Proprietà delle Variabili Continue: Distribuzioni e Funzione di Distribuzione, Schemi e mappe concettuali di Probabilità e Statistica

Scarica Proprietà delle Variabili Continue: Distribuzioni e Funzione di Distribuzione e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Probabilità e Statistica solo su Docsity! 1 Variabili aleatorie continue Definizione 1 Sia X : Ω −→ R una v.a.; la funzione F : R −→ R definita da: F (x) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} o, più semplicemente F (x) = P (X ≤ x), si chiama funzione di distribuzione (o ripartizione) della v.a. X. Si ha: P (X ∈ (a, b]) = P (a < X ≤ b) = P (X ≤ b)− P (X ≤ a) = F (b)− F (a). Se X è discreta, l’andamento della sua f.d.d. è molto semplice da descrivere: se, per semplicità, supponiamo che X sia a valori interi, allora F (x) è costante nell’intervallo tra due interi successivi, mentre può presentare una discontinuità in corrispondenza dei valori interi. La funzione di ripartizione è importante poiché la sua conoscenza è equivalente a quella della densità di X. Infatti, se p(x) è la densità discreta di X, che assume valori x1, x2, . . . , xn, allora si ha: F (x) = P (X ≤ x) = ∑ k: xk≤x p(xk), che esprime la f.d.d. in termini della densità. Viceversa, se per esempio X prende solo valori interi, allora p(k) = P (X = k) = P (k − 1 < X ≤ k) = F (k)− F (k − 1). (1.1) Naturalmente, F (x) è una funzione non decrescente. Infatti, sia x1 < x2, occorre mostrare che F (x1) ≤ F (x2); siccome l’evento {X ≤ x1} ⊂ {X ≤ x2}, abbiamo P ({X ≤ x1}) ≤ P ({X ≤ x2}), ovvero F (x1) ≤ F (x2). Inoltre, risulta F (x) = 0 se x < min{x1, x2, . . . , xn} e F (x) = 1 se x ≥ max{x1, x2, . . . , xn}. A volte, per calcolare la densità di una v.a. può essere più facile calcolare prima la funzione di ripartizione F (x), e poi da questa ricavare la densità tramite la (1.1). Questa è la procedura che abbiamo seguito, per esempio, per trovare la densità del tempo T di primo successo. Se k è intero: F (k) = P (T ≤ k) = 1− P (T > k) = 1− (1− p)k, e quindi, se k ≤ x < k + 1, ovvero [x] = k ([x] denota la parte intera di x), si ha F (x) = P (X ≤ k) = 1− (1− p)[x]. In Fig. 1 è riportato il grafico della Funzione di ripartizione di una v.a. uniforme su (0, . . . , 6), in Fig.2 quella di una v.a. Binomiale B(6, 1/2). Osserviamo che, per una v.a. discreta X che assume valori x1, x2, . . . , xn, risulta pk = P (X = xk) = F (xk)− F (x− k ), 1 Figure 1: dove F (x− 0 ) = limx→x− 0 F (x); quindi, pk è uguale all’ampiezza del salto attraverso il punto di discontinuità di F. Per X ∼ Uni(0, . . . , 6), l’ampiezza del salto è costante ed uguale a 1/6, per X ∼ B(6, 1/2), l’ampiezza dei salti va via via diminuendo. Una v.a. X può assumere valori in un insieme continuo, e si dice v.a. continua. Per esempio, è questo il caso se X denota un numero aleatorio nell’intervallo (0, 1) : il range di X è l’intervallo (0, 1), che è un s.i. continuo di R. La definizione di f.f.d. rimane invariata per v.a. continue. Riassumiamone le proprietà. Proprietà della funzione di distribuzione F (x) = P (X ≤ x) 1. ∀x ∈ R risulta 0 ≤ F (x) ≤ 1; 2. F (x) è una funzione non decrescente; 3. limx→−∞ F (x) = 0 e limx→+∞ F (x) = 1; 4. limx→x+ 0 F (x) = F (x0), ovvero F (x) è continua da destra. Le dimostrazioni di 1. e 2. sono identiche a quelle relative ad una v.a. discreta. Le dimostrazioni di 3. e 4. sono un po’ più complicate e rimandiamo al libro di testo, per approfondimenti. Definizione 2 Una v.a. continua X si dice assolutamente continua se la sua funzione di distribuzione (f.d.d) F (x) è continua, ed esiste una funzione f(x) ≥ 0, integrabile in R, tale che: (i) ∫ +∞ −∞ f(x)dx = 1 2 Figure 3: densità di X esponenziale di parametro λ Figure 4: funzione di distribuzione di X esponenziale di parametro λ ovvero P (X > t+ u) P (X > t) = P (X > u), (A4) visto che il I membro di (A3) è uguale a: P ((X > t+ u) ∩ (X > t)) P (X > t) = P (X > t+ u) P (X > t) . Se denotiamo con F (t) = P (X ≤ t) la funzione di distribuzione di X e con S(t) = 1 − F (t) = P (X > t) la funzione di sopravvivenza, per la (A4) la proprietà di mancanza di memoria diventa: S(t+ u) S(t) = S(u), ∀t, u > 0 (A5) 1. Analogamente alla distribuzione geometrica modificata, se X ha distribuzione esponen- ziale di parametro λ > 0, allora X gode della proprietà di mancanza di memoria, ovvero vale la (A4). Infatti, si ha F (t) = 1− e−λt, S(t) = e−λt ed il primo membro della (A4) diventa e−λ(t+u) e−λt = e−λu ≡ S(u). Se X è per esempio un tempo di attesa, la (A4) ed equivalentemente la (A3), si interpretano dicendo che la probabilità condizionale che il tempo di attesa X sia maggiore di t+ u, dato che esso è maggiore di t, non dipende da quanto si è già atteso, ossia da t. 5 La v.a. geometrica modificata e quella esponenziale sono, rispettivamente tra quelle discrete e quelle assolutamente continue, le uniche v.a. che godono della proprietà di mancanza di memoria. Infatti, vale la seguente: Proposizione. Sia X ≥ 0 una variabile aleatoria continua, con densità continua f in (0,+∞) e tale che esista limt→0+ f(t) = f(0+). Allora, se X gode della proprietà di mancanza di memoria (A5), X ha distribuzione esponenziale. Dim. Risolvere la (A5) equivale a trovare una funzione non crescente S : [0,+∞) −→ [0, 1], derivabile in (0,+∞) e provvista di derivata destra in 0, tale che{ S(t+ u) = S(t)S(u) S(0) = 1, S(+∞) = 0 (A6) (S è la funzione di sopravvivenza, cioé S(t) = 1− F (t) = P (X > t)). Si osservi che per una v.a. continua, con densità f continua in (0,+∞), la derivabilità di F per t > 0 e quindi di S, è garantita dal Teorema fondamentale del Calcolo integrale, avendosi F ′(t) = f(t). Si ha ora, per la (A6): S(t+ u)− S(t) u = S(t)S(u)− S(t) u = S(t) S(u)− 1 u Passando al limite per u → 0+, si ottiene, per t > 0 : S ′ +(t) ≡ S ′(t) = S(t)S ′ +(0) (A7) ovvero S ′(t) S(t) = S ′ +(0) = −λ ≤ 0 e ancora (lnS(t))′ = −λ, da cui lnS(t) = −λt + c, S(t) = ec · e−λt. Infine, utilizzando il fatto che S(0)=1, si ottiene S(t) = e−λt, ovvero F (t) = 1− e−λt, e quindi X ha distribuzione esponenziale di parametro λ > 0; si esclude infatti che sia λ = 0, poiché in tal caso sarebbe S(t) ≡ 1, che non è la funzione di sopravvivenza di alcuna v.a. X (S deve essere non crescente, S(0) = 1, S(+∞) = 0). Si osservi per inciso che, se non si assumesse la derivabilità di S per t > 0, ma solo l’esistenza della derivata destra di S in 0, comunque la (A7) implicherebbe l’esistenza della derivata destra di S in t > 0; si avrebbe infatti S ′ +(t) = −S(t)f(0+), essendo S ′ +(0) = −f(0+). ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Esempio 3. (v.a. normale o Gaussiana, X ∼ N(m,σ2)) Per m ∈ R e σ > 0, si chiama v.a. normale, o Gaussiana, di parametri m e σ una v.a. con densità f(x) = 1 σ √ 2π e−(x−m)2/2σ2 , x ∈ R. Verificheremo in seguito che ∫ R f(x)dx = 1. 6 Figure 5: densità di X ∼ N(µ, σ) Figure 6: funzione di distribuzione di di X ∼ N(µ, σ) Importante è il caso in cui m = 0 e σ = 1; in tal caso si parla di v.a. normale standard X ∼ N(0, 1), e la densità è: f(x) = 1√ 2π e−x2/2, x ∈ R. Il grafico della densità di una v.a. X ∼ N(m,σ2) ha la caratteristica forma a campana incentrata nel punto m e con vertice nel punto di ascissa m e ordinata 1 σ √ 2π ; al diminuire di σ la campana diviene sempre più stretta e il punto di max si alza (viceversa, al crescere di σ la campana diventa sempre più slargata e il punto di max si abbassa). Per x → ±∞, f(x) tende a zero, più che esponenzialmente. Esempio 4. (v.a. con densità Gamma, X ∼ Gamma(α, λ)) Per α, λ > 0 è la v.a. con densità f(x) = { λα Γ(α) xα−1e−λx se x > 0 0 altrimenti. Qui Γ(α) = ∫ +∞ 0 xα−1e−xdx è la funzione Gamma di Eulero. Risulta Γ(1) = ∫ +∞ 0 e−xdx = 1; inoltre, integrando per 7 viceversa: Y ∼ N(µ, σ2) ⇒ X = Y − µ σ ∼ N(0, 1). Ciò implica che la densità Normale standard è importante, in quanto qualunque densità Normale si scrive in funzione di quella standard. Per quanto riguarda la f.f.d., se Y ∼ N(µ, σ2), allora Y = σX+µ, dove X ∼ N(0, 1); quindi, se Φ(x) = P (X ≤ x) denota la f.d.d. di una v.a. Normale standard X, si ha: FY (y) = P (Y ≤ y) = P (σX + µ ≤ y) = Φ ( y − µ σ ) . I valori della f.d.d. della Normale standard, Φ(x), sono stati calcolati mumericamente e tabulati, essendo impossibile calcolare esplicitamente l’integrale Φ(x) = ∫ x −∞ 1√ 2π e−t2/2dt; il grafico di Φ(x) ha la caratteristica forma ad “S”, con limx→−∞ Φ(x) = 0, limx→+∞ Φ(x) = 1 e Φ(0) = 1/2. 2. Sia X v.a. con densità fX(x); qual è la densità della v.a. Y = X2? La v.a. Y assume valori non negativi; quindi, se y ≥ 0 : FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X2 ≤ y) = P (−√ y ≤ X ≤ √ y) = FX( √ y)− FX(− √ y). Derivando, si ottiene la densità di Y : fY (y) = F ′ Y (y) = 1 2 √ y (fX( √ y) + fX(− √ y), y ≥ 0. Per esempio, se X ∼ N(0, 1), la v.a. Y = X2 ha densità: fY (y) = 1 √ y ϕ( √ y) = 1 y √ 2π e−y/2, y ≥ 0, poiché la densità normale standard ϕ(x) = 1√ 2π e−x2/2 è una funzione pari, ovvero ϕ(−x) = ϕ(x). 3. Sia X v.a. con densità fX(x) e g : R −→ R una funzione derivabile, strettamente monotona (crescente o decrescente); qual è la densità della v.a. Y = g(X)? (i) g(x) crescente; si ha: FY (y) = P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y) = P (X ≤ g−1(y)) = FX(g −1(y)). 10 Derivando rispetto a y, si ottiene: fY (y) = F ′ Y (y) = d dy [ FX(g −1(y)) ] = F ′ X(g −1(y))(g−1)′(y) = fX(g −1(y)) 1 g′(g−1(y)) . (ii) g(x) decrescente; si ha: FY (y) = P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y) = P (X ≥ g−1(y)) = 1− FX(g −1(y)). Derivando rispetto a y, si ottiene: fY (y) = F ′ Y (y) = d dy [ 1− FX(g −1(y)) ] = −F ′ X(g −1(y))(g−1)′(y) = −fX(g −1(y)) 1 g′(g−1(y)) . Pertanto, mettendo insieme i due casi (g(x) strettamente monotona, cioè invertibile): fY (y) = fX(g −1(y)) 1 |g′(g−1(y))| . (1.3) 4. Siano X e Y v.a. indipendenti, con densità fX(x) e fY (y) rispettivamente; allora la densità di Z = X + Y è: fZ(z) = ∫ +∞ −∞ fX(x)fY (z − x)dx. La dimostrazione di questa formula la vedremo più oltre; osserviamo che essa è analoga a quella che fornisce la densità discreta della somma di due v.a. discrete indipendenti; naturalmente la sommatoria è qui sostituita da un integrale. 1.2 Leggi Normali X ∼ N(0, 1) (Normale standard) ha densità fX(x) = ϕ(x) = 1√ 2π e−x2/2, x ∈ R. Y = σX + µ ∼ N(µ, σ2) (Normale di parametri µ e σ2, con σ > 0) ha densità fY (y) = 1 σ fX((x− µ)/σ) = 1 σ ϕ((x− µ)/σ) = 1 σ √ 2π e−(y−µ)2/2σ2 , y ∈ R. P (X ≤ x) = Φ(x) = ∫ x −∞ ϕ(t)dt. Osservazione Se X ∼ N(0, 1), anche −X ∼ N(0, 1). Infatti, P (−X ≤ t) = P (X ≥ −t) = 1− P (X ≤ −t) = 1− Φ(−t), ma, essendo Φ(−t) = 1− Φ(t), si ottiene: P (−X ≤ t) = Φ(t) = P (X ≤ t), 11 Figure 9: Spiegazione grafica del perché Φ(−x) = 1− Φ(x) ovvero X e −X hanno la stessa distribuzione Normale standard (e quindi la stessa densità). Si osservi che, dire che due v.a. hanno la stessa distribuzione non vuol dire che esse siano uguali. Per es., se X,Y ∼ N(0, 1), esse hanno uguale distribuzione, ma, posto Z = X − Y, si ha P (X = Y ) = P (Z = 0) = 0, essendo Z una v.a. assolutamente continua. Il fatto che Φ(−t) = 1 − Φ(t) si può dimostrare in tanti modi; per esempio, in maniera geometrica, osservando che Φ(−t) rappresenta l’area della regione di piano situata sotto il grafico della campana di Gauss, avente l’ascissa ≤ t, mentre 1−Φ(t) rappresenta l’area della regione di piano situata sotto il grafico della campana, avente l’ascissa ≥ t, e le due aree sono uguali, essendo la curva a campana simmetrica rispetto a 0 (vedi Fig. 9). Quantili di una v.a. X ∼ N(0, 1) Se X è una v.a. e α ∈ (0, 1), si chiama quantile di X di ordine α la quantità ϕα tale che P (X ≤ ϕα) = α. Se X è normale standard, siccome −X ∼ X, si ha: P (X ≤ −ϕα) = P (−X ≤ −ϕα) = P (X ≥ ϕα) = 1− P (X ≤ ϕα) = 1− α. Pertanto, abbiamo ottenuto, per X ∼ N(0, 1), che: ϕ1−α = −ϕα. Inoltre, se X ∼ N(0, 1), allora Y = σX + µ ∼ N(µ, σ2); allora P (Y ≤ y) = P (σX + µ ≤ y) = P (X ≤ (y − µ)/σ) = Φ((y − µ)/σ). Per i quantili, qα, di una v.a. Y ∼ N(µ, σ2), si ha: α = P (Y ≤ qα) = P (σX + µ ≤ qα) = P (X ≤ (qα − µ)/σ); abbiamo trovato allora che P (X ≤ (qα − µ)/σ) = α, e quindi per definizione di quantile di X, deve essere (qα − µ)/σ = ϕα, ovvero qα = σϕα + µ. Theorem 1.1 (Somma di v.a. indipendenti con legge Normale) Siano X e Y v.a. indipen- denti, con X ∼ N(µ, σ2), Y ∼ N(λ, τ 2); allora Z = X + Y ∼ N(µ+ λ, σ2 + τ 2). 12