Appunti di Biomacchine-Fluidodinamica biomedica applicata, Prof. Michele Conti, Appunti di Fluidodinamica

Scarica Appunti di Biomacchine-Fluidodinamica biomedica applicata, Prof. Michele Conti e più Appunti in PDF di Fluidodinamica solo su Docsity! 1 BIOMACCHINE Università degli Studi di Pavia Prof. Michele Conti Anno 2021/2022 2 Sommario FONDAMENTI DI MECCANICA DEI FLUIDI ............................................................................................ 3 Caratteristiche dei fluidi ..................................................................................................................... 3 Dimensioni e unità .......................................................................................................................... 3 Proprietà fisiche dei fluidi .................................................................................................................. 3 Pressione......................................................................................................................................... 3 Viscosità .......................................................................................................................................... 4 Comprimibilità ................................................................................................................................ 8 Pressione vapore ............................................................................................................................ 8 Tensione superficiale ...................................................................................................................... 8 5 𝜏 = 𝜇 ?̇? →?̇? corrisponde ad una derivata temporale. Lo sforzo di taglio è mediato da una costante ma non è più proporzionale alla deformazione: si ha un rapporto con la velocità di deformazione. I pallini rappresentano le particelle fluide e inizialmente sono allineate giacendo sulla stessa direzione (z). inoltre, ogni particella possiede la medesima velocità u, che è costante. ?̅?(?̅?, 𝑡) 𝑒 ?̅?(?̅?, 𝑡)→sono campi scalari. La velocità varia nello spazio e nel tempo. u→ è la velocità. È un vettore: ?̅? = 𝑢 𝑣 𝑤 . Si è in un caso piano quindi la particella fluida si muove in direzione x: la velocità ha solo la componente lungo x. ?̅?((𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑡) = ?̅?(𝑥) = 𝑢(𝑧) Se si fa trascorrere un tempo dt: siamo al punto t+dt. In questo momento le particelle non sono più allineate. Si prende il trapezio ABCD: 𝐴𝐵 = 𝑑𝑧, 𝐴𝐷 = 𝑢𝑑𝑡, 𝐵𝐶 = 𝑑𝑡(𝑢 + 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝑑𝑧) Ora prendo in considerazione DD’C e si definisce l’angolo d: −𝑑𝛾 = 𝐷′𝐶 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 − 𝐴𝐷 𝑑𝑧 = 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝑑𝑡 La variazione di angolo è proporzionale alla derivata della velocità lungo la direzione perpendicolare al moto. Più passa il tempo più le particelle sono disallineate: − 𝑑𝛾 𝑑𝑡 = 𝜕𝑢 𝜕𝑧 = 𝑑𝑢 𝑑𝑧 [se considero che la velocità è solo lungo la direzione del moto: u(z)=u] Quindi: 𝑑𝛾 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 𝑑𝑧 = ?̇? 𝜏 = 𝜇?̇? ?̇? è la velocità di deformazione angolare: SHEAR RATE 6 Per un fluido newtoniano vale: 𝜏 = 𝜇?̇? ma se il fluido è non-newtoniano 𝜏 = 𝑓(𝛾)̇. Il sangue è un fluido non-newtoniano quindi la relazione con lo Shear Rate è più complessa perché non lineare. Shear thinning→lo sforzo non cresce allo stesso modo. Si osserva un assottigliamento del taglio. Shear thickening→si ha un comportamento opposto al thinning, cioè più la velocità di deformazione è grande maggiore sarà lo sforzo. 𝜇𝑎𝑝→ è la viscosità apparente. Vale solo nel punto di lavoro considerato, se cambia il punto cambia la viscosità apparente. • Le caratteristiche reologiche non dipendono dal tempo: la risposta allo sforzo è indipendente dal tempo (Bingham plastic). 𝜏 − 𝜏0 = 𝜇𝑝?̇? 𝜏 = 𝑘?̇?𝑛 𝜇𝑎𝑝 = 𝜏 ?̇? = 𝑘?̇?𝑛−1  Fluidi pseudo-plastici: la curva reologica passa attraverso l’origine e presenta una concavità verso il basso. La viscosità apparente decresce all’aumentare dello shear rate. (shear thinning)  Fluidi dilatanti: la curva reologica passa per l’origine e presenta una concavità verso l’alto. A velocità elevate il solido si disintegra e si dilata (shear thickening). • La relazione tra lo stress e la deformazione dipende dalla durata e dai precedenti carichi.  Fluidi thixotropici: lo stress tangenziale cambia nel tempo tendendo ad un valore oltre il quale il fluido si comporta come un fluido newtoniano.  Fluidi reopectici: man mano che il tempo avanza, gli sforzi aumentano finché il comportamento diventa simile ad un solido. • Fluidi visco elastici: sostanze in cui si riscontrano alcune proprietà elastiche tipiche dei solidi unite a proprietà viscose tipiche dei fluidi, le quali sono predominanti. 7 I fluidi visco elastici possono essere considerati dei solidi elastici in grado di recupere la forma originale senza deformazioni, in seguito ad un carico. In questo caso si arriva ad una generalizzazione che dipende dalla derivata prima e seconda di  e : 𝐹(𝜏, ?̇?, 𝜏, …̈ ; 𝛾, ?̇?, ?̈?, … ) = 0 Con Maxwell posso scrivere: ?̇? = ?̇? 𝐺 + 𝜏 𝜇 Dove la prima componente è il contributo delle proprietà solide e il secondo il contributo della componente viscosa quindi del fluido. Il moto del fluido va a 0 in maniera esponenziale quando si rimuove il carico applicato. Modello di Maxwell Solido è assimilabile ad una molla. Per la Legge di Hooke: 𝜎 = 𝐸𝜀. Il fluido è puramente viscoso e lo modello come un pistone immerso in un mezzo viscoso: 𝜎 = 𝜂 𝑑𝜀 𝑑𝑡 . Posso modellare il tutto come la risposta solida in serie alla risposta viscosa. Nel momento in cui si tira la molla si avrà un comportamento elastico e uno viscoso. Si impone poi una deformazione periodica e si legge, in uscita, la risposta allo sforzo (stress). Se la risposta è in fase allora la risposta è perfettamente elastica (componente solida, lo sforzo è proporzionale alla deformazione). Se è presente uno sfasamento si ha la prevalenza della risposta viscosa perché si applica lo sforzo ma la risposta dipende dalla velocità nel tempo (si avrà una risposta shiftata nel tempo). Il modello viscoelastico di Maxwell si muove fra questi due estremi: la misura dello sfasamento ci aiuta a capire la risposta viscoelastica del fluido. Il modulo dinamico complesso G può essere usato per rappresentare le relazioni tra lo sforzo e la deformazione in una prova dinamica: 𝜏 = 𝐺𝛾, 𝐺 = 𝐺′ + 𝑖𝐺′′ G’→rappresenta il contributo elastico. G’’→rappresenta il contributo viscoso. Rappresenta il modulo di LOSS: l’energia dissipata dal comportamento viscoso. →è la pendenza cioè lo sfasamento. elastico eee viscoso G’’ G’  Introduzione WoRkin& HI. THE FLUID 1% AT REST OR Movie SUCH SUCA TRAT TRERE 13 No RELATIVE Nottoa/ peTWEEN ha) cent PARMICLES || . FLUIDO Hoves AS ba A_RiGid Bod No SMEAR STRESS RO I PRESSURE" 15 THE Oncy FORCE ACTNG ON TRE FLUID PARTICLE * tnessoRte: NORMAL FORCE GEA Unit of ARER AT A GIVEN Ranit AcTin& om R_ PLANE SIVTHIN TRE FLULD HASS AT Rest NI How TRE MASSSURE RT A font VARES AS THE PLANE PASCING THROUGH THAT POINT CHANGES |TS omantaton È La pressione in un punto Ì È pidp vi catcgte to È ya SECOND NEWTON'S LAW Fo ma 4) ©, Nodo q- Ars perde - piede sunt= eve 2) € AWLNG 2-AX1S Pededy - pisdx così poxdpda/e = dVa, 3 Variazione di pressione in un fluido a riposo Si prende in considerazione un volumetto infinitesimo di fluido, in questo caso un cubo: 4 Se il fluido è in equilibrio lo è in ogni sua parte quindi si studia l’equilibrio e si definisce che forze agiscono sul cubetto di volume infinitesimo. Si prende un punto all’interno del cubetto (particella) e si vede come varia la pressione nell’intorno di P. la variazione della pressione nell’intorno la si approssima con l’espansione in serie di Taylor. Si deve studiare l’equilibrio, cioè quali sono le azioni che agiscono sul fluido: • Forze superficiali Fs • Forze di volume Fv Forze di superficie lungo l’asse y: 𝐹𝑦 𝑠 = (𝑝 − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑧 − (𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑧 = −2 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 Forze di superficie lungo l’asse x e z, si svolge in modo analogo: 𝐹𝑧 𝑠 = −2 𝜕𝑝 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐹𝑥 𝑠 = −2 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 Ma ?̅?𝑠è un vettore di componenti: ?̅?𝑠 = 𝐹𝑥 𝑠 ?̂? + 𝐹𝑦 𝑠𝑗̂ + 𝐹𝑧 𝑠?̂? 7 Manometro a U Manometro-Tubo a U inclinato Serve per gestire piccole pressioni Manometro-Bourdon gage+Trasformatore Tubo a cui è applicata una linea di pressione. Il tubo è collegato ad un tubo elastico che si deforma. La deformazione agisce su una molla, di cui si conosce la costante elastica k. Il trasduttore trasforma in misura quanto il tubo si deforma con la pressione. Si ottengono misure che sono facilmente convertite in modo elettronico. 8 Forza idrostatica su una superficie piana Consideriamo una superficie piana immersa. Subisce la spinta del liquido e a livello geometrico individuo: • L’inclinazione della superficie: consideriamo il piano che passa per la superficie piana, questo avrà un’intersezione con la superficie libera del fluido (l’asse x è quello del pelo libero e l’asse y il piano che passa per la sezione della superficie piana). • Dobbiamo calcolare la forza risultante sulla piastra piana. La forza risultante sarà perpendicolare al piano della piastra→devo integrare lungo la piastra piana. dF→ è il contributo di spinta di una porzione infinitesima di area della piastra. Sarebbe PdA (P cambia con la quota del punto generico della piastra piana che considero). H che è la quota di affondamento la riscrivo in termini di asse y. Sx→ ci dice come è distribuita l’area rispetto all’asse x. Y generica quota dell’area infinitesima dA. 9 Ora serve calcolare il punto di applicazione di Fr→ ma il punto di applicazione non coincide con il centroide. Mi serve fare un equilibrio sui momenti, un equilibrio alla rotazione. La forza Fr sarà spostata rispetto al centroide di un numero pari a Ixc/YcA. Maggiore è l’area minore sarà lo scarto, quindi la distanza tra il punto di applicazione e il centroide. Posso fare lo stesso ragionamento per la coordinata Xr (in questo caso ho il momento di inerzia misto. Se scelgo assi baricentrici avrò a che fare con un momento misto nullo): Principio di Archimede È. À IMrersed Body È (ere Wi FLVID'S fr: FORCE OF THE WEIGHT boy on THE FLUID *EQUILBRIVH RLONG È -AXIS Fas -F.)-W re ghA DD = AL - Va w eg CA Ve) Vorune oe THE Body Tot FLUID denis "y —' EFFECT GE Y on BRM AMO ARCHIHEDE'S PRINEIPLE THE RESULTANT FLUID FORLE ACTN E Buo yANT folte: ON A Bo by PARTIALLY OR Futty SUbMERGED ENcLOse D ©) FLUID >) voy re Ju tr. FREE Do vy VAGRAH Folkcee EguiuBRIVK Re piper Vo Fs TVa Apchimenz'S PQunes PLE THE QuOYANT FoRCF RAS A HAGNITODE E vAL To THF WELGNT OF TRF FLUID BIStLacé5 By TRS Body ANO 1 piscia vati cap PWWA RD Fi (S AfPLIED In THE CENSTRO\D OF THE Bo Dy Ceenter ce Buoyancy) 12 13 Variazione di pressione in un fluido con moto rigido Non ci sono sforzi di taglio in un fluido che si muove come un corpo rigido o ruota (es. acqua in un bicchiere che viene traslato). Moto lineare Se si considera un moto lineare le equazioni vanno riscritte tenendo conto che l’accelerazione ?̅? ha due componenti non nulle: y e z. La pressione è costante in x, lungo z dipende dalla densità, dall’accelerazione di gravità g e dall’accelerazione lungo z (az). 14 Per quanto riguarda la variazione di pressione si ha solo la componente in y e z: 𝑑𝑝 = 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 + 𝜕𝑝 𝜕𝑧 𝑑𝑧 = −𝜌𝑎𝑦𝑑𝑦 − 𝜌(𝑔 + 𝑎𝑧)𝑑𝑧 Dato che il pelo libero è inclinato: dp=0 𝑎𝑦𝑑𝑦 = −𝜌(𝑔 + 𝑎𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑧 = − 𝑎𝑦 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑑𝑦 Rotazione di corpo rigido 2 Equazione di Bernoulli Situazione in cui abbiamo un moto del fluido ma introdurremo delle hp per cui possiamo descriverne il rapporto tra le quantità fondamentali con semplici equazioni. Ci si limita a trattare i fluidi inviscidi→forte idealizzazione della realtà. Assumiamo che la viscosità sia nulla. Trascuriamo gli sforzi di taglio perché consideriamo trascurabile il contributo della viscosità. Il flusso del fluido è governato solo da pressione e gravità→hp forte però pur sempre una hp utile e applicabile in alcuni casi: le forze viscose sono trascurabili rispetto a pressione e accelerazione di gravità. Si avrà a che fare con una descrizione puntuale del campo di velocità e di pressione lungo il dominio e si avrà a che fare con il tracciare il percorso di una particella fluida nel campo di velocità. Di solito la forma del flusso stesso indica quale è il sistema di coordinate più adatto. Si avrà a che fare con il percorso di una particella all’interno del campo di velocità. Il percorso sarà influenzato da due aspetti: la velocità e il punto di partenza. Un aspetto rilevate è che abbiano a che fare con flusso stazionario→il nostro campo di velocità v è sempre un campo vettoriale. Il campo di velocità non dipende dal tempo, varia in base alla posizione, da punto a punto. 3 Le linee rappresentano il percorso della particella. Individuo nella schematizzazione a dx delle linee che sono le linee di corrente. Queste sono delle linee per le quali la velocità è tangente ad ogni suo punto. Se vogliamo caratterizzare la particella ciò su cui mi focalizzo è la posizione della particella stessa sulla linea di corrente: si introduce la quantità s (la coordinata lungo la linea di corrente. Quantità che va da zero ad un certo valore L) Se ci si posiziona in un generico punto sulla streamline, ci sarà un punto con una certa velocità tangente alla curva e si può considerare una direzione normale alla velocità (n), perpendicolare alla streamline nel punto. Fissando un punto è possibile stabilire il raggio di curvatura che dipende dalla coordinata curvilinea. as→derivata lungo la streamline. an→derivata lungo la normale. La particella si muove lungo il percorso: ce la velocità della particella, l’accelerazione e lo stato di velocità nei due punti. Ci sono 2 fattori: • Quanto velocemente la particella va da un punto all’altro. • La variazione del campo di velocità lungo la streamline. 4 Derivo v rispetto al tempo, ma v dipende dalla posizione. Poi posso derivare la derivata curvilinea rispetto al tempo. L’ as avrà due contributi: la velocità e la variazione della stessa lungo la streamline. Lungo la direzione normale ho un contributo della velocità. 1) Canale di cui vediamo il piano e posso tracciare il percorso delle particelle. Linee dritte→ as = 0 così come sarà nulla l’accelerazione lungo la direzione normale (R vale infinito) 2) Caso di riduzione di sezione. Linee convergenti: as maggiore di zero (per la conservazione della massa e fluido incomprimibile, la portata è costante la velocità nella sezione aumenta. La velocità a valle è maggiore della velocità a monte→ as maggiore di zero) 3) Divergenza. Stessa situazione ma inversa. 4) Streamline parallele curve ed equidistanti: an maggiore di zero. La linea curva è la linea di corrente. Prendo una parte infinitesima attorno ad un certo punto di coordinata s. In questo punto prendo due versori: ?̂? che è la direzione della streamline e ?̂?. Le forze che agiscono sul volume fluido sono entranti→ perché è un contributo di forza che derivata dalla pressione e la si considera positiva quando è entrante. Le forze di taglio sono considerate pari a zero. Il cambio di quota è tale per cui: 𝑑𝑧 = 𝑑𝑠 sin 𝜗 7 Il carico H rimane costante e si possono legare fra loro i vari punti: 𝐻 = 𝑣𝐴 2 2 𝜌 + 𝑝𝐴 + 𝛾𝑧𝐴 = 𝑣𝐵 2 2 𝜌 + 𝑝𝐵 + 𝛾𝑧𝐵 = 𝑣𝐶 2 2 𝜌 + 𝑝𝐶 + 𝛾𝑧𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Grazie alla legge di Bernoulli riesco a dimostrare che la 𝑣𝐵 2 è maggiore della 𝑣𝐴 2. Inoltre, si nota che una diminuzione della pressione corrisponde un aumento della velocità (C). Equazione di Bernoulli e pressione La pressione può essere: • statica • dinamica • di stagnazione • totale B è un punto di stagnazione: in B la particella ha velocità nulla. 8 𝑣𝐴 2 2 𝜌 + 𝑝𝐴 + 𝛾𝑧𝐴 = 𝑣𝐵 2 2 𝜌 + 𝑝𝐵 + 𝛾𝑧𝐵 Ma dato che pongo 𝑣𝐵 2 = 0 e che 𝑧𝐴 = 𝑧𝐵 il tutto risulta come: 𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 + 𝑣𝐴 2 2 𝜌 𝑝𝐵 è 𝑙𝑎 𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆𝐼𝑂𝑁𝐸 𝐷𝐼 𝑆𝑇𝐴𝐺𝑁𝐴𝑍𝐼𝑂𝑁𝐸 Questo mi permette di fare misure fra il campo di pressione e campo di velocità: 𝛾(𝐻 − ℎ) = 𝑝2 − 𝑝1 = 𝑣2 2 𝜌 (𝐻 − ℎ) = 𝑣2 2𝑔 𝑐𝑜𝑛 𝑝2 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑖 𝑠𝑡𝑎𝑔𝑛𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 Tubo di Pitot Si sfrutta il punto di stagnazione per calcolare la velocità del fluido. il tubo consiste di due tubi coassiali, in cui sono presenti delle piccole aperture. Tubo 1→misura la pressione di stagnazione 𝑝2 = 𝑝 + 𝜌 𝑣2 2 = 𝑝3 + 𝛾ℎ ≅ 𝑝2 𝑠𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑖 𝑞𝑢𝑜𝑡𝑎 è 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑐𝑢𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 Tubo 2→misura la pressione statica. Il contributo statico sarà dato da p1, che è circa p 𝑝4 = 𝑝1 = 𝑝 𝑠𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑖 𝑞𝑢𝑜𝑡𝑎 è 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑐𝑢𝑟𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 Il tubo fa da ostacolo alla streamline. Si misura la differenza tra il punto 3 e il punto 4 e s ricava la pressione dinamica: (𝑝3 − 𝑝4) = 𝑝 + 𝜌 𝑣2 2 + 𝑝 = 𝜌 𝑣2 2 Sfruttando il punto di stagnazione si ricava la velocità del fluido: 𝑣 = √ 2(𝑝3 − 𝑝4) 𝜌 Pressione dinamica 9 Applicazioni Tubo di Pitot Processi di efflusso • Getto o vena liquida: corrente che ha origine da una luce • Luci a battente a spigolo vivo: bordo affilato. La vena si stacca nettamente dal bordo vincendo le forze di adesione. 12 Cavitazione – esercizio sifone Drenaggio dell’acqua con un tubo. 1) vive sul pelo libero del serbatoio 2) punto più alto del tubo 3) punto di uscita dell’acqua →trovare la quota del punto 2 che induce cavitazione. In realtà ci si chiede quale è la velocità massima che si deve raggiungere come limite al fine di non superare la soglia di velocità che indurrebbe una diminuzione della pressione sotto la pressione vapore. Bernoulli per uguagliare i punti sulla stessa linea di corrente. 𝑝1 + 𝑣1 2 2 𝜌 + 𝛾𝑧1 = 𝑝2 + 𝑣2 2 2 𝜌 + 𝛾𝑧2 𝑝1 + 𝑣1 2 2 𝜌 + 𝛾𝑧1 = 𝑝3 + 𝑣3 2 2 𝜌 + 𝛾𝑧3 𝑣3 = √2𝑔ℎ1−3 Per conoscenza sappiamo che: 𝑝1 = 0 𝑣1 = 0 𝑝3 = 0 𝑒 𝑣2 = 𝑣3( 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎) 𝑝1 + 𝑣1 2 2 𝜌 + 𝛾𝑧1 = 𝑝2 + 𝑣2 2 2 𝜌 + 𝛾𝑧2 v1=0 perché mi trovo in un punto per cui la posso considerare molto piccola (lontano dal tubo immerso nel recipiente) 13 Cambiando l’altezza del punto 2 si arriva ad un punto in cui aumenta la velocità e diminuirà la pressione che scende sotto il punto di vapore. P2 è il limite a cui la pressione può arrivare, la pressione vapore. P2 diventa un valore per cui l’unica incognita rimane H. 1 Sommario Cinematica dei fluidi ............................................................................................................................ 2 Campo di velocità: 1D,2D,3D ........................................................................................................... 3 Uniforme vs non uniforme (velocità e spazio).............................................................................. 3 Stato stazionario e stato non stazionario (velocità e tempo) ...................................................... 3 Visualizzazione del flusso ............................................................................................................. 3 Streamline ................................................................................................................................ 4 Streakline ................................................................................................................................. 4 Data Plot ...................................................................................................................................... 5 Campo di accelerazione ................................................................................................................... 5 Volume di controllo e sistema ............................................................................................................ 7 Teorema del Trasporto di Reynolds-TTR.......................................................................................... 7 Esempio ........................................................................................................................................ 8 Generalizzazione delle equazioni ............................................................................................... 11 TTR-Relazione con la Derivata Materiale ....................................................................................... 12 Caso 1 ..................................................................................................................................... 13 Caso 2 ..................................................................................................................................... 13 Streamline * Streamline: a line that is everywhere tangent to the velocity field * Steady flow --> the streamlines are fixed lines in space * Unsteady flows > the streamlines may change shape with time. Streamlines are obtained analytically by integrating the equations defining lines tangent to the velocity field. Streamlines cannot cross each other Streakline * Streakline. All particles in a flow that have previously passed through a common point * They are more of a laboratory tool than an analytical tool * taking instantaneous photographs of marked particles that all passed through a given location in the flow field at some earlier time * produced by continuously injecting marked fluid neutrally buoyant (smoke in air or dye in water) at a given location * Steady flow: streakline=streamline * Unsteady flows: particles injected at the same point at different times need not follow the same path Fluid particle at f = fan * Pathline. the line traced out by a given e particle as it flows from one point to Pathline e another. gere *. Lagrangian concept * It can be produced in the laboratory by marking a fluid particle dying a small fluid element and taking a time exposure Fluid particle at some hotograph of its motion intermediate time photograpi Fluid particle at 1=1, fend For steady flow, streamlines, streaklines, and pathlines are the same. 5 Data Plot Campo di accelerazione Per ogni istante di tempo si ha la velocità (tre componenti) della particella: si deriva la velocità per ricavare l’accelerazione. ?̅?𝐴 = ?̅?𝐴(?̅?𝐴,𝑡) = = ?̅?𝐴[𝑥𝐴(𝑡), 𝑦𝐴(𝑡), 𝑧𝐴(𝑡), 𝑡] Una variazione della velocità si traduce in accelerazione, che può essere data da una variazione di velocità e/o di direzione. ?̅? = 𝑑?̅?(?̅?, 𝑡) 𝑑𝑡 Si ottiene un termine che è la velocità e la derivata della velocità della particella: ?̅? = 𝜕?̅? 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕?̅? 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕?̅? 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕?̅? 𝜕𝑧 È la posizione della particella. Essa stessa dipende dal tempo La derivazione presenta due contributi: • Derivata parziale rispetto al tempo • Derivata che tiene conto di come la posizione cambia rispetto al tempo e il campo di velocità nello spazio x(t)=[x(t), y(t), z(t)] 6 Quest’ultima è una equazione vettoriale che corrisponde a tre equazioni scalari: Si riconosce l’operatore Gradiente di ?̅?: 𝐺𝑟𝑎𝑑 ?̅? = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑧 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑧 ?̅? = 𝜕?̅? 𝜕𝑡 + ?̅? ⋅ 𝐺𝑟𝑎𝑑(?̅?) 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑎 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑖 ?̅? Si può definire un operatore Derivata materiale per descrivere come cambia la proprietà del fluido in un sistema Euleriano: ?̅? = 𝐷?̅? 𝐷𝑡 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑎 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑖 ?̅? Nelle parentesi si può mettere qualsiasi proprietà del fluido. Si ha una accelerazione che dice come il campo di velocità varia nello spazio anche se il contributo che dipende dal tempo è nullo, a causa del fatto che si prende in considerazione lo stato stazionario. Mi da informazioni su come cambia la componente del vettore rispetto ad una delle direzioni 9 lim 𝑑𝑡−→0 𝑑𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝐷𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡 𝐷𝑡 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑡𝑡𝑜 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑖𝑎𝑛𝑜 10 Riprendendo i vari termini: Risulta valido per: • Volume di controllo fissato • Solo per un ingresso e una uscita • Proprietà uniformi del fluido nel momento in cui passa la cross-section • Velocità normale alla sezione di ingresso e uscita 11 Generalizzazione delle equazioni Supponiamo che: ?̂? è sempre uscente dalla superficie ?̅? non è perpendicolare alla superficie. Più  è piccolo più la velocità è quella detta in precedenza. 𝑙𝑛 = ∆𝑡(𝑣𝑛) = ∆𝑡(𝑣 cos 𝜗) 𝑝𝑟𝑜𝑖𝑒𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑙 𝑙𝑢𝑛𝑔𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 ?̂? 𝑑𝑉𝑜𝑙 = 𝑙𝑛𝑑𝐴 = ∆𝑡(𝑣 cos 𝜗)𝑑𝐴 𝑑𝐵𝑜𝑢𝑡 = 𝜌𝑏𝑑𝑉𝑜𝑙 = 𝜌𝑏(𝑣 cos 𝜗)𝑑𝐴∆𝑡 In modo analogo tratto ?̇?𝐼𝑁: In questo caso il prodotto scalare è negativo: ?̂? è positivo quando esce dal volume di controllo (in questo caso no). ?̇?𝐼𝑁 = − ∫ 𝜌𝑏?̅? ⋅ ?̅?𝑑𝐴 𝐶𝑆𝐼𝑁 Superficie di contatto sulla parte di influsso (frontiera del CV) Il volumetto porta con se delle proprietà estensive È la velocità con cui la proprietà estensiva esce dalla porzione di superficie Il – per avere la quantità positiva in ingresso 1 Sommario Equazioni di continuità ........................................................................................................................ 2 Principio di conservazione della massa............................................................................................ 2 Conservazione della massa ed Equazione di Continuità .................................................................. 3 Cinematica dell’elemento fluido ...................................................................................................... 4 Moto lineare e deformazione ....................................................................................................... 5 Moto angolare e deformazione ................................................................................................... 5 Equazioni di Navier-Stokes.................................................................................................................. 7 Conservazione della quantità di moto ......................................................................................... 7 Equazioni indefinite del moto di un fluido ................................................................................... 9 Equazioni di Eulero ..................................................................................................................... 10 Flusso viscoso ............................................................................................................................. 11 Equazioni di Navier-Stokes ......................................................................................................... 12 2 Equazioni di continuità Principio di conservazione della massa 𝑑𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 0 𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐵 = 𝑚 = 𝜌𝑏𝑉 𝑐𝑜𝑛 𝑏 = 1 Per il Teorema del Trasporto di Reynolds: 𝑑𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝜕 ∫ 𝜌𝑑𝑉 𝐶𝑉 𝜕𝑡 + ∫ 𝜌?̅? ⋅ ?̅?𝑑𝐴 𝐶𝑆 = 0 𝐸𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡à 𝑖𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙𝑒 ∫ 𝜌?̅? ⋅ ?̅?𝑑𝐴 𝐶𝑆 = ∫ ∇̅ 𝐶𝑉 ∙ (𝜌?̅?)𝑑𝑉 𝑑𝑖𝑣(𝜌?̅?) = ∇̅ ∙ 𝜌?̅? ∇̅ ∙ (𝜌?̅?) = ∇̅𝜌 ∙ ?̅? + 𝜌(∇̅ ∙ ?̅?) Il volume non dipende dal tempo quindi si può portare la derivata dentro l’integrale: 𝜕 ∫ 𝜌𝑑𝑉 𝐶𝑉 𝜕𝑡 = ∫ 𝜕(𝜌) 𝜕𝑡 𝑑𝑉 𝐶𝑉 Quindi riscrivo: 𝑑𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝜕(𝜌) 𝜕𝑡 𝑑𝑉 𝐶𝑉 + ∫ ∇̅𝜌 ∙ ?̅? + 𝜌(∇̅ ∙ ?̅?)𝑑𝑉 = 0 𝐶𝑉 Dato che si ha lo stesso dominio si può riunire il tutto sotto lo stesso integrale: 𝑑𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝜕(𝜌) 𝜕𝑡𝐶𝑉 + ∇̅𝜌 ∙ ?̅? + 𝜌(∇̅ ∙ ?̅?)𝑑𝑉 = 0 𝑑𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝜕(𝜌) 𝜕𝑡𝐶𝑉 + ?̅? ∙ ∇̅𝜌 + 𝜌(∇̅ ∙ ?̅?)𝑑𝑉 = 0 𝑑𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝐷𝜌 𝐷𝑡 + 𝜌∇̅ 𝐶𝑉 ∙ ?̅?𝑑𝑉 = 0 Data la arbitrarietà del Volume di Controllo deve valere sempre che la funzione integranda sia nulla, a prescindere da che CV si prende in considerazione. Quindi si scrive: 𝐷𝜌 𝐷𝑡 + 𝜌∇̅ + 𝜌∇̅ ∙ ?̅? = 0 𝐸𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡à 𝑖𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒 Se il fluido è incomprimibile: ∇̅ ∙ ?̅? = 0. È un prodotto scalare invariante È la derivata materiale: D/Dt Conservazione della massa ed Equazione di Continuità @ Mass entering from side 1 is pudydzdt @ Mass exiting from side 2 is (pu + Seu dx)dydzdt a, e Consequently along x: “£° dxdydzdt e similar considerations can be done along y and z y + dpv + Dv yf dy pu pi dla x pe Considering the mass variation in the control volume: QOpu pv Opw dp — + + — | dxdydzdt = — — dxdydzdt tate] ly dr SS dp [fee dpv cow] =D dt dx dy da 1 d D 4 div(pv)=0 Further elaborating and recalling eulerian derivative rule, we obtain: d, sz + pdiv(v)=0 (4) Finally, when considering an incompressible fluid we obtain: _ FoR BotU Sea 0y va ]S AND InstsA By Fow We can obtain the same same result using the Reynolds transport formula of a scalar field d dp gd s)dv=0 > Liv. (pu) =0 * J, P058) ne TV (0) udANDO 7 TIRINA DELLA I. 6 Ma α lo si può anche vedere come: tan(∆𝛼) ≅ ∆𝛼 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 ∆𝑥 ∆𝑡 ∆𝑥 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 ∆𝑡 La velocità angolare 𝜔𝑂𝐴 dipende dal gradiente di v lungo x: 𝜔𝑂𝐴 = lim ∆𝑡−→ 𝜕𝑣 𝜕𝑥 ∆𝑡 ∆𝑡 = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 (+) Analogo per 𝜔𝑂𝐵 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 (−) . Si può però definire la velocità angolare rispetto agli assi: ?̅? = 𝜔𝑥𝑖̂ + 𝜔𝑦𝑗̂ + 𝜔𝑧?̂? = 1 2 (∇̅ × ?̅?) ?̅? = 1 2 [ 𝑖̂ 𝑗̂ ?̂? 𝜕/𝜕𝑥 𝜕/𝜕𝑦 𝜕/𝜕𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 ] 𝑉𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 Il moto angolare e la deformazione portano a vedere come cambia la forma e la cinematica dell’elemento fluido: si possono descrivere come rot(?̅?). Per ogni punto si ha il campo di velocità che varia, se si applica il rotore si ha una informazione su come l’elemento fluido cambia di forma in termini di scorrimento angolare. Inoltre, si definisce la vorticità come: 𝑣𝑜𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑡à = 2?̅? Se l’elemento fluido si sposta ma senza subire deformazioni angolari si ha un campo irrotazionale: 𝑆𝑒 ∇̅ × ?̅? = 0 𝑙𝑎 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑛𝑜𝑛 è 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑎 𝑎𝑑 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑎𝑙𝑟𝑒 Prendendo in considerazione la variazione di angolo: ∆𝛾 = ∆𝛼 + ∆𝛽, se ne faccio la derivata: ?̇? = lim ∆𝑡→0 ∆𝛾 ∆𝑡⁄ = 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 Si ha ?̇? = 0 nel momento in cui si ha un campo irrotazionale (non si hanno sforzi di taglio). 7 Equazioni di Navier-Stokes Conservazione della quantità di moto Sapendo che: 𝑑𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 0 Si vuole fare la stessa cosa prendendo in considerazione la II Legge di Newton: una equazione che permette di descrivere il moto di un fluido reale in un dominio arbitrario (valgono in modo locale). 𝐷?̅? 𝐷𝑡 = ?̅? ?̅? = 𝑚?̅? = ∫ ?̅? 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑑𝑚 Si può riscrivere sfruttando il TTR (con b=?̅?): 𝐷(𝑚?̅?) 𝐷𝑡 = ∫ 𝜕 𝜕𝑡 (𝜌?̅?) 𝐶𝑉 𝑑𝑉 + ∫ 𝜌 𝐶𝑆 ?̅?(?̅? ∙ ?̅?)𝑑𝐴 = ?̅? Non si può fare una descrizione puntuale, per questo si necessita di un CV infinitesimo. A tale proposito si ragiona su una massa infinitesima m contenuta in un volumetto V. ∆?̅? = 𝐷(?̅?∆𝑚) 𝐷𝑡 = ∆𝑚 𝐷?̅? 𝐷𝑡 ∆?̅? = ∆𝑚 ?̅? ?̅? = 𝜕 𝜕𝑡 ?̅? + (?̅? ∙ ∇̅)?̅? Si compone a sua volta da tre equazioni scalari: ?̅?𝑥, ?̅?𝑦 , ?̅?𝑧. ∆?̅? Si considera la generica superficie: ?̅?𝑠 a sua volta si compone di: • Componente normale • Componente tangenziale (F1 e F2) Forza risultante su CV Velocità di variazione della quantità di moto del sistema Velocità di variazione della quantità di moto del volume di controllo Velocità di variazione della quantità di moto attraverso la superficie di controllo Dato che ∆𝑚 è costante, si può portare fuori dalla derivata Forze di campo: ?̅?𝑏 = 𝜌?̅?𝑑𝑉,dove g rappresenta la forza di campo generica Forze di superficie: ?̅?𝑠 8 Scelgo un sistema di riferimento x, y, z e prendo un volumetto infinitesimo a forma di cubo. 𝜎𝑥𝑥[𝐹/𝐴] 𝜏 𝑥 𝑦 𝜎𝑛 = lim ∆𝐴→0 ∆𝐹𝑁 ∆𝐴 𝑆𝑡𝑟𝑒𝑠𝑠 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒 𝜏1 = lim ∆𝐴→0 ∆𝐹1 ∆𝐴 𝜏2 = lim ∆𝐴→0 ∆𝐹2 ∆𝐴 𝑆ℎ𝑒𝑎𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑆𝑡𝑟𝑒𝑠𝑠 Quindi ∆?̅? = ∆?̅?𝑠 + ∆?̅?𝑏 Si vogliono scrivere le componenti della forza: la risultante di ∆?̅?𝑠 lungo x, y, z. • Lungo l’asse x: ∆?̅?𝑠𝑥 = (𝜎𝑥𝑥 + 𝜕𝜎𝑥𝑥 𝜕𝑥 ∆𝑥 2 ) ∆𝑦∆𝑧 − (𝜎𝑥𝑥 − 𝜕𝜎𝑥𝑥 𝜕𝑥 ∆𝑥 2 ) ∆𝑦∆𝑧 + (𝜏𝑦𝑥 + 𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝑦 ∆𝑦 2 ∆𝑥∆𝑧) + − (𝜏𝑦𝑥 − 𝜕𝜏𝑦𝑥 𝜕𝑦 ∆𝑦 2 ∆𝑥∆𝑧) Si intende il piano ⊥ all’asse x Componente lungo y ∆?̅?𝑁 + ∆?̅?𝑡 1 2 3 4 11 Flusso viscoso Per i fluidi newtoniani incompressibili il legame costitutivo è più complesso: Queste equazioni devono essere poi inserite nelle equazioni differenziali generali del moto del fluido. 𝜌𝑔𝑥 + ( 𝑑𝜎𝑥𝑥 𝑑𝑥 + 𝑑𝜏𝑦𝑥 𝑑𝑦 + 𝑑𝜎𝑧𝑥 𝑑𝑧 ) = 𝜌 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑢 𝜕𝑧 ) 𝜌𝑔𝑥 − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 + 2𝜇 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 + 𝜇 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 + 𝜇 𝜕2𝑢 𝜕𝑧2 + 𝜇 ( 𝜕 𝜕𝑦 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑥 ) + 𝜕 𝜕𝑧 ( 𝜕𝑤 𝜕𝑥 )) Ma se il fluido è incomprimibile: 𝑑𝑖𝑣(?̅?) = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 = 0 A questo punto è possibile scambiare l’ordine di derivazione: 𝜕 𝜕𝑦 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑥 ) = 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑦 ) 𝜕 𝜕𝑧 ( 𝜕𝑤 𝜕𝑥 ) = 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑤 𝜕𝑧 ) Che si può riscrivere come: 𝑑𝜎𝑥𝑥 𝑑𝑥 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 + 2𝜇 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 𝑑𝜏𝑦𝑥 𝑑𝑦 = 𝜇 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 + 𝜇 𝜕 𝜕𝑦 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑥 ) 𝑑𝜎𝑧𝑥 𝑑𝑧 = 𝜇 𝜕2𝑢 𝜕𝑧2 + 𝜇 𝜕 𝜕𝑧 ( 𝜕𝑤 𝜕𝑥 ) 12 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 ) Tenendo presente 𝑑𝑖𝑣(?̅?) = 0 𝜕 𝜕𝑥 (− 𝜕𝑢 𝜕𝑥 ) = − 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥2 Adesso è possibile riscrivere il tutto: 𝜌𝑔𝑥 + 𝜇 ( 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑢 𝜕𝑧2 ) − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 = 𝜌 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑢 𝜕𝑧 ) Equazioni di Navier-Stokes 𝜌𝑔𝑥 + 𝜇 ( 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑢 𝜕𝑧2 ) − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 = 𝜌 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑢 𝜕𝑧 ) 𝑙𝑢𝑛𝑔𝑜 𝑥 𝜌𝑔𝑦 + 𝜇 ( 𝜕2𝑣 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑣 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑣 𝜕𝑧2 ) − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 = 𝜌 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑣 𝜕𝑧 ) 𝑙𝑢𝑛𝑔𝑜 𝑦 𝜌𝑔𝑧 + 𝜇 ( 𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑤 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑤 𝜕𝑧2 ) − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 = 𝜌 ( 𝜕𝑤 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑤 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑤 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑧 ) 𝑙𝑢𝑛𝑔𝑜 𝑧 In notazione compatta: È un sistema di 4 equazioni in 4 incognite (p e ?̅?). È un sistema di equazioni alle derivate parziali non lineari del secondo ordine. Sono equazioni che governano il moto di fluidi newtoniani incompressibili. 𝜌 ( 𝜕?̅? 𝜕𝑡 + (?̅? ∙ ∇̅?̅?)?̅?) = −∇̅𝑝 + 𝜌?̅? + ∇̅ ∙ (∇?̅?̅̅̅̅ ) 𝑑𝑖𝑣(?̅?) = 0 1 Sommario HEART PHYSIOLOGY: FROM ELECTRICAL TRIGGER TO FLOW THROUGH MECHANICS ................................... 2 Ciclo cardiaco – Eventi meccanici ................................................................................................................. 2 Pressure-Volume curves ............................................................................................................................... 4 Il cuore come pompa-Eventi emodinamici ................................................................................................... 5 Effetti del post carico sulla velocità di accorciamento delle fibre .............................................................. 14 Effetti del precarico sulla velocità di accorciamento delle fibre ................................................................. 15 4 Pressure-Volume curves Si misura la funzionalità del cuore in relazione alla sua funzione di pompa. Il P-V Loop è una curva chiusa che si genera nel piano: • in ascissa il volume (ml) • in ordinata la pressione (mmHg) Il ciclo inizia nel punto A (10 mmHg). Il volume del ventricolo è al suo minimo: 65 ml, questo ci dice che il ventricolo non è mai vuoto completamente. Nel punto B l’atrio si svuota nel ventricolo, il quale aumenta il suo volume (135 ml). La pressione ventricolare è pressoché rimasta invariata, è cresciuta di poco. La pressione, però, è cresciuta di molto nella fase finale di riempimento: il p è aumentato tanto perché si ha il contributo del riempimento attivo dovuto alla contrazione dell’atrio. Il punto di massimo riempimento del ventricolo è rappresentato dall’ End Diastolic Volume (EDV). Il V è di circa 70 ml. A questo punto ci si sposta in verticale fino al punto C: il volume non cambia ma la pressione cresce perché si ha una contrazione isovolumetrica. Nel punto C la curva retrocede. La pressione aumenta ma diminuisce il volume: la valvola aortica si apre e il ventricolo si svuota finché non si ha una ulteriore contrazione del ventricolo. Nel punto D si raggiunge l’End Sistolic Volume (ESV) con un volume di sangue pari a 65 ml. Alla fine della contrazione il ventricolo si rilassa. Il volume di sangue non cambia perché non si ha riversamento di sangue ne dall’aorta ne dalla valvola mitrale. Se la pressione diminuisce si ritorna al punto A di partenza. Il passaggio dal punto D al punto A è definito rilassamento isovolumetrico. La distanza dal punto A al punto B è definita Stroke Volume (SV). 5 Il cuore come pompa-Eventi emodinamici Quali sono le pressioni medie di lavoro delle camere. Atrio e ventricolo dx lavorano a pressioni basse. La parte sx lavora a pressioni più alte. 6 Si mettono in evidenza tre variabili: • EDPVR: la relazione tra pressione e volume alla fine della diastole. È la pendenza che ho quando misuro il riempimento del ventricolo. • ESPVR: relazione tra pressione e volume alla fine della sistole. È la pendenza di quando si chiude la valvola aortica. • SV: stroke volume. La distanza tra EDV e ESV. Il volume che viene eiettato dal ventricolo in una contrazione. È direttamente legato alla capacità del cuore di immettere volume di sangue nella circolazione sistemica. Perché è importante misurare EDPVR? La pendenza mi dice quale è la resistenza del ventricolo a essere riempito. Perché rimangono 65 ml di sangue nel ventricolo? Come riserva di sangue da cui posso attingere all’occorrenza 9 accogliere più volume, indiretta se è meno capace ma ho un aumento della pressione. Il precarico aumenta in caso di problemi ventricolari. Se la resistenza idraulica e il post carico aumentano allora aumenta anche il precarico. Se diminuisce la resistenza con cui si riempie il ventricolo avrò un aumento del precarico. La linea nera rappresenta la curva del P-V Loop che va dal punto A al punto B. Cuore ipertrofico→diminuzione della compliance. Cuore con parete muscolare spessa. Mi serve una pressione maggiore per riempire il ventricolo perché le pareti opporranno più resistenza. Lo SV cambia? Sì ma non di tanto, si è ridotto. Dilatazione del ventricolo→la compliance è aumentata. Il ventricolo si dilata quindi è in grado di accogliere molto più sangue. Lo SV potrebbe sembrare molto maggiore ma in realtà la curva è shiftata verso dx (la riserva aumenta se il cuore è lasso). Bisogna fare una analogia tra la relazione che ce tra la tensione e la lunghezza di una cellula muscolare isolata che si contrae, per passare da un diagramma che lega la forza e l’allungamento ad una visione globale del cuore dove si prende in considerazione EDV e SV →CURVA DI FRANK-STARLING, come lo SV cambia in funzione dell’EDV. Maggiore è il volume di fine diastole, quindi maggiore l’allungamento, maggiore sarà lo SV. La relazione non è perfettamente lineare: ad un punto ad un incremento elevato di EDV non corrisponde un incremento elevato dello SV. Andando al di fuori un regime di lavoro si arriva ad un plateau. Cosa succede a livello di una cellula muscolare isolata? Si deve far riferimento ad un esperimento. Una parte di muscolo è fissata e l’altra è attaccata ad una parte mobile: si può impostare un cambiamento di lunghezza L. Studiamo la tensione indotta dall’allungamento, cioè la forza che corrisponderà all’allungamento del muscolo. 10 Fissato un preallungamento vedo come varia la tensione rispetto al tempo. a. In questa condizione all’inizio abbiamo tensione costante non nulla perché ho la risposta puramente elastica del tessuto. Poi stimolo il muscolo che si contrae, cioè la tensione aumenta. Per poi avere una regione in cui la tensione è costante. Le curve a, b e c sono curve ottenute ponendo un preallungamento differente. Man mano che preallungo il muscolo ho che aumenta la risposta passiva del muscolo (risposta puramente elastica) e aumenta anche il contributo attivo. Maggiore il preallungamento maggiore è la forza che il muscolo può sviluppare. Si tratta però di un punto in cui ho contrazioni isometriche cioè la lunghezza totale del muscolo non cambia. L’effetto del precarico che abbiamo legato all’allungamento delle fibre alla fine della diastole lo leggiamo sotto lo sviluppo di tensione di un campione di muscolo cardiaco isolato. Come cambia la pressione ventricolare in funzione del volume ventricolare. Ad un certo punto si arriva in una situazione di plateau, di saturazione. In questo caso vedo la pressione sviluppata dalla contrazione del cuore. 11 Bisogna capire quali sono i fattori che contribuiscono a far aumentare l’EDV, cioè quali aspetti che fanno aumentare il precarico. Caso in cui il P-V loop cambia. Caso in cui aumenta il ritorno venoso: aumenta il volume di sangue che arriva all’atrio e che poi va a riempire il ventricolo. Se aumenta il ritorno venoso cambia il punto sulle ascisse quindi cambia il volume, resta pressoché identico invece la coordinata sulle ordinate per quanto riguarda la pressione. È aumentata l’area sottesa alla curva. Aumenta lo SV perché è aumentato il volume di fine diastole. 14 Il punto A si sposta verso il B nel momento in cui il post carico aumenta. Se aumenta il post carico, pur aumentando EDP, lo SV diminuisce. Se ci si sposta verso C lo SV aumenta ma diminuisce EDP e il post carico diminuisce: il cuore fa meno fatica. Erogo più sangue con una pressione minore, perché la pressione della parte arteriosa è diminuita. Effetti del post carico sulla velocità di accorciamento delle fibre Isotonica→la contrazione avviene a parità di forza applicata. Esperimento: la fibra cardiaca è da un lato ancorata e da un lato è applicato un carico. Si va a misurare la variazione di lunghezza nel momento in cui il muscolo viene stimolato. Nel momento in cui la fibra si contrae si raggiunge la lunghezza minima, cioè L. Si misura anche T, cioè la differenza di forza che si ha fra la fase a riposo e il momento in cui si ha la massima 15 concentrazione. Man mano che il peso aumenta l’accorciamento si riduce e di conseguenza anche la velocità. Effetti del precarico sulla velocità di accorciamento delle fibre Se si aumenta il precarico la curva si sposta in alto e a destra, in questo modo si riesce a compensare ciò che il post carico riduce. 16 Man mano che si riduce il post carico si notano delle oscillazioni. Lo SV lo calcolo fra le linee tratteggiate come: 𝐸𝐷𝑉 − 𝐸𝑆𝑉 Noto anche che le linee tratteggiate tendono ad allontanarsi all’aumentare del tempo, cioè l’ampiezza aumenta. Le linee hanno pendenza negativa: diminuisce la riserva di sangue nel cuore. Se si ha un aumento del post carico ce anche un aumento del precarico (vale il viceversa). Il P-V Loop si sposta verso sx, nel momento in cui diminuisco il post carico, perché l’EDV e l’ESV aumentano. Diminuisce anche l’altezza del P-V Loop. Mean artierial pressure > Arterial pressure is a balance between blood flow into and out of arteries > bload flow into aorta = cardiac output > blood flow out of arteriss is influenced by peripheral resistance (resistance to flow offered by arterioles) Cardiac output Variable resistance Left ventricle Flastic arteries. [MEAN ARTERIAL PRESSURE « CARDIAC OUTPUT + RESISTANCE + flow in > flow out > blooc collected in the arteries + mean arterial pressure increases *_ilow out > flovr in > mean arterial pressure falls Blood volume vs blood pressure >» rapid homeostatic compensation for icreased blood volume due to ingestion of food and liquids during the day fondato » compensation for decreased blood volume requires an integrated response of kidneys and cardiovasculr system tigore n © i. orco Fast response Sow response union Factors influencing mean arterial pressure » Blood distribution between arterial and venous side is an important factor in maintaining arterial blood pressure » Arterial blood pressure falls + increased sympathetic activity constrinets veins decreasing their holding capacity and redistriouting blood to the arterial side of circulation 5 termined by L dotomirca determine by corre by Heont Stroke { Diameter cr Damarer rato volume tre artriotos 01 Me vene Factors influencing blood flow Polseuiles Law Mean arteriai | ny, Rightatiai pressure MAP) pressure (0) | thiscosity || engih | Blood volume | Flowinto arteies | |- | Flowout o arteries | “termina Reflex | © Local —r—@@6 control |. control determined by 7 È , i i Total Arteriai» Cardiao volume venous output — distibuton Heart Stroke rate volume Intinsic | Modulated | Passive | | Modulated T (Frane T Stafing ? fav) a Distribution of blood to the tissues at rest > Distribution of systemic ct Contaccupute Table 24. Distribution of blood Fw in humans at rst blood Ciculaton Bid fior © varies according to ine ni metabolic needs of Da individual organs © is govemed bya Splnchnic liver intestino, spcen) | 1400 a ‘combination of local messi na » RO Cerea 150 n cao Como 29 4 ‘and homeostatic Sheet muscle 120 a reflexes Stin 500 9 > Blood flow to individual Other crgore 600 vo organs is set to some degree -“ fan by the pumber and size of arteries feeding the organ Flow into various > More than two-thirds of the regione cardiac output is routed to Gum) Be the digestive tract, liver, tota) muscies and kidneys i > Nervous system is able to Sri and heat 1000 selectively alter blood flow to Muscle and skin fest) 500 organs > important aspect of I » cardiovascular regulation Trent [300 pifi ener » Blood flow to major organs descending sorta, 76%) represented in ihree ways: ver intestins and splcen 1800 Sosa e of Kiners oo ‘© as volume per 100 mo @ grams of tissue per Fomalasi corte sab Pere orgns an eos is0 26 © asa absolute rate of flow (Limin) 5 Relazione tra flusso e pressione in condizione stazionaria ESPERIMENTO Si prende un serbatoio (1) e un secondo serbatoio (2), con un tubo si collega anche un terzo serbatoio (3). (1) è molto grande e ha un rubinetto che regola il flusso nel (2) che è collegato, tramite un tubo, al (3). Si va a misurare il liquido che passa. Si hanno due serbatoi in serie: uno molto largo (1) e uno molto stretto (2). Si deve misurare il flusso e il p. Si deve avere un sistema che da un flusso costante, cioè l’abbassamento della quota del serbatoio deve essere minima. Nel (2) misuro il p dal livello di liquido in quanto alla fine del tubo si ha pressione nulla. Equazione di Hagen-Poiseuille In questo modo posso calcolare la portata e quindi il flusso. 1 3 2 Effetti della variazione della dimensione del letto vascolare Effect of Change in Size of vascular bed * Changes in the lumen of arteries are virtually all associated with occurrence of curves and branches + Branches are, individually, narrower than the parent trunk * Total cross-sectional area nearly always increases with successive branching * Howa change in the size and shape of the channel due to the presence of curves and branches affect: * the rate of flow * the Reynolds number + the pressure gradient. 1 Lmin 1 Lmin 1 Utmin 1 Ufmin Total fiow: 4Ufmin How a change in the size and shape of the channel due to the presence of curves and branches affect Simply for steady flow + academic interest + Using analogous electrical terms + changes in resistance in the vascular network In larger arteries + pulsatile flow > quite different pressure—flow relationships + changes in impedance Let's first focus on the simplest conditions regarding to: *. venous system * (approximately) in small arteries Murray's law (Physiologist Cecil Murray, 1926): effects of alterations in regional arterial geometry on liquid flow * Theoretical explanation for the relationship between the radius of an artery immediately upstream from a branch point (parent artery) and the radi of arteries immediately (Ro)?=(R1)8+(Ra)? downstream (daughter arteries). * When an artery of radius Rx branches into n arteries of radius Ry+1): the radius of the parent artery cubed equals the sum of the radii of daughter branches cubed. 9 Da biforcazione a biforcazione la sezione aumenta. Se si è vicini al cuore non si parla di resistenza ma di impedenza (perché dipende dalla frequenza). 𝑄1 = 𝑄2 + 𝑄3 In quanto si ha la conservazione della massa. Pongo che: 𝑄1 = 𝑛𝑄2 dato che la velocità in (2) è uguale alla velocità in (3). Ottengo così il rapporto tra la velocità che si ha tra il ramo parente e i due figli. d→è un fattore di aumento dell’area del tronco parente: mostra come l’area aumenta con le biforcazioni. Se d>1 significa che aumenta l’area utile ma diminuisce la velocità. Infatti, nelle arteriole il sangue scorre meno velocemente. Il Re diventa più piccolo, di quello del tronco parente, nelle arteriole: mi allontano da una condizione di moto turbolento. Per quanto riguarda il rapporto delle pressioni, n indica il numero delle ramificazioni. Sfruttando la relazione lineare fra p e Q si può scrivere la resistenza sistemica (Rs). Se si fa il rapporto tra le resistenze del vaso genitore e figlio si ricava: 𝑑2/𝑛2 Significa che le resistenze rimangono immutate nella singola biforcazione solo se il totale dell’area trasversale dei vasi delle ramificazioni è maggiore di quella del tronco genitore di un fattore che è pari al numero di ramificazioni. La resistenza dell’arteriola a valle sarà maggiore della resistenza dell’arteriola a monte. 10 Resistenza vascolare 𝑟𝑠 = 𝑅𝑠𝐴 Un piccolo cambiamento del calibro mi comporta un aumento di resistenza idraulica. Utilizzare l’Equazione di Poiseuille richiede di sapere le lunghezze dei vasi e i relativi calibri punto per punti, ovviamente è impossibile e difficile. Rapporto tra resistenza vascolare e velocità Ci si sposta dal cuore verso la periferia in ascissa e poi si ritorna al cuore. In ordinata è rappresentata l’area totale della sezione del letto vascolare: aumenta in maniera esponenziale quando si ha a che fare con le arteriole, raggiunge il massimo in corrispondenza dei capillari e poi decresce avvicinandosi di nuovo al cuore. L’aumento dell’area corrisponde ad una diminuzione di velocità del flusso sanguigno. 13 Filtrazione e assorbimento capillare Gradiente di pressione osmotica Gradiente di pressione che si genera quando ho una membrana che divide due soluzioni a diversi gradi di concentrazione. Descrivo il movimento di massa attraverso due maccanismi: • Pressione idrostatica • Pressione osmotica Man mano che ci si sposta nel capillare ce una azione dovuta a pressione idrostatica, che è un contributo che diminuisce linearmente, è una pressione che spinge verso l’esterno e da un contributo di filtrazione: 𝑃𝑐𝑎𝑝 − 𝑃𝑖𝑓 = 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 Mentre il meccanismo di assorbimento è dovuto alla pressione osmotica, che rimane costante. Ci sarà un momento in cui si avrà un bilancio fra pressione osmotica e idrostatica (bilancio fra assorbimento e filtrazione). 14 Dimensioni dell’albero arterioso Legge con cui diminuisce l’area dei vasi man mano che ci si indirizza verso la periferia. L’aorta cambia calibro in modo costante verso la periferia. 1 Sommario IL SANGUE .......................................................................................................................................................... 2 Reologia del sangue ........................................................................................................................................ 2 4 Più la concentrazione di ematocrito aumenta più si ha dipendenza della dimensione del tubo. Comparando i risultati in vitro il sangue è meno viscoso in condizioni in vivo→ i risultati in vitro ci danno una viscosità più elevata di quella che è effettivamente. Le curve hanno un intervallo di confidenza, intervallo che aumenta all’aumentare della percentuale di ematocrito. Si misura la viscosità apparente attraverso un viscosimetro di vetro e l’altra misura è fatta in vivo. La viscosità del sangue varia anche in base alla temperatura: maggiore la temperatura minore sarà la viscosità. Si mette in relazione lo shear rate dell’ematocrito con la viscosità. Le curve si riferiscono a diverse concentrazioni di ematocrito. 𝐻𝑛 = 𝑒𝑚𝑎𝑡𝑜𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 × 0.96 Con un ematocrito molto basso noto che ho un comportamento newtoniano. Ho un comportamento non lineare nel momento in cui ho una concentrazione rilevante di globuli rossi, questa mi porta ad avere una diminuzione della viscosità man mano che lo shear rate aumenta. La non linearità aumenta all’aumentare dell’ematocrito perché se mi muovo sull’ascissa ho un cambiamento sensibile della viscosità apparente. Quale è il motivo per cui si vede il fenomeno di shear thinning (diminuzione della viscosità apparente all’aumentare dello shear rate)? 5 A basso shear rate ci sono dei meccanismi di aggregazione e disaggregazione. Le proteine presenti in quantità piccole all’interno del plasma agiscono sui globuli rossi in modo che questi formano delle strutture di aggregati primari con la forma di una pila: fanno a formare i rouleaux. Globulo rosso→disco biconcavo Si crea una rete di unità primarie, anche a formare strutture 3D. Il sangue a riposo ha un comportamento per cui resiste allo scorrimento fino a quando non si raggiunge una sogli di forza che poi innesca lo scorrimento. Lo sforzo applicato necessario per innescare lo scorrimento è chiamato stress di snervamento (yield stress). Sotto condizioni normali lo sforzo di snervamento è una misura che dipende dall’ematocrito e dalla concentrazione di fibrinogeno (proteina che agisce nella formazione dei rouleaux) nel plasma. Nel momento in cui si innesca lo scorrimento il flusso di sangue rompe le strutture simil solido in reti 3D di diverse dimensioni che si muovono come se fossero individuali e raggiungono una dimensione di equilibrio per uno shear rate fissato (maggiore lo shear rate minori sono le dimensioni dell’aggregato). Un ulteriore incremento dello shear rate porta ad una riduzione della dimensione in equilibrio e un minore effetto del rouleaux sulla viscosità (infatti all’aumentare dello shear rate la viscosità diminuisce). 6 In soggetti patologici ci vuole un elevato valore di shear rate per avere la disaggregazione dei rouleaux. Il processo di disaggregazione è reversibile: è necessario un intervallo di tempo affinché si torni ad una condizione di equilibrio (comportamento thixotropico). Anche il cambio di velocità ha un impatto sugli aggregati: Fotografo la condizione a shear rate fissati, ma passare da una condizione all’altra ha un effetto sull’accelerazione. Nel momento del transitorio, quindi passo da una condizione all’altra, il rouleaux si allunga. L’allungamento è dovuto a meccanismi dei rouleaux ma quando questo pass da una condizione all’altra l’allungamento può essere anche pari a tre volte. Con una variazione sinusoidale dello shear, cioè con una accelerazione che aumenta o diminuisce, si ha un comportamento elastico dell’aggregato. Quasi statico→passo da una condizione all’altra in modo così lento che posso considerare gli effetti inerziali nulli. Ad alti shear rate si ha un flusso di eritrociti dispersi. Ci si pone in una condizione per cui lo shear rate è costante ma al di sopra del limite ?̇?𝑚𝑎𝑥: questo è il limite oltre il quale il globulo rosso ruota. Il cambio di forma potrebbe essere collegato poi all’impossibilità del globulo rosso di legarsi all’ossigeno. Quindi studiare il sangue a diversi shear rate permette anche di stabilire una soglia di sicurezza per la progettazione di macchinari, in quanto questi devono lavorare in modo tale da non portare all’emolisi. ?̇?→punto in cui siamo