Scarica Definizioni e dimostrazioni di Analisi 2 e più Appunti in PDF di Analisi Matematica II solo su Docsity! Def . (successione di funzione) Si dice successione di funzioni Un insieme di funzioni che viene indicizzato da MEN e si indica {fm}MEN dove fm :D →R Esempi fmci =#m m c-N m= 1 f-1-Cx)=% m-a 72⇔-3¥ Dominio di fmcx) : 1-+ ✗M¥0 ⇒ ✗M¥-1 ⇒ Xo ≠-1 fisso Xo rispettando il dominio xo =o ⇒ fmc22 = 2- 1+2m tem m→+8 1+37 → 0 Convergenza puntuale Sia fm :D→R Si dice che fm converge puntualmente ai f Cfm→ f) se f Xo fissato fmcxo)→ fcxo) come successione di numeri_ Convergenza uniforme Sia fm :D→B Si dice chefm converge uniformemente a f (fm-7 f) se N'm sup tfmcx) - f-G)1=0 M→+8 ✗ED Relazione tra convergenza puntuale e convergenza uniforme (TEOREMA) Sia 7m :D →R se 7m37 allora fm→ f- DI Per definizione di convergenza uniforme km sup lfmcx)- f-G) 1--0 ⇔ KE >o 7mg : km>me Mstl ✗c-e / sup lfmcx) - fcx) / <E ✗C- e Devo fare vedere la convergenza puntuale fmcx>→ fcx) ¥ ✗ V-E >o 7ma , × tale che tm > me,× lfmcx)- fcx) / < E Scelgo ME , ✗ = me della convergenza uniforme lfmcx) - fcx) /≤ sup Ifmcx)- fcx)/ < E km >me ✗c-E ↓ per definizione / Derivabilità del limite Cteoreoua) fra fm :D-R D-[aib] fm sono continue, derivabilie con derivata continua se f-MI f in D ed inoltre fm'-3g , allora tem m-+• ÈM (×) -gcx) -fkx) f e- derivabile e con derivata continua Esempio di successione uniformemente convergente con limite uniforme mon derivabile fmcx) =piem2 ✗ c-[-1,1] fmcx) ⇒ fcx) converge uniformemente perché ✗era,] /Fm (×) -fa) /= sup |NÉ -1×11=0sup ✗ c-[011] fmcx) -31×1 ma Klim o non e- derivabile Serie di funzioni de serie di funzioni si costruiscono in maniera analoga a quelle numeriche 81 Cx) = TEG) Se CX) = F1G)+FECX) : m Sm (×) = È Frncx) somma parziale F-1 Convergenza puntuale Data la serie di funzioni È ' Fra⇔ F- 1 converge puntualmente se Smcx) converge puntualmente - M JMCX)→ Scx) = Mm E ' Fkcx) = # Fra> M→+8 F-1 A=L Convergenza uniforme & Data la serie di funzioni E ' Fra⇔ F- 1 converge uniformemente se Smcx) converge uniformemente Smcx)] Scx) Continuità della somma limite Se la serie converge uniformemente , allora Sco) è umoi funzione continua Teoremi di integrazione CTEORENNA) fiori ÈÈ Fri Cx) t.c.fr :D→R con FK continue e ssa S : E→R con EED , ¥ [aib] ≤E Lab Scx> dx= fab [E ' Fa Cx)] dx =3 ' /è FK G) DX Derivabilità per serie CTEOREMAJ Sia I'Fred t.c.fr :D→R continue e derivabili se la serie delle derivate E ' Flex) converge uniformemente ai SC» e Scx) è derivabile , allora s'Cx) = [E ' Fkcx)] ' = & F'kcx) Serie di potenza Una serie di potenza ha questa forma È ' an Cx -xo) " dove {ar } ≤R è una successione numerica Raggio di convergenza Si dice raggio di convergenza re = aup Ix - ✗al ✗c-E Teorema del raggio di convergenza sia E ' an Cx-xD" una serie di potenza e sia L= Um È = lem 1%1+1-1K→+8 Basta con Le [0 , +8] , allore M = { O se l- +8 È se la -a [è un numero finito > o) +8 se L = 0 Proprietà del raggio di convergenza • La serie E ' converge uniformemente in [ Xo -p , xotp] pare • La serie & converge puntualmente in Cxo -re , ✗otre) Attenzione ! / ! per ✗ = ✗otre e ✗ = Xo - re bisogna fare uno studio specifico
