Appunti di Fisica, Introduzione, Vettori e Scalari, Appunti di Fisica

Scarica Appunti di Fisica, Introduzione, Vettori e Scalari e più Appunti in PDF di Fisica solo su Docsity! AMA AMMAAAAA AAA AAA AA ARMA CAGARE VA AAA CARARA UAN a) # he ® 9 n ® © KRABI SA RAMARRI EE RARSA $sBRERRS sa E sese uaanz” — Aaa sE Introduzione FISICA La parola fisica deriva dal greco e significa natura. E’ una scienza volta allo studio quantitativo dei fenomeni naturali per comprendere: I costituenti della materia La natura delle loro interazioni In passato la fisica comprendeva tutto! Era sinonimo di scienza naturale e quindi comprendeva anche lo studio degli esseri viventi. Storicamente si sono poi differenziate diverse discipline scientifiche. Oggi invece sappiamo che: I fenomeni fisici, chimici e biologici sono regolati dalle stesse leggi: le leggi della natura Le branche della scienza si riconnettono Su due assi da un lato facciamo riferimento a delle dimensioni, dall’altro lato facciamo riferimento a delle velocità. In ambito atomico se mi occupo del DNA e considero le energie di legame devo applicare la meccanica quantistica. Se passiamo da velocità basse a molto elevate, dove ci avviciniamo alla velocità della luce, devo applicare la meccanica relativistica. La fisica è basata sull’osservazione quantitativa della natura che storicamente ha portato alla nascita del metodo scientifico. È una scienza fondamentale e fornisce concetti ed idee utili anche ad altre scienze pure ed applicate. Le leggi fisiche sono espresse mediante equazioni e modelli matematici che collegano i risultati di misure ad altre misure: Queste relazioni sono soggette a verifica mediate esperimenti: misure in condizioni controllate che ne assicurano la ripetibilità Non sono teoremi matematici, ma devono rispettare il rigore matematico Talvolta possono essere dedotte matematicamente partendo da alcune assunzioni le quali saranno poi soggette a verifica Come vengono dedotte le leggi fisiche? Da osservazioni in natura e dall'analisi di dati sperimentali. " , i tipi si ' i ! ! ! i ! ! • • • ⑨ • • • CONCETTO DI MISURA DEFINIZIONE OPERATIVA INCERTEZZA SPERIMENTALE L’osservazione di un fenomeno naturale è in genere incompleta fino a che essa non viene espressa in modo quantitativo attraverso un’operazione di misura. La misura consiste nel confronto fra una grandezza fisica con un campione di riferimento omogeneo detto unità di misura. Ad esempio faccio un confronto tra un oggetto e una unità di misura omogenea, questo tipo di misura prende il nome di misura diretta. Quando parlo di campione di riferimento o di unità di misura parlo della stessa cosa, sono sinonimi. Il risultato della misura è il rapporto fra la grandezza misurata e l’unità di misura, e cioè un numero che esprime quante volte l’unità di misura sta nella grandezza misurata. Il fatto che i risultati delle misure siano dei numeri implica che la matematica è il linguaggio naturale in cui esprimere le relazioni fra misure. Una grandezza fisica ha dunque una definizione operativa attraverso un’operazione di misura. Quindi la domanda giusta non è “Cosa è il tempo?“ma “Come si misura il tempo?“ È l’insieme corretto dei procedimenti con cui si introducono le grandezze fisiche. Una definizione operativa comprende: La descrizione degli strumenti di misura usati per misurare la grandezza fisica in esame Il protocollo di misura, ovvero la procedura corretta e le istruzioni per usare gli strumenti di misura Non è possibile confrontare una grandezza fisica con il campione di riferimento con precisione assoluta. È scorretto pensare che le scienze siano esatte. Il fisico è alla ricerca di un numero, poi aggiunge l’unità di misura, che è altrettanto importante. Per esempio si possono avere imperfezioni del sistema di misura, oppure disturbi indotti dall’operazione di misura stessa sul sistema da analizzare. La stessa grandezza fisica da misurare può essere soggetta intrinsecamente a fluttuazioni che influiscono sul risultato. Ogni misura è dunque affetta da un errore (o incertezza) sperimentale. E’ necessario ridurre il più possibile questi errori o comunque quantificarli (stima dell’errore sperimentale). : GRANDEZZE FISICHE Tutte le quantità fisiche possono essere definite a partire da un numero ristretto di grandezze fondamentali. Nel Sistema Internazionale di unità di misura (SI) le grandezze fondamentali sono: ( il ‘k’ del kilogrammo è minuscolo) Il sistema di unità di misura dotato per convezione internazionale è stato stabilito nel 1960 dalla XI conferenza generale dei pesi e misure di Parigi. Il SI è costituito da 7 unità fondamentali (nella tabella manca l’intensità luminosa, la cui unità di misura è la candela abbreviata con il simbolo cd), da cui derivano tutte le altre unità di misura delle grandezze fisiche che vengono perciò definite unità derivate. È possibile confondere la dimensione della grandezza fisica con l’unità di misura della grandezza fisica. Esempio: la dimensione del tempo è il tempo stesso. La dimensione della velocità è la lunghezza fratto il tempo. Qualsiasi grandezza fisica può avere una sola dimensione. Una grandezza può avere infinite unità di misura, ma nella tradizione se ne affermano alcune e bisogna quindi conoscere le rispettive equivalenze. LUNGHEZZA Le prime unità di misura della lunghezza furono spesso associate al corpo umano, come per esempio il cubito, usato dagli egizi, i piedi o le spanne. Queste unità, tuttavia, non erano riproducibili, quantomeno non con grande precisione. Per cui dal 1793, l’accademia francese delle scienze decise di usare il metro (m) dal greco “metron”, definito come 1/10.000.000 della distanza Polo Nord-equatore (meridiano terrestre passante per Parigi). Successivamente (1799-1960), fu prodotto un metro standard, metro è la lunghezza del “metro campione”, una barra di platino mantenuta a temperatura costante e conservata al Bureau International des Poids et Mesures a Parigi. Dal 1961 ad oggi: è definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in 1/299792458 secondi. C’è un progresso perché la definizione è basata sulla costanza della velocità della luce. In un qualsiasi laboratorio si può misurare la velocità della luce, quindi posso costruirmi un metro campione che non è meno buono di un altro. TEMPO E’ la grandezza fisica che si misura in secondi (s). Fino al 1956 il secondo era definito a partire dal giorno solare medio, composto da 24 ore, ciascuna divisa in 60 minuti di 60 secondi. Quindi un giorno solare medio corrisponde a 24x60x60 = 86400 s. Ci sono però variazioni nella velocità di rotazione della terra per cui questa definizione non è stabile. Pertanto dal 1956 il secondo è definito come il tempo occorrente all'onda di radiazione emessa da un atomo di Cesio 133 per completare 9192631700 oscillazioni. In ogni Stato esiste un orologio atomico di riferimento per la misura del tempo delle frequenze standard. In Italia il riferimento è fornito dall’INRiM, con sede a Torino. Gli orologi di uso domestico sfruttano un segnale radio inviato da un orologio atomico per il controllo della loro regolarità. MASSA E’ la grandezza fisica che si misura in kilogrammi (kg) (non Kg) ed è una proprietà intrinseca e immutabile dei corpi(almeno a basse velocità). Il kilogrammo è la massa del campione di platino-iridio di Sevres (F) (dal 1889). Ci sono però problemi di stabilità e di deterioramento dovuti all’accumularsi si impurità sulla superficie, nonché nel costruire repliche nazionali ~10 μg. Dal 2019 il kilogrammo è definito come la massa che serve per equilibrare un momento angolare di 6.62607015 x 10-34 Js in una bilancia di Watts. Il kg è quindi legato alla costante di Planck. Peso e massa sono grandezze diverse anche se spesso nel linguaggio comune vengono confuse. La massa è una proprietà di un oggetto indipendente dal luogo in cui si trova, il peso al contrario È una misura della forza gravitazionale che agisce sull’oggetto che può variare in funzione della sua posizione. ALTRI SISTEMI Sono utilizzati nel mondo anche altri sistemi di unità di misura diversi dal Sistema Internazionale. Attualmente le unità di misura vengono però riferite alle unità SI Sistema cgs: unità di misura fondamentali sono: Centimetro Grammo Secondo Sistema consuetudinario statunitense: le unità di misura derivano da quelle utilizzate anticamente nei paesi anglosassoni. Ad esempio: 1 pollice (inch)=2.54 cm, 1 piede=12 pollici, 1 yarda=3 piedi, 1 miglio=5280, piedi=1760 yarde ÷a GRANDEZZE ADIMENSIONALI Angolo piano: radi'anti. L’angolo piano in radianti viene definito come il rapporto tra le lunghezza dell’arco di circonferenza sotteso e il raggio. Poiché si tratta del rapporto tra due lunghezze è una grandezza adimensionale. L’angolo mostrato in figura quindi rappresenta 1 radiante perché l’arco di circonferenza sottoeso è pari ad r Angolo solido: steradiante. L’angolo solido viene espresso in termini dell’area sottesa sulla superficie di una sfera fratto il quadrato del raggio della sfera. L’angolo solido mostrato in figura è pari ad 1 sr perché la sua area vale r^2 ⑨ e ✗ rad = I ⇒ l = r - trad ⑨ Gltr 2 A = GITV 2 ⇒ I = ✓a = 41T CIFRE SIGNIFICATIVE ESEMPIO Tutti i valori non nulli rappresentano cifre significative. Gli zeri compresi tra cifre non nulle sono cifre significative. Gli zeri in rosso (tutti) sono significativi 4506002 Gli zeri che precedono la prima cifra non nulla non sono significative. Esempio: in 0.0012, gli zeri (in verde) non sono significative (il numero in questione ha due sole significative) Gli zeri finali sono significativi solo se presente la virgola (o punto decimale) Esempio: in 13900 gli zeri in verde non sono significativi, ma in 13900.0 tutti gli zeri (in rosso) sono significativi Regole per l’addizione (e la sottrazione): il numero risultante ha lo stesso numero di cifre decimali del numero a minor numero di cifre decimali. Esempio: 5.36 + 99.124 = 104.48 (2 cifre decimali) Regole per il prodotto (e la divisione): il numero risultante ha lo stesso numero di cifre significative del fattore con il minor numero di cifre significative REGOLE ARROTODAMENTO L'arrotondamento va effettuato, di norma, prendendo in considerazione solamente la prima cifra oltre l'ultima significativa (cifra 'extra’). Se tale cifra è minore o uguale a 4, il valore dell'ultima cifra significativa rimane inalterato Se è maggiore o uguale a 5, il valore dell'ultima cifra significativa deve essere incrementato di una unità ESEMPI D= 21.26 cm (a cifre significative , di cui 2 decimali ) t = 8.5s ( 2 cifre significative , di cui 1 decimale ) Vo = 1.358 cm / s ( a cifre significative , di cui 3 decimali ) la / t = 21.26 / 8.5 = 2.5011764705882352941176470588235 cm / S 2.5 cm /s ( 2 cifre significative , 1 decimale) d / t + Va = 2.5 + 1358 = 3.858 cm / S = 3.9 cm / s (2 cifre significative , 1 decimale ) • • • • • • • arrotondare 12.5364 a 3 cifre significative → 12.5 arrotondare 12.5776 a 3 cifre significative → 12.6 arrotondare 1.5556 a 3 cifre significative → 1.56 NOTAZIONE SCIENTIFICA • massa dellaTerra M = 5970000000000000000000000 kg sposto di 24 posizioni verso sinistra la virgola : 1024 M = 5.97 + lo " kg • massa atomo di idrogeno m= 0 . Oooooooooooooooooo oooooo00167 kg sposto di 27 posizioni verso destra la virgola : lo -27 mi = 1.67 + lo-27 • 2.500 nn può avere 2 cifre significative → incertezza di misura 10am a cifre significative → incertezza di misura 1 m ) ma non ci sono dubbi se si scrive 2.5 . 103m → 2 cifre significative 2. 500 . 103m → a cifre significative SENSIBILITÀ E PRECISIONE DEGLI STRUMENTI DI MISURA Gli strumenti di misura presentano due caratteristiche importanti: la sensibilità e la precisione. SENSIBILITÀ La sensibilità è la più piccola variazione della grandezza fisica che uno strumento può rilevare. Esempi: tacche su un orologio, tacche su un metro da sarta. Supponiamo di voler misurare la lunghezza L di un tavolo e che la misura stia all'interno dell'intervallo di sensibilità dello strumento, che supponiamo essere 1 cm. Se trovo un risultato tra 41 cm e 42 cm. Qual è il valore vero? Non si può rispondere: si attribuisce un valore centrale 41.5 cm e un errore di 0.5 cm, scrivendo L = (41.5 ±0.5) cm. Nella bilancia analitica metto delle monetine, l’indicatore della bilancia subisce una grande variazione. Se pesiamo la stessa moneta sul pesa camion vedremo che il peso è uguale a 0, perché è poco sensibile. PRECISIONE La precisione è legata alla ripetibilità delle misure. Uno strumento è preciso se, ripetendo più volte la misura, tende a fornire quasi sempre lo stesso risultato. Una conseguenza ovvia è che uno strumento è tanto più preciso quanto meno è sensibile. Si arriva ad un paradosso, sensibilità e precisione sono quindi caratteristiche contrastanti. Infatti, una grande sensibilità porta ad apprezzare anche piccole variazioni della grandezza fisica, dovute a cause incognite, e quindi quando la misura viene ripetuta più volte, essa tende a fornire valori quasi sempre differenti l’uno dall'altro. Di solito è meglio avere strumenti molto sensibili e trattare i risultati delle misure in modo statistico. MEDIA E CURVA DI GAUSS In un insieme la frequenza di una misura è il numero di volte che questa misura compare nell’insieme. Nella misurazione di una grandezza fisica è inevitabile compiere errori di misura, dovuti a imprevedibili errori umani nell'uso degli strumenti o anche ai limiti di precisione degli strumenti. Per questo motivo i risultati delle misure devono essere sempre accompagnati dall'indicazione dell'errore. Gli errori di misura si distinguono in errori sistematici ed in errori accidentali (o casuali), imprevedibili a priori. Gli errori sistematici sono dovuti a imperfezioni degli strumenti utilizzati o a imprecisioni nella procedura di misura. Tutte le misure sono regolarmente errate per difetto o per eccesso: bisogna lavorare per ridurre il più possibile o eliminare del tutto questo tipo di errori. Gli errori sistematici non possono essere trattati con metodologie statistiche Gli errori accidentali sono dovuti ad inevitabili e casuali errori di misura Gli errori accidentali, seguono le leggi della statistica e si distribuiscono in modo casuale, a volte differendo per eccesso, altre volte per difetto rispetto alla misura più probabile. • • VALORE MEDIO IN = j [ 1 I. , ✗ i 1 N ESCARTO QUADRATICO SN = - µ _ , [= , ( ✗ i - ÌN ) 2 " MEDIO ↳ fornisce una stima dell' errore ESEMPIO 427.70 Ìao = = 10.69 g40 ' 0.65775 ' 540 = 39 = 0.13g peso stimato da una singola misura Poi = ✗ , ± Sao = ( 10.45 ± a. 13 ) g P2 = ✗ 2 ± Suo = (10.55+-0.13) peso stimato da tutte le ao misure 540 P = Ego I gg = (10.69 ± c. 02 ) g SPIEGAZIONE Gli errori accidentali o causali seguono una distribuzione di tipo gaussiano. Dove È la media e È la varianza. Circa il 68% delle misure cade nell’intervallo Circa il 95% delle misure cade nell’intervallo In linea di principio non si conoscono E Ma il valore medio E lo scarto quadratico medio Ne forniscono un stima, per cui il risultato di una misura è espresso come Quando il numero delle misure è molto elevato l’istogramma delle frequenze assume un andamento più regolare, passando dai valori più bassi agli estremi e quelli più alti al centro. Si può dimostrare che al crescere del numero delle misure, tutte le distribuzioni sperimentali tendono ad assumere la stessa forma, rappresentata da una curva particolare, detta curva normale di Gauss o curva a campana. Dalla curva di Guass è possibile ottenere alcune proprietà della distribuzione delle misure: Il valore medio è quello che si presenta con frequenza maggiore La distribuzione è simmetrica rispetto al valore medio Le misure più frequenti, cioè quelle più probabili, si concentrano intorno al valore medio 1 (✗ - n ) ? 84 ) = 2kg2 e ' 262 M 0 ( M - 6 , µ +0 ) (M - 20 , µ -120 ) M 0 XN SN SN IN ± N " • • • Scalari e vettori Grandezza scalare completamente specificabile attraverso: Un numero (intensità) Un'unità di misura Un’incertezza Esempi di grandezze scalari: la temperatura, il volume, la massa, gli intervalli di tempo, la distanza percorsa. Per manipolare le grandezze scalari si usano le regole dell'aritmetica. Grandezza vettoriale oltre all'intensità (modulo) devono essere specificate anche: Direzione Verso Esempi di grandezze vettoriali: la forza (l’effetto è completamente diverso a. Seconda di come applico questa forza) , lo spostamento Uno scalare è un numero con le sue unità di misura che può essere positivo, negativo o nullo. Talvolta tuttavia lo scalare non è adeguato per descrivere una grandezza fisica e in molti casi risulta necessario associare ad esso anche una direzione. La freccia punta nella direzione e nel verso del moto e la sua lunghezza, cioè il modulo, rappresenta la distanza coperta. In generale, una grandezza che è specificata da una direzione orientata e da un modulo è rappresentata da un vettore. Quando vogliamo rappresentare graficamente un vettore Disegniamo una freccia. Per indicare un vettore con un simbolo utilizziamo una lettera in corsivo con una piccola freccia che ricorda la sua natura vettoriale è la stessa le tre in corsivo senza freccia per indicare il suo modulo. VETTORI Il modulo di un vettore v rappresenta la sua lunghezza, ovvero la sua intensità. Si indica con Un vettore di modulo 1 si dice versore. Esempi sono i versori i, j, k lungo gli assi coordinati x,y,z nello spazio Con i vettori si possono fare diversi tipi di operazioni: Somma (e differenza) Prodotto scalare Prodotto vettoriale • / l ' 1 ! ! / ' li ' i 1 ! ! / iy , ' ⑥ A 9 A ⑧ : → HÌH -=v ^^ ^ : • In generale per determinare le componenti di un vettore abbiamo bisogno di un sistema di coordinate. Lavorando in due dimensioni, scegliamo un origine 0 e un verso positivo per l’asse x e per l’asse y. Se il sistema fosse tridimensionale, dovremmo indicare anche l’asse z. Possiamo determinare le componenti scalari utilizzando le relazioni trigonometriche del triangolo rettangolo. Conoscendo le componenti cartesiane di due vettori, è semplice conoscere le componenti della loro somma o differenza e le componenti semplicemente si sommano o si sottraggono. SOMMA DI VETTORI La somma di due vettori è un vettore che si ottiene applicando la regola del parallelogramma. Se 0 è l’angolo fra i due vettori, il vettore somma ha un modulo dato da Da un punto di vista geometrico, il vettore differenza, lo ottengo dall’altra diagonale del parallelogramma. La somma è commutativa, mentre la differenza non lo è, infatti la difficoltà sta nel puntare la freccia Consideriamo alcuni casi particolari: Vettori paralleli concordi: il vettore somma ha la stessa direzione e lo stesso verso dei vettori componenti Vettori paralleli discordi: il vettore somma ha la stessa direzione dei vettori componenti e il verso del vettore con modulo maggiore Vettori perpendicolari Per sommare tra di loro più di due vettori basta disporre tutti i vettori secondo il metodo punta-coda e poi disegnare il vettore che va dalla coda del primo alla punta dell’ultimo. È - - qi-iayi-iaz.li È -15 - - (ax-ibxli-lay.by/I+(az-i-bz)I È - [ = (ax - bx ) i. (ag - by ) I + (az.bz ) È [= ✓ a2-ib2-2abcos.at 1º ① ① = 0 ( =a2-ib2-2abt-ca-bpi-a-b.CO ① = IT ( = a2 -162 _ zab ' = (a - b) ' ' =/ a - b / • 0=172 C. = a2 -162 ' L’opposto di un vettore è rappresentato da una freccia della stessa lunghezza del vettore originale, ma orientata nel verso opposto. In altre parole, determinare l’opposto di un vettore equivale a ribaltarne il verso. PRODOTTO Esistono vari tipi di prodotti che si possono fare con i vettori: Prodotto di uno scalare (numero) per un vettore: il risultato è un vettore Prodotto scalare di due vettori: il risultato è scalare Prodotto vettoriale (o esterno) di due vettori: il risultato è un vettore PRODOTTO DI UNO SCALARE CON UN VETTORE Dato un vettore E uno scalare Il prodotto È un vettore Il cui modulo è La cui direzione è quella di Il cui verso è quello di , quello opposto ad Le componenti di Vengono moltiplicate per Vale la proprietà distributiva PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI Dati due vettori a e b, il prodotto scalare a B è uno scalare (numero) dato da Valgono le proprietà: Commutativa Distributiva rispetto alla somma Se due vettori sono perpendicolari Il prodotto scalare è nullo anche se nessuno dei due vettori è nullo. Quindi il modulo di un vettore si ottiene prendendo la radice quadrata del prodotto scalare del vettore con se stesso. • : È a ✗È ✗a à àsex > o È se ✗ < o È × : ✗ax day ✗az ✗ (È + Ì ) -- ✗ È + AÌ → → → . → ab cose • È . È = I. È • È . (Été )=ÈÌ+ÈÈ ( C- = IT/2 ⇒ cosa-0 ) quindi È . È - o se e solo se È - o , oppure È -0 , oppure Ètb Se è > = È , abbiamo È - È - a' Per i Versari i. Ì , vi abbiamo : i. ↑ = 5. I = vi. È = 1 i. È -_ i. È = Ì . È --0 quindi È . È = (a ✗ itaysitazk ) . ( bxii-by5.bz E) = = axbxi.i-axbyi.J-a.bz ↑ - È -1 . . . + azbz È - È = = axbxtaybytazby ⇒ a = ai + atyta ! "