Appunti i vettori, Appunti di Fisica

Scarica Appunti i vettori e più Appunti in PDF di Fisica solo su Docsity! Prof. A. Di Muro I versori Definiamo ora alcuni vettori particolarmente importanti detti versori. Un versore è semplicemente un vettore di modulo unitario. Normalmente agli assi x, y e z vengono associati i versori ˆ ˆ ˆ i , j , k che per comodità denoteremo i , j , k con  i  =  j  =  k  = 1 Possiamo ora esprimere un vettore qualsiasi attraverso i versori lungo gli assi. Se p. es. u x = 3 e u y = 2 allora u = 3 i + 2 j oppure se v x = 3 e v y = 4 ma nelle y negative allora v = 3 i  4 j . I versori lungo gli assi formano una base vettoriale, nel senso che ogni vettore può essere espresso come somma vettoriale di versori.  Il modulo di un vettore viene calcolato utilizzando il teorema di Pitagora: v = 4 i  3 j ha modulo 2 24 3 5v    oppure nello spazio tridimensionale u = 3 i  2 j + k ha modulo 2 23 2 1 14u     Dato un vettore a, esiste il suo versore â, evidentemente se a è il modulo di a, allora lungo il vettore a ci saranno a versori, divertente no! Per cui in generale ˆ a=a a u = 3 i + 2 j v = 3 i  4 j i j â a = 7 â a = 7 i j k x y z Prof. A. Di Muro Esempio: dato il vettore a = 3 i  2 j + k il suo versore è â = 3 2 14  i j k Considerando vettori nel piano, l’angolo che un vettore forma con l’asse delle ascisse si calcola osservando il triangolo rettangolo che si forma con le componenti, si ricava tan y x u u   , quindi con la calcolatrice usando la funzione inversa della tangente si ha 1tan ( ) y x u u   . Occorre fare attenzione al quadrante nel quale cade il vettore, la tangente è positiva nel I e nel III quadrante, ma negativa nel II e nel IV. Per capire in quale quadrante siamo è sufficiente osservare il segno delle componenti del vettore, nel I e nel IV quadrante non ci sono problemi, 1tan ( ) y x u u   , in particolare nel IV quadrante l’angolo verrà negativo ( rotazione in senso orario ). Nel II e nel III occorrerà aggiungere 180° all’angolo fornito dalla calcolatrice 1tan ( ) 180 y x u u     Infatti la calcolatrice fornisce rispettivamente gli angoli   e , in entrambi i casi  = 180° + ( ) e  = 180° + . In generale un vettore nel piano è espresso dalla relazione: u(cos sen )   u i j dove  è l’angolo, contato in verso antiorario, che il vettore forma con l’asse delle ascisse.  u x i u y j u x y     x y u x i u y j u u y j u x i u  y u y j u x i u   x y x Prof. A. Di Muro Dato un vettore nello spazio tridimensionale, possiamo ricavare gli angoli o meglio i coseni degli angoli che il vettore forma con gli assi coordinati. Indichiamo con , ,  questi angoli, allora il vettore x y zu u u  u i j k ha: ; ; yx z uu u cos cos cos u u u u u u             u i u j u k Questi coseni si chiamano coseni direttori, la somma dei loro quadrati vale uno 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + 1 yx z uu u u cos cos cos u u u u        Esercizio: a ) determina l’angolo tra i vettori a = – 2 i + 3 j – 3 k e b =  i + 2 j + 4 k 2 6 12 0 2791 22 21 cos . ab         a b e 1 0 2791 106 2cos ( . ) .     b ) determina i coseni direttori di a 2 3 3 ; ; con 115 2 50 2 129 8 22 22 22 yx z aa a cos cos cos . . . a a a                      c ) determina un vettore u nel piano y z, perpendicolare a b di modulo 2 deve essere 0 b u indicato con y zu u u j k si ha 2 4 0y zu u  , imponendo il modulo 2 si ha: 2 2 2 0 4 y z y z u u u u      che risolta fornisce 2 4 e 5 5 z yu u   i vettori sono due, 4 2 4 2 e 5 5 5 5     u j k u' j k d ) determina la proiezione di b su a 2 3 3 6 2 4 22 22 ( ) ˆP ( ) ( )            a i j k b b a i j k  Prof. A. Di Muro Prodotto vettoriale tra vettori Dati due vettori a e b, il prodotto vettoriale indicato con a  b è un vettore c = a  b con le seguenti caratteristiche ( da notare che il simbolo  non è il prodotto usato per i numeri, per cui la scrittura 3  2 non ha senso): il suo modulo c = a b sen  dove  è l’angolo compreso tra a e b, la sua direzione è perpendicolare al piano generato da a e b, Il suo verso è dato dalla regola della mano sinistra o regola di Fleming. Considerando c = a  b Il medio viene messo in corrispondenza del primo vettore del prodotto vettoriale, l’indice in corrispondenza del secondo vettore del prodotto vettoriale come in figura, la risultante è data dal pollice. Una ulteriore regola forse più pratica per evitare contorsioni strambe è quella della mano destra considerando c = a  b il pollice dà la direzione e verso di c, le altre dita devono essere disposte in modo da immaginare una rotazione del primo vettore ( a ) sul secondo vettore ( b ). come si vede a  b  b  a , infatti c =  c’. il prodotto vettoriale non è commutativo, bensì anticommutativo. Se a e b sono paralleli il loro prodotto vettoriale è nullo (  = 0 ). Se a e b sono perpendicolari il loro prodotto vettoriale è massimo (  = 90° ) di modulo ab. a b c a b c’ = b  a a b c = a  b Prof. A. Di Muro Vediamo ora come si determina il prodotto vettoriale tra due vettori scomposti in un S.C.: ci servono i prodotti vettoriali fondamentali tra i versori coordinati i  j = 1 , j  k = 1 , k  i = 1 j  i =  1 , k  j =  1 , i  k =  1 in quanto i versori sono perpendicolari tra loro, mentre i  i = 0 , j  j = 0 , k  k = 0 in quanto i versori sono uguali e quindi paralleli un metodo per ricordarli è questo, basta disporre i versori in ordine ciclico ai vertici di un triangolo come in figura, il prodotto vettoriale tra due versori posti ai vertici del triangolo è uguale al versore del terzo vertice se si ruota in verso antiorario, se invece si ruota in verso orario è sufficiente cambiare segno. Esempio: dati i vettori u = 3 i  4 j + k e v = 2 i + 3 j + 3 k si ha u  v = 9 i  j + 9 i  k  8 j  i  12 j  k + 2 k  i + 3 k  j = 9 k  9 j + 8 k  12 i + 2 j  3 i =  15 i  7 j + 17 k. un altro metodo consiste nell’uso del determinante, si costruisce un determinante, nella prima riga mettiamo i versori ordinati, nella seconda le componenti del primo vettore e nella terza le componenti del secondo vettore. Si sviluppa il determinante con la regola di Laplace lungo la prima riga: 4 1 3 1 3 4 3 4 1 3 3 2 3 2 3 2 3 3       i j k i j k = (  12  3 ) i  ( 9  2 ) j + ( 9 +8 ) k =  15 i  7 j + 17 k.  Il modulo del prodotto vettoriale fornisce l’area del parallelogrammo di lati i due vettori: infatti  a  b = a b sen  = b h = S in particolare l’area del triangolo di lati i due vettori è A = 1 2 a b sen   h S a b    j + i k