Appunti di Fisica I - Vettori (Parte 1), Dispense di Fisica

Scarica Appunti di Fisica I - Vettori (Parte 1) e più Dispense in PDF di Fisica solo su Docsity! Proprietà fondamentali dei vettori 1. Grandezze scalari e vettoriali Alcune grandezze fisiche sono completamente descritte da un singolo valore numerico (la loro misura). Tali grandezze sono dette scalari. Esempi: a) la massa; b) l’intervallo di tempo tra due eventi. Altre grandezze fisiche richiedono, per una descrizione completa, che siano specificati anche una direzione e un verso. Tali grandezze sono dette vettoriali. Esempi: a) lo spostamento di un punto materiale; b) la forza. Le grandezze vettoriali possono essere rappresentare da un segmento orientato. La lunghezza del segmento è rappresentativa del valore numerico che dà la misura della grandezza (detta ampiezza, modulo o intensità): a segmenti di lunghezza doppia associamo un’ampiezza doppia, ecc. La direzione e il verso del segmento rappresentano ovviamente la direzione e il verso della grandezza fisica. Simboli utilizzati nel corso: a, a r , AB Vettori a, a r , AB Moduli A Grandezze scalari Attenzione! La lunghezza del segmento che rappresenta un dato vettore è determinata in relazione ad un’unità di misura preassegnata. Se in una rappresentazione grafica coesistono grandezze fisiche diverse (come forza e spostamento) le lunghezze dei segmenti orientati sono determinate in base a diverse unità di misura (anche se di solito ciò non viene menzionato esplicitamente). Quindi, con riferimento alla figura, non possiamo confrontare i due vettori concludendo che la forza ha modulo maggiore dello spostamento! Anche per i vettori, i confronti si possono fare esclusivamente tra grandezze omogenee. s∆ F r 2. Segmenti orientati come vettori Nozione geometrica di vettore Due segmenti orientati si dicono equipollenti se hanno uguale lunghezza, e sono paralleli e concordi. Per completare la definizione, affermeremo che i segmenti con estremi coincidenti sono tra loro equipollenti. L’equipollenza gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva; dunque è una relazione di equivalenza. Ogni relazione di equivalenza divide l’insieme di definizione in sottoinsiemi disgiunti, detti classi di equivalenza. Ad ogni classe di equivalenza appartengono elementi equivalenti tra loro. Segmenti equipollenti Nel caso della relazione di equipollenza, ad ogni classe apparterranno tutti i segmenti di uguale lunghezza, paralleli e concordi. Diremo che ciascuna classe è un vettore. In sintesi: un vettore è rappresentato da un segmento orientato; due segmenti orientati che abbiano la stessa lunghezza, e siano paralleli e concordi individuano lo stesso vettore. L’origine di un segmento orientato è detta punto di applicazione (in figura, A e A’ sono i punti di applicazione dei segmenti AB e A’B’ rispettivamente). In base a quanto detto, due segmenti equipollenti che abbiano diversi punti di applicazione individuano lo stesso vettore. Diremo perciò che un vettore è individuato dalla lunghezza del segmento (modulo), dalla direzione e dal verso, ma non dal punto di applicazione. Nota: il fatto che più segmenti distinti corrispondano allo stesso vettore non deve sorprendere. In modo analogo, frazioni distinte come 9 15 ; 6 10 ; 3 5 ecc. corrispondono allo stesso numero razionale. Modulo di un vettore Si dice modulo di un vettore AB (e si indica con AB ) la misura della lunghezza del segmento AB rispetto ad una prefissata unità di misura. Poiché il modulo è una misura di lunghezza, si ha sempre 0AB ≥ A’ A B B’ Componente di un vettore secondo una retta orientata. Si considerino il segmento AB, rappresentativo del vettore AB , e la retta orientata r. Si costruisce il segmento A’B’, equipollente ad AB, con A’ giacente su r. Si proietta ortogonalmente il punto B’ sulla retta r, individuando così il punto C’. Il vettore 'C'A è detto vettore componente di AB secondo la retta r . Si dice anche: 'C'A è il vettore componente (o semplicemente il componente) di AB su r. La componente di AB su r per definizione è pari a: 'C'A , se l’angolo φ è acuto; - 'C'A , se l’angolo φ è ottuso. Attenzione a non confondere i termini: il componente è un vettore; la componente è un numero (scalare). Sia ABv = r . Detta vr la componente di v r su r, si ha, osservando che il triangolo A’B’C’ è rettangolo in C’ (figura a): φ=φ= cosvcosvvr r Questa relazione è corretta anche nel caso b). Infatti, essa tiene conto del segno negativo di vr per il fatto che cos φ < 0 se φ è un angolo ottuso. La relazione prevede correttamente che vr = 0 quando il vettore v r è perpendicolare alla retta r. B A’ B’ A C’ φ r B A’ B’ A C’ φ r a) b) Componenti cartesiane di un vettore Supponiamo che sia fissato nel piano un riferimento cartesiano ortogonale Oxy. Sia dato il vettore ABv = r . E’ possibile determinare, secondo la definizione appena data, i componenti di v r sulla retta Ox e sulla retta Oy rispettivamente. Tali vettori prendono il nome di: xxBA componente di v r sull’asse x, o semplicemente componente x di v r yyBA componente di v r sull’asse y, o semplicemente componente y di v r Nel caso in figura, le componenti del vettore v r sugli assi x e y rispettivamente sono pari alle lunghezze di xxBA e yyBA . Siano (xA, yA) e (xB, yB) le coordinate degli estremi A e B del vettore. In base alla definizione, si vede facilmente che le componenti di v r sono date da:    = = ABy ABx y - y v x- x v Si noti che le relazioni algebriche sopra riportate hanno validità generale; sono cioè corrette anche quando una o entrambe le componenti siano negative. Nel caso in figura, ad esempio, si ha:    <= >= 0y-y v 0 x-x v ABy ABx A yA B xA xB yB A Ay B Ax Bx By O x y B A O Corrispondenza biunivoca tra vettori e componenti cartesiane Dalla definizione, segue che dato un vettore è possibile determinare le sue componenti cartesiane in modo univoco (cioè, tutti i segmenti orientati equipollenti hanno le stesse componenti). Una costruzione che talvolta risulta utile per determinare le componenti di un vettore è la seguente: dato il segmento orientato AB, si individua il segmento orientato OP ad esso equipollente, e con il punto di applicazione coincidente con l’origine O. Le componenti del vettore ABv = r sono allora uguali alle coordinate cartesiane del punto P:    = = Py Px y v x v E’ vero anche il viceversa: assegnata una coppia di numeri (a, b), si individua uno e un solo vettore le cui componenti siano:    = = b v a v y x In conclusione, la relazione che ad ogni vettore associa le sue coordinate cartesiane in un riferimento assegnato è biunivoca: ( )yx v,vv ↔ r In pratica, diremo che è assegnato un vettore se è assegnato un segmento orientato che lo rappresenta, o anche se sono assegnate le sue componenti cartesiane in un dato riferimento. Ad esempio, se in un problema è chiesto di determinare un vettore forza, possiamo dire di aver risolto il problema se sappiamo disegnare un segmento orientato che rappresenti la forza (cioè, conosciamo modulo, direzione e verso della forza); oppure conosciamo le componenti del vettore in un dato riferimento. Dare il solo valore del modulo non è sufficiente! Visto che un vettore è identificato in modo univoco dalle sue coordinate cartesiane in un riferimento assegnato, si scrive talvolta: ( )yx v,vv = r identificando il vettore con la coppia delle sue componenti. A O P xA xB xP yA yB yP B