ ℕ 𝒕𝒂𝒍𝒆 𝒄𝒉𝒆 ∀𝒏 ≥ 𝑵:𝒂𝒏 > 𝑴 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C 𝒂𝒏 = −∞ Se ∀𝑴 > 𝟎 ∃𝑵 ∈ ℕ 𝒕𝒂𝒍𝒆 𝒄𝒉𝒆 ∀𝒏 ≥ 𝑵:𝒂𝒏 < −𝑴 Corollari a) Se {𝑏!}, {𝑐!} sono successioni tali che, definitivamente: |𝑏!| ≤ 𝑐!, e se lim !→C 𝑐! = 0, allora lim !→C 𝑏! = 0 b) Se {𝑏!}, {𝑐!} sono successioni con la prima limitata e lim !→C 𝑐! = 0, allora lim !→C 𝑏!𝑐! = 0 Esempi 1) lim !→C 𝑛' = Ÿ +∞, 𝑠𝑒 𝑎 > 0 1, 𝑠𝑒 𝑎 = 0 0, 𝑠𝑒 𝑎 < 0 2) 𝑎! = HIJ! ! ' # à 0 ≤ |𝑎!| ≤ & ! ' # → 0 ARITMETIZZAZIONE PARZIALE DI INFINITO. FORME DI INDECISIONE Forme di indecisione: - ∞−∞ - % % - C C - 0 ∗ ∞ - ∞% - 1C - 0% Se una successione 𝑎!, con lim !→C 𝑎! = 𝑎 ∈ [0, +∞] a termini positivi (definitivamente) e 𝑏! successione con con lim !→C 𝑏! ∈ ℝ∗, allora lim !→C (𝑎!)^𝑏! = 𝑎^𝑏 (se non ci sono forme di indeterminazione). CRITERIO DEL RAPPORTO PER SUCCESSIONI Sia {𝑎!} una successione a termini positivi (definitivamente) ed esista il limite di: 𝒂𝒏(𝟏 𝒂𝒏 Allora - 𝑙 ∈ (1,∞] à la successione diverge - 𝑙 ∈ [0,1) à la successione converge a 0 Se il limite è 1 non si può concludere nulla! IL NUMERO DI NEPERO E (TEOREMA 3.8 E TEOREMA 3.9) La successione 𝒂𝒏 = (𝟏 + 𝟏 𝒏 + 𝒏 è monotona crescente e limitata in R. Quindi è convergente 𝒆 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C ¡𝟏 + 𝟏 𝒏¢ 𝒏 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖… 𝒆 = 𝐬𝐮𝐩 𝒏M𝟏 ¡𝟏 + 𝟏 𝒏¢ 𝒏 ¡𝟏 + 𝟏 𝒏¢ 𝒏 < 𝒆, ∀𝒏 ≥ 𝟏 Se 𝒂𝒏 è una successione che diverge, allora lim !→C (1 + & 𝒂𝒏 + 𝒂𝒏 = 𝑒 (Limite di una successione monotona crescente e limitata) 𝑒( = lim !→C (1 + 𝑥 𝑛 + ! CONFRONTI E STIME ASINTOTICHE Quando due successioni sono entrambe infinitesime/infinite è utile poter stabilire un confronto tra di esse per poter capire quale tenda più rapidamente a 0 o all'infinito. Il risultato del limite del loro rapporto dipende dal rapporto che c’è tra le due successioni (infiniti di ordine superiore/inferiore) 𝒂𝒏~ 𝒃𝒏 ⟺ 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C 𝒂𝒏 𝒃𝒏 = 𝟏 RELAZIONI DI ASINTOTICO E O-PICCOLO L'o-piccolo viene usato per individuare l'ordine di infinitesimo di una funzione rispetto ad una funzione campione, al tendere di n all'infinito. 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C 𝒂𝒏 𝒃𝒏 = 𝟎 , 𝒂𝒍𝒍𝒐𝒓𝒂 𝒂𝒏 = 𝒐(𝒃𝒏) 𝒂𝒏~ 𝒃𝒏 ⟺ 𝒂𝒏 = 𝒃𝒏 + 𝒐(𝒃𝒏) = 𝒃𝒏(𝟏 + 𝒐(𝟏)) Es. 𝑎! = & ! + & !# + 3𝑥 𝑝𝑒𝑟 𝑛 → −∞ Le frazioni sono infinitesimi, mentre 3x diverge a -∞, quindi: 𝑎! = 3𝑛 + 𝑜(𝑛) Quindi: 𝑎! ~ 3𝑛 𝑝𝑒𝑟 𝑛 → −∞ ALGEBRA DEGLI O-PICCOLI - 𝒐(𝒂𝒏) = 𝒐(−𝒂𝒏) = −𝒐(𝒂𝒏) - 𝒄 ∗ 𝒐(𝒂𝒏) = 𝒐(𝒂𝒏) - 𝒄 ∗ 𝒐(𝒂𝒏) = 𝒐(𝒂𝒏) - 𝒐(𝒂𝒏𝒃𝒏) = 𝒂𝒏 ∗ 𝒐(𝒃𝒏) - 𝒐 (𝟏 𝒏 + − 𝒐 ( 𝟏 𝒏𝟐 + = 𝒐 (𝟏 𝒏 + - 𝒐(𝒏) − 𝒐­𝒏𝟐® = 𝒐­𝒏𝟐® - 𝑺𝒆 𝒂𝒏~ 𝒃𝒏, 𝒐(𝒂𝒏) = 𝒐(𝒃𝒏 ) RELAZIONE DI ASINTOTICO E LIMITI DI PRODOTTI, QUOZIENTI E POTENZE (PROPOSIZIONE 3.1*) 1. Se due successioni sono asintotiche, esse hanno lo stesso comportamento: convergono allo stesso limite, o divergono entrambe, o entrambe non hanno limite. 2. Si possono scrivere catene di relazioni asintotiche 3. Un’espressione composta da prodotto/quoziente di più fattori può essere stimata fattore per fattore NON VALE PER SOMME O ESPONENZIALE 4. Si possono utilizzare anche con funzioni composte: partendo a sviluppare dalla funzione più esterna Soddisfa: a) Riflessività b) Simmetria c) Transitività GERARCHIA DEGLI INFINITI (TEOREMA 3.10 ED ESEMPI SEGUENTI) lim !→DC log' 𝑛 𝑛' = 0 lim !→DC 𝑛' 𝑏! = 0 Descrivono la velocità con cui i logaritmi, le potenze, gli esponenziali vanno all’∞: i logaritmi vanno più lentamente di qualsiasi potenza, le potenze più lentamente di qualsiasi esponenziale. (𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒏)𝒃 ≪ 𝒏𝒄 ≪ 𝒂𝒏 ≪ 𝒏! ≪ 𝒏𝒏 LIMINF E LIMSUP Data una successione 𝑎! consideriamo la successione ausiliaria 𝑏! = sup𝑎# ∈ ℝ∗ (successione di sup) Notiamo che 𝑏! ≥ 𝑏!D& per definizione di sup (più piccolo n, più grande è il sup) è monotona decrescente Quindi: ∃ lim !→C 𝑏! = inf 𝑏! Definizione - 𝐥𝐢𝐦𝐬𝐮𝐩 𝒏→C 𝒂𝒏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C 𝒃𝒏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C 𝐬𝐮𝐩𝒂𝒌 = 𝐢𝐧𝐟 𝐬𝐮𝐩𝒂𝒌 limite dei sup Similmente consideriamo 𝑐! = inf 𝑎# ∈ ℝ∗ Notiamo che 𝑐! ≤ 𝑐!D& è monotona crescente - 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐧𝐟 𝒏→C 𝒂𝒏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C 𝒄𝒏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C 𝐢𝐧𝐟 𝒂𝒌 =𝐬𝐮𝐩 𝐢𝐧𝐟𝒂𝒌 limite degli inf liminf !→C 𝑎! 𝑒 limsup !→C 𝑎! esistono sempre, ma il limite di una successione esiste se e solo se: liminf !→C 𝑎! = limsup !→C 𝑎! CLASSE LIMITE Insieme dei valori cui è possibile far tendere una sotto successione. Definiamo classe limite di una successione, il sottoinsieme: 𝐴 = {𝑙 ∈ ℝ: ∃𝑠𝑜𝑡𝑡𝑜𝑠𝑢𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑎# 𝑑𝑖 𝑎! 𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑒 lim!→C 𝑎!& = 𝑐} A è costituito da un solo valore se e solo se 𝑙 = lim !→C 𝑎! liminf !→C 𝑎! è il minimo della classe limite, limsup !→C 𝑎! è il massimo della classe limite liminf !→C 𝑎! 𝑒 limsup !→C 𝑎! appartengono sempre alla classe limite. In particolare, è sempre possibile estrarre dalla successione di partenza una sotto successione che converge a liminf !→C 𝑎! e una che converge a limsup !→C 𝑎! LIMITE PER ECCESSO E PER DIFETTO Limite per eccesso: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→(* 𝒇(𝒙) = 𝒍D 𝒍 ≤ 𝒇(𝒙) < 𝒍 + 𝜺 Limite per difetto: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→(* 𝒇(𝒙) = 𝒍" 𝒍 − 𝜺 < 𝒇(𝒙) ≤ 𝒍 LIMITE DA DESTRA E DA SINISTRA Limite destro: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 ( 𝒇(𝒙) Limite sinistro: 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝒙𝟎 ,𝒇(𝒙) Il limite destro o sinistro può essere un numero finito, infinito. In alcuni punti della funzione potrebbe anche non esistere un limite destro o sinistro. Se 𝑥%, 𝑙 ∈ ℝ∗, allora 𝑙𝑖𝑚 (→(* 𝑓(𝑥) = 𝐿 se e solo se 𝑙𝑖𝑚 (→(* ( 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 (→(*, 𝑓(𝑥) ASINTOTI ORIZZONTALI, VERTICALI, OBLIQUI (PROPOSIZIONE 3.2) Un asintoto è una retta tale che la distanza tra essa e la curva della funzione f tende a 0 per x à ∞ (asintoti orizzontali o obliqui) o per x che tende ad un punto ove la f non è definita o è discontinua (asintoti verticali). ASINTOTO VERTICALE Si dice che la retta 𝒙 = 𝒙𝟎 è un asintoto verticale per la funzione f se c'è un punto di accumulazione in cui si abbia: lim (→(*( 𝑓(𝑥) = ±∞ oppure lim (→(*, 𝑓(𝑥) = ±∞ In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione 𝑥 = 𝑥% (una funzione che non abbia punti singolari non può avere asintoti verticali). ASINTOTO ORIZZONTALE Si dice che la retta 𝒚 = 𝒍 è un asintoto orizzontale per la funzione f se si verifica una almeno delle seguenti condizioni: lim (→"C 𝑓(𝑥) = 𝑙 oppure lim (→DC 𝑓(𝑥) = 𝑙 Ove 𝑙 è un numero reale. In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione 𝑦 = 𝑙. ASINTOTO OBLIQUO Se si ha: lim (→"C 𝑓(𝑥) = ±∞ oppure lim (→DC 𝑓(𝑥) = ±∞ È lecito chiedersi se esista un asintoto obliquo, e cioè se il grafico della funzione si accosta (quando x tende a più o meno infinito) a quello di una retta di equazione 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒒 (𝑚 ≠ 0). Con 𝑚 = lim (→C V(() ( e 𝑞 = lim (→C 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 |𝑓(𝑥) − (𝑚𝑥 + 𝑞)| è la lunghezza del segmento verticale ad ascissa x con primo estremo sulla retta e secondo estremo sul grafico di f. CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO Sia 𝑓: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅; 𝑥% ∈ ℝ∗; 𝑥% di accumulazione per I, 𝑥% ∈ 𝐼. La funzione si definisce continua (continua nel punto, nell’intervallo) se: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎) Secondo la definizione successionale lim !→C 𝑓(𝑥!) = 𝑓(𝑥%) = 𝑓( lim !→C (𝑥!)) CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI DI DISCONTINUITÀ Sia 𝑓: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅; 𝑥% ∈ ℝ∗; 𝑥% di accumulazione per I, 𝑥% ∈ 𝐼. PRIMA SPECIE “A SALTO” Limiti esistono e sono finiti, ma diversi: lim (→(*, 𝑓(𝑥) ≠ lim (→(*( 𝑓(𝑥) 𝑦 = sign x SECONDA SPECIE Uno tra i due limiti non esiste o è infinito. 𝑦 = Ÿ 1 𝑥 𝑝𝑒𝑟 𝑥 ≠ 0 𝑎 𝑝𝑒𝑟 𝑥 = 0 TERZA SPECIE lim (→(* 𝑓(𝑥) = 𝐿, ma 𝑓(𝑥%) non esiste oppure 𝑓(𝑥%) ≠ 𝐿 “Eliminabile”: 𝑓(𝑥%) = 𝐿 𝑦 = (signx). PROLUNGAMENTO PER CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO Sia 𝑥% ∈ 𝑅, 𝑥% ∉ 𝐴, 𝑥% punto di accumulazione per A. Se esiste lim (→(* 𝑓(𝑥) = 𝐿 si dice che f è prolungabile per continuità in 𝑥%. E si pone: 𝒇(𝒙𝟎) = 𝑳. TEOREMI SUI LIMITI DI FUNZIONI TEOREMA DEL CONFRONTO Per limiti finiti IPOTESI - Su 𝑈(𝑥%) (definitivamente) → 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) - ∃ 𝑙𝑖𝑚 (→(* 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 (→(* 𝑔(𝑥) = 𝐿 ∈ ℝ TESI ∃ 𝑙𝑖𝑚 (→(* ℎ(𝑥) = 𝐿 Per limiti infiniti (+∞) IPOTESI - 𝑓(𝑥), ℎ(𝑥) - Definitivamente, 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) - ∃ 𝑙𝑖𝑚 (→(* 𝑓(𝑥) = +∞, 𝑐𝑜𝑛 𝑥% ∈ ℝ∗ TESI ∃ 𝑙𝑖𝑚 (→(* ℎ(𝑥) = +∞ Per limiti infiniti (-∞) IPOTESI - 𝑓(𝑥), ℎ(𝑥) - Definitivamente, 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) - ∃ 𝑙𝑖𝑚 (→(* ℎ(𝑥) = −∞, 𝑐𝑜𝑛 𝑥% ∈ ℝ∗ TESI ∃ 𝑙𝑖𝑚 (→(* 𝑓(𝑥) = −∞ Corollario Se 𝑙𝑖𝑚 (→(* 𝑔(𝑥) = 0 e se |ℎ(𝑥)| ≤ 𝑔(𝑥) definitivamente per 𝑥 → 𝑥%, Allora ∃ 𝑙𝑖𝑚 (→(* ℎ(𝑥) = 0 Corollario Se 𝑙𝑖𝑚 (→(* 𝑔(𝑥) = 0 e se ℎ(𝑥) definitivamente per 𝑥 → 𝑥% è limitata, Allora ∃ 𝑙𝑖𝑚 (→(* 𝑔(𝑥) ∗ ℎ(𝑥) = 0 TEOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO (TEOREMA 3.16*, TEOREMA 3.17*, TEOREMA 3.18) 1) Se ∃ 𝑙𝑖𝑚 (→(* 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝑐𝑜𝑛 𝐿 > 0, allora 𝑓(𝑥) > 0, definitivamente per 𝑥 → 𝑥% 2) Se 𝑓(𝑥) ≥ 0 definitivamente per 𝑥 → 𝑥% e se ∃ 𝑙𝑖𝑚 (→(* 𝑓(𝑥) = 𝐿, allora 𝐿 ≥ 0 Corollario Se 𝑓(𝑥) continua in 𝑥% e se 𝑓(𝑥%) > 0, allora ∃𝑈(𝑥%) tale che 𝑓(𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑈(𝑥%) ALGEBRA DEI LIMITI E ARITMETIZZAZIONE PARZIALE DI INFINITO FORME DI INDETERMINAZIONE [∞ −∞], [0 ∗ ∞], ÊC C Ë , Ê% % Ë , [1C], [0%], [∞%] TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI (TEOREMA 3.28* E 3.29*) Una funzione 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 è continua in [𝑎, 𝑏]. Allora ∀𝜆 ∈ 𝑅, compreso tra il massimo e il minimo, ∃𝑥% ∈ [𝑎, 𝑏] tale che 𝑓(𝑥%) = 𝜆 Quindi, l'immagine [𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)] di un intervallo [𝑎, 𝑏] contiene tutti i valori compresi tra le immagini degli estremi 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏). INSIEME IMMAGINE DI UNA FUNZIONE CONTINUA Se 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 è continua in [𝑎, 𝑏] allora: 𝐼𝑚 𝑓 = [𝑚,𝑀] FUNZIONE MONOTONE E LIMITI Sia 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅 monotona crescente (simile per decrescente). Allora ∀𝑥% ∈ (𝑎, 𝑏) esistono, finiti, i limiti: lim (→ (*, 𝑓(𝑥), lim (→ (*( 𝑓(𝑥) E, inoltre, lim (→ (*( 𝑓(𝑥) = sup 𝑓(𝑥) lim (→ (*, 𝑓(𝑥) = inf 𝑓(𝑥) lim (→ (*, 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥%) ≤ lim (→ (*( 𝑓(𝑥) PUNTI DI DISCONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE MONOTONA Corollario (del teorema precedente) Se 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅 monotona nell’intervallo, i suoi eventuali punti di discontinuità sono solo di tipo salto. Inoltre, in 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, la funzione può avere asintoti verticali oppure limiti finiti (in questo caso f è prolungabile per continuità nel punto). INVERTIBILITÀ DI FUNZIONI DEFINITE SU UN INTERVALLO Teorema Sia 𝑓: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅 con I intervallo, e f continua in I. Allora f è invertibile ↔ f strettamente monotona In tal caso la funzione inversa è: 𝑓"&: 𝐼𝑚𝑓 ⊆ 𝑅 → 𝑅 è strettamente monotona come f, è continua e ha come dominio un intervallo. Osservazione Se f è strettamente monotona, allora f è invertibile. Il contrario (se f è invertibile allora è strettamente monotona) è falso in generale, ma è vero se f è definita e continua su un intervallo. UNA FUNZIONE CONTINUA E INVERTIBILE SU UN INTERVALLO HA INVERSA CONTINUA (TEOREMA 3.32*) Teorema Sia 𝑓: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅 con I intervallo, e f continua, f strettamente monotona. Allora esiste: 𝑓"&: 𝐼𝑚𝑓 ⊆ 𝑅 → 𝑅 con 𝑓"& strettamente monotona come f, 𝑓"& continua e 𝐼𝑚𝑓 = 𝐷(𝑓"&) è un intervallo. CALCOLO DIFFERENZIALE – Capitolo 4 DERIVATA PRIMA DI UNA FUNZIONE. Data una funzione 𝑓(𝑥) definita su un intervallo (𝑎, 𝑏), preso un punto x che appartiene a questo intervallo, la funzione si dice derivabile in x se esiste, finito, il limite del rapporto incrementale in x. PROBLEMA 1: Il problema della retta tangente PROBLEMA 2: Tasso di variazione istantaneo PROBLEMA 3: Approssimare la funzione ad un polinomio di grado 1 1RETTA TANGENTE AL GRAFICO DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO Data 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅, 𝑥% ∈ (𝑎, 𝑏). Sia ℎ ∈ 𝑅, con |ℎ| sufficientemente piccolo in modo che: 𝑥% + ℎ ∈ (𝑎, 𝑏) Considerando i punti sul grafico di f: 𝑃% = ­𝑥%, 𝑓(𝑥%)® e 𝑃_ = (𝑥% + ℎ, 𝑓(𝑥% + ℎ)) Retta tangente → 𝑚 = `5 `( = 50"5* (0"(* = V((0) " V((*) (0"(* Da 𝑥% posso incrementare di un valore h per arrivare a 𝑥^ = 𝑥% + ℎ RAPPORTO INCREMENTALE: 𝒇(𝒙𝟎D𝒉) " 𝒇(𝒙𝟎) 𝒉 Posso immaginare di spostare PM e avvicinarlo a P0 → fino a quando sono infinitamente vicini (ℎ → 0) Anche le corrispondenti x si spostano → cambia la retta → retta tangente 𝐥𝐢𝐦 𝐡→𝟎 𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙) 𝒉 = 𝒎R = 𝒇′(𝒙𝟎) Se esiste, finito, questo limite, diremo che la funzione è derivabile nel punto. Data una 𝑓(𝑥) definita su un intervallo I e preso un punto appartenente a questo intervallo, definiamo la retta tangente quella retta che ha come coefficiente angolare (finito) il limite del rapporto incrementale. Data una curva 𝛾 di equazione 𝑦 = 𝑓(𝑥) definita su un intervallo I e dato un punto appartenente a questa curva, sapendo che f è derivabile in x0, allora l’equazione della retta tangente nel punto 𝑃(𝑥%, 𝑦%) avrà equazione: 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒇′(𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟎) Derivata destra e sinistra Se f è derivabile nel punto, la derivata destra e sinistra devono coincidere ed essere finite. 3DIFFERENZIABILITÀ DI UNA FUNZIONE (*) Data 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅, 𝑥% ∈ (𝑎, 𝑏). Allora f è derivabile in 𝑥% se e solo se: lim (→(* 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥%) 𝑥 − 𝑥% = 𝑓R(𝑥%) ∈ 𝑅 Riscrivendo si ottiene: lim (→(* 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥%) − 𝑓′(𝑥%)(𝑥 − 𝑥%) 𝑥 − 𝑥% = 0 Quindi 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥%) − 𝑓R(𝑥%)(𝑥 − 𝑥%) = 𝑜(𝑥 − 𝑥%) per 𝑥 → 𝑥% 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥%) + 𝑓R(𝑥%)(𝑥 − 𝑥%) + 𝑜(𝑥 − 𝑥%) per 𝑥 → 𝑥% Diremo che la funzione è differenziabile in 𝑥% ∈ (𝑎, 𝑏) se esiste 𝑐 ∈ 𝑅 tale che: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥%) + 𝑐(𝑥 − 𝑥%) + 𝑜(𝑥 − 𝑥%) per 𝑥 → 𝑥% Cioè: lim (→(* 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥%) − 𝑐(𝑥 − 𝑥%) 𝑥 − 𝑥% = 0 Data 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅, 𝑥% ∈ (𝑎, 𝑏). Si dimostra che f derivabile in 𝒙𝟎 se e solo se è differenziabile in 𝒙𝟎 e vale: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥%) + 𝑓R(𝑥%)(𝑥 − 𝑥%) + 𝑜(𝑥 − 𝑥%) Cioè 𝑐 = 𝑓′(𝑥%) Notiamo che 𝑓(𝑥%) + 𝑓R(𝑥%)(𝑥 − 𝑥%) è l’espressione della retta tangente. DERIVABILITÀ IMPLICA CONTINUITÀ (TEOREMA 4.1*) Teorema Se f è derivabile in 𝑥% ∈ (𝑎, 𝑏), allora f è continua in 𝑥%. Il viceversa non è vero. Esistono funzioni che sono continue ma non derivabili CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ PUNTO ANGOLOSO 𝑓′"(𝑐) ≠ 𝑓′D(𝑐) a) Entrambe finite b) Una finita, l’altra infinita 𝑦 = |𝑥| FLESSO A TANGENTE VERTICALE a) 𝑓′"(𝑐) = 𝑓′D(𝑐) = +∞ b) 𝑓′"(𝑐) = 𝑓′D(𝑐) = −∞ 𝑦 = 𝑥A CUSPIDE a) 𝑓′"(𝑐) = −∞, 𝑓′D(𝑐) = +∞ b) 𝑓′"(𝑐) = +∞, 𝑓′D(𝑐) = −∞ 𝑦 = H|𝑥| STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE, INCLUSA LA CONCAVITÀ/CONVESSITÀ 1. Determinare dominio della funzione (condizioni di esistenza) 2. Segno, zeri, eventuali simmetrie e periodicità 3. Continuità 4. Limiti ai bordi del dominio, limite destro e sinistro dove la funzione è discontinua (classificazione punti di discontinuità) 5. Eventuali asintoti 6. Derivata prima e punti di non derivabilità 7. Studio del segno della derivata prima e monotonia 8. Massimi e minimi locali, estremo superiore e inferiore (massimo e minimo assoluto) 9. Derivata seconda: studio del segno della derivata seconda, concavità e convessità 10. Eventuali punti di flesso TEOREMA DI DE L'HOSPITAL Siano: - 𝑓, 𝑔: (𝑎, 𝑏) → 𝑅, - 𝑓, 𝑔 derivabili (con 𝑔, 𝑔′ ≠ 0) Se 1) lim (→'( 𝑓(𝑥) = lim (→'( 𝑔(𝑥) = 0 oppure lim (→'( 𝑓(𝑥) = lim (→'( 𝑔(𝑥) = ∞ (segni qualunque) 2) ∃ lim (→'( V1(() d1(() = 𝐿 ∈ 𝑅∗ Allora ∃ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂( 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) = 𝑳 ∈ 𝑹∗ Osservazione - Vale un risultato analogo per lim (→,, V(() d(() , e quindi per 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒙𝟎 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) con 𝑥% ∈ (𝑎, 𝑏) - Serve per risolvere forma d’indeterminazione della forma Ê% % Ë , ÊC C Ë Questo teorema si usa per dimostrare la gerarchia degli infiniti I e II: Gerarchia degli infiniti I: ∀𝑏 > 0 𝐥𝐢𝐦 𝒙→C 𝒙𝒂 𝒄𝒃𝒙 = 𝟎 Gerarchia degli infiniti II: ∀𝑏 > 0, 𝑎 > 1 𝐥𝐢𝐦 𝒙→C (𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙)𝒄 𝒙𝒃 = 𝟎 LIMITI DELLA DERIVATA PRIMA E DERIVABILITÀ Teorema di prolungamento della derivata prima Sia 𝑓: [𝑎, 𝑏) → 𝑅, derivabile in (𝑎, 𝑏) e continua in [𝑎, 𝑏) Supponiamo: ∃ lim (→'( 𝑓R(𝑥) = 𝑚 ∈ 𝑅 Allora esiste anche: 𝒇DR (𝒂) = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎( 𝒇(𝒂D𝒉)"𝒇(𝒂) 𝒉 , e vale 𝒇DR (𝒂) = 𝒎 ∈ 𝑹∗ Osservazione Vale un risultato analogo per la derivata 𝑓"R(𝑏), e quindi anche per la derivata in un punto 𝑥% ∈ (𝑎, 𝑏), 𝑓R(𝑥%) Osservazione Se ∄ lim (→'( 𝑓R(𝑥), può comunque esistere 𝑓DR(𝑎) = lim _→%( V('D_)"V(') _ DISCONTINUITÀ DELLA DERIVATA PRIMA E PROPRIETÀ DI DARBOUX DI UNA FUNZIONE Corollario Sia 𝑓: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅. Supponiamo ∃𝑓R: 𝐼 → 𝑅 (cioè f derivabile in x in tutto l’intervallo). Allora 𝑓′ può avere (in I) solo punti di discontinuità di II specie. Teorema Sia 𝑓: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅, I intervallo. Supponiamo ∃𝑓R: 𝐼 → 𝑅. Allora ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼, 𝑎 < 𝑏, la funzione 𝒇′ assume tutti i valori compresi tra 𝒇′(𝒂) e 𝒇′(𝒃) in [𝒂, 𝒃]. Proprietà di Darboux Tutte le funzioni che risultano dalla derivazione di altre funzioni presentano la proprietà del valore intermedio: l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo. Quindi 𝑰𝒎 𝒇′ è un intervallo. DERIVABILE SU UN INTERVALLO Una funzione f si dice derivabile in un intervallo, se è derivabile in ogni punto dell'intervallo. Se l'intervallo comprende uno o entrambi gli estremi, su di essi si considererà ovviamente solo la derivata sinistra o destra. CONVESSITÀ E DERIVATE (TEOREMA 4.11) Definizione Sia 𝑓: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅, I intervallo. La funzione si dice convessa in I se ∀𝑥%, 𝑥& ∈ 𝐼 vale: 𝒇­(𝟏 − 𝒕)𝒙𝟎 + 𝒕(𝒙𝟏)® ≤ (𝟏 − 𝒕)𝒇(𝒙𝟎) + 𝒕𝒇(𝒙𝟏) ∀𝑡 ∈ [0,1] La funzione si dice strettamente convessa in I se ∀𝑥%, 𝑥& ∈ 𝐼 vale: 𝑓­(1 − 𝑡)𝑥% + 𝑡(𝑥&)® < (1 − 𝑡)𝑓(𝑥%) + 𝑡𝑓(𝑥&) ∀𝑡 ∈ (0,1) Osservazione Dati due punti: 𝑃% = (𝑥%, 𝑦%), 𝑃& = (𝑥&, 𝑦&), in 𝑅., con 𝑥% ≠ 𝑥& Consideriamo: 𝑃W = (1 − 𝑡)𝑃% + 𝑡𝑃& , 𝑡 ∈ 𝑅 Quindi: 𝑷𝒕 = ((𝟏 − 𝒕)𝒙𝟎 + 𝒕𝒙𝟏), ((𝟏 − 𝒕)𝒚𝟎 + 𝒕𝒚𝟏) Che equivale a: Ú 𝑥 = (1 − 𝑡)𝑥% + 𝑡𝑥& = 𝑥% + 𝑡(𝑥& − 𝑥%) 𝑦 = (1 − 𝑡)𝑦% + 𝑡𝑦& = 𝑦% + 𝑡(𝑦& − 𝑦%) Quindi: 𝑡 = 𝑥 − 𝑥% 𝑥& − 𝑥% = 𝑦 − 𝑦% 𝑦& − 𝑦% Riscrivendo in funzione di y: 𝑦 = 𝑦& − 𝑦% 𝑥& − 𝑥% (𝑥 − 𝑥%) + 𝑦% Che è l’equazione della retta passante per 𝑃% e 𝑃& (ponendo 𝑡 = 0, ponendo 𝑡 = 1) Per 0 < 𝑡 < 1: 𝑃W = 𝑃% + 𝑡(𝑃& − 𝑃%) descrive il segmento di estremi 𝑃% e 𝑃&, orientato da 𝑃% a 𝑃& In generale, se 𝑃%, 𝑃& ∈ 𝑅!, 𝑛 ≥ 1, l’equazione 𝑃W = 𝑃% + 𝑡(𝑃& − 𝑃%) descrive la retta in 𝑅! da 𝑃% a 𝑃& Osservazione Sia 𝑓: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅, I intervallo se e solo se ∀𝑥%, 𝑥& ∈ 𝐼, ∀𝑡 ∈ [0,1]: (∎) 𝒇­(𝟏 − 𝒕)𝒙𝟎 + 𝒕(𝒙𝟏)® ≤ (𝟏 − 𝒕)𝒇(𝒙𝟎) + 𝒕𝒇(𝒙𝟏) Se 𝑃% = (𝑥%, 𝑓(𝑥%)) e 𝑃& = (𝑥&, 𝑓(𝑥&)), sono due punti del grafico della funzione, il segmento di estremi 𝑃% e 𝑃& è descritto da: 𝑃W = (1 − 𝑡)𝑃% + 𝑡𝑃& = (𝑥W , 𝑦W) Quindi, secondo (∎), ∀𝑡 ∈ [0,1]: 𝒇(𝒙𝒕) ≤ 𝒚𝒕 Che significa che all’ascissa 𝑥W il valore 𝑓(𝑥W) è minore del valore 𝑦W, cioè il punto sul grafico (𝒙𝒕, 𝒇(𝒙𝒕)) giace sotto il punto 𝑷𝒕 = (𝒙𝒕, 𝒚𝒕), sul segmento di estremi 𝑷𝟎 e 𝑷𝟏 La disequazione (∎) dice che comunque sono fissati i punti 𝑃% e 𝑃& sul grafico di f, la corda di estremi 𝑃% e 𝑃& giace sopra il grafico di f (tra 𝑥% e 𝑥&) Equivalentemente, ∀𝑥%, 𝑥& ∈ 𝐼, con 𝑥% < 𝑥&, 𝑓(𝑥) ≤ V((')"V((*) ('"(* (𝑥 − 𝑥%) + 𝑓(𝑥%), ∀𝑥 ∈ (𝑥%, 𝑥&) Teorema Una funzione 𝑓: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅, I intervallo, che sia concava o convessa in I è continua in I, salvo al più negli estremi dell’intervallo I. Inoltre, essa possiede derivata destra e derivata sinistra in ogni punto interno all’intervallo. Quindi una funzione convessa può essere discontinua agli estremi dell’intervallo. CONVESSITÀ E RETTE TANGENTI (TEOREMA 4.12) Teorema Sia 𝑓: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅, I intervallo. Se la funzione è convessa e derivabile in I, allora ∀𝑥% ∈ 𝐼, essa giace sopra la tangente al grafico di f in 𝑃% = (𝑥%, 𝑓(𝑥%)), cioè ∀𝑥%, 𝑥 ∈ 𝐼: 𝒇(𝒙) ≥ 𝒇(𝒙𝟎) + 𝒇′(𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟎) Viceversa, se f è derivabile in I e vale questa disequazione, ∀𝑥%, 𝑥 ∈ 𝐼, allora la funzione è convessa in I Osservazione 𝑓(𝑥) = |𝑥| è convessa in 𝑅, anche se 𝑓(𝑥) non è derivabile in 𝑥% = 0 PUNTI DI FLESSO, PUNTI DI FLESSO E DERIVATA SECONDA (TEOREMA 4.13) Teorema Sia 𝑓: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅, allora 1) Se f derivabile in I, allora essa è convessa (concava) se e solo se: 𝒇′(𝒙) è crescente (decrescente) 2) Se f è derivabile due volte in I, allora essa è convessa (concava) se e solo se: 𝒇′′(𝒙) ≥ 𝟎 (𝑓′′(𝑥) ≤ 0), ∀𝑥 ∈ 𝐼 Osservazione Il secondo punto è conseguenza del primo e del test di monotonia applicato a 𝑓R: 𝐼 ⊂ 𝑅 → 𝑅 Osservazione - (⊛) prende il nome di formula di Taylor con resto di Peano, di ordine n e centrata in 𝑥% per f - Per 𝑛 = 1, il teorema afferma: 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅, 𝑥% ∈ (𝑎, 𝑏), e f differenziabile in 𝑥%, con 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥%) + 𝑓R(𝑥%)(𝑥 − 𝑥%) + 𝑜(𝑥 + 𝑜(𝑥)) Che sappiamo essere vero poiché f è derivabile se e solo se è differenziabile in 𝑥% - Esiste al più un solo polinomio di grado al più n, chiamato 𝑄(𝑥), tale che lim (→(* 𝑓(𝑥) − 𝑄(𝑥) (𝑥 − 𝑥%)! = 0 Se f derivabile n volte in 𝑥%, un polinomio con tali proprietà esiste ed è unico: 𝑄(𝑥) = 𝑃!(𝑥) = ' 𝑓(#)(𝑥%) 𝑘! (𝑥 − 𝑥%)# ! #$% Osservazione Il teorema afferma che se f derivabile n volte in 𝑥%, allora: 𝑓(𝑥) = ' 𝑓(#)(𝑥%) 𝑘! (𝑥 − 𝑥%)# ! #$% + 𝑜((𝑥 − 𝑥%)!) Per 𝑛 = 1 è vero anche il viceversa. Per 𝑛 ≥ 2 non vale il viceversa. POLINOMI DI TAYLOR DELLE FUNZIONI ELEMENTARI Corollario (del teorema di Taylor-Peano) Se 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅, 𝑥% ∈ (𝑎, 𝑏), e f derivabile n volte (almeno due) in 𝑥%, e 𝑓R(𝑥%) = 𝑓RR(𝑥%) = ⋯ = 𝒇𝒏"𝟏(𝒙𝟎) = 𝟎 e 𝒇𝒏(𝒙𝟎) ≠ 𝟎 Allora 1) Se n è dispari, 𝒙𝟎 è un flesso 2) Se n è pari: a. 𝒇𝒏(𝒙𝟎) > 𝟎, 𝒙𝟎 è un minimo b. 𝒇𝒏(𝒙𝟎) < 𝟎, 𝒙𝟎 è un massimo Il teorema di Taylor-Peano descrive il comportamento locale di f per 𝑥 → 𝑥%. Siamo però interessati ad avere anche informazioni “globali” su f, cioè valide su un intervallo, per poter approssimare f con i corrispondenti polinomi di Taylor, avendo informazioni sull’errore dell’approssimazione in ogni punto dell’intervallo. FORMULA DI TAYLOR CON RESTO SECONDO LAGRANGE (TEOREMA 4.19) Teorema Sia 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅, derivabile 𝑛 + 1 volte in [𝑎, 𝑏]. Sia 𝑥% ∈ [𝑎, 𝑏]. Allora ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] esiste 𝑐 compreso tra 𝑥 e 𝑥% tale che: 𝑓(𝑥) = 𝑃!(𝑥) + 𝑓!D&(𝑐) (𝑛 + 1)! (𝑥 − 𝑥%)!D& = ' 𝑓(#)(𝑥%) 𝑘! ! #$% (𝑥 − 𝑥%)# + 𝑓!D&(𝑐) (𝑛 + 1)! (𝑥 − 𝑥%)!D& Osservazione Per 𝑛 = 0 segue dal teorema del valor medio di Lagrange. Applicazioni della formula di Taylor: 𝒆 è irrazionale 𝑒 = lim !→C (1 + & ! + ! quindi 𝑒 è irrazionale: 𝑒 ∉ 𝑄 𝑓(𝑥) = 𝑒( è derivabile infinite volte con 𝑓(#) = 𝑒( , ∀𝑥 ∈ 𝑅, ∀𝑘 ∈ 𝑁 Per Taylor-Lagrange a ordine n con 𝑥% = 0 vale: 𝑒( = 1 + ( &! + (# .! + (2 A! +⋯+ (! !! + m5 (!D&)! 𝑥!D& per qualche 𝑐 compreso tra 0 e 𝑥 Per assurdo, il numero 𝑒 è razionale ] ! = 𝑒 = 𝑒& = 1 + 1 + & . + & A! +⋯+ & !! + m5 (!D&)! , con 0 ≤ 𝑐 ≤ 1 Moltiplicando tutto per 𝑛!, si ottiene che tutti i termini, tranne l’ultimo, sono interi positivi. L’ultimo addendo non è intero: m5 !D& , con 𝑛 + 1 > 3 e 𝑐 ∈ [0,1] Quindi 𝑒H ∈ [1, 𝑒] ⊂ (0, 2,8) Quindi: m 5 !D& ∈ (0,1) Assurdo RELAZIONE TRA O-PICCOLO E ASINTOTICO (TEOREMA 4.15*) 𝑓 ~ 𝑔 per 𝑥 → 𝑥% se lim (→(* V(() d(() = 1 𝑓 = 𝑜(𝑔) per 𝑥 → 𝑥% se lim (→(* V(() d(() = 0 ALGEBRA O-PICCOLI Per 𝑥 → 𝑥% - 𝑓 ~ 𝑔 se 𝑓 = 𝑔 + 𝑜(𝑔) - 𝑜(𝑓) ± 𝑜(𝑓) = 𝑜(𝑓) - Se 𝑓 ~ 𝑔, allora 𝑜(𝑓) = 𝑜(𝑔) - 𝑐 ∗ 𝑜(𝑓) = 𝑜(𝑐 ∗ 𝑓) = 𝑜(𝑓) ∀𝑐 ∈ 𝑅\{0} - 𝑜(𝑓) ∗ 𝑜(𝑔) = 𝑜(𝑓 ∗ 𝑔) = 𝑓 ∗ 𝑔 ∗ 𝑜(1) - 𝑓 ∗ 𝑜(𝑔) = 𝑜(𝑓 ∗ 𝑔) = 𝑓 ∗ 𝑔 ∗ 𝑜(1) Inoltre, ad esempio: - 𝑜(𝑥) + 𝑜(𝑥.) = 𝑜(𝑥) per 𝑥 → 0 - 𝑜(𝑥) + 𝑜(𝑥.) = 𝑜(𝑥.) per 𝑥 → +∞ SERIE DI TAYLOR Definizione Sia 𝑓: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅, I intervallo, 𝑥% ∈ 𝐼, f derivabile in 𝑥% infinite volte. La serie di Taylor di f centrata in 𝑥% è la serie: ' 𝒇(𝒌)(𝒙𝟎) 𝒌! C 𝒌$𝟎 (𝒙 − 𝒙𝟎)𝒌 Osservazione La successione delle somme parziali corrispondenti è la successione dei polinomi di Taylor di f di ordine n centrati in 𝑥%. 𝑃q(𝑥) = ' 𝑓(#)(𝑥%) 𝑘! q #$% (𝑥 − 𝑥%)# Osservazione - Non è detto che la serie di Taylor di f centrata in 𝑥% converga per 𝑥 ≠ 𝑥% - Se la serie di Taylor converge per 𝑥 ≠ 𝑥% , non è detto che converga ad 𝑓(𝑥) Osservazione Sia 𝑓: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅, I intervallo, 𝑥% ∈ 𝐼, f derivabile in 𝑥% infinite volte. Allora ∀𝑛 ∈ 𝑁 possiamo scrivere: 𝑓(𝑥) −' 𝑓(#)(𝑥%) 𝑘! ! #$% (𝑥 − 𝑥%)# = 𝑓(𝑥) − 𝑃!(𝑥) = 𝑅q(𝑥) dove chiamiamo 𝑅q(𝑥) resto n-esimo della serie. Se per qualche 𝑥 ∈ 𝐼 si riesce a dimostrare che lim !→C 𝑅q(𝑥) = 0, allora: 0 = lim !→C 𝑅!(𝑥) = lim !→C 𝑓(𝑥) − 𝑃!(𝑥) Quindi 𝑓(𝑥) = lim !→C ' 𝑓(#)(𝑥%) 𝑘! ! #$% (𝑥 − 𝑥%)# = ' 𝑓(#)(𝑥%) 𝑘! C #$% (𝑥 − 𝑥%)# Cioè la serie converge e la sua somma è pari a 𝑓(𝑥). Osservazione Notare che nelle ipotesi: ∀𝑛 ∈ 𝑁 vale 𝑅q(𝑥) = 𝑜(𝑥 − 𝑥%)!) per 𝑥 → 𝑥% E inoltre (per 𝑥 < 𝑐 < 𝑥%) 𝑅!(𝑥) = 𝑓(!D&)(𝑐) (𝑛 + 1)! (𝑥 − 𝑥%)!D& SERIE DI TAYLOR DELL’ESPONENZIALE, DEL SENO E DEL COSENO Esempi 𝒆𝒙 = ' 𝒙𝒌 𝒌! C 𝒌$𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = ' (−𝟏)𝒌𝒙𝟐𝒌 (𝟐𝒌)! C 𝒌$𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = ' (−𝟏)𝒌𝒙𝟐𝒌D𝟏 (𝟐𝒌 + 𝟏)! C 𝒌$𝟎 𝟏 𝟏 − 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬𝒙 = '𝒙𝒌 C 𝒌$𝟎 ESPONENZIALE COMPLESSO (TEOREMA 5.6) Teorema La serie di numeri complessi (𝑧 ∈ 𝐶) ' 𝑧# 𝑘! C #$% Converge assolutamente in 𝐶 (cioè ∑ |/|& #! C #$% converge a 𝑒|/| in 𝑅) e quindi converge anche semplicemente in R. Definizione Definiamo 𝑒/: 𝑒/ =' 𝑧# 𝑘! C #$% Osservazione Si può dimostrare che 𝑒/'D/# = 𝑒/' + 𝑒/# Formalmente: è𝒂𝒏 C 𝒏$𝟎 = 𝒆∑ 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒏8 𝒏7𝟎 Esempio 𝑎! = (−1)! 𝑆q = '𝑎! q !$% = 101 → 𝑖𝑟𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 SERIE GEOMETRICA (*) Una serie geometrica è una serie tale per cui il rapporto tra due termini successivi è costante '𝒒𝒏 C 𝒏$𝟎 𝑆q = '𝑞! q !$% = 1 + 𝑞 + 𝑞. +⋯𝑞q Osserviamo che: 𝑞 ∗ 𝑆q = 𝑞 + 𝑞. +⋯+ 𝑞qD& 𝑆q − 𝑞𝑆q = 1 − 𝑞qD& 𝑆q(1 − 𝑞) = 1 − 𝑞qD& 𝑆q = 1 − 𝑞qD& 1 − 𝑞 Quindi '𝒒𝒏 C 𝒏$𝟎 = ⎩ ⎨ ⎧𝒔𝒆 |𝒒| < 𝟏, è 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝟏 𝟏 − 𝒒 𝒔𝒆 𝒒 ≥ 𝟏, è 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 +∞ 𝒔𝒆 𝒒 ≤ −𝟏, è 𝒊𝒓𝒓𝒆𝒈𝒐𝒍𝒂𝒓𝒆 SERIE TELESCOPICHE '𝒂𝒏 C 𝒏$𝟎 , 𝒄𝒐𝒏 𝒂𝒏 = 𝒃𝒏 − 𝒃𝒏D𝟏 𝑆q = '(𝑏! − 𝑏qD&) q !$% Se ∃ lim q→C 𝑏q = 𝑏 ∈ ℝ∗ Allora lim q→C 𝑆q = limq→C (𝑏% − 𝑏qD&) = 𝑏% − 𝑏 Quindi '𝑎! C !$% = lim q→C 𝑆q = 𝑏% − 𝑏 SERIE DI MENGOLI (*) È un esempio di serie telescopica ' 𝟏 𝒏(𝒏 + 𝟏) = 𝟏 C 𝒏$𝟎 𝑎! = 1 𝑛 − 1 𝑛 + 1 → '¡ 1 𝑛 − 1 𝑛 + 1¢ = 1 − 1 𝑁 + 1 → lim q→C 𝑆q = 1 q !$% SERIE ARMONICA (*), SERIE ARMONICA GENERALIZZATA Serie armonica: ' 1 𝑛 C !$& Serie armonica generalizzata (converge se a > 1, diverge se a < 1): ' 1 𝑛' C !$& Serie armonica generalizzata 2: ' 𝟏 𝒏𝒂 𝐥𝐨𝐠(𝒏)𝒃 C 𝒏$𝟏 Converge se: - 𝒂 > 𝟏, ∀𝒃 ∈ ℝ - 𝒂 = 𝟏, 𝒃 > 𝟏 Diverge se: - 𝒂 < 𝟏, ∀𝒃 ∈ ℝ - 𝒂 = 𝟏, 𝒃 ≤ 𝟏 CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA DI UNA SERIE (TEOREMA 5.1*) CONDIZIONE NECESSARIA, MA NON SUFFICIENTE (es. serie armonica) Data una successione: se ∑ 𝒂𝒏C 𝒏$𝟎 converge, allora 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C 𝒂𝒏 = 𝟎 Se il limite non esiste, oppure non è 0, la serie NON CONVERGE. SERIE CONVERGENTE E RESTO N-ESIMO (TEOREMA 5.2) Data una successione, se ∑ 𝑎!C !$% converge/diverge, allora per qualsiasi N naturale risulta convergente anche 𝑅q = ' 𝑎! C !$qD& Se la serie converge, il limite di RN è 0. 𝑅q = ' 𝑎! C !$qD& = 𝑅q = '𝑎! C !$% −'𝑎! q !$% = 𝑆 − 𝑆q Si chiama resto n-esimo della serie. SERIE A TERMINI NON-NEGATIVI Se una serie è a termini positivi (definitivamente), allora essa converge (a S) o diverge (∞). È regolare. CRITERI DEL CONFRONTO (*) Date due successioni, tali che (definitivamente) sia 0 ≤ 𝑎! ≤ 𝑏!, allora 1) Se ∑ 𝒃𝒏C 𝒏$𝟎 converge, anche ∑ 𝒂𝒏C 𝒏$𝟎 converge 2) Se ∑ 𝒂𝒏C 𝒏$𝟎 diverge, anche ∑ 𝒃𝒏C 𝒏$𝟎 diverge Inoltre, dalle successioni alle serie, si conserva la disuguaglianza. CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO (*) Date due successioni a termini strettamente positivi (definitivamente). Sia 𝒂𝒏~ 𝒃𝒏, allora le serie convergono entrambe (non allo stesso valore) o divergono entrambe (a +∞). CRITERIO DEL RAPPORTO (*) Data una successione a termini strettamente positivi (definitivamente) e supponiamo esista: 𝑙 = lim !→C '!(' '! Allora 1) Se 𝒍 > 𝟏, la serie diverge a +∞ e il limite della successione è +∞ 2) Se 𝟎 ≤ 𝒍 < 𝟏, la serie converge e il limite della successione è 0 CRITERIO DELLA RADICE Data una successione a termini definitivamente positivi ed esista 𝒍 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C H𝒂𝒏 Allora 1) Se 𝒍 > 𝟏, la serie diverge a +∞ e il limite della successione è +∞ 2) Se 𝟎 ≤ 𝒍 < 𝟏, la serie converge e il limite della successione è 0 Se 𝑙 = 1, non si può concludere nulla, infatti esistono sia serie convergenti che serie divergenti tali che 𝑙 = 1. SERIE A TERMINI DI SEGNO VARIABILE Una serie è detta alternata se il segno di ciascun termine è opposto rispetto al termine successivo. CONVERGENZA ASSOLUTA DI UNA SERIE La serie: '𝑎! C !$% si dice assolutamente convergente se la serie '|𝒂𝒏| C 𝒏$𝟎 è convergente, cioè ∃𝑀 = lim !→C '|𝑎!| C !$% ∈ ℝ CRITERIO DELLA CONVERGENZA ASSOLUTA (TEOREMA 5.3*) Una serie assolutamente convergente è anche una serie convergente (semplicemente). In tal caso: |' 𝑎!| ≤ ' |𝑎!| C !$& C !$& Non vale però il contrario. Una serie convergente (convergenza semplice) non è detto che sia anche una serie assolutamente convergente. (esempio: (-1)^n/n^a) CRITERIO DI LEIBNIZ (TEOREMA 5.4) Criterio di convergenza applicabile a serie a termini di segno alterno. Data la serie di termini di segno alterno: '(−𝟏)𝒏𝒂𝒏 C 𝒏$𝟎 Con: - 𝑎! ≥ 0 (definitivamente) - 𝑎! decrescente (definitivamente): 𝑎!D& ≤ 𝑎! - lim !→C 𝑎! = 0 NECESSARIA Allora la serie converge semplicemente, cioè 𝑆 = '(−1)!𝑎! C !$% ∈ ℝ Inoltre - 𝑆q = ∑ (−1)!𝑎!.q !$% si approssima a S per eccesso - 𝑆q = ∑ (−1)!𝑎!.qD& !$% si approssima a S per difetto - |𝑅q| = |𝑆 − 𝑆q| ≤ |𝑎!D&| INTEGRALI DEFINITI Problema: Data 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅, [𝑎, 𝑏] intervallo chiuso e limitato, e f limitata in [𝑎, 𝑏], come si può definire e calcolare l’area sottesa al grafico? Area D, con 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅.: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)} Più in generale l’integrale definito serve a definire e a calcolare le somme di infiniti termini infinitesimi, ciascuno dei quali è singolarmente trascurabile. DEFINIZIONE DELL’INTEGRALE DI RIEMANN TRAMITE LE SOMME DI CAUCHY-RIEMANN Definiamo integrale di Riemann per una 𝒇: [𝒂, 𝒃] → 𝑹 limitata. Dividiamo l’intervallo [𝑎, 𝑏] in n parti di uguale lunghezza: 𝒃"𝒂 𝒏 tramite i punti: 𝑥% = 𝑎 < 𝑥& < 𝑥. < ⋯ < 𝑥!"& < 𝑥! = 𝑏 i quali sono equi spaziati e a distanza ,"' ! dal precedente e dal successivo (𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛 ≥ 1) Quindi avremo: 𝑥# = 𝑎 + 𝑘 𝑏 − 𝑎 𝑛 , 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0,1, … , 𝑛 In ciascuno di questi intervalli che otteniamo, scegliamo arbitrariamente un punto: 𝒕𝒌 (𝒏) ∈ [𝑥#"&, 𝑥#], 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 1,… , 𝑛 Costruiamo la somma di Cauchy-Riemann, così definita: 𝒮! ='( ! #$& 𝑥# − 𝑥#"&) ∗ 𝑓(𝑡# (!)) = 𝒃 − 𝒂 𝒏 '𝒇(𝒕𝒌 (𝒏)) 𝒏 𝒌$𝟏 Ad ogni passo, l’intervallo [𝑎, 𝑏] viene diviso in n parti uguali tramite i punti 𝑥%, … , 𝑥!; in ciascun intervallo [𝑥#"&, 𝑥#] si sceglie arbitrariamente 𝑡# (!) ∈ [𝑥#"&, 𝑥#], 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 1,… , 𝑛. Quindi al variare di n variano: 𝑥%, … , 𝑥! e 𝑡& (!), … , 𝑡! (!). La somma di Cauchy-Riemann da un valore approssimato di ciò che vogliamo chiamare integrale della funzione nell’intervallo. 𝒮! è ottenuta come somma delle aree dei rettangoli 𝑅# (!) di base (𝑥# − 𝑥#"&) e altezza 𝑓 (𝑡# (!)+ , 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 1,… , 𝑛. 𝒮! = '𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑖 ! #$& = 𝑏 − 𝑎 𝑛 '𝑓(𝑡# (!)) ! #$& Definizione Data 𝒇: [𝒂, 𝒃] → 𝑹 limitata in [𝑎, 𝑏]. Diciamo che essa è integrabile secondo Riemann in [𝑎, 𝑏] se, detta 𝒮! una qualsiasi successione di somme di Cauchy-Riemann di f (costruita come sopra), esiste, finito: 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C 𝓢𝒏 = 𝑳 ∈ 𝑹 E, inoltre, tale limite, non deve dipendere dalla particolare scelta dei punti 𝑡# (!) ∈ [𝑥#"&, 𝑥#], 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 1,… , 𝑛 operata ad ogni passo n della costruzione. In tal caso si definisce: 𝑳 = ó 𝒇(𝒙) 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 Osservazione (definizione dell’integrale di Riemann tramite somme superiori e somme inferiori) Una definizione alternativa può essere ottenuta considerando la successione delle somme superiori e quella delle somme inferiori: 𝑆! = '( ! #$& 𝑥# − 𝑥#"&) ∗ sup 𝑓[(&,',(&] = 𝑏 − 𝑎 𝑛 ' sup𝑓[(&,',(&] ! #$& 𝑠! ='( ! #$& 𝑥# − 𝑥#"&) ∗ inf 𝑓[(&,',(&] = 𝑏 − 𝑎 𝑛 ' inf 𝑓[(&,',(&] ! #$& In questo caso, f è integrabile se e solo se: 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C 𝑺𝒏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→C 𝒔𝒏 = 𝑳 ∈ 𝑹 In tal caso: 𝐿 = ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 Definizione Se 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 è Riemann integrabile in [𝑎, 𝑏] e 𝑓 ≥ 0 nell’intervallo, definiamo: Area (D) = ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 Osservazione Se 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 è Riemann integrabile in [𝑎, 𝑏] e può essere negativa in [𝑎, 𝑏] l’area data è un’area con segno. Siccome le aree non possono essere negative, si può considerare: ó |𝑓(𝑥)| , ' 𝑑𝑥 Altrimenti, ad esempio: ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷& − 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷. + 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷A Esempio: funzione costante Se 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 è costante: 𝑓(𝑥) = 𝑐, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑐 ∈ 𝑅 𝒮! = 𝑏 − 𝑎 𝑛 '𝑐 ! #$& = 𝑏 − 𝑎 𝑛 ∗ 𝑛𝑐 = 𝑐(𝑏 − 𝑎) Poiché è indipendente dalla scelta dei punti operata al passo n della costruzione, per definizione, una funzione costante è integrabile in [𝑎, 𝑏]. Esempio: funzione non integrabile secondo Riemann 𝑓: [0,1] → 𝑅 𝑓(𝑥) = Ú 1 𝑥 ∈ [0,1] ∩ 𝑄 0 𝑥 ∈ [0,1] \𝑄 Per ogni 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛 ≥ 1. Costruiamo una successione di somme di Cauchy-Riemann: - Se scegliamo punti appartenenti all’insieme Q 𝒮! = 1 𝑛 '𝑓(𝑡# (!)) ! #$& = 1 𝑛 '1 ! #$& = 1 Quindi: lim !→C 𝒮! = 1 - Se scegliamo punti non appartenenti all’insieme Q 𝒮′! = 1 𝑛 '𝑓(𝑡# (!)) ! #$& = 1 𝑛 '0 ! #$& = 0 Quindi: lim !→C 𝒮′! = 0 Poiché i due limiti sono diversi, f non è Riemann integrabile in [0,1]. CLASSI DI FUNZIONI INTEGRABILI (TEOREMA 6.1, TEOREMA 6.2, TEOREMA 6.3) TEOREMA Sia 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 monotona. Allora f è Riemann integrabile in [𝑎, 𝑏]. Osservazione Sia che f sia crescente o decrescente, f monotona implica f limitata. TEOREMA Sia 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 continua in [𝑎, 𝑏]. Allora f è Riemann integrabile in [𝑎, 𝑏]. Osservazione Se la funzione è continua in [𝑎, 𝑏], allora è limitata per teorema di Weierstrass. TEOREMA Siano 𝑓&: [𝑎, 𝑐] → 𝑅, 𝑓.: [𝑐, 𝑏] → 𝑅, con 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, entrambi Riemann integrabili sui rispettivi domini. Allora: ∀𝛼 ∈ 𝑅, 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 𝑓(𝑥) = Ÿ 𝑓&(𝑥) 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑐) 𝛼 𝑓.(𝑥) 𝑥 ∈ (𝑐, 𝑏] è integrabile secondo Riemann. Osservazione Risultato analogo vale se abbiamo un numero finito di punti interni all’intervallo. PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DI RIEMANN (Teorema 6.4) TEOREMA (LINEARITÀ DELL’INTEGRALE) Siano 𝑓, 𝑔: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 Riemann integrabili in [𝑎, 𝑏] e 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅. Allora 𝛼𝑓 + 𝛽𝑔 ∶ [𝑎, 𝑏] → 𝑅 è Riemann integrabile in [𝑎, 𝑏] e vale: ó 𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥) , ' 𝑑𝑥 = 𝛼ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 + 𝛽ó 𝑔(𝑥) , ' 𝑑𝑥 TEOREMA (ADDITIVITÀ SUL DOMINIO) Data 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅, 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏]. Allora f è Riemann integrabile in [𝑎, 𝑏] se e solo se lo è separatamente in [𝑎, 𝑐] e [𝑐, 𝑏]. Inoltre, vale: ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 = ó 𝑓(𝑥) H ' 𝑑𝑥 + ó 𝑓(𝑥) , H 𝑑𝑥 Convenzione Se 𝑎 < 𝑏, si pone: ó 𝑓(𝑥) ' , 𝑑𝑥 = −ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 TEOREMA (FUNZIONE COMPOSTA) Sia 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 è Riemann integrabile in [𝑎, 𝑏]. Sia 𝜑: [𝑐, 𝑑] → 𝑅 continua su [𝑐, 𝑑] e tale che 𝐼𝑚 𝑓 ⊆ [𝑐, 𝑑]. Allora la funzione composta 𝜑 ∘ 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 è Riemann integrabile in [𝑎, 𝑏]. Corollario Se 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 è Riemann integrabile in [𝑎, 𝑏], allora lo sono anche: |𝑓|, 𝑓!, |𝑓|!, 𝑒V , sin 𝑓 , … Corollario Se 𝑓, 𝑔: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 sono Riemann integrabili in [𝑎, 𝑏], allora anche 𝑓 ∗ 𝑔: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 lo è. Osservazione Se, inoltre, oltre ad essere Riemann integrabile in senso proprio in [𝑎, 𝑘] ∀𝑘 ∈ (𝑎, 𝑏), f ammette primitiva 𝐹: [𝑎, 𝑏) allora, per teorema fondamentale del calcolo integrale I: ó 𝑓(𝑥) # ' 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑘) − 𝐹(𝑎) Quindi ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 = lim #→,, ó 𝑓(𝑥) # ' 𝑑𝑥 = lim #→,, 𝐹(𝑘) − 𝐹(𝑎) Analogamente… Definizione Sia 𝑓: (𝑎, 𝑏] → 𝑅, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 ∈ 𝑅 ∪ {−∞}, 𝑎 < 𝑏; f possibilmente illimitata (per 𝑥 → 𝑎D). Sia f Riemann integrabile in [ℎ, 𝑏], ∀ℎ ∈ (𝑎, 𝑏). Definiamo ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 = lim #→,, ó 𝑓(𝑥) # ' 𝑑𝑥 Se tale limite esiste in 𝑅∗. - Se il limite esiste finito, f si dice Riemann integrabile in senso improprio in (𝑎, 𝑏] e ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 converge. - Se il limite esiste infinito, f non è Riemann integrabile in senso improprio in (𝑎, 𝑏] e ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 diverge. - Se il limite non esiste, f non è Riemann integrabile in senso improprio in (𝑎, 𝑏] e ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 non esiste Osservazione Se, inoltre, oltre ad essere Riemann integrabile in senso proprio in [ℎ, 𝑏] ∀ℎ ∈ (𝑎, 𝑏), f ammette primitiva 𝐹: (𝑎, 𝑏] allora, per teorema fondamentale del calcolo integrale I: ó 𝑓(𝑥) , _ 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(ℎ) Quindi ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 = lim #→'( ó 𝑓(𝑥) , _ 𝑑𝑥 = lim #→'( 𝐹(𝑏) − 𝐹(ℎ) Esempi ó 1 𝑥\ & % 𝑑𝑥 = 1𝐶𝑂𝑁𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸 𝑠𝑒 𝛼 < 1 𝐷𝐼𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸 𝑠𝑒 𝛼 ≥ 1 Infatti - Se 𝛼 = 1 ó 1 𝑥 & % 𝑑𝑥 = lim _→% ó 1 𝑥 & _ 𝑑𝑥 = lim _→% [log 𝑥]_& = lim _→% (− log ℎ) = +∞ - Se 𝛼 ≠ 1 ó 1 𝑥 \ & % 𝑑𝑥 = lim _→% ó 1 𝑥 \ & _ 𝑑𝑥 = lim _→% [ 𝑥&" \ 1 − 𝛼 ]_& = lim _→% ( 1 1 − 𝛼 − ℎ&" \ 1 − 𝛼 ) = +∞ Osservazione ó 1 (𝑥 − 𝑎)\ , ' 𝑑𝑥 = 1𝐶𝑂𝑁𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸 𝑠𝑒 𝛼 < 1 𝐷𝐼𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸 𝑠𝑒 𝛼 ≥ 1 Osservazione ó 1 |𝑥 − 𝑏|\ , ' 𝑑𝑥 = 1𝐶𝑂𝑁𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸 𝑠𝑒 𝛼 < 1 𝐷𝐼𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸 𝑠𝑒 𝛼 ≥ 1 Osservazione ó 1 𝑥\|log 𝑥|[ & . % 𝑑𝑥 = Ú𝐶𝑂𝑁𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸 𝑠𝑒 𝛼 < 1; 𝑠𝑒 𝛼 = 1, 𝛽 > 1 𝐷𝐼𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸 𝑠𝑒 𝛼 > 1; 𝑠𝑒 𝛼 = 1, 𝛽 ≤ 1 Osservazione ó 1 𝑥\ C & 𝑑𝑥 = 1𝐶𝑂𝑁𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸 𝑠𝑒 𝛼 > 1 𝐷𝐼𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸 𝑠𝑒 𝛼 ≤ 1 Osservazione ó 1 𝑥\(log 𝑥)[ C . 𝑑𝑥 = Ú𝐶𝑂𝑁𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸 𝑠𝑒 𝛼 > 1; 𝑠𝑒 𝛼 = 1, 𝛽 > 1 𝐷𝐼𝑉𝐸𝑅𝐺𝐸 𝑠𝑒 𝛼 < 1; 𝑠𝑒 𝛼 = 1, 𝛽 ≤ 1 Definizione Sia 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅∗, 𝑎 < 𝑏 Riemann integrabile in [ℎ, 𝑘], ∀𝑘, ℎ con ℎ < 𝑘 e ℎ, 𝑘 ∈ (𝑎, 𝑏). Definiamo allora ó 𝒇(𝒙) 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒌→𝒃, 𝒉→𝒂( ó 𝒇(𝒙) 𝒌 𝒉 𝒅𝒙 Se tale doppio limite esiste in 𝑅∗. - Se il limite esiste finito, f si dice Riemann integrabile in senso improprio in (𝑎, 𝑏) e ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 converge. - Se il limite esiste infinito, f non è Riemann integrabile in senso improprio in (𝑎, 𝑏) e ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 diverge. - Se il limite non esiste, f non è Riemann integrabile in senso improprio in (𝑎, 𝑏) e ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 non esiste. Osservazione Dire che f sia Riemann integrabile in senso improprio in (𝑎, 𝑏) equivale a chiedere che preso un punto arbitrario 𝒄 ∈ (𝒂, 𝒃), f sia Riemann integrabile in senso improprio separatamente in (𝑎, 𝑐] e in [𝑐, 𝑏) e: ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 = ó 𝑓(𝑥) H ' 𝑑𝑥 + ó 𝑓(𝑥) , H 𝑑𝑥 Quindi lim #→,, _→'( ó 𝑓(𝑥) # _ 𝑑𝑥 = lim _→'( ó 𝑓(𝑥) H _ 𝑑𝑥 + lim #→,, ó 𝑓(𝑥) # H 𝑑𝑥 Osservazione - Se ∫ 𝑓(𝑥)H ' 𝑑𝑥 o ∫ 𝑓(𝑥), H 𝑑𝑥 non esiste, ∫ 𝑓(𝑥), ' 𝑑𝑥 non esiste. - Se ∫ 𝑓(𝑥)H ' 𝑑𝑥 e ∫ 𝑓(𝑥), H 𝑑𝑥 divergono discordi in segno, ∫ 𝑓(𝑥), ' 𝑑𝑥 non esiste. - Se ∫ 𝑓(𝑥)H ' 𝑑𝑥 e ∫ 𝑓(𝑥), H 𝑑𝑥 divergono concordi in segno, ∫ 𝑓(𝑥), ' 𝑑𝑥 diverge. - Se uno tra ∫ 𝑓(𝑥)H ' 𝑑𝑥, ∫ 𝑓(𝑥), H 𝑑𝑥 diverge e l’altro converge, ∫ 𝑓(𝑥), ' 𝑑𝑥 diverge. Definizione Data 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅 definita in (𝑎, 𝑏), 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅∗, 𝑎 < 𝑏 tranne che negli N+1 punti: 𝑎 = 𝑧% < 𝑧& < 𝑧. < ⋯ < 𝑧q"& < 𝑧q = 𝑏 Supponiamo che f sia Riemann integrabile in senso proprio in ogni intervallo [ℎ, 𝑘] ⊂ (𝑎, 𝑏) che non contenga alcuno dei punti sopra citati. Allora diremo che f è Riemann integrabile in senso improprio in (𝒂, 𝒃) se e solo se lo è su ciascuno degli intervalli ­𝑧n"&, 𝑧n® 𝑒 𝑗 = 1,… , 𝑁 E ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 ='ó 𝑓(𝑥) /9 /9,' 𝑑𝑥 q n$& = ó 𝑓(𝑥) /' ' 𝑑𝑥 +⋯+ó 𝑓(𝑥) , /6,' 𝑑𝑥 Nota ó 𝑓(𝑥) /9 /9,' 𝑑𝑥 = lim #→/9,', _→/9( ó 𝑓(𝑥) # _ 𝑑𝑥 Osservazione - Se almeno uno degli integrali ∫ 𝑓(𝑥)/9 /9,' 𝑑𝑥 non esiste, ∫ 𝑓(𝑥), ' 𝑑𝑥 non esiste. - Se almeno uno degli integrali ∫ 𝑓(𝑥)/9 /9,' 𝑑𝑥 divergono discordi, ∫ 𝑓(𝑥), ' 𝑑𝑥 non esiste. - Se almeno uno tra i ∫ 𝑓(𝑥)/9 /9,' 𝑑𝑥 diverge e tutti gli altri integrali divergono concordi in segno, anche ∫ 𝑓(𝑥), ' 𝑑𝑥 diverge. In ogni caso f non è integrabile in senso improprio PROPRIETÀ DEGLI INTEGRALI GENERALIZZATI Osservazione Valgono per gli integrali impropri le proprietà degli integrali propri (integrale di Riemann definito) 1) Linearità Se f, g sono integrabili in (𝑎, 𝑏) e 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅, allora: ó 𝛼𝑓(𝑥) , ' + 𝛽𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝛼ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 + 𝛽ó 𝑔(𝑥) , ' 𝑑𝑥 2) Additività sul dominio Sia f integrabile in (𝑎, 𝑐) e (𝑐, 𝑏), allora f è integrabile in (𝑎, 𝑏) e vale: ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 = ó 𝑓(𝑥) H ' 𝑑𝑥 +ó 𝑓(𝑥) , H 𝑑𝑥 3) Positività Se esiste ∫ 𝑓(𝑥), ' 𝑑𝑥, e se 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), allora: ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 ≥ 0 4) Monotonia Se esistono ∫ 𝑓(𝑥), ' 𝑑𝑥 e ∫ 𝑔(𝑥), ' 𝑑𝑥, 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), allora: ó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥 ≥ ó 𝑔(𝑥) , ' 𝑑𝑥 5) Formule dell’integrale per parti 6) Formule dell’integrale per sostituzione Inoltre (definito I come un intervallo qualsiasi) ÿó 𝑓(𝑥) , ' 𝑑𝑥ÿ ≤ ó |𝑓(𝑥)| , ' 𝑑𝑥 Osservazione - 𝒇 integrabile in senso proprio in [𝒂, 𝒃] à |𝒇| integrabile in senso proprio in [𝒂, 𝒃] Il viceversa è falso. Ad esempio: 𝑓(𝑥) = Ú 1 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [0,1] ∩ 𝑄 −1 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [0,1]\𝑄 𝑓(𝑥) non è integrabile nell’intervallo, ma |𝑓(𝑥)| = 1 lo è. - |𝒇| integrabile in senso improprio in [𝒂, 𝒃] à 𝒇 integrabile in senso improprio in [𝒂, 𝒃] Il viceversa è falso. Ad esempio: ó sin 𝑥 𝑥 C & 𝑑𝑥 converge,ó 7 sin 𝑥 𝑥 7 𝑑𝑥 C & diverge Osservazione Un collegamento tra serie e integrali impropri. '𝑎! C !$& ↭ ó 𝑔(𝑥) C % 𝑑𝑥 Con 𝑔(𝑥) = 𝑎!, ∀𝑥 ∈ [𝑛 − 1, 𝑛], 𝑛 ∈ 𝑁 Osservazione ó 𝑓(𝑥) C ^ 𝑑𝑥 ≥ 𝑓(𝑀 + 1) + 𝑓(𝑀 + 2) +⋯ = ' 𝑓(𝑛) ^D& ó 𝑓(𝑥) C ^ 𝑑𝑥 ≤ 𝑓(𝑀) + 𝑓(𝑀 + 1) + 𝑓(𝑀 + 2) +⋯ ='𝑓(𝑛) ^ TEOREMA (DEL CONFRONTO INTEGRALE), SERIE ARMONICA GENERALIZZATA Siano 𝑀 ∈ 𝑁, 𝑓: [𝑀,+∞) → 𝑅, f decrescente, 𝑓 ≥ 0 𝑖𝑛 [𝑀,+∞). (f in particolare è Riemann integrabile in senso proprio su [𝑀, 𝑘], ∀𝑘 > 𝑀) Allora: ' 𝒇(𝒏) C 𝒏$𝑴 𝐜𝐨𝐧𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞/𝐝𝐢𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞 ⟺ ó 𝒇(𝒙) C 𝑴 𝒅𝒙 𝐜𝐨𝐧𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞/𝐝𝐢𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞 Inoltre: ó 𝑓(𝑥) C ^ 𝑑𝑥 ≤ ' 𝑓(𝑛) C !$^ ≤ 𝑓(𝑀) + ó 𝑓(𝑥) C ^ 𝑑𝑥 FUNZIONI INTEGRALI Definizione Data 𝑓: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅, I intervallo, 𝑓 Riemann integrabile in senso proprio o improprio in I in 𝑥% ∈ 𝐼. Definiamo, ∀𝑥 ∈ 𝐼, funzione integrale di 𝑓, 𝐹: 𝐼 ⊆ 𝑅 → 𝑅 𝑭(𝒙) = ó 𝒇(𝒕) 𝒙 𝒙𝟎 𝒅𝒕 TEOREMA (FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE II) (TEOREMA 6.10*) Sia 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 una funzione Riemann integrabile in senso proprio o improprio in [𝑎, 𝑏] e 𝑥% ∈ [𝑎, 𝑏]. Sia 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)( (* 𝑑𝑡, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], allora: 1) 𝐹: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 continua in [𝑎, 𝑏] 2) Se f è continua in ?̅? ∈ [𝑎, 𝑏] allora F è derivabile in ?̅? e vale 𝐹R(?̅?) = 𝑓(?̅?) Osservazione Se 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 continua in [𝑎, 𝑏] allora F è derivabile in [𝑎, 𝑏] e 𝐹R(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Cioè 𝐹(𝑥) è primitiva di 𝑓(𝑥) in [𝑎, 𝑏]. Quindi in queste ipotesi, tutte e sole le primitive di 𝑓(𝑥) in [𝑎, 𝑏] sono della forma: 𝐺(𝑥) = ó 𝑓(𝑡) ( ' 𝑑𝑡 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 ∈ 𝑅 Segue, dal teorema fondamentale del calcolo integrale I, che ∫ 𝑓(𝑡), ' 𝑑𝑡 = 𝐺(𝑏) − 𝐺(𝑎). Osservazione Se 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 è derivabile in [𝑎, 𝑏] con derivata continua, allora ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]: 𝑓(𝑥) = ó 𝑓′(𝑡) ( ' 𝑑𝑡 + 𝑓(𝑎) Infatti, 𝑓(𝑥) e ∫ 𝑓′(𝑡)( ' 𝑑𝑡 + 𝑓(𝑎) sono entrambe primitive di 𝑓′ in [𝑎, 𝑏] e hanno lo stesso valore in 𝑥 = 𝑎 (che sarebbe 𝑓(𝑎)), quindi coincidono ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. COROLLARIO Se 𝛼, 𝛽: 𝑅 → 𝑅 sono derivabili, 𝑓: 𝑅 → 𝑅 continua e, ∀𝑥 ∈ 𝑅: 𝐺(𝑥) = ó 𝑓(𝑡) [(() \(() 𝑑𝑡 Allora 𝐺(𝑥) è derivabile ∀𝑥 ∈ 𝑅 e 𝑮R(𝒙) = 𝒇­𝜷(𝒙)® ∙ 𝜷R(𝒙) − 𝒇­𝜶(𝒙)® ∙ 𝜶R(𝒙) Esempio 𝐿 = lim (→% 1 (𝑥 − sin 𝑥) sinh 𝑥 ó 𝑓(𝑡) hij (# % 𝑑𝑡 Con 𝑓(𝑡) = cosh 𝑡 log(1 + 𝑡) - Riscrivere (𝑥 − sin 𝑥) sinh 𝑥: (𝑥 − sin 𝑥) sinh 𝑥 = (𝑥 − 𝑥 + (2 l + 𝑜(𝑥g)) sinh 𝑥 ~ (2 l 𝑥 = (: l - Il limite diventa: 𝐿 = lim (→% 6 𝑥g ó 𝑓(𝑡) hij (# % 𝑑𝑡 - Si usa il teorema di De L’Hopital, il limite diventa: 𝐿 = lim (→% 6 4𝑥A ∙ (𝑓(sin 𝑥.) ∙ cos 𝑥. ∙ 2𝑥) = lim (→% 3 2𝑥A = ⋯