Proprietà del Prodotto Scalare in Spazi Vettoriali - Prof. Gimigliano, Sintesi del corso di Algebra Lineare e Geometria Analitica

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Iiiiiiiiiiii sina.ua IIII casa perogni implica A 12,3ab Innaturale Ifi sittin I II ma scesa e Iiii 0,12 fig Beve insiemidiciamocheAèinclusoinB echea èunsottoinsiemediB e scriviamo Ace seognielementodi A èanche A 12,3 B 1141583 DIA I I to Iemi D 1,315,74 A D ACC Anatemi A A A B IEA B A I III xe B odotto Cartesiano A 1,2 B abe AxB 1a 1b 11c 2a 12,6 2,4 dellascritturadi coppiaordinata es IT RxR xU E R yER c canna È sciamidiPeano Igtmenonaturale n haunsuccessore non ma sensa Principiodi induzione se acini e valgonolecoseseguenti la Gygstrg tiene ftp.flnimabvateanEI mica unzioni Iafifone daèÈèunaleggecheassegna d ognielementodi aunoedunosoloelementodiB B invece giftIlaria I nonè fidaninottino es difunzioni i f II èuna funzione B esempioè in o casogenera Seho cioèseognielemento diB è immagine di un elementodiA diciamochelafunzione è suriettivaso a f 1,23,43 5,6 ma g a b c 12,78 tu Imf 5,6 I numerireali IR è uncampoinfatti R gruppocommutativa infatti valgono I iii il neutroper i cheè leggediannullamentodelprodotto a beIR abe e a o ob o Leggedicancellazioneper it a bc EIR a bc e ah che sa agedicancellazioneperil abche a e paz Vettoriali vettorigeometria vettorigeometrici pensiamo a puntipianirettespazio dellageometria II Insideriamosolovettoriapplicati in cioèconestremoinizia VETTOREsegmentoorientatodaun segmenti unpuntoiniziale conestremo inizialeA e finaleB a ordinate IIIIma necomponead e lecoppiedinum reali Hounacorrispondenzatraipuntidelpiano testo da un'acirriIondenzabiunivocatrapuntidellavettaeIR ello spazio 3retteorientate202perpendicolari hounacorrispondenzabiunivoca puntinellospazio in 1 2 I V au.gg II 1 1 e 12,31 V311,05 sono e i udiamounacombinazionelinearegenericacioè ex arabecose 10,1a ben2,37al1,0si ioad aattbabitateo si oed nata atsb.sc ioad È c ce bramoqundiunac i nuca a cortenontuttinaniquindi vavavasonolinearmente dipendenti f siaunospaziovettorialeun insieme gov èdettosistemadigeneratoriper se vevupuòesserescrittocomecambilinearedivettoriappartenentiaG insiemeinfinitodivettoridivsidicelinearmenteindipendentese sottoinsiemeaiutodi Lia rs sihachea rssono li a inizi econ ressa mi chiedoserivivesonounsistemadigeneratoriperii casocosì ixa vettoregenericodilà e achiediamose ab eh te mutantbeaters larisposta èsì xeyEirallorau u u èunsistemadigeneratoripertra iÈ p se avararedice eassai xeytrovounasola si èunsistema digenerazione inR sebastanonera ageneraretutto II II u s saverio11,7 iii21 72 teniente2 scan fatelostessocontepermevaviaccorgetecheanche un èunsistemadigeneratoriperte serviamocheurlateadessereunsistemadigeneratoriperri èe i infatti mi recai abceIr l'unicacomblinearediverachedà èconcortetuttiII IIII oa o un èunabaseper sonoe i egenerano oposizione sia unospaziovettoriale esianoun rsev sonoequivalentile seguentiate u vssono li Nessunodeivi è c edeirimanenti in si m dobbiamoprovare 1 2 e a 1 2 supponiamoun e li supponiamoperassurdocheunosiac edeglialtri hotrovatounai enontuttinullicioèun rs sonoeacontrol'ipotesi finzione siavanospvettoriale e siaBunsuosottoinsieme DiciamocheBèunabaseperv seBè unsistemadigeneratorie i IR èl'insiemeformatodaivettori e 11o e o ercane 01 eneqq.gs Ito èunabaseperla dettabasecanonica edenotatacon 4 econ In ex.casavotioun.bo.it ggpp va in vs sono li sesina.si caedtcanvataavaas.vs a www in nincognite n.eqvaz.as.in se2vettorigiacionosullastessarettasonolinearmente dipendenti 5 am FI 3 gigante FINI s iii c e ln IR sottospazipropri veri la0,01 sottospazionullo dme retteperl'origine Vaccabici labci linearmenteindipendenti GeometriaDifferenziale i una ahad bioi a labeIR taba laben xna en'lao Vi cenacena acenabrasataben atb.atabe labeh cnn.atle 5 In E un a attesa 1,1e 211,2d 3,5 dropSia un IRspaziovettoriale vavaduesottospazidiv NoraVanvi è un sottospaziovettorialediv II nu am awww aver Sottospazio somma Iii IiIiYIIIIIIII.mu amcu.nu Legatidalthaiorasma seamcunv.ie lasommadinevesi dice diretta esi scriveun va es proposizionepaglia in vicarius neo va o1,1 o reca.inai cnn.wa.ws 12,4421 wa eng wifi ma unaw dimaghetwawas wa.ws one sifaa capiredov'èl'intersezione naancnn.de g autbk Y I 1 È neo ex IIIII È iprendiamolematrici 112 Eiji prodottoperscalari e 112 Anello non commutativo f In AIn InA A I Sj III etàprodottodimatrici Unamatricecheammette un inversasi diceinvertibile a aaaa 1 a c b aiinvertibile l'inversoè gagged baggio biA AA I A A A A I A Alla.atA'AIA IA A Se aBelli invertibili allora aBehmen è invertibile e risulta cartaria scampi ALBI AT AIA AA Invertibile B'A AB I Potenze di unamatrice Ae li 72 Ah A A A AAIA AIAA1 A.az A A AE AEIR assai Ata ti p n AEK èunamatricesimmetrica Ata tattita tataAtta a es AELE t.CA I AA I A'CAA1 A I A III area A'AA A SistemiLineari y b I asma Iiiiiiiiiiiiii 1 È È I È ftp.xs3xatn txatxs a soluz a per txa.is es sottospazivettoriali e teoremabasedi w wIIYah aben wow wow stabiliscoselasommaèdivelta in amen a b sonoei essendoche a sina.ii.ca aavanti Iii Iiii 1 baobabbiba 1 1 È sia III È n B 1 I Ra RaR È xnxx.EE Ait II 1 I Rs RsR È a II E BRe È p ax xe fitti Èp E in e di Teoremadi Rovani capelli M sistemalineare Ax B hasoluzioni se e solo ega rg aB e le soluzionisono d nga 6 4 2 azione241023 Axe rgarglairi il sistema ha sempre sanzioni in iii I II posizioni LesoluzionidelsistemaAxe formano un sottospaziovettoriale di ira di dimensione n ga chiamiamou insiemedellesoluzioni me u va se fi e bi sonoduesoluzioni delsistemaallora a ad tu I EU Vaµ er al al A x.lk tm b al mal Abbiamo scritto xe xn in funzione xan xu 1 E Rari E ganga a È 42 xsaxn xs.xsxallxs.aein iii I sina.sn E at E mal usata B a II L X E Iii Iiiii t.name Imf labcielisenzaen t.ca at ca.b.ci labcielisenzaen to anygaranziecamici insiemedeicamionper iqualiil sistema masono a if ref an IIII IIII posizione f u w appt linearedispazivettoriali iniettivae Kent a significachese vivaev fronteacui sara IeEia on anninonpuòesisterenessunvettore vov reato aiuto w lineareè suriettivase tufew fiumi fini fini on a vaekartcon a va a sveva in posizione siano un aspazivettoriali diminum nova dimkerfta.in Inf n in una II un S Provareche tanti fiumisonounabasedi time Sia weIma significacheavev ti aiuta am finta fini sonogeneratori di Ima pagar supponiamoche fiuta fiorisianolinearmente dipendenti ma tifie ii IIII 2 trovare unabaseecalcolaredimmi ti ti si amkerftamtmf m a.mu anni n un un tiratitornibasedi Ina 1 1,01 co0,1 110,01sonoe i e p D egaa una no Iii II I II aaaa ad basediIme noi conbasidi min amanteImu basedenimmaginedit Lezione211112023 ApplicazioniLineari cap e fateex èlineare nonè no I b eatb.ee1 a fatteeaten B falenanonè lineareperchéfca.az e unafuneè lineareecodev'essere ao nonè lineare e tu sax èlineare notutte fix Ax B f è suriettivas stime w èiniettivas sKorea a I tensione dellospazio Numero dielementiperfareunabase Kerf veri fini u III perdeterminareilnucleorisolviamoun sistema alIII IfIII sanzioni o deltipo x it MB latnonlatocchiamononcomparequindinonlapongo aniente io io senonce lavariabile nelsistemanonla tocchiamo Iie trovare l'immagine fY ehiamImf newavevconfinta tti u IIII fintitra èuninsiemedi generatoriperImf mie III _IIIma Limited Ines tinta in avestecaso abbiamo Into Iitjtid.mge 3 ononèbiettiva e i è If è sono is p chehannolastessa dimensione e sono biunivoca tiranni t if p stessacosadanavi Ii 3g I fuga anyanyany IIfuori1000 siavunosu conamen avevaveli sonosonore ver a aut aut anon cannas andan Irene base ix e IILa.cz È Kent caso gio Keefe1 nonèunisomorfismo Imf2 percasa fin direse èlineareselo ètrovareanche inude fcx.y.zt.czy i nonèlineareperchénelpunto o0,017 fcx.y.at ioao nonèlineare mposizione dimagt.fi Yin e L in I un.ua Margot siège MITI prodottodimatrici e rt fine A I è in gitani B Ii I B ali Bnl I If KIKI I a.ie Y t j c isomorfismo v w III L B se compongo unafunzione conla sua inversa ottengolafunzionedi piante finito Partenza f Yet Y B v _a f f I v tutore ora È e attivato f fine I IIII a IIA È alloraBéainversadi a Axan 7 A se esolose rglatnac.IR sonoleunichematurachehannol'inversaquellechehannorangomassimo f È B a vn Begun vn due ftp.ellryl veanwntn.tannwn A Eid È Este la p lontraamanti annwn www.u IIIIIIIII mi È E not E E alcolazionedell'inversadiunamatrice 1 ma Iiiiii A pBP AeBsidiconosimili Up U t Vis Yi f IR in II È 1 sonoisomorfismi ornot 2trovare I D 3TROVAREGIA atrovareMagda e viceversa M Determinante CAP 6 Iiiettanta noia nn are Minore III e Ari 1aidettami RMULADI LAPLACE Ai 11 detta dettatamantanAnt tantin es det f 2 Iii Tamaetana ama ama a seta ormai eterminanti 3 3 REGOLAdiSARNUS H incipiodi induzione è on sePaulvaleanchepantsvale prietàDeterminante pag 132 Sea ha 2righe uguali oppureunanulla cont.tt isuoielementinulli alloradeta 2 U determinante èlineare rispettoalla somma di righe n determinante èlinearerispettoal prodottodi una rigaperuno scalare cioè eIR se a è lamatrice ottenutadaA scambiando di postofraloroduerighe alloradeta deta matrice AelR triangolare superiore sihache _matricechehacomerighe le colonnedia se a cani allora a cani dettaB detA detB Det e Permutazioni saltareA e R deta o real n Piano passanteper 3punti axtbytcata 0 piano 22 1 0 Per verificare se è giustosostituire ptidelpiano a quellidell'equazione Dati 3puntiNonallineatinellospaziol'eadelpiano è data a b noi c'z z.to x 01121440157 z z ano passante perl'origine axtbyi.cz o con d 0 Duepiani incontranoin unaretta a soluzioni incidenti Ii.FI ha soluzioni di conseguenza nonsono 221 421 e 764 o impossine nonhasoluzioni NBseviene0 0 identitàallorasonolostessoPiano coincidenti Y NBse i vettorisonoMULTIPLI i pianisono11 s deveessere aduedellepassant perunP.to P e far p Due piani α β se acontieneunvettore adα α L LA β NBα β va vs ilprodottoscalare PRODOITOSCALARETRAvettori in 1123 1 1,1 1 2 3 1 2 3 0 quindi i pianisono etta nello spazio seduepiani11 si incontrano in unaretta I dueearaz e un sistema Un'equazionedi 1º da unpiano ve a biytiz o FascioDiPiani al variaredi e µ hotutti ipossibilipiani passantiperlaretta y z 1 0 leapiano È 1 sistemahasoluzione seria la B ftp B rgcal ne enfpuoessere è 3 a 1 esoluzione casoin cuirettae pianosi incontranoinununico puoiae soluzioni I soluzioni Cosasuccede seabbiamoduerette a E D AER es Sghembe NON complanari sarallele complanari e nonsi incontrano r 1 A CAB INCIDENTI es dati 2puntitrovalaretta B 1 1 1 VERIFICARE SOSTITUENDO I PUNTI le trovare l'eadella retta avendo punti 1 Pt a te am tn v e min p anoza Qer vi 9 poi si e soa v 00 ti 09 op 00 00 00op 1 1 132,11 vi 12 1,11 sonoPARALIELE stessadirezione 3,21 vediamoseècontenutoinentrambe 1 1 stochesono11e contengonounpuntoin comunesonoCOINCIDENTI utovalore e Autovettore ICAP71 II IR v AUTOVETOREPER f fiul o EIR AUTOVALOREPER I 1 soluzione I 2soluzione fix ix4 anno in in ora am n a I frutto misi traduce in fila RISOLVIAMO IL PROBLEMACONLEMATRICI 1 A X 0 colonna dizeri A III 0 rca Il naso usr Daltha Rouche capelli SOLUZIONI NONNULLE X A XI cn detta Il 0 1 RE R2 fix.us ax.my Iautovettore a aeta xi.net 1 19 det a o provai au autovalori detta ai Pa 0 sia autovalore Va revfivl.to Vaev autospazio relativo a e vi va eVa alloraanche aritmie e vi flavitava alcuni selva attunitpacval tlacontrare flavl afivi ato car Autovettore det A 1 det I 127121 0 7 1 1 3 1 1 1 11 14 1 IIII 1 un cgy 2 3 11.11141 1 I E 7 va ix 1 1 X roba a o con u dispari haalmeno 1 soluzione con n pari possono soluzioni dettaa det 13 1 dei 1,1 0 a ascia21 0 miei b tes area se 1 es 800 conigliEx 3 2 4 2 4 2 tu a Àiizzcaxtu 2 4,2 42127 A detta71 0 det È_ 1 117112371 71 3147 Xi 0 13 1 pane c i ormoni sanzioni li Vai autospazioDixi soluzionidi IL fattadiautovettori autovatorst torna B i finexirontaratorst oonp A È f èsemplice finoadarrivare a fine turn oratoratorst anni Siano A72,13 Is sen gliautovaloridistintidellaf li Vai VEV fiul Xiv Vai Via Via Vis 1 BASEDIVan BausanUBS2 BASEDIVia mitmat msan βPuòEsistere solo se mi mat ms ns BASEDIVas mi dimVai mi dimVA MOLTEPLICITÀ GEOMETRICA di ni MOLTEPLICITÀALGEBRICA 1 mi ni hithatust ns n matmat ms n SE matmat ms an fNon è semplice Mi dimVai n r A XII 1 Sia f V V siano di 7s i suoi autovalori distinti Allora dim Via Vtat Vis matmat ms it Vtat Vas o ev vent vs ove vieVan es 1 12 IR flx.nl Ax ansaKy 1 1 detta XI det f 0 K112 0 K mi 2v1 tésen 1NONè SEMPLICE es 1 12 IR flx.nl 2kxtca.mnCately a1 Pala detta Il det 0 2K111 1 III a fàsemplice se k 1 11 2 ma 2 rg 2 un ma 2 2 f èsemplice es f 1127 IR flat 50 tue Rt si vede subito che è semplice poiché tre R è in V5 Ognibase di IR è una base diautovettori A 5 OMOTETIE ognivettore èun autovettore es f k e fin vialecose al A è semplice ceununicoautovalore es 1 11 IR fix.ua 13x27,4 111,90 30,01 1 1101,01 100,11 110,011 102,07 detta XI det 172,1 0 3aldet 1 31111 2 2 0 3 v sarà o pazi Vettoriali Euclidei I b o SCALARE COSOFifa z a.co u È 07Proprietàprodotto SETIE'eeE w̅EVE J TT.eu yE w̅ ev3 eIR at w̅ E aw̅ E e PRODOTTOSCALARE f Va V03 IR con proprietà v va va e vi aiuterai v ritriva v w e V eIR vitwl Isola iv www.wevv we wir vvev v riso e v v0 see solose v0 pazio vettoriale Euclideo lab il.la bal labc NORMAmodulodel vettoreassociato in IR IR 2 ANALOGOmodulo an da as da ianzzai32374242 NORMA SPAZIO EUCLIDEO STANDARD Ciao f ab IR continua a b fg faxgaldx ÈUNPRODOITO SCALARE f fa 0 si f f presa o s Se fnon ènulla allora f e o Se fat.ci fiato asso t.ci fatto in e s casi f x dx Ex dx o pag175 Isometrie f V W fin fior vi v2 isometria finta flunitflua f R2 IR f Xv fer flx.nl 3 21 711,0 111,07 13,0 3,01 9 fini flua vi va isometria P f isomorfismo ma non l'opposto È necessario Kerf or Se ho veterf o or v 0 02 0 SE v o fiul fiul 00 00 0 es f V V β Un Un base ortonormale vi vi i fini fioi vi vi II f V V f portabasiortonormali in basi ortonormali è un isometria fiul few anfinst anfora bifinst buffoni arbitarbat anbu es f V V con β Un Un base ortonormale MBB f A da din din finifior fin Le colonne 1 name fini fini a a I se si soddisfaquestoprodotto allora 1 è un isometria Ha la traspostacome invers es f IR 1122 f ix a Cy f 1,01 10,1 A A II I 9 È UN ISOMETRIA 710,11 1 1,0 I es f 1123 1123 flx.n.ztCZ.x.EE togliamoè un isometria Nonèuna aseorionormaie es f 1122 1122 YEE f 1 anno cosas is acoss o a cosab senac cosBd senB se B β w̅ f.IR 1R3flx.u.z 13 24,1 1,4 un isometria Possiamonotarechenon ce la z indi fra0,11 10,0o se nonappareunavariabile fnonè iniettiva raionè unisomorfismo dinonè un isomet