Appunti di Logica (corso avanzato): definizioni e legge di De Morgan, Appunti di Logica

Scarica Appunti di Logica (corso avanzato): definizioni e legge di De Morgan e più Appunti in PDF di Logica solo su Docsity! LOGICA DEFINIZIONI Logica = la logica è la teoria del ragionamento corretto nella misura in cui si prenda in esame la forma delle relazioni tra le varie proposizioni e non il valore di verità intrinseco delle stesse. Condizione di verità = la condizione alla quale un enunciato è vero, le “regole” a cui la realtà dovrebbe sottostare per verificare l’enunciato. Verificazione = processo che permette di stabilire tramite l’esperienza se un enunciato è vero o falso. Valore di verità = valore proprio di ciascun enunciato determinato dalla verificazione (ogni enunciato può essere vero o falso). Quindi il valore di verità è dato dalle condizioni di verità filtrate dall’esperienza. Dire che un enunciato è vero significa affermare che le sue condizioni di verità sono verificate. Intensione = il significato intrinseco di un’espressione (senza istanzializzazione nella realtà), che determina l’estensione dati i fatti del mondo. Estensione = ciò che viene individuato nel mondo in riferimento alla propria intensione. (es. “il presidente della Repubblica” è intensione di “Sergio Mattarella” che è a sua volta l’estensione della prima espressione). CONDIZIONE DI VERITA’ VALORE DI VERITA’ INTENSIONE ESTENSIONE Principio di bivalenza = principio su cui si basa la logica classica per il quale vale sempre almeno una tra le due possibilità reciprocamente escludenti di verità e falsità. Cioè o una cosa è vera oppure è falsa e quindi non è contemplata l’esistenza di un caso in cui la stessa cosa sia contemporaneamente vera e falsa, ma nemmeno né vera né falsa. Aristotele afferma che tale principio non possa valere per i cosiddetti contingenti futuri dal momento che non si possono fare affermazioni certe riguardanti eventi accidentali futuri nel presente senza scadere nel fatalismo. Tuttavia egli ammette la validità della disgiunzione riguardo tali eventi. Ad esempio “Domani ci sarà una battaglia navale o non ci sarà” è certo e vero, mentre “Domani ci sarà una battaglia navale” è indeterminato quindi né vero né falso. A differenza del “principio del terzo escluso”, il principio di bivalenza riguarda una situazione del mondo. Futuri contingenti = enunciati che vertono su fatti futuri considerati contingenti e dunque non necessari. Principio del terzo escluso = principio complementare al principio di bivalenza. Secondo tale principio la disgiunzione esclusiva tra due possibilità reciprocamente escludenti è sempre vera, cioè non si può verificare una terza possibilità diversa dalle prime due. A differenza del “principio di bivalenza”, il principio del terzo escluso riguarda una proprietà del linguaggio. Antirealismo = dottrina secondo la quale se non si è in grado di dimostrare l’esistenza di un valore di verità, allora non si può affermare che un enunciato sia vero o falso, al massimo esso può essere indeterminato. La dottrina antirealista quindi è in accordo con il principio del terzo escluso, ma non con quello di bivalenza. Enunciato = sequenza di parole che forma una frase di senso compiuto. (es “La musica non è urbana”) Proposizione = ciò che è espresso da un enunciato. Si differenziano dagli enunciati per la presenza del “che”. (es. “Si asserisce la proposizione che la musica non è urbana”) Proposizione semplice = proposizione costituita da un solo enunciato non ulteriormente scomponibile. (es. “Il mare è blu”) Proposizione complessa = proposizione formata da un enunciato scomponibile in più enunciati. (es. “Il mare è blu e il gatto è sul tappeto”). Proposizione particolare = proposizione che riguarda alcuni elementi di un certo insieme. Essa può essere introdotta da espressioni come “alcuni”, “certi”, “qualche”… (es. “Alcune balene sono lunghe più di trenta metri”). Dunque tali proposizioni si trovano espresse nella forma: “C’è qualcosa che ha F e ha (o non ha) G”. Proposizione universale = proposizione che riguarda tutti gli elementi di un insieme. Essa può essere introdotta da espressioni come “i”, “gli”, “le”, “ogni”, “tutti”, “ciascun”. (es. “Tutte le balene sono mammiferi”). Dunque tali proposizioni si trovano espresse nella forma: “Se qualcosa ha F allora ha (o non ha) G”. In questo caso F è condizione sufficiente per G e G è condizione necessaria per F. Condizione sufficiente = una proprietà è condizione sufficiente per un’altra proprietà quando tutto ciò che ha la prima proprietà ha anche la seconda. Condizione necessaria = una proprietà è condizione necessaria per un’altra proprietà quando tutto ciò che non ha la prima proprietà non ha neanche la seconda. Condizione necessaria e sufficiente = si verifica quando qualcosa ha F se e solo se ha G. Tipica delle definizioni. Proposizione conversa = proposizione in cui sono invertiti i termini. Asserire che una proprietà è condizione necessaria e sufficiente equivale ad asserire una proposizione universale e la sua conversa. Proposizione generale = proposizione che si riferisce a molti elementi di un dato insieme (ad esempio i pregiudizi). Dunque tali proposizioni si trovano nella forma: “molte delle cose che hanno F hanno (o non hanno) G”. Proposizione contrapposta = la proposizione “b” è la contrapposta di “a” quando date due proposizioni condizionali “a” e “b” si verifica che l’antecedente di “b” è la negazione del conseguente di “a” e il conseguente di “b” è la negazione dell’antecedente di “a”. Due proposizioni contrapposte sono sempre equivalenti. Negazione = una proposizione è la negazione di un’altra proposizione quando la seconda dice che le cose stanno in un certo modo mentre la prima dice che le cose non stanno in quel modo. Pertanto la negazione di una proposizione è vera nel caso in cui la proposizione sia falsa e viceversa. Congiunzione = proposizione complessa costituita da due o più proposizioni legate dalla relazione che normalmente si esprime con parole come “e”, “eppure”, “sebbene”, “tuttavia” o con segni di punteggiatura come la virgola e il punto e virgola. Pertanto la congiunzione è vera ne caso in cui ciascuno dei congiunti sia vero, altrimenti è falsa. Congiunti = proposizioni costituenti di una congiunzione. Modus tollens (o argomento per contrapposizione) = argomento formalmente valido che consiste nell’assumere come premesse un condizionale e la negazione del suo conseguente al fine di inferire la negazione dell’antecedente. Argomento formalmente invalido = argomento invalido in virtù della sua forma. In generale un argomento valido è garanzia di validità, mentre un argomento formalmente invalido non implica invalidità. Argomento corretto = argomento in cui la conclusione è inferita legittimamente da premesse vere. Dimostrazione = argomento chiaramente valido con premesse chiaramente vere (proprio solo di matematica e geometria). Assunzione = proposizione la cui verità è presa in considerazione solo in termini ipotetici. Reductio ad absurdum = procedimento dimostrativo che prevede l’assunzione di una proposizione ipotetica al fine di dimostrare come essa porti ad una contraddizione e dunque come sia valida la negazione della proposizione di partenza. Argomento per analogia = argomento in cui a partire dalla considerazione che due o più cose sono simili in certi aspetti si inferisce che sono simili in certi altri aspetti. Inferenza alla spiegazione migliore = l’idea alla base di questo tipo di argomento è che se un’ipotesi fornisce una buona spiegazione di un insieme di fenomeni, e se nessuna ipotesi diversa fornisce una spiegazione altrettanto buona, allora è probabile che l’ipotesi sia vera. Argomento efficacie = argomento che è in grado di persuadere un determinato interlocutore al di là della sua validità o forza. Definizione = proposizione che fornisce condizioni necessarie e sufficienti per una certa proprietà. Definizione stretta = la proposizione che fornisce le condizioni necessarie non è vera. (es. “L’uomo è un mammifero che parla l’italiano”) Definizione larga = la proposizione che fornisce le condizioni sufficienti non è vera. (es. “L’uomo è un mammifero che non cammina a quattro zampe”) Definizione persuasiva = definizione formulata usando parole che hanno una carica emotiva e quindi tendono a condizionare in un senso o nell’altro il giudizio su qualcosa. Definizione oscura = definizione formulata in modo non chiaro, tale che la sua comprensione risulta ardua e per chi la riceve e per chi la pronuncia. Definizione figurata = definizione all’interno della quale rientrano delle espressioni figurate poco chiare. Confutazione = argomento nella direzione contraria a quella di un altro argomento, cioè un argomento sulla base del quale si può sostenere che la conclusione dell’altro argomento non è vera o che l’altro argomento non è buono. Controesempio = caso particolare che prova la falsità di una proposizione universale. Può essere un qualsiasi tipo di entità (astratta o concreta, esistente o inesistente), ciò che conta è che sia della stessa natura della proposizione di cui prova la falsità. Confutazione indiretta = confutazione esposta argomentando che una proposizione non è vera sulla base della sua relazione con altre proposizioni di cui si conosce o si inferisce qualche proprietà. Confutazione diretta = confutazione esposta affermando che un argomento non ha premesse vere o che non è valido o forte. Confutazione per analogia logica = confutazione basata sull’argomento per analogia. Disanalogia = aspetto per cui due argomenti o due proposizioni si differenziano. Trovare delle disanalogie è l’obiettivo di chi intenda confutare un argomento per analogia. Mondi possibili = stati di cose possibili. Fallacia = errore o scorrettezza nell’argomentazione oppure argomento cattivo che abbia una parvenza di bontà. Fallacia deduttiva = errore di inferenza che si commette quando si propone un argomento che sembra valido ma è invalido. Fallacia formale = fallacia definita in base alla forma dell’argomento. Affermazione del conseguente = fallacia che consiste nel porre come seconda premessa di un argomento l’affermazione del conseguente di un condizionale che svolge la funzione di prima premessa dello stesso argomento, inferendo così l’affermazione dell’antecedente. Tale fallacia può sembrare valida poiché è piuttosto simile al “modus ponens”. Negazione dell’antecedente = fallacia che consiste nel porre come seconda premessa di un argomento la negazione dell’antecedente di un condizionale che svolge la funzione di prima premessa dello stesso argomento, inferendo così la negazione del conseguente. Tale fallacia può sembrare valida poiché è piuttosto simile al “modus tollens”. Fallacie di rilevanza = argomenti invalidi dal momento che le loro premesse non sono rilevanti per la conclusione. Argomento ad ignorantiam o argomento dell’ignoranza = argomento in cui si conclude che una proposizione è vera sulla base del fatto che non ci sono prove che sia falsa, oppure che è falsa sulla base del fatto che non ci sono prove che sia vera. Argomento ad verecundiam o argomento di autorità = (letteralmente “alla modestia”) argomento in cui si conclude che una determinata affermazione è vera sulla base del parere di una persona autorevole (ipse dixit). Argomento ad hominem = attacco alla persona che sostiene un argomento piuttosto che all’argomento stesso. Un caso tipico è quello del “tu quoque”. Tu quoque = accusa di commettere lo stesso errore di cui si è accusati. Argomento ad baculum = (letteralmente “al bastone”) argomento per cui si cerca di far accettare una conclusione mediante un appello alla forza. Argomento ad populum = argomento attraverso cui si cercano di far accettare una conclusione mediante un appello a sentimenti popolari o a opinioni condivise (endoxa). Argomento ad misericordiam = argomento attraverso il quale si cerca di far accettare una conclusione mediante un appello alla pietà. Fallacia genetica = fallacia in cui si cade quando si cerca di screditare una tesi sulla base di considerazioni che riguardano la sua origine. Tuttavia la questione se una proposizione sia vera è indipendente dalla questione di come o perché le persone che di fatto la ritengono vera siano arrivate a ritenerla vera. Fallacia di composizione = fallacia che si commette quando si inferisce erroneamente che una certa cosa ha una certa proprietà sulla base della considerazione che una o più parti di quella cosa hanno quella proprietà. È l’inverso della fallacia di divisione. Fallacia di divisione = fallacia che si commette quando si inferisce erroneamente che certe cose hanno una certa proprietà sulla base della considerazione che sono parti di un tutto che ha quella proprietà. È l’inverso della fallacia di composizione. Fallacia induttiva = errore di inferenza che si commette quando si propone un argomento che sembra forte ma è debole. Analogia impropria = fallacia che si commette quando si inferisce erroneamente che due o più cose sono simili in alcuni aspetti a partire dalla considerazione che sono simili in altri aspetti. Generalizzazione impropria = fallacia che si commette quando si inferisce erroneamente che tutti gli elementi di un insieme sono simili in certi aspetti a partire dalla considerazione che alcuni elementi dell’insieme sono simili in quegli aspetti. Non causa pro causa o fallacia della falsa causa = fallacia che si commette quando si scambia per causa qualcosa che non lo è. Post hoc egro propter hoc = varietà piuttosto comune di fallacia della falsa causa che consiste nell’inferire che un evento è causa di un altro evento sulla base del semplice fatto che il primo evento precede nel tempo il secondo. Fallacia del giocatore d’azzardo = fallacia che si basa sulla propensione dei giocatori d’azzardo a credere che dopo una serie di esiti sfavorevoli il gioco debba volgere a loro favore. Ambiguità = proprietà di una struttura sintattica o di una singola parola di prestarsi a più interpretazioni o significati differenti. Ambiguità semantica = ambiguità di una singola parola. Ambiguità sintattica = ambiguità di una struttura sintattica. Soddisfacibilità = corrispettivo formale della coerenza. Un insieme di formule è soddisfacibile se e solo se alcune interpretazioni verificano l’insieme. Equivalenza logica = corrispettivo formale dell’equivalenza. Due formule sono logicamente equivalenti se e solo se hanno lo stesso valore in ogni interpretazione. Metodo effettivo = procedura per computare la risposta che, se seguita correttamente e per quanto necessario è vincolata a dare una risposta corretta, e non risposte sbagliate, in un numero finito di passi. Computabilità = possibilità di computare il valore di una funzione in ogni argomento secondo un metodo effettivo. Decidibilità = un insieme è decidibile se e solo se c’è un metodo effettivo per affermare per ogni elemento se esso appartenga o meno all’insieme. Ogni insieme finito è decidibile. [Quindi ogni insieme contabile, ma non numerabile è decidibile.] Derivazione = una derivazione di α da Γ è una sequenza finita di formule che finiscono con α tali che: 1) ogni formula nella sequenza è un’assunzione o è ottenuta da altre formule che la precedono attraverso alcune regole di inferenza; 2) α dipende solo da assunzioni che appartengono a Γ. Derivabilità = corrispettivo sintattico dell’implicazione. Sequente = espressione di derivabilità di una formula da un insieme. Sostituzione = processo attraverso il quale un sequente è ottenuto rimpiazzando una o più formule uniformemente con una o più lettere enunciative. Teorema = formula derivabile da un insieme vuoto. I teoremi sono il corrispettivo sintattico delle tautologie. Dilemma = alternativa tra due opzioni che portano allo stesso risultato. Le due opzioni sono dette anche “corni” del dilemma. LEGGE DI DE MORGAN La legge di De Morgan è applicabile alle derivazioni e afferma che: ∼(α ∨ β) ⟛ ∼α ∧ ∼β e ∼(α ∧ β) ⟛ ∼α ∨ ∼β O con la doppia negazione: ∼(∼α ∨ ∼β) ⟛ α ∧ β e ∼(∼α ∧ ∼β) ⟛ α ∨ β Alcuni accorgimenti facilitano l’esercizio di derivazione di tali formule negli otto casi contemplati: - Se l’assunzione di partenza ha le parentesi non occorre utilizzare la regola di eliminazione della disgiunzione (Ev), ma è necessario utilizzare l’introduzione della disgiunzione (Iv); - Se, invece, l’assunzione di partenza non ha le parentesi occorre utilizzare la regola di eliminazione della disgiunzione (sempre all’ultimo o al penultimo passaggio), mentre l’introduzione della disgiunzione non è contemplata; - La regola di Introduzione della negazione (I∼) deve sempre essere utilizzata; - Solo in due casi (entrambi hanno come prima assunzione una formula con parentesi, nel caso specifico ∼(α ∨ β) e ∼(∼α ∨ ∼β) ) è presente la negazione della prima assunzione al fine di ragionare per assurdo, e in entrambi i casi è derivata tramite introduzione della disgiunzione e mai assunta. - Negli altri sei casi, invece, si assume la negazione di ciò che si vuole derivare.