Definizioni Analisi II, Schemi e mappe concettuali di Analisi Matematica II

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Convergenza uniforme Data una successione di funzioni ( f ¿¿n)n ∈ N ¿ definite in Ie data f : A ⊆ I → R, si dice che f n→ f uniformemente in A Se ∀ ϵ >0 ∃ νϵ ∈ N :∀ n>νϵ siha|f n (x )−f ( x )|<ϵ ∀ x ∈ A Utilizzando la definizione di estremo superiore, si ha che per dimostrare che f n→ f uniformemente in A basta verificare che ∀ ϵ >0∃ νϵ ∈ N :∀ n>νϵ ¿x∈ A|f n (x )−f ( x )|<ϵ O equivalentemente ∀ ϵ >0∃ νϵ ∈ N :∀ n>νϵ gn<ϵ lim n →+∞ gn=0 gn=¿x ∈ A|f n ( x )−f (x )|successionedinumeri Th. Continuità del limite (teorema convergenza uniforme) Sia ( f ¿¿n)n ∈ N ¿ successione di funzioni continue definite in un intervallo I ⊆ R e sia f : I → R tale che f n→ f uniformemente in I . Allora la funzione f è continua O equivalentemente 1) f n→ f uniforme f è continua 2) f n continua N.B. Ma non è detto che se f è continua allora f n→ f uniforme e f n continua Th. Inversione dei limiti (teorema convergenza uniforme) Sia ( f ¿¿n)n ∈ N ¿ successione di funzioni definite in un intervallo I ⊆ R e sia f : I → R tale che f n→ f uniformemente in I . Supponiamo inoltre che per ogni n ∈ N esista il limite lim x→ x0 f n (x ) , x0∈ R Allora esistono e coincidono i due limiti seguenti lim n →+∞ ( limx → x0 f n ( x ))= limx→ x0 ( lim n →+∞ f n(x ))¿¿ Th. Passaggio del limite sotto il segno di integrale (teorema convergenza uniforme) Sia ( f ¿¿n)n ∈ N ¿ successione di funzioni continue definite in un intervallo I=[ a , b ] e sia f : I → R tale che f n→ f uniformemente in I . Allora vale la seguente formula lim n →+∞ ∫ a b f n ( x )dx=∫ a b f ( x )dx Dim. Essendo f limite uniforme di funzioni continue, allora essa è continua in [ a , b ] e quindi integrabile. Per avere la tesi, grazie alla definizione di limite, basta mostrare che per ogni ∀ ϵ ∃ νϵ ∈ N :∀n ≥ νϵ si abbia |∫ a b f n (x ) dx−∫ a b f (x ) dx|<ϵ D’altra parte, poichéf n→ f uniformemente, per ogni ∀ ϵ ' ∃ νϵ ' ∈ N :∀ n≥ νϵ' si ha gn=¿x ∈ [a ,b ]|f n ( x )−f ( x )|<ϵ ' Quindi, fissato ϵ >0, se si sceglie ϵ ' < ϵ b−a si ottiene per ogni ∀ n ≥ νϵ ' ¿∫ a b f n ( x ) dx−∫ a b f ( x ) dx∨≤∫ a b ¿ f n(x )dx−f (x)∨dx ≤ ¿x ∈ [a ,b ]∨ f n(x)−f (x )∨(b−a)<ϵ ' (b−a)<ϵ Th. Passaggio del limite sotto il segno di derivata (teorema convergenza uniforme) Sia ( f ¿¿n)n ∈ N ¿ successione di funzioni di classe C1(cioè derivabili e con derivate continue) definite in un intervallo I=[ a , b ] E sia f : I → R tale che f n→ f puntualmente in I . Cioè S ( x )=∑ n=0 ∞ f n (x ) Supponiamo inoltre che tale serie converga uniformemente ad S ( x ) Allora vale la seguente formula ∑ n=0 ∞ ∫ a b f n ( x )dx=∫ a b S ( x ) dx Dim. Essendo S(x) il limite uniforme della successione Sk ( x )=∑ n=0 k f k ( x ) delle somme parziali (che sono funzioni continue) Allora essa è continua in [ a , b ] e quindi integrabile. Quindi si ha ∑ n=0 ∞ ∫ a b f n ( x )dx= lim k→ ∞ ∑ n=0 k ∫ a b f n ( x )dx= lim k →∞ ∫ a b ∑ n=0 k f n ( x ) dx= lim k →∞ ∫ a b Sk (x ) dx=¿∫ a b lim k → ∞ Sk ( x ) dx=¿∫ a b S ( x ) dx¿¿ dove si è usato il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale per la successione di funzioni Sk ( x ) che converge uniformemente ad S ( x ) . Th. Derivazione per serie ( o derivazione termine a termine) Sia ( f ¿¿n)n ∈ N ¿ successione di funzioni di classe C1(cioè derivabili e con derivate continue) definite in un intervallo I ⊆ R e sia S : I → R la somma della serie avente f ncome termine generale Cioè S ( x )=∑ n=0 ∞ f n (x ) Consideriamo la serie derivata ∑ n=0 ∞ f n ' ( x ) E supponiamo che quest’ultima converga uniformemente Allora la funzione S è anch’essa di classe C1 e vale la seguente formula S' (x )=∑ n=0 ∞ f n ' ( x ) Def. Serie di potenze centrate nell’origine Sia ak , k=0,1,2 ,. . una successione di numeri reali e sia f k (x )=ak xk La serie di funzioni ∑ k≥0 f k ( x )=∑ k≥0 ak xk =a0+a1 x+...+ak xk +... Prende il nome di serie di potenze di coefficienti a0, a1 , … , ak , … Def. Serie di potenze centrate in un punto x0 Una serie di potenze centrata in un punto x0 ∑ k≥0 ak ( x−x0 ) k =a0+a1 ( x−x0 )+…+ak ( x−x0 ) k +… N.B Notiamo che k ≥ 1 si ha f k (0) = 0 e quindi S (0 )=a0 Quindi in x = 0 (o in generale in x = x0) la serie converge Ne segue che l’insieme di convergenza puntuale (ICP) non può essere vuoto! Per una serie di potenze si dimostra che ICP è un intorno di 0 avente raggio generalizzato ρ nullo, oppure infinito, oppure finito. Quindi si verifica una delle seguenti circostanze: i) la serie converge per x = 0 ; ii) la serie converge per ogni x ∈R; iii) esiste un numero ρ > 0 tale che la serie converge se |x| < ρ e non converge se |x| > ρ. Def. Raggio di convergenza Si definisce il raggio di convergenza della serie di potenze ∑ k≥0 f k ( x )=∑ k≥0 ak xk =a0+a1 x+...+ak xk +... come l’estremo superiore ρ ∈ [0 ,+∞ ] dell’insieme X dei numeri reali x nei quali essa converge cioè ρ= X ¿ dove X={x ∈ R : ∑ k≥0 ak xk converge } Questo estremo superiore esiste sempre e, siccome 0 ∈ X, si ha che ρ ≥0. Si verifica facilmente che il raggio di convergenza ρ = 0 se e solo se x = 0, i.e. X = {0} ρ=+∞ se e solo se X = R. Th. Sia 0< ρ<+∞ . Allora la serie di potenze ∑ k≥0 f k ( x )=∑ k≥0 ak xk =a0+a1 x+...+ak xk +... ha raggio di convergenzaρ se e solo se essa converge per |x|<ρ e non converge per|x|>ρ . Inoltre, se 0< ρ, essa converge assolutamente per |x|<ρ. Infine converge totalmente (e quindi uniformemente) in ogni intervallo chiuso e limitato [−a , a ] ⊂ (− ρ , ρ ). Nulla si può dire, in generale, sulla convergenza della serie di potenze nei punti x=−ρ e x=ρ . Criterio di Cauchy-Hadamard (ricerca raggio di convergenza) Data la serie di potenze ∑ k≥0 ak xk Se esiste il limite l= lim k →+∞ |ak| 1 k Allora il raggio di convergenza della serie ∑ k≥0 ak xk è ρ={ +∞l=0 1 l 0<l<+∞ 0 l=+∞ Criterio di D’Alembert Data la serie di potenze ∑ k≥0 ak xk Con ak ≠0 definitivamente, se esiste il limite l= lim k →+∞|ak+1 ak | Allora il raggio di convergenza della serie ∑ k≥0 ak xk ρ={ +∞l=0 1 l 0<l<+∞ 0 l=+∞ Def. Serie derivata Data la serie di potenze ∑ k≥0 ak xk La serie ottenuta derivando questa termine a termine, cioè la serie ∑ k ≥1 k ak xk−1 =¿a1+2a2 x+…+kak xk−1 +…¿ Viene detta serie derivata della serie di potenze Allora f ( x ) è una funzione indefinitivamente derivabile (o C∞ ¿ per |x−x0|< ρ e per ogni m∈ N la derivata di ordine m vale f (m ) ( x )=∑ k =m +∞ k (k−1 )… (k−m+1 ) ak ( x−x0 ) k−m Inoltre ak= f ( k ) ( x0 ) k ! Per ogni k ∈ N e dunque f è sviluppabile in serie nella forma f ( x )=f ( k ) (x¿¿ 0) k ! ( x−x0 ) k ∀ x :|x−x0|<ρ ¿ Dim. Si applica m volte il teorema di derivazione termine a termine per le serie di potenze e si ottiene f (m ) ( x )=∑ k =m +∞ k (k−1 )… (k−m+1 ) ak ( x−x0 ) k−m cioè m=1(serie derivata) f ' ( x )=∑ k=1 +∞ k ( k−1 ) … (k−1+1 )ak ( x−x0) k−1 =∑ k=1 +∞ k ak ( x−x0 ) k−1 m=2 f ' ' ( x )=∑ k=2 +∞ k (k−1 ) … (k−2+1 ) ak ( x−x0 ) k−2 =∑ k=2 +∞ k (k−1 ) ( x− x0 ) k−2 Per dimostrare la seconda parte f (m ) (x)=∑ k=m +∞ k (k−1)...(k−m+1)ak ( x−x0 ) k−m =m(m−1)…(m−m+1)am ( x−x0 ) m−m + ∑ k =m+1 +∞ k (k−1) ...(k−m+1)ak ( x−x0 ) k−m =m(m−1)…1am+ ∑ k=m+1 + ∞ k (k−1)... (k−m+1)ak ( x−x0 ) k−m =m! am+ ∑ k=m+1 +∞ k (k−1) ...(k−m+1)ak ( x−x0 ) k−m Ponendo adesso x=x0 si annullano tutti gli addendi di tale serie tranne il primo Cioèk=minfatti f (m ) ( x0 )=m!am+ ∑ k=m+1 +∞ k (k−1 ) … (k−m+1 ) ak ( x0−x0 ) k−m =m!am Da cui si ha f (k) (x¿¿0)=k !ak ¿ Ne segue che ak= f (k) (x0) k ! ∀ k ∈ N E dunque f è sviluppabile in serie nella forma f ( x )=f (k) ( x¿¿0) k ! ( x−x0 ) k ∀ x :∨x−x0∨¿ ρ ¿ È importante notare che dal teorema precedente segue l’unicità dello sviluppo in serie di potenze. Def. Serie di Taylor Data f (x) una funzione C ∞ ∈(a , b) , si può considerare la serie ∑ k≥0 f (k) ( x¿¿0) k ! ( x−x0 ) k ¿ Che prende il nome di serie di Taylor di f ed i coefficienti ak= f ( k ) ( x0 ) k ! Sono detti coefficienti di Taylor di f Nel caso in cui x0=0, la serie di Taylor prende il nome di serie di Mac Laurin N.B. Data f (x) una funzione C ∞ ∈(a , b) ci chiediamo se f coincide sempre in (a , b) con la sua serie di Taylor f ( x )=∑ k≥0 f (k ) (x¿¿0) k ! ( x−x0 ) k ¿ Cioè se f è sviluppabile in serie di Taylor in (a , b) Th. (Condizione sufficiente per sviluppabilità in serie di Taylor) Data f (x) una funzione C ∞ ∈(a , b) , supponiamo che esistano delle costanti positive M,L ≥ 0 tali che ¿ f (k ) ( x)∨¿ M Lk ∀ x ∈(a , b) Allora, per ognix0∈(a , b), la funzione f è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale x0 nell’intervallo (a , b) . In particolare, basta che le derivate di f siano equilimitate in (a , b)(è il caso L = 1). Sviluppi Mac Laurin 1 1−x =∑ n≥0 xn ∨x∨¿1 ex =∑ n≥0 xn n! x∈ R senx=∑ n≥0 (−1)n x2n+1 (2n+1)! x∈ R cosx=∑ n≥0 (−1)n x2n (2n)! x ∈ R senhx=∑ n≥0 x2n+1 (2n+1)! x ∈ R coshx=∑ n≥0 x2n (2n)! x∈ R arctgx=∑ n≥0 (−1)n x2n+1 2n+1 ∨x∨¿1 log( x+1)=∑ n≥0 xn+1 n+1 ∨x∨¿1 Def. Funzione generalmente continua Diciamo che una funzione f è generalmente continua in un intervallo [a , b] se ha al più un numero finito di discontinuità in [a , b] . N.B. Notiamo che esistono funzioni che non sono generalmente continue f (x)= 1 sen( 1 x ) Def. Funzione sommabile Diciamo che una funzione f generalmente continua è sommabile in un intervallo [a , b] se ∫ a b |f ( x )|dx<+∞ N.B. Osserviamo che una funzione generalmente continua potrebbe non essere sommabile. f ( x )={ 1 |x| β x ∈[−π , π ] \{0 } 1 x=0 per β ≥1non è sommabile Def. Funzioni periodiche Una funzione f :R → R si dice periodica di periodo T (o T-periodica) se per ogni x ∈ R si ha f (x+T )=f (x) Ovviamente se una funzione è periodica con periodo T>0, allora è anche periodica con periodo 2T ,3T , ... ,kT , con k ∈ N . Def. Polinomi trigonometrici Le somme finite Sn(x )= a0 2 +∑ k=1 n ak coskx+bk senkx a0, ak , bk ∈ R di funzioni del tipo precedente si dicono polinomi trigonometrici di ordine n e sono funzioni 2π−periodiche Def. Serie trigonometriche Cioè alla media tra limite destro e sinistro in x f ¿ f ¿ In particolare converge a f (x) nei punti di continuità Cioè dove f ¿ Prop. (Convergenza uniforme della serie di Fourier) Sotto le stesse ipotesi del teorema precedente, la serie di Fourier di f converge uniformemente in ogni sotto intervallo [a , b] in cui f (x) è continua. Th. Convergenza totale della serie di Fourier Sia f una funzione 2π-periodica, continua e regolare a tratti in R. Allora la serie di Fourier di f converge totalmente in R (e quindi uniformemente) alla funzione f . Th. Integrazione termine a termine per una serie di Fourier Sia f una funzione 2π-periodica e regolare a tratti in R. Allora fissati x0,x ∈ [−π , π ]si ha ∫ x0 x f (t ) dt=¿ a0 2 ( x−x0 )+∑ k=1 ∞ ∫ x0 x (ak coskt+bk senkt ) dt ¿ N.B. Questo teorema afferma che una serie di Fourier di una funzione regolare a tratti in R si può integrare termine a termine anche senza la convergenza uniforme della serie stessa Def. Prodotto scalare Nello spazio delle funzioni continue a tratti su un intervallo [a , b] si può introdurre quello che viene detto un prodotto scalare ed è cosi definito: ( f , g)=∫ a b f ( x ) g(x )dx Questo prodotto tra funzioni gode delle stesse proprietà del prodotto scalare in RN: ( f , g )=(g , f ) ( f , f ) ≥0 ( f , f )=0⟺ f =0 ( f , g+h )=( f , g )+( f , h ) N.B. Si dice che due funzioni continue a tratti f e g sono ortogonali se ( f , g)=0. Inoltre nello spazio delle funzioni continue a tratti si può introdurre una distanza nel modo seguente d ( f , g)=√∫ a b (f −g) 2dx Def. Quadrato sommabile Si dice che una funzione 2π-periodica `e di quadrato sommabile se ∫ −π π ( f (x ) ) 2 dx<+∞ N.B. Se f è quadrato sommabile, allora è sommabile Dim (che quadrato sommabile è sommabile) (1−|f ( x )|) 2 ≥0 |f (x )|≤ 1 2 (1+|f (x )| 2 ) ∫ −π π |f (x )|dx ≤ 1 2 (1+|f ( x )| 2 )dx ≤ π+¿ 1 2 ∫ − π π (f ( x ) ) 2 dx<+∞¿ Th. Sia f una funzione 2π-periodica, generalmente continua e di quadrato sommabile. Siano a0,ak,bk i coefficienti di Fourier di f e sia Sn(x ) la somma parziale n-esima della serie di Fourier di f , cioè Sn ( x )= a0 2 +∑ k=1 n ak coskx+bk senkx Allora si ha 1) 1 π ∫ −π π ¿ f (x)−Sn(x)∨¿ 2dx=¿ 1 π ∫ −π π ( f (x )) 2dx−¿¿¿¿ 2) 1 π ∫ −π π ( f (x ) ) 2 dx=¿ a0 2 2 +∑ k=1 ∞ (ak 2 +bk 2 ¿)→uguaglianza di Parseval ¿¿ 3) al variale di P ∈ Fn lo scarto quadratico medio En=∫ −π π ¿ f (x)−P (x)∨¿ 2dx=(d ( f , P)) 2 ¿ è minimo se P ( x )=Sn ( x ) cioè Sn(x ) realizza la minima distanza di f(x) da Fn d ( f , Sn)= min P ∈ F n d ( f , P) dove Fn è l ' insieme dei polinomi trigonometrici di ordine n , i . e . del tipo Sn ( x )= a0 2 +∑ k=1 n ak coskx+bk senkx La disuguaglianza ∫ −π π ( f (x ) ) 2 dx=¿ a0 2 2 +∑ k=1 n (ak 2 +bk 2 ¿)≤ 1 π ∫ −π π ( f ( x ) ) 2 dx¿¿ Che è parte dell’eguaglianza di Parseval, prende il nome di diseguaglianza di Bessel Def. Convergenza media quadratica Si dice che la serie di Fourier converge in media quadratica se lim n→+ ∞ ∫ −π π ¿ f (x)−Sn(x)∨¿ 2dx=¿0¿¿ Dalla 1) e dalla 2) del teorema precedente Dim. Dalla 1) lim n→+∞ ∑ k=1 n (ak 2 +bk 2 ¿)=∑ k=1 ∞ (ak 2 +bk 2 ¿) ⇒ a0 2 2 +∑ k=1 ∞ (ak 2 +bk 2 ¿)=2¿¿¿ Che a sua volta sostituendo nella 2) 1 π ∫ −π π ( f (x ) ) 2 dx−¿ 1 π ∫ −π π ( f ( x ) ) 2 dx=0¿ Segue Corollario 1 Sia f una funzione 2π-periodica, generalmente continua e di quadrato sommabile, la serie di Fourier converge in media quadratica. Corollario 2 Sia f una funzione 2π-periodica, generalmente continua e di quadrato sommabile, si ha lim k →+ ∞ ak= lim k →+∞ ∫ −π π f (x ) coskxdx=0 lim k →+∞ bk= lim k →+ ∞ ∫ −π π f (x ) sen kxdx=0 N.B Data una funzione f 2π-periodica:  Se f è continua e C1 a tratti Allora la convergenza è totale (e quindi uniforme) La serie converge ad f (x) e dunque f è sviluppabile in serie di Fourier  Se f è C1 a tratti, allora la convergenza è puntuale la somma della serie è 1 2 ¿ e la convergenza è uniforme in ogni intervallo in cui f (x) è continua Si dice che λ ∈ C è il limite di f per z che tende a z0 (punto di accumulazione di A, non necessariamente appartenente ad A), e si scrive λ=lim z→ z0 f (z ) Se ∀ ϵ >0∃ δ>0 :∀ z ∈ A ∩ Bδ(z0)¿ z0 }⟹∨f (z )−λ∨¿ ϵ .¿ Si dice che λ ∈ C è il limite di f per ¿ z∨¿ che tende a +∞ e si scrive λ= lim ¿ z∨→+∞ f (z) Se ∀ ϵ >0 ∃ M >0 :∀ z ∈ A|z|≥ M⟹|f ( z )− λ|<ϵ . Def. Funzione continua variabile complessa La funzione f si dice continua in z0∈ A se lim z→ z0 f ( z )=f ( z0 ) Cioè se ∀ ϵ >0∃ δ>0 :∀ z ∈ A ∩ Bδ(z0)⇒|f (z )−f ( z0 )|<ϵ . Infine la funzione f si dice continua in A se lo è in ogni punto z0∈ A. N.B. Sia z=x+iy e w=f (z)=f (x , y )=u(x , y)+iv(x , y) , dove u , v :R × R → R sono dette funzioni parte reale e parte immaginaria di f Le funzioni costanti, la funzione identità, la funzione modulo, coniugato e le funzioni (z2¿ sono tutte continue in C Le funzioni razionali fratte sono tutte continue in C privato degli zeri del polinomio al denominatore Es. f (z)=zn è continua in C con n ∈ N f (z)= 1 zn è continua in C ¿ Def. Funzione Arg(z ) La funzione f :C ¿→ R definita dà f (z)=Arg (z ) è continua in C ¿∗¿ ¿ Infatti, per tale funzione si ha v (x , y )=0 e θ=arctg y x per x ≠0 u ( x , y )={ arctg y x x>0 π 2 x=0 , y>0 −π 2 x=0 , y<0 arctg y x +π x<0 , y≥0 arctg y x −π x<0 , y<0 Che è discontinua su \{ z=x+iy ∈ C : x<0 , y=0 } Quindi è continua tranne sul semiasse negativo Def. Funzione derivabile variabile complessa Sia A ⊆C un aperto connesso e siaf : A → C. Per ogni z∈ Asi definisce rapporto incrementale di f in z la funzione z↦ f (z+∆ z )−f ( z ) ∆ z Dove ∆ z ∈C¿ ed è tale che z+∆ z∈ A La funzione f si dice derivabile in un punto z ∈ A se esiste in C il limite λ del rapporto incrementale per ∆ z↦0 λ= lim ∆ z→ 0 f ( z+∆ z )−f (z ) ∆ z Def. Derivata variabile complessa Il numero complesso λ (se esiste) si chiama la derivata di f in z e si denota con f ’ (z )oppure Df (z) . Come in campo reale, la derivabilità implica la continuità Def. Differenziabile variabile complessa Sia f (z)=f (x , y) dove z=x+iy . La funzione f si dice differenziabile rispetto a (x , y ) nel punto (x0 , y0) se, per ogni coppia di incrementi ∆ x e ∆ y , si ha che ∆ f =f (x0+∆ x , y0+∆ y )−f (x0 , y0)= ∂ f ∂ x (x0 , y0)∆ x+ ∂ f ∂ y (x0, y0)∆ y+o¿ Dove o¿ è un infinitesimo di ordine superiore alla distanza euclidea dei punti (x0 , y0) e (x0+∆ x , y 0+∆ y) N.B Condizione sufficiente perché f differenziabile rispetto (x , y ) è che esistano le derivate parziali prime di f e siano continue in (x0 , y0) Def. Differenziale L’applicazione (∆ x , ∆ y )↦ ∂ f ∂ x ∆ x+ ∂ f ∂ y ∆ y Si dice differenziale di f (x , y ) Condizioni di Cauchy-Riemann La differenziabilità dif (x , y )rispetto a (x , y ) NON equivale alla differenziabilità di f (z) rispetto a z. Prop. Sia f : A → C differenziabile rispetto a (x , y ) . Allora f (z) è differenziabile (come funzione di variabile complessa) se e solo se si ha ∂ f ∂ x = 1 i ∂ f ∂ y (CR1) Se vale l’ultima uguaglianza, allora f ' ( x )= ∂ f ∂ x = 1 i ∂ f ∂ y Scrivendo f ( x , y )=u ( x , y )+iv ( x , y ) si ha ∂ u ∂ x +i ∂ v ∂ x = 1 i ∂ u ∂ y + i i ∂ v ∂ y Ricordando che 1 i =−i ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂ v ∂ x = −∂ u ∂ y (CR2) Le uguaglianze (CR2) (o equivalentemente (CR1)) sono dette condizioni di Cauchy-Riemann. N.B. grad u=¿ ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y ¿ e grad v=( ∂ v ∂ x , ∂ v ∂ y ) Prodotto scalare è nullo grad u∗grad v=0⇒ vettori gradienti sono ortogonali traloro Def. Funzione olomorfa Si dice che f : A → C è olomorfa in un aperto connesso A se per ogni z0∈ A la funzione f è derivabile in z0 . Def. Funzione intera Una funzione f :C → C olomorfa in tutto C si dice intera. N.B. Da w=log z se e solo se z=ew A causa della periodicità dell’esponenziale ci sono infiniti valori per cui z=ew e dunque inifite determinazioni del logaritmo, si dice quindi che log z è una funzione polidroma Cerchiamo quindi u e v di w=log z E si ha che ¿ z∨¿ Da cui segue che v=arg ( z ) u=log∨z∨¿ N.B Questo logaritmo è quello dei numeri reali poiché ¿ z∨∈ R Quindi log z= log∨z∨+i arg(z) Questa non è una funzione ma un insieme Si vede ora chiaramente che log zè una funzione a più valori i quali differiscono per multipli interi relativi di 2πi(poiché arg(z ) è definita a meno di multipli di 2π ). Def. Determinazione principale Log z Si pone log z≔ log|z|+i Arg ( z )=log ρ+i θ Quindi u=ℜ( log(z))=log∨z∨¿ v=ℑ(log(z ))=Arg (z ) Proprietà logaritmo in campo complesso 1) La funzione log z è definita in C ¿ Cioè per z ≠0. 2) Per ogni z=x+iy, con y=0e x>0 si ha che log z=log x, ossia è un’estensione della funzione logaritmo in campo reale. 3) La funzione Log z è continua in C ¿∗¿ ¿ poiché la sua parte immaginaria Arg(z ) è continua solo in C ¿∗¿ ¿ , cioè è discontinua sul semiasse reale negativo. 4) La funzione log z è olomorfa in C ¿∗¿ ¿ infatti non può essere derivabile nei suoi punti di discontinuità Cioè sul semiasse reale negativo Altrove è olomorfa poiché ammette le derivate parziali continue e vale la condizione di Cauchy- Riemann in coordinate polari ∂ f ∂ ρ = 1 iρ ∂ f ∂θ (CR3) Infatti sef (z)=log z Essendo f (ρ , θ)=log ( ρ)+iθ Si ha che ∂ f ∂ ρ = 1 ρ 1 iρ ∂ f ∂ θ = 1 iρ i= 1 ρ Dim che f ' (z)= 1 z Scrivo z come z=ρ e iθ e si ha ∂ f ∂ ρ = ∂ f ∂ z ∂ z ∂ ρ =f ' (z) ∂ z ∂ ρ =f ' (z )eiθ Segue f ' ( z )= 1 eiθ ∂ f ∂ ρ f ' ( z )= 1 eiθ ∂ ∂ ρ (log ρ+iθ)= 1 eiθ 1 ρ = 1 z N.B Infine si osservi che per la funzione Log z non valgono le usuali formule del prodotto e della potenza del logaritmo reale. Es. log( i3)= log(−i)=−i π 2 3 log(i)=i π 2 Def. Funzione potenza in campo complesso Si tratta di definire una funzione olomorfa su un aperto contenente la semiretta reale positiva, la cui restrizione a tale semiretta coincida con la funzione potenza in campo reale. Per ogni coppia β ∈ C e z∈ C¿ (ossia z ≠0)si definisce zβ≔ eβ log z In generale ci sono infinite determinazione (come per il logaritmo) La determinazione principale è zβ≔ eβ log z E si chiama potenza principale Tale funzione è definita in C ¿ ed è continua ed olomorfa in C ¿∗¿ ¿ Casi particolari funzione potenza campo complesso 1) Sia β ∈ R+¿ ¿ In tal caso, la potenza (sia la sua determinazione principale, che tutte le altre) è definita anche in z=0 e si ha 0β =0 Infatti lim z→ 0 z β =lim z→0 e β(log∨z∨+i Arg (z )) =lim z→0 e iβArg(z )¿ lim z→0 eβlog∨z∨¿=¿0 ¿ Poiché lim z→ 0 eβlog|z| =¿0 ¿ ¿e iβArg(z )¿ ¿∨¿1 Quindi in questo caso zβ è definita in tutto C e continua in C ¿∗¿ ∪{0 }¿ 2) Sia β ∈ N : β=n In tal caso, c’`e una sola determinazione: infatti a causa della periodicità dell’esponenziale (complesso) di periodo 2πisi ha zβ =en log z =en¿ ¿ Inoltre zβ coincide con l’usuale potenza zn =z∗z∗¿∗¿ z n volte poiché zβ =enLogz =enlog∨z∨+i n Arg (z) =e log¿ z∨¿ n +i n Arg(z)=¿ z∨¿ n ¿ ¿¿ Si noti che in tal caso zβ è definita, continua ed olomorfa in tutto C. Analogamente, nel caso β ∈ Z, β=−n, zβ è definita, continua ed olomorfa in tutto C ¿ 3) Sia β ∈ Q β= 1 n con n∈ N ¿≔N \{0 } In questo caso ci sono n determinazioni, quelle della radice n-esima di z Infatti per ogni k ∈ Z si ha Def. Serie di potenze in campo complesso di punto iniziale z0 Data una successione an di numeri complessi e fissato z0∈ C si definisce serie di potenze in campo complesso di punto iniziale z0 una serie del tipo ∑ n≥0 an ( z−z0 ) n I numeri complessi an sono detti coefficienti della serie Se i coefficienti an sono definitivamente nulli (cioè esiste n0∈ N tale che an=0 per ogni n>n0) la serie si riduce al polinomio ∑ n=0 n0 an ( z−z0 ) n =a0+a1(z−z0)+...+an0 (z−z0) n0 N.B. Si osservi che in z=z0 la serie converge e la sua somma è a0. Ricordiamo che per le serie di potenze in campo reale, l’insieme di convergenza è un intervallo di centro il punto iniziale e raggio R. Nel caso di serie di potenze in campo complesso, l’insieme di convergenza è una palla di centro z0 e raggio R. Def. Raggio di convergenza serie complessa Tale R si dice raggio di convergenza della serie e si calcola in maniera analoga al caso reale. Inoltre 1) Se R=0 La serie converge solo per z=0 2) Se 0<R<+∞ La serie converge(assolutamente) per ¿ z∨¿ R Converge totalmente per ¿ z∨¿ r , per ogni r tale che 0<r< R Non converge per ¿ z∨¿ R 3) Se R=+∞ la serie converge(assolutamente) in tutto C e totalmente per ¿ z∨¿ r , per ogni r>0 Th. Olomorfia somma serie di potenze in campo complesso La somma S ( z )=∑ n≥0 an ( z−z0 ) n Di una serie di potenze è una funzione olomorfa dove è definita (cioè nel suo cerchio di convergenza BR (z0)={z∈ C :∨z−z0∨¿ R }¿ E per ogni z∈ BR (z0) si ha S ' ( z )=∑ n≥1 n an ( z−z0 ) n−1 E per ogni k ∈ N S( k ) (z )=∑ n≥k n(n−1)...(n−k+1)an ( z−z0 ) n−k Ponendo z=z0 si ha S( k ) ( z0 )=k ! ak ak= S (k ) ( z0 ) k ! Th. Unicità sviluppo in serie di potenze in campo complesso Se S ( z )=∑ n≥0 an ( z−z0 ) n È la somma di una serie convergente definita in BR (z0) Allora necessariamente si ha che an= S (n ) (z0) n ! ( z−z0 ) n ∨z−z0∨¿ R Cioè la serie di potenze coincide con la serie di Taylor associata alla sua funzione somma S(z ) Sviluppi Mc Laurin campo complesso 1) 1 1−z =∑ n≥0 zn |z|<1 2) ez =∑ n≥0 zn n ! |z|∈ C 3) sen z=∑ n≥0 (−1)n z2n+1 (2n+1)! |z|∈ C 4) cos z=∑ n≥0 (−1)n z2n (2n) ! |z|∈ C 5) senh z=∑ n≥0 z2n+1 (2n+1)! |z|∈C 6) cosh z=∑ n≥0 z2n (2n)! |z|∈C 7) arct z=∑ n≥0 (−1)n zn+1 2n+1 |z|<1 8) log( z+1)=∑ n≥0 (−1)n zn+1 n+1 |z|<1 Def. Serie bilatera Sapendo che e inx =cosnx+ i sen nx Scrivo una serie trigonometrica a0 2 +∑ n=1 +∞ (a¿¿n cosnx+bn sen nx)¿ Nella forma ∑ n=−∞ +∞ γ n einx x∈ R Che chiamiamo serie bilatera N.B. cos nx= einx +e−inx 2 sen nx= einx −e−inx 2i da cui si ha a0 2 +∑ n=1 +∞ (a¿¿n cosnx+bn sen nx)=γ 0+¿∑ n=1 +∞ (γ¿¿n e inx +¿ γ−n e−inx )= ∑ n=−∞ +∞ γ n einx ¿¿¿¿ Dove ϕ (α )=a ϕ ( β )=b E ϕ '(τ )>0 per ogni τ ∈[α , β](tale ϕ viene detta cambiamento di parametro che conserva l’orientamento) La nuova curva definita da γ1≔ γ ∙ ϕ : τ ↦γ ( ϕ ( τ ) ) È una curva regolare che ha lo stesso sostegno di γ e lo stesso orientamento N.B. Tutte le curve così ottenute formano una classe di equivalenza: esse hanno in comune lo stesso sostegno, ma è diversa la legge oraria con cui questo viene percorso. Inoltre si possono considerare dei cambiamenti di parametro che cambiano l’orientamento: Es. Data γ :[a , b]→ C una curva regolare, la curvaγ−¿[a ,b ]→ C ¿ definita da γ−¿(t )=γ (b+(a−t))¿ è ancora una curva regolare, ha la stessa traccia di γ,ma è percorsa in senso opposto e dunque scambia i punti estremi, quindi diverso orientamento Def. Concatenamento di curve Date due curve regolari γ1 , γ2 :[0,1]→C tale che γ1(1)=γ 2(0) Si possono concatenare le due curve Definendo γ (t )={ γ 1(2 t)0≤ t ≤ 1 2 γ2(2 t−1) 1 2 ≤ t ≤1 Si ha γ (0)=γ1(0) γ (1)=γ2(1) γ è continua ma in generale non è C1 La concatenazione analoga di più segmenti dà una poligonale(concatenazione di più segmenti) N.B. Posso avere più possibilità di concatenare due curve , cioè ho la libertà sulla frazione di tempo ma devo sempre garantire che il punto finale di γ1 coincida con il punto iniziale di γ2 La concatenazione non è ottimale perché la curva non è regolare Def. Curva regolare a tratti Una curva γ si dice regolare a tratti se è ottenuta concatenando due o più curve regolari Def. Integrale curvilineo Dati A ⊆C un aperto connesso, f : A → C una funzione continua e γ :[a , b]→ C una curva regolare (o regolare a tratti) la cui traccia γ ([a , b])⊆ A , si definisce l’ integrale di f lungo γ nel seguente modo: ∫ γ f =∫ γ f (z )dz≔∫ a b f (¿ γ (t))γ '(t )dt ¿ N.B. La funzione t↦ f (γ ( t))γ ' (t) è una funzione di variabile reale a valori complessi Cioè il parametro è reale ma il risultato è un numero complesso poiché f : A → C Proprietà integrale curvilineo 1) Linearità: ∫ γ ( c1 f 1+c2 f 2)=c1∫ γ f 1+c2∫ γ f 2 2) Indipendenza dal cambiamento di parametro (che conserva l’orientamento) ∫ γ f :=∫ a b f (¿ γ (t ))γ ' (t )dt=∫ α β f ¿¿¿ 3) Cambio di seno nel passaggio a γ −¿ :∫ γ f=− ∫ γ−¿ f ¿ ¿¿ 4) Additività rispetto alla curva ∫ γ 1 f +∫ γ2 f =∫ γ 1γ2 f Dove γ1 γ2 denota la concatenazione di γ1e di γ2 5) Se M= max t ∈[a , b ]|∫γ f ( γ (t ) )| Allora |∫ γ f ∨≤ M l(γ ) Th. Passaggio al limite Sia f n una successione di funzioni continue definite in A. Supponiamo che f n→ f uniformemente in A Allora ∫ γ f ( z )dz= lim n→ ∞ ∫ γ f n ( z )dz Def. Primitiva in campo complesso Sia A ⊆C un aperto connesso ed f : A → C una funzione continua. Si dice che F : A → C è una primitiva di f se è derivabile in A e se F ’(z)=f ( z)per ogni z∈ A. Come in campo reale, se F è una primitiva dif Allora per ogni c ∈ Rla funzione F+c è una primitiva di f . La conoscenza di una primitiva permette di calcolare immediatamente gli integrali curvilinei; infatti vale un analogo del teorema di Torricelli-Barrow. Th. Torricelli-Barrow Sia A ⊆C un aperto connesso, sia γ :[a , b]→ C curva regolare (o regolare a tratti) la cui traccia γ ([a , b])⊆ A Sia f : A → C una funzione continua e F : A → C la sua primitiva Allora ∫ γ f ( z )dz=F (γ (b ) )−F (γ (a ) ) Dim. ∫ γ f ( z )dz=∫ a b f (¿ γ ( t))γ ' (t)dt=∫ a b (F ∙ γ )' (t)dt=F ( γ (b ) )−F ( γ (a ) )¿ N.B. Dal teorema segue che se f ammette una primitiva allora l’integrale dipende solo dagli estremi γ (a) e γ (b) e non dalla curva che li connette.  Se γ è chiusa Allora ∫ γ f ( z )dz=0 Un insieme A si dice convesso Se comunque fisso due punti, il segmento che li congiunge è interamente contenuto in A. Se A è convesso, allora A è semplicemente connesso Il viceversa non vale Es. C ¿∗¿ ¿ è semplicemente connesso, ma non è convesso. C ¿ è un aperto connesso, ma non semplicemente connesso e lo stesso vale per ogni corona circolare. Def. Forma differenziale lineare Se X ( x , y) e Y (x , y) sono funzioni a valori reali definite e continue in A ⊆ R2 si chiama forma di ff erenziale lineare in A l’espressione X ( x , y)dx+Y (x , y)dy prodotto scalare tra il campo vettoriale (X (x , y ), Y (x , y )) e il vettore spostamento (dx , dy) (le due funzioni X e Y sono detti coefficienti della forma). La forma differenziale si dice regolare se i coefficienti X e Y sono di classe C1. N.B. Se γ è una curva regolare di R2, contenuta in A, di equazioni x=x (t) , y= y (t ), a ≤ t ≤ b, si definisce l’integrale della forma differenziale nel seguente modo ∫ γ X ( x , y )dx+¿Y ( x , y ) dy=∫ γ [ X ( x (t ) , y ( t ) ) x ' (t )+Y ( x ( t ) , y (t ) ) y ' (t ) ] dt ¿ Th. Teorema della divergenza (o formula di Gauss-Green in R2 Sia A ⊆ R2 un aperto connesso. Sia γ un circuito regolare a tratti, contenuto in A e tale che (I) γ è la frontiera di un aperto D interamente contenuto in A Allora , date due funzioni X , Y :A → R di classe C1su A (cioè aventi le derivate parziali prime continue) vale la seguente formula ∫ γ Xdx+Ydy=¿∬ D ( ∂ Y ∂ x − ∂ X ∂ y )dxdy¿ 1) L’ipotesi (I) è verificata subito per ogni curva γ, se A è semplicemente connesso. 2) Si assume che l’orientamento della curva γ (da cui dipende il primo membro) sia quello antiorario, cioè in modo tale che un osservatore che la percorri lasci i punti interni alla sua sinistra. 3) La formula vale anche se γ è l’unione di due curve, come nel caso della frontiera di una corona circolare. Th. Integrale di Cauchy Sia A ⊆C un aperto connesso e sia f : A → C una funzione olomorfa. Allora per ogniγ circuito regolare a tratti, contenuto in A e tale che: (I) γ è la frontiera di un aperto D interamente contenuto in A Si ha che ∫ γ f ( z )dz=0 Dim. Se scriviamo la curva γe la funzione f come γ (t )=x (t )+ iy ( t ) f ( z )=f ( x , y )=u ( x , y )+ iv (x , y ) Allora ∫ γ f ( z )dz=∫ a b f (γ ( t ) ) γ ' (t ) dt=∫ a b [u¿(x (t) , y (t ))+iv (x (t) , y (t))][x ' ( t)+ iy ' (t)]dt=∫ a b [(u¿x '−vy ' )+ i(vx '+uy ')]dt=∫ γ udx−vdy+i∫ γ vdx+udy¿¿ Dove udx−vdy e vdx+udy sono delle forme differenziali a coefficienti reali in R2 Dal Th. Della divergenza ∫ γ f ( z )dz=∫ γ udx−vdy+i∫ γ vdx+udy=−∬ D ( ∂ v ∂ x + ∂u ∂ y )dxdy+ i∬ D ( ∂ u ∂ x − ∂ v ∂ y )dxdy=0 Poiché dall’olomorfia di f e dalle condizioni di Cauchy-Riemann si ha ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂u ∂ y = −∂ v ∂ x Corollario (dato dal teorema integrale di Cauchy e dall’implicazione c) -> a) Ogni funzione f : A → Colomorfa in A ammette una primitiva in ogni aperto A ’⊆ A semplicemente connesso. In particolare, se A stesso è semplicemente connesso, allora f ammette primitiva in A. N.B. Notiamo che quindi sotto le ipotesi del corollario, “f ammette localmente una primitiva”, cioè per ogni punto z0∈ A esiste un intorno Br (z0)⊂ A in cui f ammette una primitiva. Es. f (z)= 1 z è olomorfa in C ¿ma non ammette primitiva in C ¿, va d’accordo con il corollario poiché C ¿ non è semplicemente connesse Al contrario in C ¿∗¿ ¿ è dotata di primitiva, poiché C ¿∗¿ ¿ è semplicemente connesso Osservazione 1 Il fatto che ∫ γ r 1 z dz=2πi non dipenda da r, non è un caso, ma è un fatto generale: l’integrale di una funzione olomorfa su un circuito non varia se tale circuito viene deformato senza uscire dall’aperto di olomorfia. Prop. Se γ1 , γ2 sono due circuiti regolari a tratti con γ2interno a γ 1 Se f è olomorfa nel dominio D compreso tra γ1 e γ 2 Allora ∫ γ 1 f ( z )dz=∫ γ 2 f ( z )dz Tale proposizione è una immediata conseguenza del teorema integrale di Cauchy applicato alla curva γ=γ1∪ γ2 −¿¿ Nel caso particolare in cui f sia olomorfa in tutto il dominio interno a γ1, si ha che i due integrali sono uguali banalmente, essendo entrambi uguali a 0. Formula integrale di Cauchy Th. Sia f =u+iv :C → C una funzione analitica Allora u(x , y) e v (x , y ) (viste come funzioni delle due variabili reali x e y) sono funzioni armoniche Cioè valgono le seguenti equazioni di Laplace ∆ u≔ ∂2u ∂ x2 + ∂2u ∂ y2 =0 ∆ v≔ ∂2 v ∂ x2 + ∂2 v ∂ y2 =0 Operatore ∆ è detto Laplaciano Dim. Essendo f analitica (e quindi olomorfa), dalle condizioni di Cauchy-Riemann si ha ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂u ∂ y = −∂ v ∂ x Derivando e usando il teorema di inversione dell’ordine di derivazione (Teorema di Schwartz) si ha ∂2u ∂ x2 = −∂2u ∂ y2 Th. Morera Sia f : A → C una funzione continua nell’aperto connesso A ∈C . Se l ’ integrale di f su ogni curva semplice e chiusa in A è nullo, allora f è analitica in A. Dim. Sappiamo che se l’integrale di f su ogni curva semplice e chiusa in A è nullo, allora f ammette una primitiva. Quindi f è la derivata di una funzione F olomorfa e dunque analitica. Ne segue che anche f è analitica (essendo la derivata di una analitica). Def. Zeri funzione analitica Sia f : A → C una funzione continua nell’aperto connesso A ∈C . Un punto a ∈ A si dice uno zero di f se f (a)=0. Se a è uno zero di f e f ( z )=∑ n ≥0 cn ( z−a ) n =∑ n ≥0 f (n ) (a ) n ! ( z−a ) n È lo sviluppo di Taylor in un intorno di a Allora c0=f (a )=0 N.B. Diremo che a è uno zero di ordine n se f (n ) (a )=0 per ogni 0≤ k ≤n−1 e f (n ) (a )≠0 Es. la funzione f (z)=(z−1)3ha uno zero di ordine 3 in a = 1; Th. Sia f : A → C una funzione analitica nell’aperto connesso A ∈C . Sono equivalenti le seguenti proposizioni (i) esiste a ∈ A tale che f (n ) (a )=0 per ogni n ≥0 ; (ii) f è nulla in un intorno di a (iii) f è nulla in A. Corollario 1 Se due funzioni analitiche coincidono in un intorno di a ∈ A, allora coincidono ovunque. Th. Principio degli zeri isolati L’insieme degli zeri di una funzione analitica non identicamente nulla definita in A (se non è vuoto) è costituito da punti isolati ed è privo di punti di accumulazione appartenenti ad A. { f ≠0 f analitica f (a)=0 ⟹a è un zeroisolato Corollario 2 (Principio di identità) Se due funzioni analitiche coincidono su un dominio che sia dotato di un punto di accumulazione appartenente allo stesso dominio, allora le due funzioni coincidono ovunque. Corollario 3 (Prolungamento analitico) Dato I ⊆ R un intervallo edf : I → R, se esiste una funzione analitica definita in un aperto A ⊆Ctale che I ⊆ A ∩ R e la cui restrizione ad I coincide con f (x), allora tale funzione è univocamente determinata ed è detta prolungamento analitico. Es. Le funzioni ez, cosze senz, con z∈ C, sono i prolungamenti analitici di ex, cosx e senx, con x ∈ R. N.B. Inoltre il prolungamento analitico esiste sempre per le funzioni sviluppabili in serie di Taylor f ( z )=∑ n ≥0 f (n ) ( x0 ) n ! ( z−x0 ) n ∀ z ∈ I=Br ( x0 ) ⊆C Def. Diseguaglianza di Cauchy Sia γ una circonferenza di centro a e raggio r, allora per n = 0 si ha f ( a )= 1 2πi ∫ γ f ( z ) ( z−a ) dz= 1 2πi ∫ 0 2π f (a+ℜ it ) ℜ it ire it dt= 1 2 π ∫ 0 2π f ( a+ℜ it ) dt Ciò significa che il valore f (a) in un punto a ∈ A si ottiene come media integrale dei valori che f assume su una qualunque circonferenza di centro a, contenuta in A. Separando parte reale e parte immaginaria, si ottiene un risultato analogo per u=Ref e per v¿ Imf , che dunque godono della stessa proprietà della media Proprietà caratteristica delle serie armoniche Dalla formula cn= f (n ) (a) n ! = 1 2 πi ∫ γ f ( z ) ( z−a ) n+1 dz Con γ=γr detto M (r )≔max {∨f (z )∨: z ∈ γr } allora per il teorema integrale di Cauchy si ha che res ( f , z0 )=0 Prop. Sia f : A → C una funzione analitica e sia z0∈ C un polo di ordine n. Allora res ( f , z0 )≔ 1 (n−1 ) ! lim z → z0 dn−1 dzn−1 ((z−z0)¿¿n f ( z))¿ Dim. Sia z0∈ C un polo di ordine n, allora la funzione g ( z )=( z−z0 ) n f ( z ) è analitica in un intorno z0 dn−1g dzn−1 (z0)= (n−1)! 2πi ∫ γ g(z ) (z−z0) n dz=¿ (n−1) ! 2πi ∫ γ f ( z )dz ¿ Dove γ è una circonferenza di centro z0 e di raggio r contenuta in A 1 (n−1 ) ! lim z → z0 dn−1 dzn−1 ((z−z0)¿¿n f ( z))= 1 (n−1 ) ! dn−1g dzn−1 (z0)= 1 2πi ∫ γ f ( z ) dz=res ( f , z0 )¿ N.B. ∫ γ f ( z )dz=2πires ( f , z0 ) Def. Serie bilatera ∑ −∞< n<+∞ cn(z−z0) n Per convergenza della serie precedente si intende che convergono le due seguenti serie 1) ∑ n ≥0 cn( z−z0) n 2) ∑ n< 0 cn( z−z0) n =∑ k >0 c−k (z−z0) −k =¿∑ k >0 c−k 1 (z−z0) k ¿ La prima serie si dice parte singolare (o parte caratteristica) della serie. La seconda, che è una usuale serie di potenze, si dice parte regolare ed ha un suo raggio di convergenza, che chiamiamo R2. N.B. Facendo il cambiamento di variabili, la prima serie diventa di potenze w≔ 1 ( z−z0 ) ∑ n ≥0 cn( z−z0) n =∑ k >0 c−k (z−z0) −k =∑ k >0 c−k w−k che ammette un suo raggio di convergenza, che chiamiamo R1¿ Se R1¿ >0 ∑ k>0 c−k w−k converge se ¿w∨¿ 1 ¿ ( z−z0 )∨¿<R1¿ ∨( z−z0 )∨¿ 1 R1¿ ¿ Ponendo R1= 1 R1¿ ¿ ( z−z0 )∨¿ R1 Dunque la serie converge all’esterno del cerchio di raggio R1 e la somma della serie è analitica su tale insieme. Th. La somma di una serie bilatera è una funzione analitica in una corona circolare (se R1 < R2). Th. Di Laurent Sia f una funzione analitica su una corona circolare C R1R 2di centro z0. Allora f è la somma di una serie bilatera, cioè vale il seguente sviluppo di Laurent f (z)= ∑ −∞<n<+∞ cn(z−z0) n cn= 1 2πi ∫ γ f ( z ) ( z−z0 ) n+1 dz γ è una circonferenza di centro z0 e raggio r con R1<r<R2. N.B se f è analitica in tutta la palla BR 2(z0) oppure ha una singolarità eliminabile in z0 Allora lo sviluppo di Laurent si riduce a quello di Taylor, cioè i coefficienti della parte singolare sono tutti nulli poiché f ( z ) ( z−z0 ) n+ 1 è analitica per n ≤−1. Inoltre i coefficienti della parte regolare cn, n ≥ 0, coincidono con quelli di Taylor poiché si ha f (n ) ( z0 )= n ! 2πi ∫ γ f ( z ) ( z−z0 ) n+1 dz cn= 1 2πi ∫ γ f ( z ) ( z−z0 ) n+1 dz= f (n ) ( z0 ) n ! Se n=−1 c−1= 1 2πi∫γ f ( z )dz=res (f , z0 ) Prop. Sia f : A → C una funzione analitica, sia z0∈ C una singolarità isolata e sia f (z)=∑ n ∈ N cn(z−z0) n lo sviluppo di Laurent di f in un intorno forato di z0 Allora (i) z0 è eliminabile se e solo se la parte singolare è nulla Cioè c−n=0 per ogni n>0 f (z)=∑ n ≥0 cn(z−z0) n che è lo sviluppo di Taylor di f (ii) z0 è un polo di ordine n0 se e solo se c−n0 ≠0 e c−n=0 per ogni n>n0 f (z)= ∑ n ≥−n0 cn(z−z0) n (iii) z0 è una singolarità essenziale se e solo se c−n ≠0 per infiniti indici n>0 Th. Residui Sia f : A → C una funzione analitica nell’aperto connesso A ⊆C e sia γ un circuito in A. Siano z1 , ... zr dei punti singolari isolati di f appartenenti all’aperto D interno a γ. Allora ∫ γ f ( z )dz=∑ k=1 r res (f , zr ) dove σ [ f ] è l’estremo inferiore delle parti reali dei numeri s ∈C per cui ∫ 0 +∞ e−st f (t ) dt converge Def. Trasformata di Laplace Sia f : I=⇒ C (dove R+¿ ⊆ I ¿ una funzione L-trasformabile posto σ [ f ] :=inf {ℜ(s) :e−st f (t)} è sommabile per ogni s tale che ℜ(s)>σ [ f ] chiameremo trasformata di Laplace di f la funzione L[ f ] (s )=F(s) :=∫ 0 +∞ e−st f (t ) dt (unilatera essendo t >0). Diremo inoltre che σ [ f ] è l’ascissa di convergenza della funzione f. La trasformata è un operatore funzionale lineare che associa ad una funzione di variabile reale una funzione di variabile complessa. La trasformata di Laplace rientra nella categoria delle trasformate integrali. Funzione Heaveside H (t )={ 1 t ≥0 0altrove Funzione delta di Dirac δ (t)={ 0 t ≠0 +∞ t=0 Proprietà Trasformata di Laplace 1) Linearità L [c1 f 1+c2 f 2 ] ( s)=c1L [ f 1 ] (s )+c2L [ f 2 ] (s ) ∀ s :ℜ(s)>max {σ [ f 1] , σ [ f 2]} 2) Limitatezza 3) Derivata della trasformata di Laplace F ’ (s)=L[−tf (t)](s) Prop. (Limitatezza) Sia f una funzione L-trasformabile con ascissa di convergenza σ [ f ] allora per ogni σ 0>σ [ f ] la funzione F (s)=L[ f ](s) è limitata nel semipiano chiuso ℜ(s)≥ σ0 e inoltre lim ℜ(s)→+∞ F (s)=0 L’ultima affermazione significa che se {sn} è una successione di punti per cui σ 0≤ σn :=ℜ(sn)=⇒+∞, allora lim n →+∞ F (sn)=0 Prop. (derivata della trasformata di Laplace) Sia f una funzione L-trasformabile con ascissa di convergenza σ [ f ] Allora la funzione F (s)=L[ f ](s) è olomorfa nel semipiano ℜ(s)>σ [ f ] . La funzione t →−tf (t ) è L-trasformabile con ascissa di convergenza σ [ f ] e abbiamo F ' (s )=L[−tf (t )](s) , dove con F ' (s ) si intende la derivata in campo complesso. In generale si ha F(n) (s)=L [(−t)n f (t )](s)=(−1)n L[ tn f (t)]ℜ(s)>σ [ f ]. Moltiplicazione per t alla n- esima potenza L[ tn f (t)](s)=(−1)n F(n) (s) . Def. Segnali La definizione di trasformata coinvolge solo i valori di f (t) per t ≥0. Se f (t) è definita su R denotiamo f +¿(t )={ f (t )t ≥ 0 0altrimenti ¿ Cioè f +¿ (t )= H (t ) f (t ) ¿ Una funzione nulla per t <0 e L-trasformabile viene chiamata segnale Proprietà segnale: 1) L [ f (ct ) ] ( s )= 1 c L [ f (t ) ]( s c )∀ c>0 :ℜ (s )>c σ [ f ] 2) Traslazione nel tempo L[ f ( t−t0)](s)=e−t 0 s L[ f (t)](s)∀ t 0>0 :ℜ(s)>σ [ f ] 3) Traslazione complessa L[eat f (t )](s )=L[ f ( t)](s−a)∀ a∈ C :ℜ(s)>σ [ f ]+ℜ(a) Prop. Sia f un segnale periodico per t ≥0 di periodo T, cioè f (t+T )=f (t) ∀ t ≥0. Se f è sommabile in [0 ,T ]. Allora L [ f (t ) ] ( s )= 1 1−e−Ts∫ 0 T e− st f ( t ) dt ℜ(s)>0 Th. Sia f un segnale continuo per t ≥0, derivabile con derivata prima continua a tratti e Laplace- trasformabile. Allora si ha che ∀ s con ℜ (s )>max {σ [ f ] , σ [ f ' ]} L [ f ' ] (s )=sL [ f ] ( s )−f (0 ) . Th. Se f e g sono due segnali L-trasformabili con ascisse di convergenza σ [ f ] e σ [g] rispettivamente, allora ( f∗g)è L-trasformabile nel semipiano ℜ(s)>max{σ [ f ] , σ [ g]}, e si ha L[ f ∗g](s)=L [ f ](s)· L[ g](s) . Th. (Inversione della trasformata di Laplace) Sia f un segnale regolare a tratti e sia F (s) la sua trasformata con ascissa di convergenza σ [ f ] . Per ogni α >σ [ f ] si ha 1 2πi v . p . ∫ α−i ∞ α+∞ est F ( s) ds= 1 2 ¿ Dove f ¿ ed f ¿ sono i limiti sinistro e destro in t Qui l’integrale a valor principale v.p. è definito come v . p . ∫ α−i ∞ α+∞ ¿ lim R →+∞ ∫ α−iR α+ iR Corollario In particolare, 1 2 ¿ nei punti t in cui f (t) è continua. Quindi 1 2πi v . p . ∫ α−i ∞ α+∞ est F ( s) ds= f (t) f (t)= 1 2πi v . p . ∫ α−i ∞ α +i ∞ est F (s ) ds Th. Sia s∈C → F (s) una funzione analitica nel semipiano σ=ℜ(s)>σ0 e tale che si abbia |F ( s )|≃ 1 |s| k |s|→ ∞ con k>1 cioè