CALCOLO INTEGRALE MATEMATICA GENERALE, Schemi e mappe concettuali di Matematica Generale

Scarica CALCOLO INTEGRALE MATEMATICA GENERALE e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica Generale solo su Docsity! CALCOLO INTEGRALE La teoria dell’integrazione permette di risolvere: a) Problemi di misura: calcolo di aree, volumi, ecc.. b) Il problema inverso delle tangenti: data la funzione f(x) trovare una funzione F (x) la cui derivata sia f(x). Fra le due tipologie di problemi c’è uno stretto legame messo in evidenza dalla Formula fondamentale del Calcolo integrale. 1 Integrali indefiniti Nel calcolo differenziale è stato affrontato il problema di determinare la derivata di una funzione f(x). Si è risolto, per esempio, il problema delle tangenti, infatti si è visto che la retta tangente al grafico di una funzione f in un punto di ascissa x ha la pendenza uguale alla derivata f ′(x) di f in x. Con l’integrale indefinito si affronta il problema inverso della derivazione: si tratta di determinare una funzione della quale sia nota la derivata. Ciò risolve anche il cosiddetto problema inverso delle tangenti che consiste nel costruire il grafico di una funzione definita in un intervallo [a, b] conoscendo soltanto la pendenza delle rette tangenti in tutti i punti del grafico stesso. In modo formale il problema si pone nei seguenti termini: data una funzione f(x) definita in un intervallo I , determinare una funzione F (x) derivabile in I tale che F ′(x) = f(x) in ogni x di I. Si è detto una e non la funzione F (x) perché se F (x) è tale che F ′}(x) = f(x) allora, qualunque sia il numero c , anche la funzione G(x) = F (x) + c è tale che la sua derivata è f(x) perché G′(x) = F ′(x) + 0 = F ′(x) = f(x). Definizione 1 Sia f(x) una funzione reale di variabile reale definita su I . Si chiama primitiva di f(x) una qualsiasi funzione F (x) tale che F ′(x) = f(x) in ogni punto di I. Non sempre la primitiva esiste, ma il teorema successivo ci fornisce una condizione sufficiente per la sua esistenza Teorema 1 Se f(x) è una funzione continua in [a, b] allora esiste una funzione F (x) tale che F ′(x) = f(x) per ogni x ∈ (a, b). Definizione 2 L’insieme delle infinite primitive di f(x) è detto integrale indefinito di f(x) rispetto alla variabile x , si indica con ∫ f(x)dx e si legge integrale indefinito di f(x) in dx. Per quanto osservato sopra si può scrivere:∫ f(x)dx = F (x) + c con F ′(x) = f(x) e c ∈ R. Remark 1 È importante ricordare che il simbolo ∫ di integrale non dipende dalla variabile x, mentre il differenziale dx indica che l?operazione di integrazione viene effettuata rispetto alla variabile x. La funzione f(x) di cui si vuole determinare l’integrale si dice funzione integranda. Se la funzione f(x) è dotata di primitiva, si dice che la funzione è integrabile 1.1 Integrali elementari Nella seguente tabella 1 è riportato l?integrale indefinito delle funzioni elementari; con c si indica un qualunque numero reale. 1 funzione f(x) primitiva F (x) f(x) = h F (x) = ∫ h dx = hx+ c f(x) = xn F (x) = ∫ xn dx = xn+1 n+ 1 + c, n 6= 1 f(x) = 1 x F (x) = ∫ 1 x dx = ln(|x|) + c, x 6= 0 f(x) = ax F (x) = ∫ ax dx = ax ln(a)x+ c f(x) = ex F (x) = ∫ ex dx = ex + c f(x) = ln(x) F (x) = ∫ ln(x) dx = xln(x)− x+ c Table 1: Formule generali 1. ∫ f ′ dx = f(x) + c 2. ∫ a f ′ dx = a ∫ f(x) dx (a 6= 0) 3. ∫ [f(x)]n f ′ dx = [f(x)]n+1 n+ 1 + c (n 6= −1) 4. ∫ f ′ f(x) dx = ln(|f(x)|) + c 5. ∫ f ′ [f(x)]n dx = − 1 (n−1)[f(x)]n−1 + c (n 6= −1) 6. F (x) = ∫ f ′(x)af(x) dx = af(x) ln(a) + c Integrali per scomposizione La somma di un numero finito di funzioni integrabili f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) è una funzione integrabile e risulta∫ (f1(x) + f2(x) + . . .+ fn(x)) dx = ∫ f1(x) dx+ ∫ f2(x) dx+ . . .+ ∫ fn(x) dx Integrazione per parti Siano f(x) una funzione derivabile e g(x) una funzione integrabile in un opportuno intervallo. Denotata con G(x) una primitiva della g(x), si ha ∫ f(x)g(x) dx = f(x)G(x)− ∫ f ′(x)G(x) dx. La f(x) si dice fattore finito, la g(x) dx si dice fattore differenziale. 1.2 Esercizi 1. Calcolare l’integrale I = ∫ (5x2 − 2x− 1) dx. Svolgimento∫ (5x2 − 2x− 1) dx = ∫ 5x2 dx− ∫ 2x dx− ∫ 1 dx = 5 ∫ x2 dx− 2 ∫ x dx− ∫ dx = 5x2 4 − x2 − x+ c. 2. Calcolare l’integrale I = ∫ 1+x x2 dx Svolgimento∫ 1+x x2 dx = ∫ ( 1 x2 + 1 x ) dx = − 1 x + ln(|x|) + c. 3. Calcolare l’integrale I = ∫ 1+x2 x √ x dx. Svolgimento∫ 1+x2 x √ x dx = ∫ ( 1 x √ x + x√ x ) dx = ∫ x−3/2 dx+ ∫ x1/2 dx = −2x−1/2 + 2 3x 3/2 + c = − 2√ x + 2 3 √ x3 + c. 2 gialli ottengo il valore di Sm = 3∑ n=0 An = 0.61194, dove con An indichiamo l’area dei singoli rettangoli1, mentre sommando (la stessa logica dei gialli) le aree dei rettangoli rossi ottengo SM = 0.9555. È evidente che SM sovrastima l’area A, mentre Sm sottostima l’area A. Step 2. (Figure 1(c)) ripeto con n = 10 ottenendo Sm = 0.72088, e SM = 0.8532. Ancora SM sovrastima l’area A, mentre Sm sottostima l’area A, ma noto che Sm aumenta e SM decresce. Step 3. (Figure 1(d)) divido l’asse delle ascisse in n = 20 parti uguali, trovando Sm = 0.75608, e SM = 0.82481. Ancora SM sovrastima l’area A, mentre Sm sottostima l’area A. Ma noto che Sm continua ad aumentare e SM continua a decresce. Step 4. (Figure 1(e)) con n = 50, si ha Sm = 0.77694 e SM = 0.80443. Mi sembra di intuire che se Sm aumenta e SM diminuisce, ci sarà un valore di n in cui saranno uguali è questo dovrebbe coincidere con il valore dell’area A cercata. Purtroppo questo accade per n→ +∞. Step 5. Consideriamo ora la funzione F (x) = xln(x) − x e calcoliamo F (2.5) − F (1) = −0.2092731703146 − (−1) = 0.7907268296854, valore “vero” dell’area A, giustamente tra Sm e SM . Se andiamo a controllare nella tabella 1 (ultima riga) la F(x) scelta è proprio la primitiva della f(x) = ln(x) utilizzata per questo esempio. Pertanto è ragionevole pensare l’integrale possa essere utilizzato per il calcolo di un area sottesa ad una funzione. Ma questo vale per qualsiasi funzione? Se provate ad applicare gli step precedenti alla funzione f(x) = ln(x), per x ∈ [0.5, 2.5], vi accorgerete che questo non funziona. Questo perché la funzione assume valori negativi. In generale valgono i seguente teoremi: Teorema 2 Data una funzione integrabile definita in [a, b], con primitiva F (x) e con f(x) ≥ 0 , ∀x ∈ [a, b], allora A = ∫ b a f(x) dx = F (b)− F (a), dove A rappresenta l’area sottesa tra il grafico della f in [a, b] e l’asse delle ascisse (vedi figura sotto). Figure 2: Teorema 3 Data una funzione integrabile definita in [a, b], con primitiva F (x) e con f(x) ≤ 0 , ∀x ∈ [a, b], allora A = − ∫ b a f(x) dx = −(F (b)− F (a)), dove A rappresenta l’area sottesa tra il grafico della f in [a, b] e l’asse delle ascisse (vedi figura sotto). Teorema 4 Data una funzione integrabile definita in [a, b], con primitiva F (x) allora A = ∫ b a |f(x)| dx, dove A rappresenta l’area sottesa tra il grafico della f in [a, b] e l’asse delle ascisse (vedi figura sotto). 5 Figure 3: Figure 4: Teorema 5 Date due funzioni integrabile f e g definite in [a, b], con primitive F (x) e G(x) e con f(x) ≥ g(x) , ∀x ∈ [a, b], allora A = ∫ b a [f(x)− g(x)] dx = (F (b)− F (a))− (G(b)−G(a)), dove A rappresenta l’area compresa tra i due grafici in [a, b] (vedi figura sotto). Sia f(x) una funzione continua sull’intervallo [a, b] e sia F (x) una sua primitiva. Si definisce integrale definito della f(x) in [a, b] il numero reale dato da F (b)−F (a). Il numero F (b)−F (a) viene usualmente espresso con il simbolo∫ b a f(x) dx e si legge integrale tra a e b di f(x) in dx ; a è l?estremo inferiore di integrazione, b è l?estremo superiore di integrazione, f(x) è la funzione integranda, x è la variabile di integrazione. E? convenzione scrivere F (x) ∣∣b a per indicare la differenza F (b)− F (a). Quindi possiamo scrivere ∫ b a f(x) dx = F (x) ∣∣b a = F (b)− F (a) Questa uguaglianza è detta formula fondamentale del calcolo integrale. L?integrale definito gode delle seguenti pro- prietà di immediata verifica: 1Nota che l’area del rettangolo è base × altezza, ma la base è proprio la quarta parte di 2.5 − 1, mentre l’altezza è la funzione calcolata nell’ascissa inferiore della base. 6 Figure 5: Prprietà 1: ∫ a a f(x) dx = 0. Prprietà 2: ∫ b a f(x) dx = − ∫ a b f(x) dx. Prprietà 3: ∫ b a f(x) dx = ∫ c a f(x) dx+ ∫ b c f(x) dx 2.1 Calcolo di aree piane 1. Calcolare l’area della regione piana limitata dal grafico della funzione f(x) = x2 e dal grafico della funzione g(x) = x+ 2 Svolgimento Disegniamo sul piano cartesiano la regione piana Figure 6: La parabola e la retta si intersecano nei punti A = (−1, 1) e B = (2, 4). Si ha A = ∫ 2 −1 (x+ 2− x2) dx = [ x 2 + 2x− x3 3 ]2 −1 = ( 4 2 + 4− 8 3 ) − ( 1 2 − 2 + 1 3 ) = 9 2 . 2. Calcolare l’area della regione piana limitata dal grafico della funzione f(x) = x3 + 2x e le rette di equazione x = −1 e x = 2. Svolgimento Disegniamo la regione piana, definita dal problema. La funzione f(x) è la funzione cubica che passa nell’origine ed è sempre crescente, quindi: 7 Figure 11: L’area del triangolo in figure 11 è: A(R) = ∫ 1 −2 (2x− 1) dx+ ∫ 2 1 (−8x+ 9) dx+ ∫ −2 2 ( −x 2 − 6 ) dx = 15. Dimostriamo geometricamente che questo risultato è corretto. Per calcolare l’area del triangolo ( base×altezza 2 ), dovremo individuare la base e l’altezza. Prendiamo come base la lunghezza del segmento ||A−C|| cioè √ (xC − xA)2 + (yC − yA)2 = √ 16 + 4 = √ 20 e come altezza prendiamo il segmento appartenente alla retta che passa per il punto B ed è perpendicolare alla retta (che passa per A e C), y = x 2 − 6. L’equazione della retta perpendicolare è y− 1 = 2(x− 1), cioè y = 2x− 1, ma questa è proprio la retta γ1, quindi l’altezza cercata è (distanza tra i punti A e B) √ (xB − xA)2 + (yB − yA)2 = √ 9 + 36 = √ 45, concludendo Area = √ 20 · 45/2 = 15. Exercise 6 Calcolare l’area racchiusa tra le curve di equazione γ1 : y = 3 γ2 : y = 1 x− 2 , (solo il ramo per x > 2) γ3 : x = 4 γ4 : y = −e−x − 1 γ5 : x = 0 Disegniamo l’area A Figure 12: Pertanto è necessario calcolare l’intersezione tra γ1 e gamma2, cioè risolvere 3 = 1 x− 2 , il cui risultato è x = 7 3 . Siamo pronti al calcolo dell’area: A = ∫ 7 3 0 3 dx+ ∫ 4 7 3 1 x− 2 dx− ∫ 0 4 (e−x− 1) dx = 3x ∣∣∣7/3 0 + ln(|x− 2|) ∣∣∣4 7/3 − (−e−x + x) ∣∣∣0 4 = 12 + ln(2)− ln(1/3)− e−4. Exercise 7 Calcolare l’area racchiusa tra le curve di equazione γ1 : y = 3 γ2 : y = | 1 x | γ3 : y = 2|x| − 1 10 Figure 13: Dobbiamo trovare le coordinate si A: 3 = − 1 x ⇒ xA = −1 3 ; per simmetria xB = 1 3 Quindi: A = ∫ 1/3 −1/3 3 dx+ ∫ 1 1/3 1 x dx+ ∫ 0 1 (2x− 1) dx− ∫ −1 0 (2x+ 1) dx− ∫ −1/3 −1 1 x dx = 3x ∣∣∣1/3 −1/3 + ln(|x|) ∣∣∣1 1/3 + [x2 − 1]01 − [x2 + 1]−10 − ln(|x|) ∣∣∣−1/3 −1 = 2− 2ln(1/3) 11 3 Alcuni Teoremi Teorema 8 (Teorema del valor medio integrale-Lagrange) Sia f : [a, b] → R continua in [a, b]. Allora ∃ (al- meno) un punto ψ ∈ [a, b] per cui ∫ b a f(x) dx = f(ψ)(b− a)] Remark 2 Se la funzione è positiva ∀xin[a, b] ed è limitata ed integrabile su [a, b], sappiamo che l’integrale definito∫ b a f(t) dt ha il significato di area del trapezoide sotteso al grafico della funzione. Rappresenta cioè l’area della parte del piano compresa tra il grafico della funzione, l’asse delle ascisse e le rette parallele all’asse delle ordinate di equazione x = a e x = b. Con questa premessa, riguardando il teorema precedente è immediato comprenderne il significato geometrico, nelle dovute ipotesi integrale, nelle ipotesi di esso garantisce l’esistenza di un punto ψ dell’intervallo in cui la valutazione della funzione f(ψ) corrisponde all’altezza del rettangolo che ha come base (b−a) e la cui area coincide con ∫ a bf(t) dx, cioè all’area sottesa dal grafico della f . Exercise 9 La numerosità di una coltura di batteria varia con la legge N(t) = 106et (con t ore). Determinare la numerosità media nell’intervallo [0, 10]. Svolgimento Applichiamo il teorema: N̄ = ∫ b a N(t) dt (b− a) Si ha N̄ = 1 10 ∫ 10 0 106et dt = 1 10 106 ∣∣∣10 0 = 105(e10 − 1). Definizione 3 Consideriamo una funzione f : [a, b]→ R, limitata e integrabile in [a, b] poniamo: F (x) = ∫ x a f(t) dt. La funzione F viene detta funzione integrale di f su [a, b]. Teorema 10 (Primo teorema fondamentale del calcolo integrale) Sia f : [a, b] → R una funzione limitata e integrabile in [a, b]. Allora la funzione integrale F (x) è continua nell’intervallo [a, b]. Se inoltre f(x) è una funzione continua su (a,b), allora la funzione integrale F (x) è derivabile in ogni punto in cui f(x) è continua e risulta che F ′(x0) = f(x0) Teorema 11 (Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale: Torricelli-Barrow) Sia f : [a, b] → R che ammette una primitiva F (x) su [a, b]. Allora vale la formula fondamentale del calcolo integrale∫ b a f(x) dx = F (b)− F (a) 4 Applicazioni dell’integrale 1. Un’azienda di telefonia cellulare offre uno schema di tariffe innovativo: quando si effettua una chiamata. Il costo marginale del t− esimo minuto di conversazione è c(t) = 20 t+ 100 . Quanto costa effettuare una telefonata della durata di 60 minuti? Soluzione Il costo marginale all’inizio della telefonata è c(0) = 0.20 euro/min. Se il costo rimanesse costante il costo della telefonata sarebbe 0.20 · 60 = 12 euro. Ma il costo marginale non rimane costante ma si riduce nel corso 12