Applicazioni bilineari, Appunti di Algebra Lineare e Geometria Analitica

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FORME BILINEARI Applicazioni bilineari Matrici associate alle forme bilineari Forme bilineari simmetriche sèunaformabilinearegYY fynappggerissociaaziaivanoscalaredelcampo DEFINIZIONE PRODOTTO SCALARE formabilineare omatrice simmetricadefinitapositivanegli spazivettorialigeneralizzato cosi g vxw z lafunzionenon ha problemi è P esternotra in Entina inprodottocartesiano IE È.IT jfi iijev.viiievivaigono leseguenti gli w̅ w̅ f E E f E w̅ flat E gli w̅ agli w̅ sia v uno's EL Generato e D vi in unabaseai v f Vxv K formabilineare fggtqauyg.gg base ilvettorew̅essendo un no si definisce la matrice A 9 1 Mpls Dati 2 vettori w̅ e w̅ Ew̅EV Èrispetto a B t Xi xa https e w̅ ya Inè Y allorasijxtay con e è Xavi xnin.yivity.it ynin inflitti nastri t nynslypun esempio di forma bilineare iFiliànàè prodottoscalare g formabilinearesu V èdetta simmetrica se A èsimmetrica gèsimmetrica gli w̅ giùE ETiev se Bè unabaseATEI e Tay yay metrica consideriamo Here ci limitiamo aspazi az DIMOSTRAZIONE Ègoonna siassocia w̅ XpX e w̅ X e se si ha a Ma8 ora s'i w̅ matriceassociata alla formabilineare f rispetto allabase B DIFFERENZATRAAPPL E FORMABIL Scrittura g IRXIR IRanchese IR è uncampodi scalareècmg1 spaziovettorialesemplice Cambiamento di base forme bilineari CONGRUENZA Essendo AMag in cui ai f vivi da 2 vettori arbitrari comew̅ e w̅espressi in componenti rispetto a B sipuòcalcolare la loro immagine giù w̅ cherappresenta lamatrice a moltiplicataperi vettori iniziali per far valere labilinearità Leproprietà della forma bilineare vengono trasferite sulla matrice che le rappresent fsimmetrica a èsimmetrica formabilineare suV Abbiamo 2 basi B e B basi di V A Ma f A Mog MBB f E componeitidierispetto a B FEFÈC'È Xp AB BTA il Easposto diunprodotto prodottodeitrasposticambiatidiposizione B BE TAY CXBTAICYBiXB Ef.ec Intisezunamatrice cinvertibile proposizione d C'AC Il 0 Ala sidiconocongruenti se A èsimmetrica AeBsono congruenti ancheB è simmetrica Dimostrazione se B simmetrica deveessere B 3 essendo B TAC B C'ADECTATEECTIE C ingruentiAB BTAT unamatriceloformabilineare iità sene iàità.ie ai 95iiiieiiic se èigiie aicisuatrasposta Lasimmetria tra matrici èpreservatadalla congruenza IIIIEREFAI EFFIE 2MATRICICONGRUENTI matriciassociatealla formabilineare Lacongruenza è una relazioned'equivalenza RIFLESSIVA A è congruente a se stessa e lamatrice C sarà la matriceidentità A CTAC E L CECI f 9 9 9 SIMMETRIA se A ècongruente a B allora e sarà congruente ad A e lamatrice cherealizz ciò se B è congruente ad Aattraversola C la a ècongruente a Battraverso la C A TBC B C AC B CTAC B CT BC1 TRANSITIVA se A ècongruente a BeB ècongruente a 0 anche 0 ècongruentead A e lamatri delcambiamentodibase è ilprodotto delle precedenti matricidel cambiamentodibas A CTBC B CT AC B CTOC C AC CDC A CTC'OCC Matrici congruenti non hanno polinomio caratteristico eautovalori consimilitudine e matricisimili c'è polinomio caratt determinanteperchédeterminantePC interviene cometerminenoto a meno del segno Diseguaglianza di shwars Sia V uno spazio vettoriale euclideo PROPRIETÀ DEL PRODOTTO SCALARE 1 → infatti se ⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ⠀⠀⠀⠀⠀ , inoltre il modulo, essendo una lunghezza è sempre positivo 2 → in effetti non si potrebbe avere distanza nulla per vettori non nulli 3 → una volta incluso nel modulo ⠀⠀⠀ sarà positivo (teorema Binet) 4 detta diseguaglianza triangolare DIMOSTRAZIONE 4 : basta considerare la proprietà triangolare del modulo (il modulo della somma di due numeri reali è minore o uguale alla somma dei loro moduli) Il prodotto scalare definito in V3 rispetto alla base i, j, k ha come matrice associata la matrice identità di ordine 3 (matrice simmetrica definita positiva se noi la associamo allo spazio vettoriale). Formula di gram-schmidt Serve a costruire una base di vettori ortogonali a partire da una base qualsiasi ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀quella ortogonale ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ con Algoritmo: si pone w1 = v1 (non è ortogonale a nessuno) Per w2 si sottrae da v2 la componente parallela alla direzione di v1: Analogamente: In generale: (c’è i-1 perchè c’è v1 già prima) Fino all’elemento finale wn e ciò garantisce la costruzione di una base ortogonale. VITEV IIFINITIIII Ù I Ù EE 101 0 101071810.11 101 07è0 I X E XEIR UTTEUTTE ANGOLOTRADUEVETTORICOSO DUN PROIEZIONEORTOGONALEdiw̅rispettoaÙ tu YYY.FI Un T Y itèdettoversore saluta tixit èdettanormadi w̅ lluilflui.it ÙxÙ siano teli 2vettorinonnulli ETuèortogonale a w̅ infatti E vilxa Exti vixii E YYY.tlxT TxIYIYIxI 0 B viii in B Wiwa tn w̅Xw̅ 0 Vi 5 Wetz_VIIIWI w̅ BTIENI Wifi È w̅ i TEOREMA SPETTRALE (x matrici reali simmetriche) Lfffmpstrarlo c'èbisognodi 2lemmi Gliautovalori dimatricisimmetriche realisonoreali INOSTRAZIONE bastadimostrarecheogniautovalore è reale ER simmetrica AAT onsidero comeradicedi la Il 0 lee TEC dimostro chedTER Katib I a ib D I b0 Gtb a Ib seCEIR c E AX AX autovettore a componenti eventualmente complessaè iltraspostoconiugato ORA 1hpDIVENTA A AK si invertono lerighecon lecolonne e inumeri con iloro coniugati complessi geggziaceeggqiynntgA1f A traspostaescambia se A A AèHERMITIANAmatrice a valoricomplessi che coincide con lapropriatàÌÈÈÈÈÈÌ ÈÈ generalizzardella AIYYI A IN FACCIO ILTRASPOSTO CONIUGATODITUTTAL'ESPRES gigggy deglisp A A L X A EE NOTACHE xX EKiYa i 9 atti compies Allora in A è 1 7 0 da cui x ̅ ovveroXER LEMMA 2 Gliautospazi dimatrici simmetriche realisonomutualmenteortogonali ovvero autovettori associati ad autovalori sono ortogonali DIMOSTRAZIONE siaAER simmetrica esiano la ha conIfautovettore Dimostroche vie visonoortogonali avettorecolonna ro I A ora ovvero sa 0 A 0 11 2 1 XIAX SI ANNULLAANCHEATTRAVERSOMATRICEA X e sonoconiugatiancherispettoaA stata 18 1 9 9 rispettoproa name DIMOSTRAZIONE diautovettori n III affiatitàbi ortogonalmenteequivale adammettere unabaseortonormaleaiautovettori Il lemma 1 a HaautovaloriReali siadaunautovalore siaw̅ unautovettoredi 11dimodulo 1 Possocompletare fa a unabaseortonormaledi IR B vi w̅ In èortonormale possopensare che a Maf con g endomorfismodiIR Sia A Mag ovviamente A C'AC Con CmatricedelcambiamentodibasedaBale LamatriceC hasullecolonne i vettoridi B percui c è ortogonale Lamatrice a èanche congruente ad A A C AC CTAC quindiA èsimmetrica in quanto aèsimmetrica NBLasimilitudineconservagliautovalori e lacongruenzapreservasimmetria l'ipotesiinduttivaAllora 7 vi in baseortonorBL ortonormalediautovettori di a richiesta Ast teorema IMPORTANTE perchédà 1classedimatrici che sidiagonalizzano sempre conmatricesimmetrica autovaloriregolari e numerireali e sipuò considerare 1matrice DIAGONALIZZANTEcostituitada vettori ortonormali