appunti di matematica finanziaria, Sintesi del corso di Matematica Finanziaria

Scarica appunti di matematica finanziaria e più Sintesi del corso in PDF di Matematica Finanziaria solo su Docsity! APPUNTI DI MATEMATICA FINANZIARIA CAPITOLO 1 REGIMI FINANZIARI Il sistema finanziario è l'insieme degli strumenti, degli intermediari, dei mercati e delle relative regole, attraverso cui si realizza la movimentazione monetaria e il trasferimento di rischio tra diversi agenti. Una delle sue principali funzioni è quella di consentire il flusso di denaro dalle unità cosiddette in surplus (che dispongono di più di quanto riescono a spendere) a quelle in deficit (spendono più di quanto dispongono). Questi trasferimenti di denaro possono avvenire tramite varie tipologie di strumenti, tra i quali la stipula di CONTRATTI FINANZIARI, essi sono accordi tramite i quali due o più controparti si impegnano a scambiarsi una serie di importi a una serie di date convenute. Esistono varie tipologie di contratti finanziari: *contratti finanziari contingenti, *contratti finanziari che sono titoli finanziari. Per i contratti finanziari contingenti si hanno fissati i criteri in base ai quali, importi e tempi, sono determinati da eventi futuri. In questa tipologia di contratti (generalmente) le controparti non cambiano per l’intera vita del contratto. In altri casi le controparti possono cambiare: dopo un pagamento iniziale, una controparte si configura come CREDITRICE nei confronti dell’altra, allora in questo caso si parla di titolo finanziario, (per riassumere, il titolo finanziario conferisce il diritto a ricevere introiti futuri). Successivamente i contatti finanziari danno vita a delle operazioni finanziarie che possiamo classificare in INVESTIMENTI e FINANZIAMENTI. Si parla di investimenti quando ad una o più uscite seguono una o più entrate, mentre per poter parlare di finanziamento deve verificarsi che ad una o più entrate seguano una o più uscite. Le operazioni possono essere rappresentate in matematica finanziaria nel seguente modo: possiamo considerare un contratto in cui una parte A riceve OGGI 100E, dall'altra parte la controparte B si impegna a pagare 3 rate da 400E in 1, 2, 3 anni. Possiamo quindi rappresentare il contratto cosi: x/t = (100,-400,-400,-400) / (0,1,2,3) x = descrive gli importi, i segni positivi descrivono gli introiti, quelli negativi gli esborsi. t= è lo scadenzario, che descrive le relative scadenze a cui gli importi saranno scambiati (t,, viene utilizzato per indicare il tempo trascorso dalla data odierna e si utilizza l’unità di misura 1 anno come regola generale). LE OPERAZIONI FINANZIARIE POSSONO ANCHE ESSERE RAPPRESENTATE GRAFICAMENTE: 1000 -400 -400 -400 t J Î Î T Ì 0 1 2 3 Operazioni di investimento: le uscite precedono le entrate x (-,...,-,+,...,+). La forma elementare di un . . x c investimento è wt-(- È) Operazioni di finanziamento: le entrate precedono le uscite x — (+,...,+,-,...,-). La forma elementare di un finanziamento è x/t= (Co _ «) BASI TEMPORALI DIVERSE t Il tasso di sconto d’ espresso sulla base temporale T si ottiene da 1-dt = 1- d’+; da cui poi d’= dt T d In particolare, se t=1/k si ha d® "È LA CAPITALIZZAZIONE DEGLI INTERESSI Capitalizzazione annuale Quando il prestito arriva alla scadenza, gli interessi maturati dal creditore possono essere liquidati, ad esempio sotto forma di cedole di un’obbligazione, oppure reinvestiti in un prestito analogo al precedente. In questo secondo caso si dice che gli interessi vengono capitalizzati, ovvero vanno a far parte del capitale. Spesso un contratto prevede che questa pratica sia automaticamente eseguita a favore del creditore e che le condizioni rimangano invariate. Se oggi investiamo 1 Euro in regime di interesse semplice con tasso semplice j e dopo 1 anno avviene una capitalizzazione, il montante dopo 2 anni sarà m(2)=(1+))*(1+)j)=(1+))? Se la capitalizzazione avviene alla fine di ogni anno, è facile convincersi che agli istanti di capitalizzazione T = n (con n=1,2,...)siha m(n)=(1+])" Nella pratica, gli interessi passivi o attivi sui conti corrente o di deposito vengono capitalizzati più volte l’anno. Per esempio secondo la cosiddetta capitalizzazione trimestrale (una delle più diffuse). Fissato il numero N di capitalizzazioni all’interno dell’anno, il tasso semplice j che agisce tra due capitalizzazioni successive è chiamato TASSO DI INTERESSE NOMINALE OCNVERTIBILE N VOLTE L’ANNO. Quindi avremo che il montante è m(t) = (1 +5 , ed avremo che il tasso di interesse effettivo di questa legge è i = DN _ 1+ 7) 1. Caso differente è quello in cui l'investimento finisce in un istante non di capitalizzazione, dovremo quindi calcolare il fattore montante residuo secondo il regime di interesse semplice: in generale si ha che m(t)= (1 + bp * (1+)/t), in cui T e n rappresentano il numero di capitalizzazioni che sono avvenute nell'intervallo (0, t]. REGIME DI INTERESSE ESPONENZIALE Legge di capitalizzazione Nella pratica, il regime esponenziale è il più utilizzato, sia per capitalizzare che per attualizzare, su scadenze medio-lunghe (superiori ad 1 anno). Il primo motivo di questa scelta è che le leggi esponenziali sono le uniche a possedere un'importante proprietà, detta di scindibilità, la quale aiuta a risolvere molti problemi di capitalizzazione o attualizzazione su più scadenze. In questo tipo di regime, indichiamo il tasso di interesse j con 6. Il fattore montante nel regime esponenziale è quindi dato da m(t) = edt Il parametro 8 diventa il tasso di interesse nominale (tasso logaritmico). Il montante al tempo t del capitale iniziale Co è dato da: M(Co,t) = est il tasso di interesse effettivo è i=e5 — 1 il montante nel regime esponenziale può anche essere espresso in termini del tasso i mé)= A+ *Nella pratica è solitamente utilizzato il tasso composto (i), ma in alcuni modelli teorici è utile utilizzare quello logaritmico (8). Legge di attualizzazione Il fattore di attualizzazione nel regime esponenziale è dato da v (t) = e78t, e se espresso in termini di tasso logaritmico si ha v(t) = (1+ 7 Il valore attuale di Cr, disponibile altempotè V= Cr e78*= Cr(1+î) Tassi su altre basi temporali Il tasso logaritmico è’ espresso sulla base temporale 1 si ottiene da e$t = e$9/t set= 1/ksiha che 60= 8/k 1 iltasso composto i’ espresso sulla base temporaletè i = (1+jk—1 PROPRIETÀ DI SCINDIBILITÀ Supponiamo di investire una certa somma €; in regime esponenziale al tasso composto i per il periodo da 0 a S: il montante M(S) = Co (1+i)f. Se si reinveste lo stesso montante per un ulteriore lunghezza T alle stesse condizioni di prima, ovvero in regime esponenziale con tasso composto i alla scadenza finale S+T il montante sarà: Dall’espressione ottenuta possiamo concludere che l'aver disinvestito e immediatamente reinvestito alla scadenza intermedia non ha prodotto alcuna variazione, che è proprio l'assunto del regime esponenziale, che gli interessi siano capitalizzati continuamente. Il regime di interesse semplice NON gode di questa proprietà, infatti se il tasso semplice è j ed eseguiamo un'operazione intermedia, possiamo notare che il montante finale aumenta. Un ragionamento analogo può essere effettuato per il regime di interesse anticipato. UNA LEGGE FINANZIARIA VIENE DETTA SCINDIBILE SE IL FATTORE MONTANTE SODDISFA L’UGUALGLIANZA m(S)m(T)=m(S+T) Perogni S,T>0 PER QUANTO RIGUARDA IL FATTORE DI ATTUALIZZAZIONE, DEVE SODDISFARE LA SEGUENTE UGUAGLIANZA v(S)v(T) = v(S+T) FORMALIZZANDO Attraverso la proprietà di scindibilità possiamo: 1. Farci finanziare 1 E oggi e restituire m(S+T) alla scadenza S+T, 2. Investire oggi 1 E, ottenendo m(S) alla scadenza S, 3. Investire (a termine) m(S) E in S, ottenendo m(S)m(T) alla scadenza S+T. CAPITOLO 3 RENDITE E AMMORTAMENTI INVESTIMENTI E FINANZIAMENTI NON ELEMENTARI: sono operazioni finanziarie che prevedono lo scambio di una singola somma di denaro, in entrata o in uscita, con un flusso di somme nel senso opposto, ad esempio: ® L’acquisto di un BTP, che prevede un esborso iniziale, seguito da una serie di introiti. Questo investimento ha una forma del tipo: (- +,+,+) e Acquisto a rate tramite una società finanziaria, prevede un introito iniziale, seguito da una serie di esborsi (rate). Questo investimento ha una forma del tipo: (+,-,-,-| ® Trattamento di fine rapporto (TFR), somma che il datore di lavoro versa nell'istante di cessazione, per qualunque motivo del rapporto. Il TFR è prodotto dall’accantonamento mensile della busta paga. Questa operazione, rappresenta dal punto di vista del lavoratore un investimento (-,-,-,+) e dal punto di vista del datore di lavoro un finanziamento (+,+,+,-) CLASSIFICAZIONE DELLE RENDITE Una rendita è un flusso di importi positivi. Può essere rappresentata come R/t = (Ri, Ry)/(tr tn) MONTANTE A RATE COSTANTI Definiamo il montante di una rendita R/t = (R.,...,Rw)/(t,,..., tw) ad una certa scadenza T > ty come: M=(1+iV(R/1) *V (R/1) è il valore attuale della rendita; in parole, possiamo esprimere il montante T di una rendita come il montante da 0 a T del valore attuale in 0 della rendita. CASI PARTICOLARI -rendita annuale posticipata con N rate unitarie, il montante alla scadenza ty = N în cui viene pagata l’ultima rata è M=(1+i)3I,=(1+i)N ani 1-(+)% (+)".1 i _ i Il montante finale, ovvero in T = N, di una rendita annuale posticipate con N rate costanti è (1+i)N-1 i M=R* Valore di una rendita R/t altempo T > 0 come PIANI DI AMMORTAMENTO Chiusura finanziaria Consideriamo un piano di ammortamento come un problema di capitalizzazione nella quale dobbiamo determinare flussi di importi futuri a partire da un certo capitale iniziale. Possiamo immaginare di aver contratto al tempo 0, un debito di importo Dy e di doverlo ripagare tramite un piano di rate future. Quindi il flusso delle rate future deve soddisfare una certa condizione, detta CHIUSURA FINANZIARIA, nella quale il valore attuale della rendita coincide con il debito iniziale: N Ds = V(R/1) =) Riv(ta) n=1 Il piano di ammortamento nasce dal fatto che questa condizione può aiutare a calcolare il valore delle rate quando queste sono relativamente piccole (N < 2). Quando il valore delle rate tende ad N è opportuno costruire un piano di ammortamento con un debito iniziale Do e R, che è l'n-esima rata di ammortamento. Da quanto appena detto, la chiusura finanziaria con tasso composto i diventa: La formula appena descritta utilizza un tasso tecnico i (=tasso fisso) che rimane costante. Quota interesse e quota capitale La quota interesse è la parte di rata che va a coprire gli interessi maturati, mentre la quota capitale è la restante parte che va effettivamente a diminuire il debito. QUOTA INTERESSE In=Dn_i QUOTA CAPITALE Cn = Rn In DEBITO RESIDUO Dn = Da-17 Cn Una tabella di ammortamento, raccoglie tutte le grandezze appena elencate; e può essere rappresentata nel modo seguente n tn | Rn | In Cn Da 0 0 0 0 0 1000 1 1 400 100 300 700 2 2 300 70 230 470 3 3 517 47 470 0 Il debito residuo cala ad ogni scadenza, quindi per ogni k : Dy = 0. Quindi se l’ammortamento soddisfa le caratteristiche di chiusura finanziaria vale che YN_, Cn = Do che è detta CHIUSURA ELEMENTARE. Esistono varie tipologie di ammortamento: ammortamento italiano, il quale ha la caratteristica di tenere sempre la quota capitale costante; l'ammortamento francese che invece tiene la USO FRUTTO E NUDA PROPRIETÀ Capita spesso che, ad ammortamento non ancora completato, il creditore decida di cedere il credito residuo, oppure il debitore decida di estinguere il muto, accendendone subito un altro a diverse condizioni (rinegoziazione del debito). Sorge quindi il problema di calcolare il valore di cessione o di estinzione, che sarebbe il valore attuale di tutte le rate ancora da pagare. Si sceglie di utilizzare un tasso di valutazione È... Il valore del prestito alla scadenza subito dopo il pagamento della rata è N Rx hs TE 1 Jen «a +i) L’usufrutto (valore attuale di tutte le quote interesse future) può invece essere scritto in questo modo N Ik Un= Sa KERI A+) Per quanto riguarda la nuda proprietà (valore attuale di tutte le quote capitale future) N Ck (1+ i.) k=n+1 IDENTITÀ DI MAKEHAM è una relazione che lega usufrutto e nuda proprietà: NP, = Dy — &Un NP 5 AMMORTAMENTO FRANCESE Piano di ammortamento a rate costanti, ed utilizza iltasso tecnico ‘” in cui l'importo comune delle N rate si ottiene dalla condizione di chiusura finanziaria: Mentre, la quota capitale la si ottiene come R=(1+i) 7, poiché D = R In questo tipo di ammortamento: ® la rata è sempre sufficiente a coprire gli interessi maturati, essendo le quote capitale sempre positive ® laquota capitale è crescente ® la quota interesse è decrescente ani AMMORTAMENTO ITALIANO Piano di ammortamento a quote capitali costanti. l'importo comune delle quote capitale si ottiene NA ot 4 D, dalla condizione di chiusura elementare C = 7 Dopo aver calcolato la quota capitale, si procede, passo dopo passo a determinare la quota interesse, la rata e il nuovo debito residuo. Questo tipo di ammortamento prevede: ® larata, che è sempre sufficiente a coprire gli interessi maturati e ildebito residuo che decresce secondo una progressione aritmetica ® così anche le quote interesse e le rate decrescono secondo una progressione aritmetica. OSSERVAZIONI: da un confronto fra i due ammortamenti si può notare che, all’inizio, l'’ammortamento italiano paga più rate rispetto a quello francese, ma la situazione si inverte nel corso del tempo, ovvero proprio alla metà dell’ammortamento (N/2). Si può anche osservare, che il debito residuo secondo l'ammortamento italiano è minore rispetto al corrispondente in quello francese. Quindi, qualunque sia il tasso di valutazione adottato, a ogni scadenza l’usufrutto nel piano italiano è minore rispetto all’usufrutto nel piano francese. Si può affermare che il piano italiano è più favorevole al debitore perché si pagano meno interessi, ma dall’altra parte, prevede di pagare di più all’inizio, e questa cosa è vista come uno svantaggio verso il debitore. PRE-AMMORTAMENTO E AMMORTAMENTO CON RITARDO Il pre-ammortamento è una pratica comune per andare incontro alle esigenze di un eventuale debitore che preferisce pagare tasse relativamente più basse nella prima parte dell’ammortamento. Durante tutta la fase del pre-ammortamento, non venendo pagate quote capitale, il debito rimane congelato. Un'altra soluzione spesso adottata è quella di ritardare l’inizio del pagamento. In questo caso però, ritardare il pagamento della prima rata comporta un aumento del debito di p rate, quanti sono gli anni che si ritarda nel pagamento. D, = Do(1+i)P AMMORTAMENTI A TASSI VARIABILI Tasso variabile e condizioni di chiusura In questa tipologia di ammortamento è previsto che il tasso tecnico possa cambiare di periodo in periodo, seguendo i movimenti dei tassi di mercato. In Italia, per esempio, i mutui a tasso variabile prevedono che un tasso tecnico usato in un certo mese, sia pari al tasso Euribor a 1 o 3 mesi osservato, più uno spread fisso (che generalmente è Quindi pensiamo che r sia un tasso di interesse (attivo o passivo) che agisce da un anno al successivo, su un conto su cui vanno ad accumularsi introiti ed esborsi; costruiamo così una sequenza di saldi dell'operazione: S(1)=-10001+r)+400 S@)=S(A)+(14+7) +500=-10001+7)? S(3)=-1000(1 +r)3 + 400(1+r)? + 500(1+r)+ 400 SA)=-1006(1+r)" +400(1+r)* + 500(1+r)? +400(1+7r)+200 Possiamo dunque evidenziare che montante (M) e il saldo finale sono di uguale importo, quindi i due modi di ragionare sono identici. S(1) = -1000(1+7r.)+400=-710 S(2) = —710(1+r.) +500= 288.10 S(3) = —288.10(1+r_) + 400 = 80.21 S(4) = 80.21(1+ 7) + 200 = 284.22 In questa sequenza di saldi possiamo osservare che per i primi tre è stato utilizzato un tasso passivo perché il saldo precedente era negativo. Il criterio del TRM prevede di scegliere l'operazione con il montante finale più alto. TASSO INTERNO DI COSTO Possiamo definire un tasso interno di costo come un tasso r>-1 tale che N Cn ©=) n=1 (1 + » " è evidente che le operazioni di finanziamento che prevedano un introito iniziale seguito da un flusso di esborsi hanno sicuramente un solo tasso interno di costo ed esso è positivo solo se la sommatoria di C,, > Co IMPORTANTE un FINANZIAMENTO SEMPLICE si ha quando l’ultimo introito precede il primo esborso un FINANZIAMENTO PURO lo si ha quando la successione dei saldi presenta un solo cambiamento di segno, da positivo a negativo TAN E TAEG e TAN=Tasso Annuo Nominale, che prende in considerazione solo l'importo erogato e le rate di ammortamento e TAEG = Tasso Annuo Effettivo Globale, che tiene in considerazione di un serie di spese accessorie, quali spese di istruttoria e commissioni di incasso. Il TAEG, prendendo in considerazione più voci di spesa risulta più alto del TAN e più aderente al costo dell'operazione. esempio L’acquisto di un televisore, il cui prezzo di listino è 900 E viene rateizzato, vengono pagate 18 rate mensili (posticipate) di 50 E. Considerando solo questi elementi, l'operazione può essere rappresentata così (900,-50, ..., -50) / (0,1m,2m,..., 18m). Essendo 900=18*50, il TIR di questa operazione è O: il TAN dell'acquisto a rate perciò è nullo. Ma considerando le spese di istruttoria (30 E, da pagare all'acquisto) e le commissioni di incasso (2 E a ogni rata), l'operazione di finanziamento diventa (870,-52, ..., -52) /(0,1m,2m, ..., 18m), il TAEG del finanziamento che è il TIR di quest'ultima operazione è circa 7,08% CAPITOLO 5 OBBLIGAZIONI Per una società o un’Amministrazione pubblica che necessiti di un finanziamento di grandi dimensioni, può risultare difficile o non conveniente trovare un unico creditore disposto a concedere il prestito. Per superare il problema, essa può ricorrere ad un prestito obbligazionario suddividendo l'importo del finanziamento in tanti lotti più piccoli e cercando per ognuno di essi una controparte. ® ciascuno di questi lotti (tutti uguali) prende il nome di obbligazione e ilsoggetto debitore (la società o l’amministrazione pubblica) è detto emittente ® la controparte è detta sottoscrittore e ilsottoscrittore, alla data di emissione dell’obbligazione, paga all’emittente una certa somma (prezzo di emissione) e riceve in cambio il titolo a ottenere dall'emittente un dato flusso di importi a scadenze prefissate. Questa prima fase di scambio avviene nel MERCATO PRIMARIO, dove le obbligazioni vengono collocate. Mentre il MERCATO SECONDARIO è il mercato nel quale il titolo cambia di mano (quindi il sottoscrittore cede il titolo al portatore). L'emittente di un titolo può essere: lo Stato (si parla di titoli di Stato), Entità Sovranazionali (BEI, banca mondiale) o altre società molto grandi (obbligazioni societarie). In un’operazione di prestito obbligazionario, il debitore è unico e non cambia fino alla scadenza finale. AI contrario, i creditori possono essere molto numerosi e possono cambiare per effetto della compravendita di titoli. Modalità di rimborso Il piano di rientro del debito può, in teoria, assumere varie forme. La maggior parte dei prestiti obbligazionari appartiene a tre grandi categorie: ® OBBLIGAZIONI SENZA CEDOLE (ZCB, Zero Coupon Bond) che prevede il rimborso del capitale prestato in un’unica scadenza, tramite il pagamento del valore facciale (o valore nominale) ® OBBLIGAZIONI CON CEDOLE FISSE (CB, fixed Coupon Bond) che prevedono il pagamento di un flusso periodico di cedole di importo fissato, seguite dal pagamento finale del valore facciale ® OBBLIGAZIONI CON CEDOLE VARIABILI (FRN, Floating Rate Note) per le quali l'importo delle varie cedole non è noto all'istante dell'emissione. Le CEDOLE, se sono presenti, sono di importo proporzionale al valore facciale, secondo un certo tasso cedolare. Il piano cedolare è interpretabile come il flusso di quote interesse in un ammortamento di un debito pari al valore facciale e il valore facciale stesso. Cedole variabili Vengono calcolate in base ad un tasso cedolare * rendimento dei BOT semestrali emessi prima della data di stacco della cedola * = spread fisso OBBLIGAZIONI SENZA CEDOLE un’obbligazione senza cedole (ZCB) è caratterizzata da pochi elementi: 1. una data di emissione (t=0) 2. un prezzo di emissione (B,)che oggi viene pagato al sottoscrittore all’emittente 3. una scadenza T>0 4. un valore facciale F>B, che al tempo T viene rimborsato dall'emittente al portatore (non necessariamente il sottoscrittore iniziale) Quindi uno ZCB non paga cedole intermedie, ma remunera il capitale prestato tramite la differenza F-By>0 che è chiamato premio (o disaggio) di emissione. Gli ZCB presentano un ventaglio di scadenze molto ampio: si va dai 3 mesi dei BOT a scadenze di 20 o 30 anni per certe obbligazioni senza cedole emesse da organismi internazionali RENDIMENTO A SCADENZA Per il sottoscrittore che detiene lo ZCB fino alla scadenza, l'operazione di investimento è (-Bo F)/(0,T) Il cosiddetto rendimento a scala (yield to maturity) altempo t=0, è il rendimento composto di questa operazione 1/T Tt=(F - 0 Bo Se la scadenza non supera 1 anno, come per il caso dei BOT, si preferisce utilizzare il rendimento semplice: Ss 1F-Bo To="=" CT Bs QUOTAZIONI DI UNO ZCB Ogni qualvolta lo ZCB viene immesso nel mercato secondario, si forma un prezzo (o quotazione) che è frutto dell’incrocio tra domanda e offerta (B,). [Il prezzo iniziale si forma nel mercato primario, mentre il prezzo finale dovrà coincidere con il valore facciale B, = F]. Vita residua:t=T-t Scadenza # vita residua. La scadenza è la data in cui sarà rimborsato il valore facciale e rimane sempre fissa, mentre la vita residua descrive quanto manca alla scadenza e decresce giorno per giorno. Ad ogni istante t possiamo definire il rendimento a scadenza come