Analisi Matematica I CONFRONTATO E VERIFICATO, Panieri di Analisi Matematica I

Scarica Analisi Matematica I CONFRONTATO E VERIFICATO e più Panieri in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity! dominio:* ℝ-{-1, 1 (2-i)2 vale 3-4i |3-2i|2 vale 13 Applicando il metodo di somiglianza, la forma ottimale per la ricerca di una soluzione particolare dell'equazione differenziale y"+y'-2y=10e-2t è ate-2t Applicando il metodo di somiglianza, la forma ottimale per la ricerca di una soluzione particolare dell'equazione differenziale y"-2y'+y=et è, con A≠0, At2et Calcolare l’integrale della funzione f(x) = ln x sull’intervallo [1,2] Ln4-1 * Calcolare la derivata f(x)= x cosh x cosh x + x sinh x Consideriamo l'applicabilità del teorema di Rolle alla funzione f(x)=|x2-3x|, sull'intervallo [0,3], e indichiamo con c gli eventuali punti la cui esistenza è garantita dal teorema. Allora vale il teorema di Rolle con un punto c>1 Data una funzione f(x) continua in un intervallo chiuso e limitato I, f ammette almeno due primitive, la cui differenza è costante Data una funzione reale f definita per ogni numero reale, l'unica affermazione corretta, fra le seguenti, è se f è derivabile, allora è anche continua Dato il campo scalare f(x,y)=x(x2+6y+3y2) e i punti B=(1,-1), C=(-1,1), D=(-1,-1), possiamo affermare che, per f B è un punto di minimo locale, D è un punto di massimo locale Dato il campo vettoriale F(x,y)=(2x/y, -x2/y2), l'unica affermazione errata è è conservativo nel suo dominio Detta F(x) la primitiva di (xex+e2x)/ex che vale 1 in 0, allora F(1) vale e+1/2 Detta F(x) la primitiva di f(x)=(16-16x2)-1/2 che vale 0 in 0, F(1) vale π/8 Detta T la regione limitata di piano compresa fra la parabola x=y2+1 e la retta x=2, l'integrale doppio su T di f(x,y)=35xy2+7exy3 vale 16 Detto I l'integrale curvilineo del campo vettoriale F(x,y)=ex[sin(x+y)+cos(x+y)]i+excos(x+y)j lungo la curva di equazione parametrica r(t)=2(cos t)i+2(sin t)j, con t in [0,π], allora -3<I<0 Detto U(x,y) il potenziale del campo vettoriale F(x,y)=ex[sin(x+y)+cos(x+y)]i+excos(x+y)j, con U(0,π/2)=1, allora U(π/2,0) vale eπ/2 F(x,y)= 2x y; -y2 il campo vettoriale è : solenoidale non conservativo * F(x,y)=axy;x2/2→a=: a=1 Il campo scalare f(x,y) ha A come punto di massimo e B come punto di sella. Allora il campo scalare g(x,y)=ef(x,y) ha A come punto di massimo e B come punto di sella Il campo scalare f(x,y) ha A come punto di minimo e B come punto di sella. Allora il campo scalare g(x,y)=arctan[-f(x,y)] ha B come punto di sella, nulla si può dire su A Il campo scalare f(x,y)=2x3-2y3+(x-y)2-2x+2y ha esattamente due punti di sella, un punto di minimo e un punto di massimo Il campo scalare f(x,y)=2xy/(x+y) non ha punti stazionari Il campo scalare f(x,y)=3x2+y2-x3y+1 ha un punto di minimo e due punti di sella Il campo scalare f(x,y)=4xy+2kx2-3y2 ha un massimo relativo in (0,0) per k<-2/3 Il campo scalare f(x,y)=ln(x+y)+x2-y ha (-1/2,3/2) come punto di sella Il campo scalare f(x,y)=x2-2x+y4+y2 ha (1,0) punto di minimo Il campo scalare f(x,y)=x3+3xy2-15x-12y+3 ha tutti e soli i seguenti punti stazionari (2,1) (-2,-1) (1,2) (-1,-2) Il campo scalare f(x,y)=x4+y3-4x2-3y2 ha almeno 2 punti di minimo e 2 di sella Il campo scalare f(x,y)=xy/(1+x2+y2) ha l'origine come punto di sella Il campo scalare f(x,y)=xy+y2-3x ha (-6,3) come punto di sella Il campo scalare f(x,y)=xy-x2-y3 ha un punto di sella e un punto di massimo Il campo vettoriale (ecos x+2xy,x2+yln y) è conservativo Il campo vettoriale F(x,y)=(2ey-yex, 2xey-ex) ha U(x,y) come potenziale. Sapendo che U(0,1)=3, allora U(2,0) vale 8 Il campo vettoriale F(x,y)=(2ey-yex, bxey-ex) è conservativo per b uguale a 2 Il campo vettoriale F(x,y)=(2xy,-y2) è solenoidale e non conservativo nel semipiano x>0 Il campo vettoriale F(x,y)=(a sin x cos x cos y, 3sin2x sin y) è conservativo per a=-6 Il campo vettoriale F(x,y)=(axy,x2/2) è conservativo per a=1 Il campo vettoriale F(x,y)=[x ln(2x2+y2+1)+cos x]i+[y ln(2x2+y2+1)]j non è irrotazionale Il campo vettoriale F(x,y)=ex[sin(x+y)+cos(x+y)]i+excos(x+y)j è conservativo non solenoidale Il campo vettoriale F(x,y)=-y/(x2+y2)i+x/(x2+y2)j è irrotazionale Il campo vettoriale F(x,y,z)=(z3+6xy2, 6x2y+1, 3xz2) è conservativo Il dominio della funzione f(x)=x/(x2-1 ) è · ogni reale diverso da 1 e da -1 Il dominio di f(x)=in|x| è: · x diverso da 0 Il dominio di f(x)=ln(x-|2x-1|) è ]⅓,1[ Il dominio di y= [lg1/2 (x-2) ] ½ è dato da · X>3 Il dominio di y=In(3-|x-6| è dato da: · X<9 Il dominio x/x^2-1=0 · X=±1 Il gradiente di f(x,y) = (x+y) / x2 nel punto (1,0) è (-1,1) Il gradiente di f(x,y,z) = 6ln(xyz-1) nel punto (3,2,2) è (2,3,-3) Il lavoro del campo vettoriale F(x,y)=(2ey-yex, 2xey-ex) lungo la curva di equazione y=2x, con x in [0,3], vale 6e8-8e3+1 Il lavoro del campo vettoriale F(x,y)=(x, y-x) lungo la curva di equazione parametrica r(t)=(1+t, 1+2t), con t in [0,1], vale 5/2 Il lavoro del campo vettoriale F(x,y)=(y,x) lungo il segmento di equazioni parametriche x(t)=2t , y(t)=1+3t, con 0≤t≤1, vale 8 Il limite per x che tende a +∞ di (1+2/x)3x vale e (elevato 6) Il limite per x che tende a +∞ di (6x2-8x+5)/(2x-3x2) vale -2 Il limite per x che tende a +∞ di (x-1)2x / (x+1)2x vale e (elevato -4) Il limite per x che tende a +∞ di (x2+9)-1arctan(x+1) è un valore reale minore di 9 La derivata parziale rispetto a x di f(x,y)=x2cos(y)+e(x- 1)(y+1) nel punto (1,0) vale 3 La derivata parziale rispetto a x di ln(2x+y) calcolata nel punto (1,1) vale 2/3 La forma più semplice della soluzione particolare dell'equazione y''-y=ex è Axex La funzione f(x) = x/x2-1 strettamente crescente: · ∙ in ogni intervallo contenuto in]-1,1[ La funzione f(x) è definita e continua nell'intervallo [0,1], con f(0)=2 e f(1)=5. Allora f assume tutti i valori compresi fra 2 e 5, ma potrebbe assumerne altri La funzione f(x) è definita e continua nell'intervallo [0,4], con f(0)=1 e f(4)=5. Allora, sicuramente, l'immagine di f contiene almeno [1,5] La funzione f(x), che vale x2+ax+1 per x<1 e -x2+x+b per x≥1, soddisfa il teorema di Lagrange nell'intervallo [0,2] per a =-3, b=-1 La funzione f(x), che vale x2+ax+b per x<0 e cx+3 per x≥0, soddisfa il teorema di Rolle nell'intervallo [-1,1] per a=c=1/2, b=3 La funzione f(x)=(2x2+x)/(x2-1) ha y=2 come asintoto orizzontale completo La funzione f(x)=(e2x-1)/(ex+2) è crescente per x>e La funzione f(x)=(x2+1)/x ha 1 e -1 come punti stazionari La funzione f(x)=(x2+x-1)1/2-x ha y=-2x-1/2 come asintoto obliquo e y=1/2 come asintoto orizzontale La funzione f(x)=|x-2|, sull'intervallo [-1,5], non soddisfa il teorema di Lagrange La funzione f(x)=|x2-9|, nell'intervallo [-1,2], soddisfa il teorema di Lagrange con un punto c>0 La funzione f(x)=1+cos(4x)+tan(2x) è non simmetrica, periodica di periodo π/2 La funzione f(x)=2arctan(x)-x ha y=-x+π come asintoto obliquo completo (destro e sinistro) La funzione f(x)=2x2/(x-1) ha solo i seguenti punti di estremo relativo: x=0 come punto di massimo, x=2 come punto di minimo La funzione f(x)=arctan2(x2-1) ha due punti di minimo per x=1 e x=-1, e un punto di massimo La funzione f(x)=e-|x|+cos x è pari La funzione f(x)=ln(1+2/x) ha x= -2 e y= 0 come asintoti La funzione f(x)=ln(1-2x+√x) è definita per 0≤x<1 La funzione f(x)=sin2x-2sin x, nell'intervallo [0,2π] ha un minimo per x=π/2 La funzione f(x)=x(4-x)1/2 è crescente per x<8/3 La funzione f(x)=x/(x^2-1) ha le seguenti simmetrie: · è dispari La funzione f(x)=x/(x2+9) è decrescente per x<-3 o x>3, ha un massimo per x=3 e un minimo per x=-3 La funzione f(x)=x/ln2x è decrescente per 1<x<e2 La funzione f(x)=x2e-2x ha 0 e 1 come punti stazionari La funzione f(x)=x2-e-x si annulla per almeno un valore compreso fra 0 e 1 La funzione f(x)=x4-2x2 è crescente per -1<x<0 o x>1, ha un massimo per x=0 e minimi per x=-1 e x=1 La funzione f(x)=xex / (ex+1) ha asintoto destro (cioè a +∞): obliquo y=x La funzione f(x)=xx è crescente per x>e-1 La funzione x4-4x3 è concava per 0<x<2, convessa altrove La funzione y=(x2+a)/(x+b) ha un punto di massimo relativo in x=-1 e di minimo relativo per x=2 per un determinato valore di a e b con a>1, -1<b<0 La funzione y=(x-3)arctan x ha un punto di flesso in x=-1/3 La funzione y=ln2x è convessa esattamente per 0<x<e La funzione y=x+a+b/x ha un estremo relativo in x=2 e asintoto obliquo passante per il punto (3,8) per un determinato valore di a e b, con a>4 e b<5 La funzione y=xln x non ha punti di flesso La lunghezza della curva r(t)=(cos t+tsin t, sin t-tcos t), con t in [-π,π], è 0 La lunghezza della curva r(t)=(e2t,2et,t), con t in [0,1],è e2 La parte immaginaria di 1/i è -1 La parte immaginaria di 2(1+i)-1 è -1 La parte immaginaria di 4/(1+i)vale: -2 La parte reale di (1+i)12 vale -2(elevato 6) La parte reale di (1+i)16 vale 2(elevato 8) La parte reale di 4(1-i)-1 vale 2 La regione D del piano compresa fra le curve di equazioni x2+y2=1 e x2+y2=4, e contenuta nel secondo quadrante, può essere espressa in coordinate polari (θ π/2<θ<π, 1<r<2 La retta tangente al grafico di y = (ex+1) / (x2+1) ha, nel punto x0 = 0, pendenza (cioè coefficiente angolare) 1 La retta tangente al grafico di y=esin x nel suo punto di ascissa π ha equazione y = -x+π+1 La retta tangente al grafico di y=ln3x nel suo punto di ascissa e ha equazione y = 3e-1x-2 La serie ∑ (-1)n/(n+In n),con n>2, converge ma non assolutamente La serie ∑ (2x)n/n2 converge se e solo se x appartiene all'intervallo [-1/2,1/2] La serie ∑ ^1/2 cos n: · oscilla La serie ∑ n-2(a/6)n con a>0, converge se e solo se : · '0<a≤6 La serie ∑ na-1 converge se e solo se a<0 La serie ∑ sin(en)/n2 converge, come si può dedurre per confronto La serie ∑ xn/ln(1+n) ha raggio di convergenza 1 La serie ∑(-1)n (2n)! 5-n / [(n!)2] converge assolutamente La serie ∑(-1)nxn/(ln n), con n≥2, converge nell'intervallo ]-1,1] La serie ∑(2+sin n)/n2 converge assolutamente La serie ∑(2a)n, dove la somma è per n che va da 1 a +∞, converge per -1/2<a<1/2 e la somma è 1/(1-2a) La serie ∑e1/n/na+2 converge se e solo se a>-1 La serie ∑e1/ncos n oscilla La serie ∑e2n/n3 diverge La serie ∑ln(1+na) converge se e solo se a<-1 La serie ∑n-2(a/6)n con a>0, converge se e solo se 0<a<6 La serie di potenze ∑(x-1)n/(4n+1) ha come estremi dell'intervallo di convergenza i punti -3, 5 La serie di potenze ∑(x-7)n/(5n+1) ha il seguente intervallo di convergenza [2,12[ La serie di potenze ∑n2xn non converge per |x|≥1 La serie numerica ∑(-1)n na, con a parametro reale converge assolutamente se e solo se a<0 La serie Σ ai -xn con -1≠-3: R<3 La soluzione del problema di Cauchy y"-2y'+y=et, y(0)=1, y'(0)=2 è y(t)=aet+btet+(1/2)t2et, con a=b=1 La soluzione generale dall’equazione differenziale y’ +y=1 è: · 1+ce-t La soluzione generale dell'equazione differenziale y"+4y=0 può essere espressa, con a e b costanti reali, come a cos(2t)+b sin(2t) La successione di termine generale an = n / (n-1) è decrescente limitata La successione di termine generale an = n-1 cos(1+n2) è infinitesima L'area della regione di piano delimitata dagli assi coordinati, dalla retta x=π/2 (π è pi greco) e dalla curva y = x sin x vale 1 L'area della regione finita di piano compresa fra la parabola y=x2 e la retta y=x+2 vale 9/2 L'area della regione limitata di piano compresa fra la retta y=x e il grafico di y=x3 vale 1/4 L'equazione differenziale completa ay"+by'+cy=3t2 ha 0 e -1 come radici dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata; allora esisterà certamente una soluzione particolare dell'equazione differenziale completa di forma generale (ottimale) At+Bt2+Ct3 L'equazione differenziale completa ay"+by'+cy=cos(t) ha 0 e 1 come radici dell'equazione caratteristica dell'equazione omogenea associata; allora la forma generale, più semplice, di una soluzione particolare dell'equazione differenziale completa è Acos(t)+Bsin(t) L'equazione differenziale y"- y= 0 ha soluzione generale aet+be-1 L'equazione differenziale y"+y'-2y=0, con y(0) non nulla, ha soluzioni esponenziali illimitate L'equazione differenziale y"+y'-2y=tet ha la soluzione particolare, per un opportuna A≠0, (At2-t/9)et L'equazione differenziale y"-2y'+y=0 ha, come integrale generale y(t), una combinazione lineare delle funzioni et, tet L'equazione differenziale y'=y/t ha, come integrale generale (con k costante reale), y(t)=kt L'integrale curvilineo del campo scalare f(x,y)=2xyexp(x2), dove exp(t)=et, lungo la curva data da r(t)=(3cos t, 3sin t), con 0<t<3π/2, vale (per risolvere l'integrale, può essere utile la sostituzione u=9cos2t): 3(e9-1) L'integrale curvilineo del campo scalare f(x,y,z)=x2+y2-z lungo l'arco di elica circolare dato da r(t)=(2cos t,2sin t, 0), 0<t<π, vale 8π L'integrale curvilineo del campo scalare f(x,y,z)=x2+y2-z lungo l'arco di elica circolare dato da r(t)=(3cos t,3sin t, 4t), 0<t<π, vale 5π(9-2π) L'integrale curvilineo del campo vettoriale F(x,y)=ex[sin(x+y)+cos(x+y)]i+excos(x+y)j lungo la curva 0 Se F(x) è la primitiva di (x2-4)-1 che vale 0 in 0, allora F(1) vale -(ln 3)/4 Se F(x) è la primitiva di 2(2x2+x)/(2x-1) che vale 3 in 1, allora F(2) vale 8+ln 3 Se F(x) è la primitiva di exsin x che vale 0 in π/4, allora F(0) vale -1/2 Se F(x) è la primitiva di f(x)=In x con F(1)=2, allora F(e) vale 3 Se F(x) è la primitiva di ln x che vale 0 in e, allora F(1) vale -1 Se F(x) è la primitiva di sin(2x)/(1+sin2x) che vale 0 in 0, allora F(π/2) vale ln 2 Se F(x) è la primitiva di sin(2x-π) con F(π/2)=1, allora F(π) vale 1/2 Se F(x) è la primitiva di x(x-1)1/4 che vale 0 in 1, allora F(2) vale 56/45 Se F(x) è la primitiva di xcos 2x che vale 1/4 in 0, allora F(π/2) vale -1/4 Se f(x)=(1+2sin x)1/2, allora f'(π) vale -1 Se f(x)=(x+2)ln[1+2x+x2+cos(x)], allora f'(0) vale 2+ln(2) Se f(x)=arctan(2x), allora f'(1) vale 2/5 Se f(x)=arctan[(x-1)/(x+1)] , allora f'(1) vale 1/2 Se f(x)=cos ln x, allora f'(e) vale -sin(1)/e Se f(x)=e2x(e3x+1), allora f'(0) vale 7 Se f(x)=ln2x /(1+ln x), allora f'(e) vale 3e-1/4 Se f(x)=x+1 e g(x)=2x, posto F(x)=f(g(x)) e G(x)=g(f(x)), risulta F(x)=2x+1, G(x)=2x+1 Se f(x)=x2+1 e g(x)=sin(x), posto F(x)=f(g(x)) e G(x)=g(f(x)), risulta F(x)=1+sin2x, G(x)=sin(1+x2) Se f(x)=x2x, allora f'(e) vale 4e(elevato 2e) Se F(x,y,z) è un campo vettoriale con potenziale U(x,y,z)=xyez+x2-y+3, allora F(1,1,1) vale (e+2, e-1, e) Se il campo vettoriale F(x,y)=(2x/y, -x2/y2) ha U(x,y) come potenziale nel primo quadrante, con U(1,1)=0, allora U(4,2) vale 7 Se L è il valore del limite per x che tende a 5 di (x3- 25x)/(x-5), allora L vale 50 Se l'integrale di linea del campo vettoriale F(x,y)=(x, y) lungo la curva di equazione parametrica r(t)=(2kt,2et), con t in [0,1], vale 2e2+6, allora k vale k=±2 Se P(x) è un polinomio di grado 3 e Q(x) è un polinomio tale che il limite per x che tende a -∞ di P(x)/Q(x) vale +∞, allora il grado di Q(x) non si può stabilire con le informazioni date Se P(x) è un polinomio di grado 4 e Q(x) un polinomio di grado 5, il limite per x che tende a -∞ di P(x)/Q(x) vale 0 Se T è la regione limitata di piano compresa fra la parabola x=y2+1 e la retta x=2, allora l'integrale doppio su T di f(x,y)=5xy2+3x4sin y vale 16/7 Se U(x,y) è il potenziale che vale 1 in (0,1) del campo vettoriale F(x,y)=(yexy+6x-1,xexy-2y), allora U(1,0) vale 4 Se U(x,y,z) è un potenziale del campo vettoriale F(x,y,z)=(z3+6xy2, 6x2y+1, 3xz2), con U(0,0,0)=0, allora U(1,1,1) vale 5 Se una serie di potenze centrata in x=0 converge nel punto x=2 allora essa converge anche in x=-2 Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy (2-x)y'=y, con y(0)=-1/2, allora y(1) vale -1 Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y"+y'- 2y=0, y(0)=1, y'(0)=4, allora y(1) vale 2e-e-2 Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'+y=2sin t, con y(0)=0, allora y(π) vale e-π+1 Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'+ytan t=2cos t, con y(0)=0, allora y(π) vale -2π Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'=-2ty+t exp(-t2), y(0)=3, con exp(x)=ex, allora y(2) va 5/e4 Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'=2ye-t, con y(0)=e-2, allora il limite per t che tende a +∞ di y(t) vale 1 Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'=- 4y+e2t, con y(0)=1/3, allora y(1) vale (e-4+e2)/6 Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'=ycos t, con y(0)=2, allora y(π) vale 2 Se y(t) è la soluzione dell'equazione differenziale y'=cos t exp(-2y+sin t), con exp(x)=ex, che vale ln(4) per t=0, allora y(π) vale 2ln(2) Se y(t) è la soluzione dell'equazione differenziale y'=y/t+12/t2 che vale 0 per t=1, allora y(2) vale 9 Se y(t)=(t2-1)cos(t)+c, con c reale, è l'integrale generale di un'equazione differenziale, allora la soluzione del relativo problema di Cauchy con y(0)=2 è y(t)=(t2-1)cos(t)+3 Se y(t)=t-k ln(1+|t|) è l'integrale generale di un'equazione differenziale (con k costante reale), allora la soluzione che vale 2 per t=0 si ha per nessun k Se y(x) è la soluzione del problema di Cauchy y'+2y=ex, y(1)=3, allora il limite per x che tende a +∞ di e-xy(x) vale 1/3 Se R è il raggio di convergenza di una serie di potenze ∑anxn che converge in -1 e diverge in 3, allora l'affermazione più precisa che possiamo fare è R<3 Si consideri la curva chiusa nel piano di equazione y: (t(1-t)^2, t-t^2) con te[0,1]. Calcolare l’area A della regione racchiusa dalla curva usando le formule di Green. • 1/30 * Sia D la regione di piano contenuta nel secondo quadrante e compresa fra le circonferenze x2+y2=1 e x2+y2=16, e sia exp(t)=et. Allora l'integrale doppio su D di f(x,y)=2π-1 exp[1-(x2+y2)1/2] vale 2-5e-3 Sia D la regione di piano delimitata dall'ellisse di equazione x2+y2/4=1, dagli assi cartesiani, e contenuta nel primo quadrante. Allora l'integrale di xy su D vale 1/2 Sia D la regione finita di piano compresa fra la retta y=x e la parabola y=x2, e sia f(x,y)=2x-y+3. Allora l'integrale doppio di f su D vale 3/5 Sia D la regione piana espressa in coordinate polari da π/2<θ<π, 1<r<2, e sia exp(t)=t. Allora l'integrale doppio su D della funzione f(x,y)=4 exp(1-x2-y2) vale π(1-e-3) Sia data la funzione f(x,y)=x^3+3xy+4y^2 determinare i punti stazionari e calcolare l'hessiano in tali punti esiste un solo punto stazionario e l'hessiano risulta nullo in tale punto Sia f una funzione che soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [a,b]. Allora possiamo sicuramente affermare che esiste almeno un punto del grafico di f con retta tangente parallela alla secante passante per i punti del grafico di ascissa a e b Sia f una funzione derivabile con continuità e invertibile, con f(0)=1, f'(0)=2. Detta g la funzione inversa di f, allora g'(1)=1/2 Sia f(0)=A un numero reale. Determinare per quale valore di A, la funzione f(x) (ln(1+2x)/sinx e continua in x=0 A=2 Sia f(x) la funzione definita da x-1ln(1+2x) per x>0 e da a(x+1) per x≤0. Allora f è continua in 0 se e solo se il parametro reale a vale 2 Sia fn(x) il termine generale di una successione di funzioni positive e derivabili in un intervallo chiuso e limitato I=[a,b], con la serie ∑fn(x) uniformemente convergente, in I, alla funzione somma S(x). Quale delle seguenti affermazioni può non valere? S(x) è positiva Sia T il solido formato dai punti(x,y,z) dello spazio tali che 05y^3z vale: · 1/168 * Sia T il solido formato dai punti (x,y,z) dello spazio tali che 0<x<1, 0<y<x, 0<z<xy. Allora l'integrale triplo su T del campo scalare f(x,y,z)=x5y3z vale 1/168 Siano f(x)=xex+1, g(x)=xe|x|+sin(2x), h(x)=e|x|+sin(x2). Allora le uniche funzioni simmetriche sono: g dispari, h pari Sotto successione bn di a1 an= 1/n : · converge Un campo scalare f ha (2,-1) come gradiente calcolato nel punto P. Allora la derivata di f, calcolata in P, nella direzione di v=(3,4) vale 2 Un campo scalare f(x,y) differenziabile due volte, ha hessiano 21 13 nel punto stazionario P=(0,1).Allora P è, per f(x,y): · un punto di minimo locale * Un integrale generale dell'equazione y''-y=0 può essere espresso come ae-x-bex Un potenziale per il campo vettoriale (x,y) è (x2+y2)/2 Un’equazione particolare dell’equazione differenziale y”-y=6et soluzione particolare con metodo di somiglianza: · 3tet Una funzione f(x) ha derivata seconda f"(x)=3x2-6x. Allora f ha due punti di flesso, di cui uno con ascissa positiva Una funzione reale f è definita su un intervallo [a,b]. Una condizione sufficiente affinché esista un numero reale c nell'intervallo ]a,b[ tale che f(c)=0 è f continua in [a,b] con f(a)f(b)<0 Sostituendo alla x, +∞, e articolando la risoluzione del limite, il risultato è -∞ D • Determinare e classificare i punti di massimo, minimo, sella del campo scalare f(x,y)=x2+y3- xy. • • • Dire se si può applicare il Teorema di Lagrange alla funzione f(x)= [-1,1], spiegando il perché : • Si perché il Teorema di Lagrange ammette che data una funzione f(x):[a,b]⇒R continua su [a, b] e derivabile su (a,b), allora risulta che esiste c ∈ (a,b) tale che f^’( c)= f (b)-f( a) F • Fornisci l’esempio di una serie convergente che non sia assolutamente convergente (se necessario, usa il simbolo ^ per indicare un esponente): Serie da n=1 a + infinito di ((-1)^n/n) è convergente ma la serie dei valori assoluti risulta divergente I • Il piano tangente al grafico di f(x)=x2y+1 nel punto (1,0,1) ha equazione: …. L • La funzione f, derivabile in ]-1,1[ ha un punto di massimo in 0. Cosa si può concludere su F(0)? Perché? • La soluzione generale y(t) dell’equazione differenziale y”-4y=0 è: (usa il simbolo ^ per indicare gli esponenti): y(x)=c1 e^2x + c2 e^-2x • La soluzione generale y(t) dell’equazione differenziale y”-4y’+4y=0 è( usa il simbolo ^ per indicare gli esponenti: y(x)=C1 e^(2x)+ C2 e^2x x • La soluzione generale dell’equazione differenziale y’’-y=6e^t: y(t)=c1 e^t + c2 e^-t + 3 e^t t La soluzione generale y(t) dell’equazione differenziale y”+y=t è: y(t)=c2 sin (t)+ c1 cos(t)+ t S • Sapendo che U-x^Zy+z è un potenziale del campo vettoriale F(x,y,z), calcola le componenti F1, F2, F3 di F(usa^ per indicare gli esponenziali) • Spiega se e come il criterio del rapporto asintotico fornisce informazioni sulla convergenza della serie ∑(1/n)^2 giustificando la risposta. …… • Scrivi le equazioni degli asintoti della funzione f(x)=x/(x^2-1), specificando se si tratta di asintoti orizzontali, verticali o obliqui, e se ciascun asintoto è destro, sinistro o bilatero (cioè sia destro che sinistro): ……………………… • Scrivi l’intervallo aperto (massimale) in cui la funzione f(x)=x^4-4x^3 risulta concava: • Se F(x)=xex+3 è una primitiva di f(x)? (Scrivi e^x per indicare ex) P Per quale valore reale “a” il campo vettoriale F(x,y)=(axy2,yx2+y2+2) è conservativo? Giustifica la risposta: U Una funzione f derivabile in un intorno di 0 ha f(0)=1, f’(0)=0,f’’(0)>0. Cosa si può concludere sul punto 0 rispetto alla funzione f? è un punto estremo? Se sì, di che tipo?... b) Una funzione si dice continua in un intervallo quando è continua in ogni punto dell'intervallo Ne consegue che una funzione discontinua è tale in quanto presenta un punto di discontinuità. Un particolare tipo di punto di discontinuità è la discontinuità di prima specie o di salto che si realizza se la funzione ammette limite desto e limite sinistro finiti ma tra loro distinti. Sotto abbiamo una funzione avente limite destro e sinistro diversi tra loro per cui nel punto in cui x=0 abbiamo una discontinuità di tipo salto. 04. Classifica i possibili punti di discontinuità di una funzione, fornendo le opportune definizioni. Una funzione continua corrisponde a quella funzione il cui grafico è rappresentato in modo continuo e senza interruzioni, ovvero senza fare salti, per cui: a) Una funzione si dice continua in un punto quando in quel punto la funzione coincide con il suo limite b) Una funzione si dice continua in un intervallo quando la funzione è continua in ogni punto dell'intervallo Ne consegue che una funzione discontinua è tale in quanto presenta un punto di discontinuità. Vi sono tre tipi di discontinuità, ovvero: a) discontinuità di prima specie o di salto che si realizza se la funzione ammette limite desto e limite sinistro finiti ma tra loro distinti b) discontinuità di seconda specie che si realizza quando la funzione può non ammettere limite da destra o da sinistra, o almeno uno dei due limiti è infinito c) discontinuità di terza specie o eliminabile che si realizza in un punto c della funzione quando la funzione stessa può ammettere in quel punto un limite finito che però è diverso dal valore della funzione in c 05. Fornisci la definizione e un esempio di punto di discontinuità di seconda specie. Una funzione continua corrisponde a quella funzione il cui grafico è rappresentato in modo continuo e senza interruzioni, ovvero senza fare salti, per cui: a) Una funzione si dice continua in un punto quando in quel punto la funzione coincide con il suo limite b) Una funzione si dice continua in un intervallo quando la funzione è continua in ogni punto dell'intervallo Ne consegue che una funzione discontinua è tale in quanto presenta un punto di discontinuità. Un particolare tipo di punto di discontinuità è la discontinuità di seconda specie che si realizza quando la funzione può non ammettere limite da destra o da sinistra, oppure almeno uno dei due limiti è infinito. Sotto un esempio con discontinuità di seconda specie nel punto in cui x=2 Lezione 23 – Teoremi sulle funzioni continue 05. Enuncia il teorema di Bolzano degli zeri e il teorema dei valori intermedi. • Il teorema di Bolzano o Teorema degli zeri stabilisce l’esistenza di almeno un punto della funzione in cui essa si annulla (sia =0). In una funzione continua f(x) in un intervallo chiuso e limitato [a, b] con le funzioni f(a); f(b)<>0 e di segno opposto, esisterà almeno un punto c interno all’intervallo tale che sia f(c)=0 • Il teorema dei Valori Intermedi o Teorema di Connessione stabilisce che se una funzione continua in un intervallo [a, b] assume valori distinti tra loro all’interno dell’intervallo, allora assumerà anche tutti i valori compresi tra i due valori distinti. 06. Fornisci la definizione di massimo assoluto di una funzione reale. Enuncia il teorema di Weierstrass su massimo e minimo assoluti. Il massimo assoluto di una funzione reale si ha in un punto x0 del proprio dominio D se in x0 assume un valore maggiore o uguale a quello che assume negli altri punti di D Il teorema di Weierstrass su massimo e minimo assoluti stabilisce che: una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b], ammette un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto nell’intervallo medesimo [a, b]. 07. Enuncia il teorema dei valori intermedi. COME SOPRA 08. Enuncia il teorema di Weierstrass su massimi e minimi. COME SOPRA 09. Enuncia il teorema degli zeri (di Bolzano). COME SOPRA Lezione 24 – Derivate 03. Fornisci la definizione e il significato geometrico di derivata di una funzione in un punto. • Si definisce derivata di una funzione in un punto, il limite (se esiste ed è finito) del rapporto incrementale al tendere verso lo zero dell' incremento h con h ∈ R dove per rapporto incrementale si intende la variazione del valore della funzione quando un suo punto x varia nell’intervallo della funzione dal valore x0 al valore x0+h • Il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto mette in relazione il grafico della funzione e la retta tangente al grafico stesso nel punto considerato. In quel punto il significato geometrico assume quello di coefficiente angolare, come sotto evidenziato nel grafico. 04. Fornisci la definizione di derivabilità di una funzione in un punto. Che relazione sussiste fra derivabilità e continuità? Premesso che si definisce derivata di una funzione in un punto, il limite (se esiste ed è finito) del rapporto incrementale al tendere verso lo zero dell' incremento h con h ∈ R dove per rapporto incrementale si intende la variazione del valore della funzione quando un suo punto x varia nell’intervallo della funzione dal valore x0 al valore x0+h • Una funzione è detta derivabile se in un suo punto coesistono e quindi coincidono il limite sinistro e quello destro del rapporto incrementale h calcolato in quel punto. • La funzione perché sia derivabile deve essere altresì continua altrimenti il limite del rapporto incrementale nel punto di discontinuità non è finito oppure non esiste. Lezione 27 – Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy 10. Enuncia il teorema di Rolle e forniscine l'interpretazione geometrica. lOMoARcPSD|10459144 Il teorema di Rolle afferma che se una funzione y = f(x) è: a) continua in un intervallo chiuso [a , b] b) derivabile in ogni punto dell'intervallo aperto (a , b) c) con valori uguali f(a)=f(b) negli estremi dell'intervallo allora esiste almeno un punto c ∈ (a , b) in cui la derivata della fuznione si annulla, cioè f'(c)=0 (definito punto critico o stazionario). Per quel che riguarda l’interpretazione geometrica del Teorema di Rolle, va evidenziato che, poiché la derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico, secondo il Teorema di Rolle, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela all’asse delle ascisse x, come sotto evidenziato 11. Enuncia il teorema di Lagrange e forniscine l'interpretazione geometrica. il teorema di Lagrange (o del valor medio o dell'incremento finito) afferma, che data una funzione continua in un intervallo chiuso [a ,b] e derivabile in un intervallo aperto (a, b), esiste almeno un punto ε ∈ (a , b) tale che: f(b) – f(a) = (b – a) f’(ε). Per quel che riguarda l’interpretazione geometrica del Teorema di Lagrange, supponiamo di avere una funzione f nell’intervallo [a, b] e la retta secante il grafico nei punti (a, f(a)) e (b , f(b)) che rappresentano gli estremi dell’intervallo, secondo il Teorema di Lagrange esiste almeno un punto c ∈ [a, b] in cui la retta secante e la retta tangente al grafico non parallela all’asse delle ordinate saranno tra loro parallele, ovvero avranno lo stesso coefficiente angolare. Lezione 28 – Teoremi de l'Hopital 03. Usando il teorema di De L'Hopital, dimostra che ex prevale su x2 e che x prevale su ln(x) quando x tende a +∞, cioè che il limite di ex/x2 tende a +∞, ecc. Lezione 29 – Funzioni infinitesime e infinite 01. Spiega il significato di funzione infinita e di infiniti equivalenti. Data la funzione f(x) si dice che essa è infinita per x→ x0 quando risulta che il suo limite sia tendente a +∞ oppure -∞ Ciò in quanto se la x cresce all'infinito la funzione tenderà anch'essa all'infinito. In tal caso si dice dunque che la funzione è INFINITA per x che tende all'infinito. Se sono date due funzioni infinite f(x) e g(x) nel loro confronto può accadere che e quindi tra i vari casi, il limite sia finito sia diverso da 0. Si dice allora in tal caso che f(x) e g(x) sono infinite dello stesso ordine. In particolare, se l=1 si dice che i due infiniti si dicono equivalenti. 02. Spiega il significato di funzione infinitesima e di infinitesimi equivalenti. Data la funzione f(x) si dice che essa è un infinitesimo per x→ x0 quando risulta che il suo limite sia tendente a zero Ciò in quanto se la x decresce verso lo zero la funzione tenderà anch'essa verso lo zero. In tal caso di dice allora che la funzione è INFINITESIMA per x che tende a zero. Se sono date due funzioni infinitesime f(x) e g(x) nel loro confronto può accadere che e quindi tra i vari casi, il limite sia finito e diverso da 0. Si dice allora in tal caso che f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine. In particolare, se l=1 i due infinitesimi si dicono equivalenti. lOMoARcPSD|10459144 Lezione 30 – Formula di Taylor VEDI QUADERNONE 05. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=ex. 06. Scrivi il polinomio di Taylor di quarto grado, centrato in 0, di f(x)=e^(xsin x). 07. Scrivi il polinomio di Taylor di terzo grado, centrato in 0, di f(x)=cos ln(1+x). 08. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=ln(1+x). 09. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=cos x. 10. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=sin x. Lezione 32 – Funzioni monotone, estremi di funzioni 14. Enuncia il teorema che pone in relazione la monotonia di una funzione al segno della sua derivata prima. Data la funzione f nell’intervallo (a, b) che sia derivabile in (a, b) a) se la sua derivata prima f’(x) >0 allora la funzione f è crescente in (a, b) b) se la sua derivata prima f’(x) <0 allora la funzione f è decrescente in (a, b) Per cui per il teorema di Lagrange, presi due punti x1, x2 nell’intervallo (a, b) con x1 < x2, esiste un punto x0 ∈ (x1, x2) tale che 15. Fornisci la definizione di punto di minimo relativo e di punto di minimo assoluto, dando un esempio, anche grafico, di una funzione dotata di un punto di minimo relativo non assoluto. Data la funzione f nell’intervallo (a, b) si dice che il punto x0 ∈ (a, b) è: a) il punto di minimo relativo per f se esiste un intorno x0 tale che l’ordinata di x0 sia <= delle ordinate di tutti gli altri punti di quell’intorno. b) il punto di minimo assoluto per f nell’intervallo (a, b) se esiste un punto x0 tale che l’ordinata di x0 sia <= delle ordinate di tutti gli altri punti nell’intervallo (a, b) Qui abbiamo in a il punto di minimo relativo e in x2 il punto di minimo assoluto 16. Fornisci la definizione di punto di massimo relativo e di punto di massimo assoluto, dando un esempio, anche grafico, di una funzione dotata di un punto di massimo relativo non assoluto. Data la funzione f nell’intervallo (a, b) si dice che il punto x0 ∈ (a, b) è: a) punto di massimo relativo per f se esiste un intorno x0 tale che l’ordinata di x0 sia >= delle ordinate di tutti gli altri punti di quell’intorno. b) punto di massimo assoluto per f nell’intervallo (a, b) se esiste un punto x0 tale che l’ordinata di x0 sia >= delle ordinate di tutti gli altri punti nell’intervallo (a, b) Qui abbiamo in x1 il punto di massimo relativo e in b il punto di massimo assoluto lOMoARcPSD|10459144 05. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=|x|^3-3x^2, riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della derivata seconda. lOMoARcPSD|10459144 06. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=ln(x^2-2x), riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della derivata seconda. 2 lOMoARcPSD|10459144 07. Traccia il grafico qualitativo di f(x)=x^(e1-x), riportando i principali risultati numerici (limiti, derivate...) senza passaggi. Puoi tralasciare lo studio della derivata seconda. lOMoARcPSD|10459144 10. Traccia il grafico qualitativo della funzione f(x), sapendo che: è definita e derivabile per x≠1, il limite per x che tende a 1 è +∞, y=2 asintoto orizzontale completo, f'>0 per x<1 e per x>4, f(4)=0. Stabilisci il segno di f(x). 11. Traccia il grafico della funzione dispari f(x), definita per ogni x diverso da 0, con limite per x che tende a 0 pari a 1, f'>0 solo per |x|<1, f''>0 solo per |x|>2, f(1)=2 massimo. Stabilisci se x=-1 è un punto di massimo o minimo, precisando se è relativo o assoluto. lOMoARcPSD|10459144 12. Traccia il grafico della funzione f(x), definita e derivabile per x<0 unito a x>1, che tende a 0 in 0, con limite per x che tende a 1 da destra uguale a +∞, y=x+3 asintoto obliquo completo, f(-1)=1/2 massimo locale, f(2)=7 minimo locale, f'>0 solo per x<-1 o x>2. lOMoARcPSD|10459144 13. Traccia il grafico qualitativo di f(x), definita e derivabile per ogni x reale, sapendo che è pari, ha minimo uguale a 1 in x=3, f(0)=2, f'>0 per |x|>3, f''>0 per |x|>1, il limite per x che tende a -∞ è +∞. 14. Traccia il grafico qualitativo della funzione f(x) sapendo che è definita e derivabile per x>0, il limite in 0 vale e, y=x/2 è asintoto obliquo, f'<0 per x<2, f'>0 per x>2, f(2)=1. Stabilisci il segno di f(x). lOMoARcPSD|10459144 Lezione 45 – Altri criteri di convergenza e serie alternanti 10. Definisci la convergenza assoluta di una serie numerica e spiega come è legata alla convergenza (semplice) di una serie. Una serie numerica è assolutamente convergente se è convergente la serie numerica dei suoi valori assoluti e ovvero: Ogni serie assolutamente convergente è sempre semplicemente convergente. Non vale il contrario, in quanto una serie semplicemente convergente può divergere nel caso si prenda in considerazione la serie numerica dei valori assoluti. 11. Enuncia il criterio della radice per serie numeriche e fornisci un esempio di applicazione. Da segnalare che il criterio della radice per serie numeriche non stabilisce il comportamento della serie numerica se l= 1 12. Enuncia il criterio di Leibniz per serie numeriche e fornisci un esempio di applicazione. Il criterio di Leibniz è un criterio di convergenza applicabile a serie aventi termini di segno alterno, secondo cui se una successione a termini positivi, quindi y1 >0 è Lezione 48 – Revisione 3 01. Enuncia e dimostra un teorema su limiti, continuità o successioni, fra quelli contrassegnati con asterischi nelle lezioni. TEOREMA: ogni successione estratta da una data successione regolare ammette lo stesso limite della successione data 02. Enuncia e dimostra un teorema sulle derivate o sulle loro applicazioni, fra quelli contrassegnati con asterischi nelle lezioni. TEOREMA: siano f, g (a, b) → R derivabili in x ∈ (a, b). Allora sono derivabili i x anche le funzioni: f + g, fg, αf per ogni α ∈ R, f/g se g (x) <> 0 monotona e decrescente con , allora la serie converge e la sua somma è un numero positivo S <= y1 lOMoARcPSD|10459144 03. Enuncia e dimostra un teorema sul calcolo integrale o sulle serie numeriche, fra quelli contrassegnati con asterischi nelle lezioni. TEOREMA: data la funzione continua f nell’intervallo [a, b] → R, la funzione integrale È derivabile in tutto l’intervallo [a, b] e si ha che: F’ (x) = f’ (x) Dove F è una primitiva di f Lezione 53 – Equazioni differenziali 01. Spiega cos'è un problema di Cauchy di ordine n. Il problema di Cauchy consiste nel trovare la soluzione di un'equazione differenziale di ordine n, tale da soddisfare le condizioni dei valori iniziali: 02. Spiega cos'è un'equazione differenziale di ordine n e cos'è una sua soluzione (o integrale generale). Un'equazione differenziale di ordine n è un’equazione in cui compaiono una variabile indipendente t, la funzione incognita y(t) e le derivate della funzione medesima al più di ordine n. Una soluzione o integrale generale di un’equazione differenziale è ogni funzione y(t) che è derivabile n volte in un intervallo aperto che rende l’equazione identicamente verificata. Lezione 54 – Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine 01. Enuncia il teorema di esistenza e unicità per i problemi di Cauchy. Lezione 57 – Equazioni differenziali lineari 01. Enunciare e dimostrare un teorema sulle equazioni differenziali (fra quelli contrassegnati con asterischi nelle lezioni). Dimostrazione DA FARE lOMoARcPSD|10459144 Lezione 60 – Metodo di variazione delle costanti 10. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale y"+y'=10. 11. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale y"-2y'+y=x. lOMoARcPSD|10459144 In tal caso in ogni intorno del punto stazionario cambia di segno. Pertanto x0 non è né minimo né massimo. Infatti un punto stazionario che non è né minimo né massimo p definito Punto di Sella. Una volta determinati i punti di stazionarietà della funzione ponendo il gradiente della funzione uguale a zero, viene costruita la matrice hessiana sotto indicata e se ne calcola il suo determinante, ottenendo i seguenti possibili risultati: Lezione 75 – Campi vettoriali 01. Fornisci la definizione di linea di campo. Si definisce linea di campo o linea vettoriale di un campo vettoriale F la curva C tale che il vettore F sia tangente a C in ogni suo punto. Le linee di campo permettono la rappresentazione geometrica del capo vettoriale F. Chiaramente in un punto dato passa una ed una sola linea di campo. LINEE DI CAMPO Lezione 76 – Campi vettoriali conservativi 13. Spiega che relazione sussiste fra irrotazionalità e conservatività di un campo vettoriale. Un campo vettoriale V è detto conservativo è esiste un campo scalare U caratterizzato dall'essere il gradiente di una funzione, che prende il nome di potenziale scalare, tale che: V = ∇ U dove il gradiente è l’operatore ∇ che associa ad una funzione il vettore delle derivate parziali e il potenziale è il campo scalare U per il campo V Un campo vettoriale può avere una rotazione infinitesima lungo il suo asse di rotazione. In tal caso si parla di rotore di un campo vettoriale che ne descrive appunto al sua rotazione ed è indicato con ∇ x Un campo vettoriale il cui rotore è nullo si dice irrotazionale. Un campo conservativo, che ammette cioè un potenziale, è sempre irrotazionale, mentre un campo irrotazionale è conservativo se l'insieme in cui esso è definito è un insieme aperto stellato, o più in generale un insieme semplicemente connesso, come stabilisce il lemma di Poincaré. 14. Fornisci la definizione di rotore e di campo vettoriale irrotazionale. COME SOPRA 15. Fornisci la definizione di potenziale e di campo vettoriale conservativo. COME SOPRA Lezione 83 – Formula di Green 01. Enuncia il teorema di Green. Lezione 87 – Integrali di superficie 01. Spiega come è definito l'integrale di un campo scalare su una superficie regolare. L’integrale di superficie è un integrale definito calcolato su una superficie, ad esempio un insieme di curve, che può essere pensato come un integrale doppio analogo ad un integrale di linea. Come per le curve, anche sulle superfici si definiscono due tipi diversi di integrali, ovvero: a) Integrale di superficie di prima specie o semplicemente integrale di superficie per il calcolo del lavoro b) Integrale di linea di seconda specie per il calcolo del flusso lOMoARcPSD|10459144 Lezione 88 – Flusso di campi vettoriali 01. Definisci il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie regolare. 02. Definisci il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. COME SOPRA Lezione 89 – Teorema della divergenza 01. Definisci la divergenza di un campo vettoriale ed enuncia il teorema della divergenza. La divergenza è un campo scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere verso un punto dello spazio. Il valore della divergenza di un vettore F in una certa posizione è dato da un operatore, denotato con ∇ ⋅ o div F che fornisce una quantità scalare ∇ ⋅ F (o div F) 02. Definisci la divergenza di un campo vettoriale ed enuncia il teorema della divergenza. COME SOPRA 03. Fornisci la definizione di campo vettoriale solenoidale e mostrane un esempio. Un campo vettoriale V continuo in un insieme aperto A ⊂ R3 (tridimensionale) si definisce solenoidale se il flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa S ⊆ A è nullo. Esempio DA FARE Lezione 90 – Teorema di Stokes 01. Definisci il rotore di un campo vettoriale ed enuncia il teorema di Stokes. Un campo vettoriale può avere una rotazione infinitesima lungo il suo asse di rotazione. In tal caso si parla di rotore di un campo vettoriale che ne descrive appunto al sua rotazione ed è indicato con ∇ x Un campo vettoriale il cui rotore è nullo si dice irrotazionale. 02. Enuncia il teorema di Stokes. COME SOPRA Lezione 91 – Serie di funzioni e convergenza uniforme 01. Fornisci la definizione di convergenza uniforme per una serie di funzioni. Una serie di funzioni converge uniformemente ad una funzione f in A se converge uniformemente la successione delle somme parziali 02. Enuncia il teorema di Weierstrass per la convergenza assoluta e uniforme di una serie di funzioni. Premesso che: 1. Per serie di funzioni si intende la serie 2. Una serie numerica è assolutamente convergente se è convergente la serie numerica dei suoi valori assoluti 3. Una serie di funzioni converge uniformemente ad una funzione f in A se converge uniformemente la successione delle somme parziali Per cui in altre parole secondo il teorema di Weierstrass, sia [a, b] ⊂ R un intervallo chiuso e limitato non vuoto e sia f : [a, b] → R una funzione continua. Allora f(x) ammette (almeno) un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto nell'intervallo [a, b]. Esempio di massimo e minimo nell’intervallo di una funzione lOMoARcPSD|10459144 Lezione 92 – Proprietà delle serie uniformemente convergenti 02. Enuncia un teorema sulle proprietà della convergenza uniforme di una serie di funzioni. Lezione 93 – Serie di potenze 11. Spiega come è possibile calcolare il raggio di convergenza di una serie di potenze. Il raggio di convergenza di una serie di potenze è l’estremo superiore dell’insieme dei valori per i quali la serie converge e viene indicato con R. Per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze, si utilizza il limite superiore della successione. Se il limite esiste e si ha evidentemente ℓ ≥ 0 si può dimostrare che: 1.se ℓ = 0, allora r = + ∞ 2.se 0 < ℓ < + ∞ , allora r = 1 ℓ 3.se ℓ = + ∞ , allora r = 0 12. Enuncia il teorema di Abel. Il teorema di Abel per le serie di potenze assicura che, se una serie di potenze è convergente in un punto della frontiera del suo insieme di convergenza, allora la serie è anche continua in quel punto. 13. Definisci il raggio di convergenza di una serie di potenze. Il raggio di convergenza di una serie di potenze è l’estremo superiore dell’insieme dei valori per i quali la serie converge e viene indicato con R. Lezione 96 – Revisione 5 01. Enuncia e dimostra un teorema su campi vettoriali, integrali curvilinei o serie di funzioni, fra quelli contrassegnati con asterischi nelle lezioni. 02. Enuncia e dimostra un teorema sul calcolo differenziale in più variabili o sugli estremi di campi scalari, fra quelli contrassegnati con asterischi nelle lezioni. Ogni soluzione dell’equazione non omogenea è ottenuta sommando una soluzione particolare dell’equazione non omogenea con l’integrale generale dell’equazione omogenea 03. Enuncia e dimostra un teorema sulle equazioni differenziali, fra quelli contrassegnati con asterischi nelle lezioni. Ogni soluzione dell’equazione non omogenea è ottenuta sommando una soluzione particolare dell’equazione non omogenea con l’integrale generale dell’equazione omogenea lOMoARcPSD|10459144 Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 3/87 Lezione 048 ............................................................................................................................. p. 50 Lezione 053 ............................................................................................................................. p. 51 Lezione 054 ............................................................................................................................. p. 52 Lezione 055 ............................................................................................................................. p. 53 Lezione 056 ............................................................................................................................. p. 55 Lezione 057 ............................................................................................................................. p. 56 Lezione 058 ............................................................................................................................. p. 57 Lezione 060 ............................................................................................................................. p. 59 Lezione 063 ............................................................................................................................. p. 61 Lezione 066 ............................................................................................................................. p. 62 Lezione 067 ............................................................................................................................. p. 63 Lezione 068 ............................................................................................................................. p. 64 Lezione 070 ............................................................................................................................. p. 65 Lezione 075 ............................................................................................................................. p. 68 Lezione 076 ............................................................................................................................. p. 69 Lezione 077 ............................................................................................................................. p. 71 Lezione 078 ............................................................................................................................. p. 73 Lezione 081 ............................................................................................................................. p. 74 Lezione 082 ............................................................................................................................. p. 76 Lezione 083 ............................................................................................................................. p. 77 Lezione 084 ............................................................................................................................. p. 78 Lezione 087 ............................................................................................................................. p. 79 Lezione 088 ............................................................................................................................. p. 80 Lezione 089 ............................................................................................................................. p. 81 Lezione 090 ............................................................................................................................. p. 82 Lezione 091 ............................................................................................................................. p. 83 Lezione 092 ............................................................................................................................. p. 84 Lezione 093 ............................................................................................................................. p. 85 Lezione 096 ............................................................................................................................. p. 87 Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 4/87 Lezione 004 01. Fornisci la definizione di estremo inferiore di un insieme reale A e mostra un esempio di estremo inferiore che non è un minimo. 02. Fornisci la definizione di massimo di un insieme reale A. Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 5/87 Lezione 005 01. Fornisci la definizione e un esempio di funzione iniettiva. 02. Fornisci la definizione di funzione suriettiva e mostra un esempio di funzione suriettiva non iniettiva. Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 8/87 Lezione 009 01. Il dominio di y=ln(3-|x-6|) è dato da x>6 x<9 3<x<9 3<x≤6 02. Il dominio di y=[lg1/2(x-2)]1/2 è dato da 2<x≤3 2<x<3 x≥3 x>3 Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 9/87 Lezione 011 01. La parte reale di 4(1-i)-1 vale 2 1/2 -2 4 02. (2-i)2 vale 5-2i 3 5-4i 3-4i 03. La parte immaginaria di 1/i è 1 i -1 -i 04. |3-2i|2 vale 5 5-12i 13 1 05. La parte immaginaria di 2(1+i)-1 è 2 1 -1 -i Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 10/87 Lezione 012 01. La parte reale di (1+i)12 vale 26 -212 -26 212 02. Una radice cubica di (-1+i)4√2 è reia con r=2, a=11π/12 r=2√2, a=π/4 r=2, a=3π/4 r=2√2, a=19π/12 03. Il numero complesso z=i-1 può essere scritto in forma goniometrica r(cos a+i sin a) con a=5π/4 a=π/4 a=-π/4 a=-5π/4 04. La parte reale di (1+i)16 vale 216 28 1 0 Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 13/87 Lezione 016 01. Il limite per x che tende a π di (cos x+cos 2x)/(π-x)2 non esiste vale 3/2 vale -3/2 vale +∞ 02. Il limite per x che tende a π/2 di tan x(1-sin x) vale +∞ o -∞ non esiste vale 1 vale 0 03. Il limite per x che tende a 0 di sin(6x)/(2x+tan x) vale 2 vale 3 vale 6 non è definito 04. Il limite per x che tende a 0 di xsin(1/x) vale 1 non si può calcolare non esiste vale 0 05. Il limite per x che tende a 0 di sin(4x) (1-cos x)/x3 vale 2 +∞ non esiste 4 06. Il limite per x che tende a 0 di sin2(1/x) vale 1 vale 0 non esiste vale +∞ 07. Il limite per x che tende a 0 di (cos x-cos2x)/x2 vale -1/2 1 1/2 -1 Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 14/87 08. Il limite per x che tende a 0 di (4x+sin 2x)/(x-4sin x) -1/2 -2 -4 -1/4 09. Il limite per x che tende a 0 di x-2[cos(2x)-1] vale -2 -1/2 1/2 2 10. Il limite per x che tende a +∞ di (6x2-8x+5)/(2x-3x2) vale -4 +∞ -2 3 11. Il limite per x che tende a 0 di (x2-x)/(x3+x2) non esiste vale 0 vale -1 vale 1 12. Il limite per x che tende a 9 di (x-9)/(3-√x) vale -6 non esiste vale 0 vale +∞ o -∞ 13. Il limite per x che tende a 0 di (x+sin 2x)/(3x-sin x) vale -2 vale 3/2 vale 1/3 vale -1 14. Se P(x) è un polinomio di grado 3 e Q(x) è un polinomio tale che il limite per x che tende a -∞ di P(x)/Q(x) vale +∞, allora il grado di Q(x) non si può stabilire con le informazioni date è minore di 4 è maggiore di 4 è uguale a 4 Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 15/87 15. Se P(x) è un polinomio di grado 4 e Q(x) un polinomio di grado 5, il limite per x che tende a -∞ di P(x)/Q(x) assume un valore finito, che non è possibile stabilire con le informazioni date vale 0 assume un valore finito dato dal rapporto dei coefficienti di grado più alto al numeratore e al denominatore vale +∞ o -∞ 16. Il limite per x che tende a +∞ di (x3-2x+1)/(1-x2) vale -∞ vale -1 vale +∞ vale 1 17. Se L è il valore del limite per x che tende a 5 di (x3-25x)/(x-5), allora L vale 5 1 50 +∞ 18. Il limite per x che tende a 0 di sin(2x)/x vale 1 vale 2 non esiste vale 1/2 19. Il limite per x che tende a -∞ di (x2+x+1)1/2+x vale -2 vale 0 è un valore infinito vale -1/2 20. Il limite per x che tende a -∞ di (5x+|1-x|)/(1+2x) vale 2 -6 -3 3 21. Se a>0 e il limite per x che tende a +∞ di (ax-1)2/(x2+1) vale 4, allora 0<a<2 1<a<3 2<a<4 3<a<5 Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 18/87 Lezione 018 01. Se an+1-an è convergente, allora an converge an può non convergere an non può oscillare an non può divergere 02. Sapendo che an è una successione convergente non infinitesima, NON possiamo concludere che (an)2 è convergente (n+an)-1 è convergente non infinitesima an+1-an è infinitesima sin(an) è convergente 03. Posto A=(n+1)! e B=(n+2)!, allora il limite per n che tende a +∞ di (B-A)/(nB) vale 1 2 0 +∞ 04. Posto A=(n+1)! e B=(n+2)!, allora il limite per n che tende a +∞ di (B-A)/(nA) vale 2 1 0 +∞ 05. La successione di termine generale an = n-1 cos(1+n2) è infinitesima è oscillante limitata è divergente è oscillante illimitata 06. La successione di termine generale an = n / (n-1) è decrescente illimitata crescente limitata decrescente limitata crescente illimitata 07. Se (bn) è una sottosuccessione della successione di termine generale an=1/n, allora bn può oscillare o convergere in generale può convergere o divergere converge diverge 08. Spiega che relazione sussiste fra successioni monotone, regolari, convergenti e limitate, enunciando il relativo teorema. Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 19/87 Lezione 019 01. Il limite per x che tende a 3 di (x/3)1/(x-3) vale e-1 e-3 e1/3 e3 02. Il limite per x che tende a 0 di [ln(x+e2)-2]/x vale e e-2 e2 e2-2 03. Il limite per x che tende a +∞ di ln(4x) / ln(2x) vale ln 2 +∞ 1 2 04. Il limite per x che tende a +∞ di [ln(e2x+2)-2x] vale 0 +∞ 2 1 05. Il limite per x che tende a 0 di [ln(1+3x2)]/(x4-x2) vale 0 -3 +∞ 3 06. Il limite per x che tende a 0 di [ln(1+3x2)]/(x2-x) vale +∞ o -∞ -3 0 3 07. Il limite per x che tende a 0- di [ln(1+3x2)]/x4 vale -∞ +3 -3 +∞ Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 20/87 08. Il limite per x che tende a 2 di [ln(x-1)]/(x-2) vale 2 +∞ 0 1 09. Il limite per x che tende a 0 di (ex-e2x)/ln(1+3x) vale -2/3 0 1/3 -1/3 10. Il limite per x che tende a +∞ di (1+2/x)3x vale e3 1 +∞ e6 11. Il limite per x che tende a +∞ di (x-1)2x / (x+1)2x vale e-4 e-2 e4 e2 12. Il limite per x che tende a +∞ di x1/x vale 1 0 +∞ e Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 23/87 Lezione 022 01. La funzione f(x)=(x2+x-1)1/2-x ha y=-2x-1/2 come asintoto obliquo e y=1/2 come asintoto orizzontale y=2x-1/2 come asintoto obliquo e y=1/2 come asintoto orizzontale y=-2x+1/2 come asintoto obliquo e y=0 come asintoto orizzontale y=-2x-1/2 come asintoto obliquo e y=0 come asintoto orizzontale 02. La funzione f(x)=(2x2+x)/(x2-1) ha x=2 come asintoto verticale y=2x come asintoto obliquo y=2 come asintoto orizzontale completo due diversi asintoti orizzontali 03. La funzione f(x)=xex / (ex+1) ha asintoto destro (cioè a +∞): y=x+1 obliquo y=x orizzontale y=0 obliquo y=x-1 04. La funzione f(x)=ln(1+2/x) ha x=0 e y=0 come unici asintoti asintoti verticali e obliqui x=-2 e y=0 come asintoti due asintoti verticali e l'asintoto orizzontale y=e 05. La funzione f(x)=2arctan(x)-x ha y=-x+π come asintoto obliquo e x=π/2 come asintoto verticale y=-x-π come asintoto obliquo sinistro e nessun asintoto verticale y=-x+π come asintoto obliquo completo (destro e sinistro) x=π/2 come asintoto verticale e nessun asintoto obliquo Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 24/87 Lezione 023 01. La funzione f(x)=x2-e-x si annulla in un qualsiasi intorno di 1 si annulla per almeno un valore compreso fra -1 e 0 si annulla in un qualsiasi intorno di 0 si annulla per almeno un valore compreso fra 0 e 1 02. La funzione f(x) è definita e continua nell'intervallo [0,1], con f(0)=2 e f(1)=5. Allora f assume tutti e soli i valori compresi fra 0 e 1, oltre ai valori 2 e 5 f assume tutti i valori compresi fra 0 e 1, ma potrebbe assumerne altri f assume tutti e soli i valori compresi fra 2 e 5 f assume tutti i valori compresi fra 2 e 5, ma potrebbe assumerne altri 03. La funzione f(x) è definita e continua nell'intervallo [0,4], con f(0)=1 e f(4)=5. Allora, sicuramente, l'immagine di f è contenuto in [0,4] contiene almeno [0,4] contiene almeno [1,5] è contenuto in [1,5] 04. Una funzione reale f è definita su un intervallo [a,b]. Una condizione sufficiente affinché esista un numero reale c nell'intervallo ]a,b[ tale che f(c)=0 è f continua in [a,b] e f(a)=f(b) f continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ f continua in [a,b] con f(a)f(b)<0 f derivabile in ]a,b[ e f(a)+f(b)<0 05. Enuncia il teorema degli zeri (di Bolzano). 06. Enuncia il teorema dei valori intermedi. 07. Enuncia il teorema di Weierstrass su massimi e minimi. 08. Enuncia il teorema di Bolzano degli zeri e il teorema dei valori intermedi. 09. Fornisci la definizione di massimo assoluto di una funzione reale. Enuncia il teorema di Weierstrass su massimo e minimo assoluti. Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 25/87 Lezione 024 01. Se f è una funzione derivabile nell'intervallo [a,b], allora f'(a) rappresenta il coefficiente angolare della retta secante il grafico di f nei punti di ascissa x=a e x=b il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x=a un coefficiente della retta secante il grafico di f nei punti di ascissa x=a e x=b la retta tangente nel punto x=a 02. Data una funzione reale f definita per ogni numero reale, l'unica affermazione corretta, fra le seguenti, è se f è continua, allora è anche derivabile se f è derivabile, allora è anche continua f è continua se e solo se è derivabile possono esistere due insiemi A e B con f derivabile non continua in A e f continua non derivabile in B 03. Fornisci la definizione e il significato geometrico di derivata di una funzione in un punto. 04. Fornisci la definizione di derivabilità di una funzione in un punto. Che relazione sussiste fra derivabilità e continuità? Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 28/87 08. La derivata di xx nel punto x=e vale ee-1 2ee e2e ee 09. Se f(x)=(x+2)ln[1+2x+x2+cos(x)], allora f'(0) vale 2ln(2) 2 1+ln(2) 2+ln(2) 10. Se f(x)=arctan(2x), allora f'(1) vale 1/4 1/2 2/5 1/5 11. La retta tangente al grafico di y=ln3x nel suo punto di ascissa e ha equazione y = 3e-1x-3 y = 3e-1x-2 y = 3x-2 y = 3x-3e Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 29/87 Lezione 027 01. La funzione f(x)=(x2+1)/x non ha punti stazionari ha 1 come unico punto stazionario ha 1 e -1 come punti stazionari ha -1 e 0 come punti stazionari 02. Sia f una funzione che soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell'intervallo [a,b]. Allora possiamo sicuramente affermare che esiste un unico punto del grafico di f con retta tangente parallela alla secante passante per i punti del grafico di ascissa a e b esiste un unico punto del grafico di f con retta tangente all'asse x delle ascisse esiste almeno un punto del grafico di f con retta tangente parallela alla secante passante per i punti del grafico di ascissa a e b esiste almeno un punto del grafico di f con retta tangente all'asse x delle ascisse 03. La funzione f(x)=x2e-2x ha 0 e 1 come punti stazionari ha -1 e 1 come punti stazionari non ha punti stazionari ha 0 come unico punto stazionario 04. La funzione f(x), che vale x2+ax+1 per x<1 e -x2+x+b per x≥1, soddisfa il teorema di Lagrange nell'intervallo [0,2] per a=-3, b=-1 nessun valore di a, b a=-1, b=1 a=0, b=2 05. La funzione f(x), che vale x2+ax+b per x<0 e cx+3 per x≥0, soddisfa il teorema di Rolle nell'intervallo [-1,1] per a=c=1/2, b=3 a=b=3, c=1 a=1, b=3, c=4 a=0, b=3, c=5 06. La funzione f(x)=|x2-9|, nell'intervallo [-1,2], soddisfa il teorema di Rolle con un punto c>0 soddisfa il teorema di Lagrange con un punto c<0 soddisfa il teorema di Lagrange con un punto c>0 soddisfa il teorema di Rolle con un punto c<0 07. La funzione f(x)=|x-2|, sull'intervallo [-1,5], soddisfa il teorema di Rolle, ma non il teorema di Lagrange soddisfa il teorema di Fermat, ma non il teorema di Rolle soddisfa il teorema di Lagrange e il teorema di Fermat non soddisfa il teorema di Lagrange Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 30/87 08. Consideriamo l'applicabilità del teorema di Rolle alla funzione f(x)=|x2-3x|, sull'intervallo [0,3], e indichiamo con c gli eventuali punti la cui esistenza è garantita dal teorema. Allora vale il teorema di Rolle con un punto c<1 e per un punto c>1 vale il teorema di Rolle con un punto c<1 vale il teorema di Rolle con un punto c>1 non vale il teorema di Rolle 09. Se f è una funzione che soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo [a,b], quale delle seguenti affermazioni può non valere? f derivabile in [a,b] e f(a)=f(b) f derivabile in ]a,b[ f continua in ]a,b[ e f(a)=f(b) f continua in [a,b] 10. Enuncia il teorema di Lagrange e forniscine l'interpretazione geometrica. 11. Enuncia il teorema di Rolle e forniscine l'interpretazione geometrica. Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 33/87 Lezione 030 01. Il polinomio di Taylor di quarto grado della funzione f(x)=cos(x2) nel punto x=0 è 1-x2/2+x4/24 1+x2/2+x4/24 1-x4/2 1+x4/2 02. Il polinomio di Taylor di terzo grado della funzione f(x)=ln(1+2x) nel punto x=0 è 2x-2x2+8x3/3 2x+2x2+8x3/3 1+2x+2x2+4x3/3 2x-2x2+4x3/3 03. Il polinomio di Taylor di terzo grado di f(x)=e2x nel punto 0 è 1+2x+x2+x3/3 2x+2x2+4x3/3 1+2x+2x2+4x3/3 1-2x+x2-x3/3 04. Il polinomio di Taylor di grado 3, centrato in x=0, della funzione f(x)=sin x è x-x3/3 x+x3/6 x+x3/3 x-x3/6 05. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=sin x. 06. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=cos x. 07. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=ex. 08. Scrivi il polinomio di Taylor di terzo grado, centrato in 0, di f(x)=cos ln(1+x). 09. Scrivi il polinomio di Taylor di quarto grado, centrato in 0, di f(x)=exsin x. 10. Scrivi il polinomio di Taylor di grado 3, centrato nell'origine, di f(x)=ln(1+x). Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 34/87 Lezione 032 01. La funzione y=x+a+b/x ha un estremo relativo in x=2 e asintoto obliquo passante per il punto (3,8) per un determinato valore di a e b, con a<5 e b>4 a>4 e b>5 a>5 e b<4 a>4 e b<5 02. La funzione y=(x2+a)/(x+b) ha un punto di massimo relativo in x=-1 e di minimo relativo per x=2 per un determinato valore di a e b con a>-1, b<-1 0<a<1, -1<b<0 a>1, -1<b<0 a<1, b<0 03. In quale dei seguenti intervalli la funzione 1/3 x3-4x risulta crescente? ]-2,2[ ]1,+∞[ ]-∞,-3[ ]0,4[ 04. L'unica affermazione corretta per una funzione reale derivabile f è se f'(a)=0, allora f ha in x=a un punto di massimo o di minimo relativo se f è decrescente per ogni x, allora f'(x)≤0 per ogni x se f'(x)≥0 per ogni x, allora f è strettamente crescente per ogni x se f è crescente per ogni x, allora f'(x)>0 per ogni x 05. La funzione f(x)=x4-2x2 è crescente per -1<x<0 o x>1, ha un minimo per x=0 e massimi per x=-1 e x=1 è crescente per -1<x<0 o x>1, ha un massimo per x=0 e minimi per x=-1 e x=1 è decrescente per -1<x<0 o x>1, ha un minimo per x=0 e massimi per x=-1 e x=1 è decrescente per -1<x<0 o x>1, ha un massimo per x=0 e minimi per x=-1 e x=1 06. La funzione f(x)=x/(x2+9) è decrescente per x<-3 o x>3, ha un massimo per x=3 e un minimo per x=-3 è crescente per x<-3 o x>3, ha un minimo per x=3 e un massimo per x=-3 è crescente per x<-3 o x>3, ha un massimo per x=3 e un minimo per x=-3 è decrescente per x<-3 o x>3, ha un minimo per x=3 e un massimo per x=-3 07. La funzione f(x)=x(4-x)1/2 è crescente per x<8/3 ha un massimo per x=2 è crescente per x<2 e ha un massimo per x=2 ha dei minimi per x=0 e x=4 Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 35/87 08. La funzione f(x)=x/ln2x ha un minimo per x>e e un massimo assoluto per 0<x<e è decrescente per 1<x<e2 è crescente solo per 0<x<1 ha un massimo per x=e2 09. La funzione f(x)=(e2x-1)/(ex+2) ha un minimo assoluto ma non ha un massimo assoluto ha un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto è decrescente per x<0 è crescente per x>e 10. La funzione f(x)=arctan2(x2-1) ha esattamente un punto di minimo e un punto di massimo in x=0 ha almeno un punto di minimo e un punto di massimo con x>0 ha due punti di minimo per x=1 e x=-1, e un punto di massimo ha un punto di minimo ma non ha punti di massimo 11. La funzione f(x)=xx è crescente per x>e è crescente per x>0 è crescente per x>e-1 è crescente per x>1 12. La funzione f(x)=sin2x-2sin x, nell'intervallo [0,2π], ha un minimo per x=π/2 ha un massimo per x=π ha un massimo per x=π/2 ha un minimo per x=3π/2 13. La funzione f(x)=2x2/(x-1) ha solo i seguenti punti di estremo relativo: x=0 come punto di massimo x=0 come punto di minimo x=0 come punto di massimo, x=2 come punto di minimo x=2 come punto di minimo 14. Cosa sono i punti stazionari? Come sono legati alla ricerca di massimi e minimi relativi? 15. Fornisci la definizione di punto di massimo relativo e di punto di massimo assoluto, dando un esempio, anche grafico, di una funzione dotata di un punto di massimo relativo non assoluto. 16. Enuncia il teorema che pone in relazione la monotonia di una funzione al segno della sua derivata prima. 17. Fornisci la definizione di punto di minimo relativo e di punto di minimo assoluto, dando un esempio, anche grafico, di una funzione dotata di un punto di minimo relativo non assoluto. Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 38/87 Lezione 036 01. Enuncia il teorema della media integrale e forniscine l'interpretazione geometrica. Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 39/87 Lezione 037 01. Data una funzione f(x) continua in un intervallo chiuso e limitato I, f ammette infinite primitive, il cui rapporto è costante f ammette un'unica primitiva f può non ammettere primitive, ma se le ammette sono date tutte da una certa funzione più una costante f ammette almeno due primitive, la cui differenza è costante 02. Fornisci la definizione di primitiva di una funzione e l'esempio di una funzione f(x) e di una sua primitiva F(x). 03. Enuncia il teorema fondamentale del calcolo integrale. Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 40/87 Lezione 038 01. Detta F(x) la primitiva di f(x)=(16-16x2)-1/2 che vale 0 in 0, F(1) vale 1 π/2 4 π/8 02. Una primitiva di e3x è e3x 3e3x 1/3 e3x-2 3e3x+1 03. Se F(x) è la primitiva di sin(2x)/(1+sin2x) che vale 0 in 0, allora F(π/2) vale 0 ln (1/2) -1/2 ln 2 04. Se F(x) è la primitiva di sin(2x-π) con F(π/2)=1, allora F(π) vale 3/2 1 1/2 2 05. Detta F(x) la primitiva di (xex+e2x)/ex che vale 1 in 0, allora F(1) vale e+1/2 e+3/2 e+1 e-1 06. Una primitiva di 3x(x2+1)1/2 è x2(x2+1)3/2 3(x2+1)3/2-1 (x2+1)3/2-1 2(x2+1)3/2 07. Una primitiva di (sin x)ecos x è -ecos x+1 (sin x)ecos x-1 ecos x -(cos x)ecos x Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 43/87 Lezione 040 01. Se F(x) è la primitiva di (2x+3)/(x2+6x+9) che vale 3 in -2, allora F(0) vale 1+2ln 3 2ln 3 3+2ln 3 3 02. Se F(x) è la primitiva di (x2-4)-1 che vale 0 in 0, allora F(1) vale -(ln 3)/4 -(ln 3)/2 -(ln 3)/3 -ln 3 03. Se F(x) è la primitiva di (2x+1)/(x2+4x+5) che vale ln 2 - 3π/4 in -1, allora F(-2) vale ln 2 -3π/4 0 ln 2 + 3π/4 04. Se F(x) è la primitiva di (2x+1)/(x2+1) che vale 0 in 0, allora F(1) vale π/4 1 + ln 2 ln 2 π/4 + ln 2 05. Se F(x) è la primitiva di (4x2-4x+1)-1 che vale 1/2 in 0, allora F(1) vale -3/2 -1/2 1/2 3/2 06. Se F(x) è la primitiva di (x2+3x)-1 che vale -(ln 2)/3 in -1, allora F(-2) vale -ln 2 -2(ln 2)/3 ln 2 (ln 2)/3 07. Se F(x) è la primitiva di (x2-3x-1)/(x-3) che vale 8 in 4, allora F(6) vale 18-ln 3 36-ln 3 18+ln 3 36+ln 3 Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 44/87 08. Se F(x) è la primitiva di 2(2x2+x)/(2x-1) che vale 3 in 1, allora F(2) vale 8-ln 4 8+ln 3 4-ln 3 4+ln 4 Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 45/87 Lezione 042 01. L'integrale definito da 1 a e di ln(x) vale 1 e -1 0 02. L'area della regione di piano delimitata dagli assi coordinati, dalla retta x=π/2 (π è pi greco) e dalla curva y = x sin x vale π/2 1-π/2 1 π Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 48/87 Lezione 045 01. La serie ∑(-1)n/(n+ln n), con n≥2, diverge converge, ma non assolutamente converge assolutamente oscilla 02. La serie numerica ∑(-1)n na, con a parametro reale, converge se e solo se a>-1 e converge assolutamente se e solo se a>0 converge assolutamente se e solo se a<0 converge se e solo se a>-1 converge se e solo se a<0 e converge assolutamente se e solo se a<-1 03. La serie ∑e1/ncos n diverge converge assolutamente oscilla converge, ma non assolutamente 04. La serie ∑e2n/n3 converge assolutamente converge, ma non assolutamente oscilla diverge 05. La serie ∑(2+sin n)/n2 converge, ma non assolutamente diverge oscilla converge assolutamente 06. La serie ∑ln(1+na) converge se e solo se a<-1 a≥-1 a≥0 a<0 07. La serie ∑e1/n/na+2 converge se e solo se a≥0 a>-1 a>1 a≥1 Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 49/87 08. La serie ∑n-2(a/6)n con a>0, converge se e solo se 0<a≤6 a<1 0<a<6 a>0 09. La serie ∑(-1)n (2n)! 5-n / [(n!)2] diverge oscilla converge assolutamente converge, ma non assolutamente 10. Enuncia il criterio di Leibniz per serie numeriche e fornisci un esempio di applicazione. 11. Enuncia il criterio della radice per serie numeriche e fornisci un esempio di applicazione. 12. Definisci la convergenza assoluta di una serie numerica e spiega come è legata alla convergenza (semplice) di una serie. Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 50/87 Lezione 048 01. Enuncia e dimostra un teorema sulle derivate o sulle loro applicazioni, fra quelli contrassegnati con asterischi nelle lezioni. 02. Enuncia e dimostra un teorema sul calcolo integrale o sulle serie numeriche, fra quelli contrassegnati con asterischi nelle lezioni. 03. Enuncia e dimostra un teorema su limiti, continuità o successioni, fra quelli contrassegnati con asterischi nelle lezioni. Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 53/87 Lezione 055 01. L'equazione differenziale y'=y/t ha, come integrale generale (con k costante reale), y(t)=t+k y(t)=ln(t)+k y(t)=k ln(t) y(t)=kt 02. Se y(t) è la soluzione dell'equazione differenziale y'=cos t exp(-2y+sin t), con exp(x)=ex, che vale ln(4) per t=0, allora y(π) vale ln(2/e) ln(2) 2ln(2) 2ln(2/e) 03. Se y(t)=(t2-1)cos(t)+c, con c reale, è l'integrale generale di un'equazione differenziale, allora la soluzione del relativo problema di Cauchy con y(0)=2 è y(t)=(t2-1)cos(t)+3 y(t)=(t2-1)cos(t)+2 y(t)=(t2-1)cos(t)-2 y(t)=(t2-1)cos(t) 04. Se y(t) è la soluzione dell'equazione differenziale y'=y/t+12/t2 che vale 0 per t=1, allora y(2) vale 12 6 9 3 05. Se y(t)=t-k ln(1+|t|) è l'integrale generale di un'equazione differenziale (con k costante reale), allora la soluzione che vale 2 per t=0 si ha per k=-2 k=2 nessun k k=0 06. Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'=ycos t, con y(0)=2, allora y(π) vale 2/e e+2 2e 2 07. Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'=2ye-t, con y(0)=e-2, allora il limite per t che tende a +∞ di y(t) vale 2 1 2e e2 Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 54/87 08. Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy (2-x)y'=y, con y(0)=-1/2, allora y(1) vale 1 -1 -2 2 09. Il problema di Cauchy y'=2t(y-1)2, con y(0)=1, ha una soluzione con limite infinito per t che tende all'infinito ha una soluzione del tipo y=1-(x2+c)-1 ha y=1 come soluzione non ha soluzioni 10. Sapendo che y(t)=3et-eat-1 è una soluzione dell'equazione differenziale y"+y'-2y=2 e che a è un numero reale, allora a vale 1 -1 o 2 1 o -2 2 Set Domande: ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA INDUSTRIALE (D.M. 270/04) Docente: Catania Davide © 2016 - 2020 Università Telematica eCampus - Data Stampa 07/03/2020 15:33:25 - 55/87 Lezione 056 01. Se y(x) è la soluzione del problema di Cauchy y'+2y=ex, y(1)=3, allora il limite per x che tende a +∞ di e-xy(x) vale 0 3-e/3 +∞ 1/3 02. Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'=-2ty+t exp(-t2), y(0)=3, con exp(x)=ex, allora y(2) vale 5/e4 3/e4 3e 5 03. Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'+ytan t=2cos t, con y(0)=0, allora y(π) vale 2 -2π 2π -2 04. Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'+y=2sin t, con y(0)=0, allora y(π) vale -2 e-π+1 1 eπ 05. Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'=-4y+e2t, con y(0)=1/3, allora y(1) vale (e-4+e2)/6 (e-4-e2)/3 (e-4-e2)/6 (e-4+e2)/3