ANALISI NUMERICA - SINGOLO 12 CFU - 0701912MAT08SIN - 228 domande con risposta, Panieri di Analisi Numerica

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X: punto di minimo globale di f su X Data una matrice A, rref(A) sta per: Reduced row echelon form Date due matrici A e B, la trasposta di AB è : (AB)T = BT AT Date due matrici invertibili, vale la seguente proprietà: l'inverso del prodotto di A e B è il prodotto delle inverse delle matrici di partenza, scambiate però di posto nell'operazione di moltiplicazione Date due matrici invertibili, vale la seguente proprietà: L'inverso del prodotto di A e B è il prodotto delle inverse delle matrici di partenza, scambiate però di posto nell'operazione di moltiplicazione Dati due vettori v1 e v2, una loro combinazione conica è: Dati i punti x=1 e y=2, una loro combinazione convessa stretta è: z=3/2 Dati i seguenti vettori, il loro prodotto scalare vale: 11 Dati i seguenti vincoli, la loro intersezione individuax1 +2x2 +x3 -x4 ? 0; x1 +2x2 +x3 -x4 ? 0: un iperpiano Dato il problema min{cT x: Ax=b, x? 0} e il corrispondente duale max{uTb: uTA?cT}, il vettore generato ad ogni iterazione dell'algoritmo del simplesso cTB B-1: è una soluzione ammissibile per il duale solo all'ultima iterazione quando i costi ridotti sono non nulli Dato il seguente problema di PL e la corrispondente soluzione ottima, l'ottimo duale è: [u 1 u2 u3] = [-1 0 3/2] Domanda Risposta Dato il seguente problema di PL, con riferimento alla formulazione in forma standard min {cT x: Ax=b, x? 0}sia data la base B=[A1,A3,A5] e la corrispondete matrice F=[A2,A4]. Allora Il prodotto  B -1F è dato da: Dato il seguente problema di PL, con riferimento alla formulazione in forma standard min{cT x: Ax=b, x? 0} la matrice A è data da: Dato il seguente problema di PL, la formulazione in forma standard è: Dato il seguente problema di PL, la matrice A del problema in forma standard è data da: Dato il seguente problema di PL, la viariabile duale u1 associata al primo vincolo all'ottimo vale: -1/3 Dato il seguente problema di PL, un vertice del politopo definito dai suoi vincoli è: [x1 x2] = [ 2 4] Dato il seguente tableau ottimo, con riferimento alla variazione dei costi delle variabili fuori base non comporta un cambio della base ottima il vettore: [?c3 ?c4] = [1 -3] Dato il seguente tableau ottimo, con riferimento alla variazione dei costi delle variabili in base non comporta un cambio della base ottima il vettore: [?c1 ?c2] = [-1/2 -1/2] Dato il seguente un problema di PL. Il duale del suo duale è: Dato un insieme finito di semispazi chiusi e iperpiani, possiamo dire che: tale insieme individua sicuramente un insieme convesso Dato un poliedro P e un punto generico x0, la retta perpendicolare al gradiente della funzione obiettivo in quel punto rappresenta: una direzione verso la quale non si hanno variazioni della F.O. Domanda Risposta Il prodotto di un generico vettore v nello spazio vettoriale per un qualsiasi scalare k ( sia k maggiore o minore di zero), kv è anch'esso un vettore dello stesso spazio vettoriale. E' vero Il prodotto di un generico vettore v nello spazio vettoriale per un qualsiasi scalare k (sia k maggiore o minore di zero), kv è anch'esso un vettore dello stesso spazio vettoriale: TRUE Il rango di una matrice A : conta il numero di righe effettivamente indipendenti nella matrice A Il rango di una matrice A: Conta il numero di righe effettivamente indipendenti nella matrice A Il rango di una matrice è k se c'è un minore di ordine k, della matrice, con determinante diverso da zero e tutti i minori (eventuali) di ordine k+1 hanno determinante nullo.: Vero Il rango di una matrice è k se c'è un minore di ordine k, della matrice, con determinante diverso da zero e tutti i minori (eventuali) di ordine k+1 hanno determinante nullo: E' vero Il rilassamento continuo di un problema di PLI consiste in: Rimuovere il vincolo di interezza delle variabili Il seguente di sistema di disequazioni definisce: una superfice chiusa e limitata Il seguente di sistema di disequazioni definisce: un insieme vuoto Il seguente problema è un: problema di programmazione non lineare vincolata Il seguente sistema di equazioni definisce: un punto Il simbolo a? b?...: Si legge a scalare b Il sistema lineare è composto da: Un sistema lineare è un insieme di due o più equazioni lineari, che devono avere una soluzione unica soddisfacente tutte le equazioni. Il teorema della dualità debole afferma che: Dati due punti x e u ammissibili per la coppia primale-duale vale sempre la relazione uT b ? cT x Il teorema di Gauss dice: Sia A matrice n x m, x vettore colonna 1 x m, e b vettore colonna 1 x n. Allora il sistema ammette soluzioni se e solo se il vettore b appartiene al sottospazio generato dai vettori di A Il valore di x che risolve il seguente problema è: 5/2 Il valore di x che risolve il seguente problema è: 0 Il valore di ? rappresenta: il valore massimo che può assumere una variabile che entra in base Il valore ottimo della F.O. di un problema di PLI di massimizzazione rilassato è: Maggiore o uguale del valore della F.O. all' ottimo intero Il vettore dei costi cT rappresenta: il vettore dei coefficienti della funzione obiettivo Il metodo di Gauss consiste nel : trasformare ogni sistema in un equivalente sistema triangolare Il metodo di Gauss è un metodo identico a quello di Cramer ma meno utilizzato: E' falso Il metodo di Gauss rappresenta un metodo alternativo a quello di Cramer, utilizzato per la risoluzione di un sistema di n equazioni in n incognite e si basa sull'osservazione che, in un sistema la cui matrice dei coefficienti è triagolare inferiore, è possibile ricavare il valore delle incognite a partire dall'ultima equazione e quindi, con sostituzioni successive, ricavare le altre incognite del sistema. E' vero In quale relazione sono il det A ed il det (-A)?: Det( - A) = - detA In quale relazione sono il det A ed il det (2A)?: Det A = 2 detA Indicare come si traduce in formula a scalare b: Otteniamo: a? b? = aba prodotto scalare dei vettori con a modulo del vettore a? e ba componente di b lungo a Indicare in quale relazione sono il det A ed il det (-A): det( - A) = - detA Indicare in quale relazione sono il det A ed il det (2A): det A = 2 detA Indicare quale delle seguenti asserzioni è corretta: L'insieme di due vettori di uno spazio vettoriale è chiuso rispetto all'operazione di addizione vettoriale, ed è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare Domanda Risposta Indichiamo la nullità di una matrice A con v(A) La sua relazione con il rango r è espressa da: V (A) = dim N (A) = n - r L' equazione secolare è : l'equazione algebrica che permette di determinare gli autovalori di un operatore lineare e che interviene in numerose questioni di algebra, geometria e fisica L'analisi di sensitività consiste nel: valutare la stabilità della soluzione ottima facendo variare i dati del problema L'ellisse e la parabola hanno due direttrici: TRUE L'equazione di una conica si studia in relazione al valore del determinante della matrice A che rappresenta la matrice dei coefficienti dell'equazione. Diremo che la conica è degenere se: Il determinante di A è detA = 0 L'equazione di una conica si studia in relazione al valore del determinante della matrice A che rappresenta la matrice dei coefficienti dell'equazione. Diremo che la conica è degenere se: Il determinante di A è detA = 0 L'equazione secolare è: L'equazione algebrica che permette di determinare gli autovalori di un operatore lineare e che interviene in numerose questioni di algebra, geometria e fisica La formulazione della F.O. del tipo minmax {a(x),b(x),c(x)} con a(x),b(x),c(x) lineari continue e non parallele : lineare a tratti La formulazione della F.O. del tipo minmax {a(x),b(x)} con a(x),b(x) lineari continue e parallele è: lineare La funzione che restituisce un vettore colonnacontenente tutti gli autovalori di A, è espressa: Eig(A) La funzione di trasformazione di rappresentazioni del sistema di controllo ss2zp: Origine: zero - polo destinazione: spazio di stato La funzione di trasformazione di rappresentazioni del sistema di controllo tf2ss: Origine: funzione di trasferimento destinazione: spazio di stato La funzione di trasformazione ss2tf(A, B, C, D,iu) restituisce: Restituisce lo spazio di stato relativo all'ingresso indicato dallo scalare ui La funzione obbiettivo è: una funzione scalare di cui stiamo cercando il valore minimo o massimo La funzione plot( X1,Y1,X2,Y2, …Xn, Yn) restituisce: La funzione restituisce n disegni nella stessa figura La funzione poly() restituisce: I coefficienti del polinomio caratteristico della matrice A La funzione residue(num, den) restituisce: Restutisce tre parametri,[r,p,k] = residue(num, den), tutte le singolarità e il residuo La funzione roots() restituisce: Tutte le radicie del vettore La generazione dei vettori con incrementi da 0,5 è espressa da: T = 1:0.5:3 La mappa in figura rappresenta la città di Roma suddivisa per muncipi. Ogni cittadino deve avere almeno un ospedale nella zona in cui risiede o in una zona adiacente. L'obiettivo è dunque quello di minimizzare la cardinalità degli ospedali. La funzione obiettivo del problema e il vincolo solo per il municipio 18 sono: La matrice B è inversa di A e si scrive B= A^(-1) e si ottiene con il seguente calcolo: La matrice costituita dal seguente sistema di equazioni è 2x1 + 3x2 =0; -4x1 -6x2=3: una matrice singolare La matrice identità I è composta da: Elementi tutti nulli tranne quelli con indici uguali La matrice trasposta di A, nxm, è: La matrice B, mxn, è la trasposta se ogni elemento della matrice composta è bji = aij Domanda Risposta La moltiplicazione ?·a di un vettore a con il numero reale ? è un vettore b = ? a: Parallelo (o come si dirà in seguito, collineare) ad a di modulo | ? |·| a | cioè pari al prodotto del valore assoluto di ? con il modulo di a e verso coincidente con quello di a se ? > 0, di verso opposto se ? La quantità rappresenta: la variazione della funzione obbiettivo a seguito del cambiamento di base La regione ammissibile del seguente problema di PL è: un politopo La regione ammissibile del seguente problema di PL è: un poliedro La soluzione ottima di un problema di PL i cui vincoli definiscono un politopo è: un vertice del politopo La somma di due vettori a e b è un vettore c = a + b la cui direzione e verso si ottengono nel modo seguente: Si fissa il vettore a e, a partire dal suo punto estremo, si riporta il vettore b. Il vettore che unisce l'origine di a con l'estremo di b fornisce la somma c = a + b. La somma di due vettori v, u che giacciono nello spazio vettoriale (v + u) giace di nuovo nello stesso spazio vettoriale. E' vero La somma di due vettori v, u che giacciono nello spazio vettoriale (v + u) giace di nuovo nello stesso spazio vettoriale: TRUE La Storia dell'eliminazione gaussiana: I primi a sfruttare le matrici per agevolare i propri calcoli furono i matematici cinesi, proprio nell'affrontare i sistemi lineari. Nel Jiuzhang Suanshu (Nove capitoli sulle arti matematiche), steso durante la dinastia Han, l'ottavo capitolo è interamente dedicato allo svolgimento di un problema matematico formulato sotto forma di sistema lineare. L'autore dispone ingegnosamente i coefficienti di ogni equazione parallelamente in senso verticale, in maniera quindi differente dalla notazione odierna, che li vuole disposti orizzontalmente, per righe: una semplice differenza di notazione. Ai numeri così disposti si applicava una serie di operazioni portandoli in una forma tale da rendere evidente quale fosse la soluzione del sistema: è quello che oggi conosciamo come metodo di eliminazione gaussiana, scoperto in occidente solo agli inizi del XIX secolo con gli studi del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss. La traformazione da forma standard a forma canonica della seguente equazione è: La trasformazione della seguente disequazione dalla forma canonica a quella standard è: La variabile seguente rappresenta: una variabile booleana Le coniche degeneri possono essere: rette parallele o rette incidenti Le coniche degeneri possono essere: Rette parallele o rette incidenti Le coniche non degeneri si classificano come di seguito riportato: Iperbole, Parabola, Ellissi Le righe e le colonne della matrice identità sono linearmente indipendenti; diremo tali vettori unitari: E' vero Le righe e le colonne della matrice identità sono linearmente indipendenti; diremo tali vettori unitari: TRUE Le strategie di massimo pivot che permettono di rendere il metodo di eliminazione Gaussiana numericamente affidabile: vero Le strategie di massimo pivot che permettono di rendere il metodo di eliminazione Gaussiana numericamente affidabile: E' vero Le variabili in matlab sono raprresentate come: Matrici Lo spazio nullo di una matrice A…: È anche chiamato il 'nucleo' di A, e le sue dimensioni sono le 'nullità' di A. Domanda Risposta Sia data una macchina a capacità unitaria che deve effettuare tre lavori con tempi di processamento: p1=3, p2=1, p3=1.Inoltre: se il primo lavoro precede il terzo, l'inizio del secondo lavoro deve aspettare un tempo ?2=3 dopo il termine del terzo lavoro; se il terzo lavoro precede il secondo, l'inizio del primo lavoro deve aspettare un tempo ?1=2 dopo il termine del secondo. La corretta formulazione del porblema di sequenziamento è: Sia data una matrice A 2x2. Il rango di A può essere : 0, 1 o 2. Sia data una matrice A. Il determinante di A è uguale al volume di unparallelepipedo P nello spazio a (n) dimensioni purchè i lati di P provengano dalle righe di A.: Vero Sia data una matrice A. Se detA=0 allora...: la matriceA è singolare Sia data una matrice A. Se il detA ? 0 allora…: A è invertibile Sia data una matrice A. Se il detA`"0 allora: A è invertibile Sia data una matrice A. Se il rango della matrice A è massimo allora…: det A ? 0 Sia dato il seguente problema di PL e sia LB=-12 il lower bound della F.O. La soluzione ottima è del tipo: Sia dato il seguente problema di PL e sia LB=-2 il lower bound della F.O. La soluzione ottima è del tipo: Sia dato un insieme finito di oggetti E e una famiglia F costituita da sottoinsiemi A non vuoti di E. Sia inoltre 'I' la matrice di incidenza della famiglia F su E, di componenti aij. La formulazione seguente indica: Un problema la cui soluzione ottima è il vettore nullo Sia dato un problema di PL costituito da m vincoli e n incognite con n>m. Sia inoltre B una base della matrice A e F la rimanente parte della matrice. Allora il prodotto  B -1F è: una matrice con m righe e n-m colonne Sia dato un problema di PL costituito da m vincoli e n incognite con n>m. Sia inoltre B una base della matrice A e F la rimanente parte della matrice. Allora il vettore dei costi ridotti : un vettore che ha m componenti nulle e n-m componenti date dalla differenza tra i vettori  cTF - cTB B-1F Sia dato un problema di PL costituito da m vincoli e n incognite con n>m. Sia inoltre B una base della matrice A. Allora il prodotto cTB B-1 è: un vettore di m componenti Sia ? un autovalore di A. Si chiama autospazio di ?: L'insieme V? di tutti gli autovettori corrispondenti a ? Sia ? un autovalore di A. Si chiama molteplicità algebrica di ?, e si indica con ?(?): La molteplicità di ? come radice dell'equazione caratteristica Domanda Risposta Sia ? un autovalore di A. Si chiama molteplicità geometrica di ?, e si indica con ? (?): La dimensione di V? e quindi il massimo numero di autovettori linearmente indipendenti corrispondenti a ? SiaA ? Rn×n. Il modulo massimo degli autovalori di A è detto: Raggio spettrale di A SiaA ? Rn×n. Sia ? un numero per cui esiste un vettore x diverso da 0 tale che valga la relazione Ax = ?x . x è detto: Autovettore corrispondente a ? Siano dati i vettori x (1, n) (vettore riga) ed il vettore y (n, 1) (vettore colonna), il loro prodotto interno è zero se e solo se i due vettori sono ortogonali.: TRUE Siano dati la matrice ottima B-1 di un problema di PL e il vettore dei termini noti b. Con riferimento alla variazione dei termini noti non comporta una variazione della base B il vettore: ?b = [?b1 ?b2 ?b3]T = [0 -3 2]T Siano i e j una coppia di lavori da fare su una macchina a capacità unitaria. Un vincolo disgiuntivo esprime la condizione: i precede j oppure j precede i Siano O e D una coppia origine-destinazione e siano k=1,2,…n i vagoni del convoglio. Sia inoltre xk il numero di passeggeri assegnato a ciascun vagone e sia B il totale dei passeggeri che vuole spostarsi da O a D, e Q la capacità massima del treno. Affinchè il numero dei passeggeri sia equamente distribuito tra i vagoni (è ammessa approsimazione) deve risultare che: Siano O e D una coppia origine-destinazione e siano k=1,2,…n i vagoni del convoglio. Sia inoltre xk il numero di passeggeri assegnato a ciascun vagone e sia B il totale dei passeggeri che vuole spostarsi da O a D. Deve essere sempre garantito che: Siano w e p rispettivamente il peso e il profitto associati ad una collezione di oggetti. Allora, il seguente problema di PLI è un: knapsack binario Siano w e p rispettivamente il peso e il profitto associati ad una collezione di oggetti. Allora, il seguente problema di PLI è un: knapsack intero non capacitato Siano x e u due vettori ammissibili per i rispettivi problemi (primale-dulae) e che soddisfano le condizioni di ortogonalità. Possiamo dire che: All' ottimo il valore della F.O. è uguale nei due problemi Teorema di Rouchè-Capelli: 1) rango(A) = rango(A|b) se e solo se il sistema è risolubile 2) rango(A) = rango(A|b) = n allora il sistema ha unica soluzione 3) rango(A) = rango(A|b) = p Un autovalore ? di una matrice A è anche autovalore di AT.: TRUE Un insieme X è convesso se: Comunque presi due punti appartenenti all' insieme, ogni loro combinazione convessa fa parte dell'insieme Un lower bound bound della funzione obiettivo di un problema di minimizzazione è: Un valore sicuramente inferiore o uguale della F.O. all'ottimo Un poliedro convesso in Rn è: l'insieme dei punti che soddisfano un sistema finito di equazioni e disequazioni lineari in n variabili Un problema di programmazione lineare è: un problema di ricerca del punto di minimo o di massimo di una funzione lineare in presenza di vincoli lineari Un problema di Programmazione Lineare Intera è: Un problema di ottimizzazione in cui la funzione obiettivo è lineare e le variabili sono intere Un punto di massimo locale di una funzione definita su insieme convesso X è anche un punto di massimo globale se: Domanda Risposta Un upper bound della funzione obiettivo di un problema di minimizzazione è: Un valore ottenuto con una qualsiasi soluzione ammissibile Un vincolo del tipo ?T x? ? con x ? Rn: un insieme convesso Una base di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori che sverificano la/le seguenti proprietà: i ) sono linearmente indipendenti, ii ) generano l'intero spazio Una base di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori che sverificano la/le seguenti proprietà: I ) sono linearmente indipendenti, ii ) generano l'intero spazio Una conica è il luogo dei punti del piano le cui coordinate sono soluzione …: Di un'equazione di secondo grado Una conica è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante il rapporto tra la distanza dal fuoco e la distanza dalla direttrice. Chiamiamo questo rapporto: eccentricità Una conica è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante il rapporto tra la distanza dal fuoco e la distanza dalla direttrice. Chiamiamo questo rapporto: Eccentricità Una funzione f del vettore x1, x2,...,xn, definita convessa se per ogni coppia di vettori x1 x2 vale che: Una matrice A è singolare se: det(A)=0 Una matrice a gradini è: una matrice quadrata o rettangolare in cui il primo elemento non nullo di ogni riga è più a destra del primo elemento non nullo della riga precedente Una matrice a gradini è: una matrice quadrata o rettangolare in cui il primo elemento non nullo di ogni riga è più a destra del primo elemento non nullo della riga precedente. Una matrice A=(mxn) ha rango pieno se: Ha m righe linearmente indipendenti Una matrice nxm indica: Le dimensioni della matrice di n righe ed m colonne Una società vuole ridurre al minimo le spese attraverso una riorganizzazione aziendale che consiste nell' assegnamento ottimo delle mansioni ai dipendenti. La società non vuole licenziare nessun dipendente e vuole garantire che tutte le attività non rimangano scoperte. Sia xij la vriabile che associa il generico dipendente i alla generica mansione j, e sia cij il corrispettivo che l'azienda paga al dipendente i per la mansione j. Considerando che ogni attività può essere fatta anche da più addet Una società vuole ridurre al minimo le spese attraverso una riorganizzazione aziendale che consiste nell' assegnamento ottimo delle mansioni ai dipendenti. Non è esclusa la possibilità che venga licenziato qualche dipendente, purché tutte le attività rimangano coperte. Sia xij la vriabile che associa il generico dipendente i alla generica mansione j, e sia cij il corrispettivo che l'azienda paga al dipendente i per la mansione j. Considerando che ogni attività deve essere fatta da un solo addett Una soluzione base ammissibile (non degenere) è ottima se: il vettore dei costi ridotti non ha componenti negative