Definizioni analisi 1, Appunti di Analisi Matematica I

Scarica Definizioni analisi 1 e più Appunti in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity! Numeri Interi: ℤ = {0, ±1, ±2, ±3 … } Razionali: ℚ = { a b , a ∈ ℤ, b ∈ ℤ{0}} Complessi: un numero complesso z∈ C è una scrittura dalla forma z=a+ib, con a, b ∈ ℝ ed i come unità immaginaria con la proprietà che i*i=-1 Elementi di base Insieme: Collezione (classe, famiglia) di oggetti detti elementi dell’insieme. Sottoinsieme: A è sottoinsieme di B se B contiene tutti gli elementi di A ma A non contiene tutti gli elementi di B. Sottoinsieme proprio: Un sottoinsieme è proprio se è un sottoinsieme non vuoto. Coppia ordinata: Si tratta di una coppia costituita da un elemento dell’insieme A e da un elemento dell’insieme B nell’ordine. In termini di insieme: Grafico={x,y∈x*y, con x∈X ed y=f(x)} Una relazione ≤ si dice di ordine se valgono: Proprietà di riflessività: a≤a Proprietà di antisimmetria: ∀x, y ∈X se x ≤ y ^ y ≤x allora y = x Proprietà di transitività: ∀x, y, z∈X se x ≤y ^ y≤ z allora x ≤ z Proprietà di simmetria: ∀x, y ∈X se x ≈ y ⇒ y ≈x Ordinamento totale: Si ha un ordinamento totale se presi comunque 2 elementi x ed y essi sono confrontabili ossia x ≤ y oppure y ≤ x. Ordinamento parziale: Se invece, accade che non tutti gli elementi di un insieme, ordinati secondo una relazione , sono tra loro confrontabili. Maggiorante: Un elemento k ∈X si dice maggiorante di A se a) ∀ a∈A si ha che k è confrontabile con a b) ∀ a∈A si ha che a ≤ k Minorante: Un elemento k ∈ X si dice minorante di A se a) ∀ a∈A si ha che k è confrontabile con a b) ∀ a∈A si ha che a ≥k Massimo: È un maggiorante che appartiene all´insieme A Minimo: È un minorante che appartiene all’insieme A Sup A detto estremo superiore: È il più piccolo dei maggioranti di A. Inf A detto estremo inferiore: È il più grande dei minoranti di A. E è limitato superiormente: se ∃𝒙 ∈ 𝑿 𝑻. 𝒄. 𝒙 ≥ 𝑬 E è limitato inferiormente: se ∃𝒙 ∈ 𝑿 𝑻. 𝒄. 𝒙 ≤ 𝑬 Definizione di numero reale: insieme delle sue approssimazioni razionali per difetto Sezione di Dedekind: Una sezione di Dedekind di ℚ è un A⊆ ℚ con le seguenti proprietà: a) A≠ ∅, A≠ ℚ -aperta- b) a∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑎 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 -semiretta- c) a∈ 𝐴∃𝑏 ∈ 𝐴 𝑇. 𝑐. 𝑏 > 𝑎 Caratterizzazione dell’estremo superiore: x=SupA se a) x≥ 𝐴 b) y≥ 𝐴 c) y≥ 𝑥 x=SupA ⇒ 1) x≥A ^ 2) ∀𝜀>0 ∃x∈A T.c. f(x)>x- 𝜀 Caratterizzazione dell’estremo inferiore x=InfA ⇒ 1) x≥A ^ 2) ∀𝜀>0 ∃x∈A T.c. f(x)<x- 𝜀 Palla (aperta): dato 𝜀 > 0 𝑙′𝑖𝑛𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒𝐵(𝑥0, 𝜀) = {𝑥 ∈ ℝ𝑇. 𝑐. |𝑥 − 𝑥0| < 𝜀} si dice palla (aperta) di centro 𝑥0 e raggio 𝜀 Funzioni Funzione: È una corrispondenza univoca da X in Y ovvero associa ad ogni elemento X un solo elemento Y Immagine di f [Imm(f)]: {y∈ 𝑌|∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑇. 𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑦} Successione: È una funzione avente come dominio ℕ Funzione iniettiva: È una funzione per la quale ad un solo elemento della immagine corrisponde un solo elemento del dominio. Funzione suriettiva: È una funzione avente come immagine tutto il codominio. Funzione biiettiva: È una funzione che è sia iniettiva che suriettiva. Insieme numerabile: È un insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con ℕ. Funzione crescente: È una funzione avente un rapporto incrementale ≥ 0 Funzione decrescente: È una funzione avente un rapporto incrementale ≤ 0 Funzione pari: È una funzione per la quale f(x) = f(-x) Funzione dispari: È una funzione per la quale f(-x) = -f(x) g°f : Significa applicare la funzione g alla funzione f (x)=> g(f(x)) Funzione inversa: Data f: X->Y, si dice funzione inversa di f la funzione 𝑓−1:X->Y con le proprietà che f°𝑓−1=1dy, 𝑓−1°𝑓=1dx, dove 1dE : E->E con x ↦ x Topologia Intorno: Dato x∈ ℝ𝑛 ed 𝜀 ∈ ℝ+, si dice intorno sferico di centro x e di raggio 𝜀 l´insieme 𝐵𝜀(x):={y∈ ℝ 𝑛 : d(x,y) < 𝜀} Palla: Dato x∈ ℝ𝑛 ed 𝜀 ∈ ℝ+ , si dice palla di centro x e di raggio 𝜀 l´insieme 𝑆𝜀(x) := {y∈ ℝ𝑛 : d(x,y) = 𝜀} Sia X un insieme, per ogni x∈X si ha una famiglia di intorni con le seguenti proprietà: a) x ∈U(x) per ogni x ∈ X. b) Se U1(x) ed U2(x) sono 2 intorni di x -> la loro intersezione contiene almeno un intorno di x. c) se y∈U(x) -> esiste un intorno U(y) di y contenuto in U(x) d) se x ≠ y -> esiste un intorno U(x) di x ed un intorno U(y) di y disgiunti: U(x) ∩ U(y) = 0 R*: Detto R esteso è R*:= ℝ ∪ {−∞} ∪ {+∞} R.: Detto R punto è R.:= ℝ ∪ {∞} Punto interno: Un punto x∈ ℝ𝑛si dice interno all’insieme E se esiste un suo intorno completamente contenuto in E Punto esterno: Un punto x∈ ℝ𝑛 si dice esterno all’insieme E se è interno al complementare di E. Punto di frontiera: Un punto x∈ ℝ𝑛 si dice di frontiera se non è interno ne esterno ad E. Punto di accumulazione: Un punto x∈ ℝ𝑛 si dice di accumulazione per E se ogni intorno di x contiene un punto di E diverso da x. Descrivere l’insieme E´: È l´insieme costituito dai soli punti di accumulazione di E. Punto isolato: Un punto x∈ ℝ𝑛 si dice punto isolato di E se x∈E e non è di accumulazione per E. Insieme aperto: Un insieme E ⊆ ℝ𝑛 si dice aperto in ℝ𝑛 se ogni elemento di E è punto interno ad E. Insieme chiuso: Un insieme E ⊆ ℝ𝑛 si dice chiuso in ℝ𝑛 se il complementare è un insieme aperto. Insieme limitato: Un insieme E ⊆ ℝ𝑛 si dice limitato in ℝ𝑛 se esiste un r tale che E è contenuto in un intorno della origine di raggio r. Insieme convesso: Un insieme si dice E ⊆ ℝ𝑛 si dice convesso se per ogni coppia (x,y) il segmento congiungente i 2 punti è contenuto in E.