Scarica Calcolo vettoriale e operatori differenziali e più Dispense in PDF di Idraulica solo su Docsity! Calcolo vettoriale e operatori differenziali Sommario: Prodotto scalare Prodotto vettoriale Operatori differenziali Formule di Gauss In questi appunti si riportano richiami di calcolo vettoriale e calcolo integrale con operatori differenziali. Gli appunti vengono offerti per agevolare la comprensione degli argomenti sviluppati durante il corso di Idraulica e Costruzioni Idrauliche. Il contenuto di questo gruppo di slide non deve essere inteso come parte del programma del corso. Università degli Studi di Catania – Insegnamento di Meccanica dei Fluidi1 kjiv zyx vvv ++= Prodotto scalare fra u e v zzyyxx vuvuvu ++= vu u v α )cos(vu= vu kjiu zyx uuu ++= x y z vx vy vz Prodotto scalare fra vettori 2 Operatori differenziali che agiscono su scalari e producono vettori Operatori differenziali kji z s y s x s s + + = gradiente di s (è un vettore) Operatori differenziali che agiscono su vettori e producono scalari z v y v x v zyx + + = v divergenza di v (è uno scalare) z s y s x s s + + = 222 2 laplaciano di s (è uno scalare) Operatori differenziali che agiscono su scalari e producono scalari 5 Operatori differenziali Operatori differenziali che agiscono su vettori = z v z v z v y v y v y v x v x v x v zyx zyx zyx v Gradiente del vettore v Il gradiente di un vettore è una matrice le cui colonne sono uguali alle componenti del gradiente delle singole componenti del vettore. kjiv zyx vvv ++= 6 Derivata di una funzione lungo una direzione La derivata di una funzione f lungo la direzione individuata da un versore n si esprimere come segue: 7 n z z f n y y f n x x f n f + + = kjikjin zyx nnnznynxn ++=++= ˆcosˆcosˆcos n= + + = fn z f n y f n x f n f zyx Dove nx, ny e nz sono le componenti del versore n, cioè: zyx nzn n z nyn n y nxn n x == == == ˆcosˆcosˆcos Quindi la derivata di f lungo lungo la direzione di n si può scrivere come segue: Teorema di Gauss dAnvdw z v dAnvdw y v dAnvdw x v A zz w z A yy w y A xx w x −= −= −= ;; kjiv zyx vvv ++= Sommando le tre espressioni si ottiene: dAnvnvnvdw z v y v x v zzyy A xx zyx w )( ++−= + + dAdw Aw −= nvv seconda forma del teorema di Gauss Si consideri ancora un volume w e la sua superficie di contorno A. Le formule di Gauss si possono applicare ad ogni componente del vettore 10 Teorema di Gauss dAdw Aw −= nvv Il teorema di Gauss afferma: l’integrale della divergenza di v nel volume è uguale all’integrale sulla superficie di contorno del prodotto scalare di v per la normale n. Illustriamo il significato di tale integrale con riferimento al caso in cui v sia il vettore velocità. Si consideri un’areola dA della superficie A. n dA v Il prodotto v•n=vn è uguale alla componente di v lungo n. Il differenziale v•n dA rappresenta il volume che nell’unità di tempo attraversa l’areola dA e si esprime in m3/s. Il volume che nell’unità di tempo attraversa tutta la superficie A è dato dall’integrale di v•n su tutta la superficie A. Quindi il secondo membro della relazione sopra riportata rappresenta il volume che nell’unità di tempo attraversa la superficie A. 11 Teorema di Gauss Il laplaciano dello scalare f può essere visto come la divergenza del gradiente di f dw z f y f x f dwf ww + + = 2 2 2 2 2 2 2 Quindi in definitiva si può scrivere: Si consideri l’integrale esteso ad un volume w del laplaciano di una funzione scalare f dA n f dwf Aw −= 2 dwfdwf ww = 2 12 Il gradiente di f è un vettore, quindi possiamo applicare la formula della slide n. 9 dA n f dAfdwf AAw −=−= n
