DEFINIZIONI ANALISI 2, Appunti di Matematica Generale

Scarica DEFINIZIONI ANALISI 2 e più Appunti in PDF di Matematica Generale solo su Docsity! FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI Insieme aperto: A è un i.a. se per ogni p appartenente ad A esiste un intorno di p tutto contenuto in A ( <= o >=) Insieme chiuso : D è chiuso se R^2 – D è aperto ( sono complementari) P interno se appartiene all’insieme e c’è anche tutto un intorno di P contenuto nell’insieme. P è di FRONTIERA se i pti del suo intorno appartengono e non al dominio. Restrizione di una funzione ad una curva è data da f(x(t),(y(t)) La funzione è continua in P0 (x0, y0) se lim di f(x,y) per x e y che tendono a x0 e y0 è = a f(x0,y0) Se il lim di una funzione ristretta ad una curva è diverso dal limite della stessa funzione ristretta ad un’altra curva allora il limite non esiste Il lim di f(x,y) per (x,y) (x0,y0)  Se x0, y0 è interno a D e se f è elementare f(x0,y0) è il limite  Se x0, y0 non è interno a D considero rette passanti per x0,y0 :  x=x0  f(x0,y)  lim f(x0,y) per y che tende a y0  y=y0  f(x,y0)  lim (x,y0) per x che tende a x0  y=m(x-x0)+y0  lim f(x, m(x-x0)+y0)) se dipende da m il limite non esiste per calcolare il piano tg ad una funzione in due variabili, analogamente a come si procederebbe per una funzione ad una variabile, calcolo il limite del rapporto incrementale della funzione ristretta ad un segmento (per l’incremento della variabile che tende a 0) calcolo la DERIVATA PARZIALE (rispetto ad una e all’altra variabile) … l’intersezione delle due rette trovate genera un piano che sarà quello tangente al grafico della funzione e avrà equazione (derivata rispetto a x in x0 y0) * (x-x0)+ (derivata rispetto a y in x0 yo) * (y-y0) + f(x0, y0)  è il piano passante per (x0,y0,f(x0,y0)) e che contiene le rette tangenti al grafico di f(x,y). Teorema di FERMAT : se x0 y0 è min o max locale allora il piano tg in quel punto è orizzontale  derivata rispetto a x e rispetto a y devono essere = 0 contemporaneamente  punti critici ovvero stazionari: possono essere minimi o massimi locali o punti di sella F è DIFFERENZIABILE in un P se  la funzione (aperta e contenuta/uguale a R2) è derivabile parzialmente rispetto a x e y in tutto il suo dominio  le derivate parziali sono continue nel punto P (appartenente al dominio)  esiste un piano tangente passante per P se f è differenziabile  è continua ( equivalente a nozione di derivabilità in funzioni in una variabile ) IL GRADIENTE DI UNA FUNZIONE è un vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione. GRADIENTE E DERIVATE DIREZIONALI: - dato un versore di norma 1 e una funzione differenziabile in x0,y0 risulta che o esiste la derivata direzionale fv in (x0,y0) o Fv (x0,y0) = gradiente di f(x0,y0) (prodotto scalare) v  Per massimizzare la derivata direzionale dovremmo scegliere v in maniera tale che l’angolo formato con il gradiente sia 0 (cos0=1) : grad e vettore stessa direzione e verso  se la derivata direzionale è max è max la VARIAZIONE DI QUOTA della funzione  Per minimizzare la derivata direzionale v dovrà formare angolo di pigreco (cospi=-1) : grad e vett stessa direz e verso opposto  Per far si che la derivata direz sia = 0 l’angolo tra grad e vett deve essere 90 gradi (devono essere perpendicolari) IL GRADIENTE di f in un punto fornisce direzione e verso nei quali la funzione cresce più rapidamente GRADIENTE E CURVE DI LIVELLO: - le curve di livello si trovano tutte alla stessa quota di una funzione, se ci muoviamo lungo i punti di una curva di livello, rimaniamo nella stessa quota - il vettore gradiente è perpendicolare alle curve di livello e diretto verso le quote maggiori TEOREMA DI SCHWARZ: se una f è due volte derivabile in D (dominio aperto) e se le derivate seconde sono continue allora le derivate miste coincidono  la matrice hessiana è simmetrica MASSIMI E MINIMI VINCOLATI : restringere una funzione ad una curva INTEGRALI DOPPI : trovare dominio della funzione e vedere rispetto a quale coordinata è normale , procedo con integrazioni successive. Se mi accorgo che conviene utilizzare coordinate polari devo moltiplicare la funzione integranda in coordinate polari per r (rappresenta la ‘deformazione’ dei raggi che diventano rette). Se il dominio non è normale ne a x ne a y, posso cambiare le variabili affinché risulti normale nelle nuove coordinate; nell’integranda devo moltiplicare per il modulo del determinante della matrice jacobiana EQUAZIONI DIFFERENZIALI Un’eq differenziale è un’eq in cui l’incognita è una funzione. L’eq stabilisce una relazione tra la funzione incognita e le sue derivate ed eventualmente un punto di applicazione.  In generale le eq differenziali ‘non si sanno risolvere’ PRIMO ORDINE: - VARIABILI SEPARABILI - LINEARI (1) Soluzione omogenea (2) soluzione particolare (3) eventuale PROBLEMA DI CAUCHY (se ho dato iniziale) SECONDO ORDINE LINEARI: (1) Risolvo equazione caratteristica associata e in base a soluzioni soluzione omogenea (esp se ho due o 1 soluzioni, trigonometrica se 0 soluzioni (n complessi)) (2) Soluzione particolare: METODO DELLE SOMIGLIANZE  alcune funzioni non ‘cambiano genere quando le derivo’ (esponenziali, trigonometriche, polinomi di grado n) CAMPI VETTORIALI IL CAMPO VETTORIALE E’ UNA FUNZIONE DEFINITA DA VALORI VETTORIALI che ad ogni punto associa un vettore di n componenti (a seconda dell’n di R) Il dominio del campo equivale al dominio delle componenti vettoriali F1 e F2