Definizioni e Teoremi Analisi II, Appunti di Analisi Matematica II

Scarica Definizioni e Teoremi Analisi II e più Appunti in PDF di Analisi Matematica II solo su Docsity! Università degli Studi di Padova Analisi Matematica II Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Aerospaziale Analisi Matematica II Candidato: Luca Galtarossa, luca.galtarossa@studenti.unipd.it Matricola 1217507 Anno Accademico 2021-2022 4 Campi Vettoriali 35 4.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.1 Lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.2 Campo Conservativo e Forma Esatta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.3 Campo Irrotazionale e Forma Chiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.4 Insieme Semplicemente Connesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.5 Insieme s-decomponibile e Orientamento Positivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Teoremi con Dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2.1 Calcolo del lavoro mediante potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2.2 Caratterizzazione delle forme esatte: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2.3 Proposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2.4 Formule di Gauss-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 Teoremi senza Dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5 Superfici Parametriche 39 5.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.1 Superficie Parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.2 Piano Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.3 Area di una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.4 Integrale Superficiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.5 Baricentro e Massa totale di superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1.6 Superficie regolare a pezzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1.7 Flussi di campi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1.8 Superficie chiusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1.9 Orientamento delle superfici chiuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1.10 Flusso uscente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.1.11 Divergenza di un campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.1.12 Superfici con Bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.1.13 Campo Solenoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2 Teoremi con Dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2.1 Teorema di Pappo-Guldino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2.2 Teorema della Divergenza di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2.3 Teorema della Divergenza nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2.4 Teorema del rotore di Stokes per superfici chiuse . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3 Teoremi senza Dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3.1 Teorema del rotore di Stokes per superfici con bordo . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6 Equazioni Differenziali 46 6.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.1.1 Equazione Differenziale in Forma Normale ed Implicita . . . . . . . . . . . . . 46 6.1.2 Equazione differenziale Lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.1.3 Equazione differenziale Autonoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.1.4 Problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2 Equazione differenziale a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2.1 Sistema di EDO lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2.2 Soluzione di equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.3 Teoremi con Dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.3.1 Corollario 1 su esistenza e unicità globale per PC per sistemi lineari . . . . . . 47 6.3.2 Corollario 2 su esistenza e unicità globale per PC per sistemi lineari . . . . . . 47 6.3.3 Principio di Sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.3.4 Teorema sulla struttura dell’insieme delle soluzioni di (O) . . . . . . . . . . . . 48 6.4 Teoremi senza Dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.4.1 Teorema di Peano (di esistenza locale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.4.2 Teorema di esistenza e unicità locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.4.3 Teorema di esistenza e unicità globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 1 Calcolo infinitesimale per le curve 1.1 Definizioni 1.1.1 Limite finito Sia r : X ⊆ R −→ Rn, t0 punto di accumulazione per X e l ∈ Rn. Si definisce limite finito: lim t→t0 r(t) = l se lim t→t0 |r(t)− l| = 0 Proprietà: lim t→t0 r(t) = l ⇐⇒ lim t→t0 ri(t) = li ∀ i = 1, ...n 1.1.2 Funzione continua Sia r : X ⊆ R −→ Rn e t0 ∈ X sia punto di accumulazione per X. Si dice funzione continua in t0 se: r(t0) = lim t→t0 r(t) 1.1.3 Funzione derivabile e di classe C1 Sia r : X ⊆ R→ Rn, t0 ∈ X̊. La funzione si dice derivabile in t0 se esiste finito il seguente limite: r′(t0) = lim h→0 r(t0 + h)− r(t0) h Si dice di classe C1 se ∃ r′(t) ∀ t ∈ X ed è continua. 1.1.4 Arco di curva continua, Sostegno, Curva Chiusa e Semplice Una funzione r : X ⊆ R→ Rn si dice arco di curva continua o curva parametrica. Si definisce sostegno della curva l’immagine di r: Im(r) = {x ∈ Rn : x = r(t), t ∈ X} La curva si dice chiusa se X = [a, b] e se r(a) = r(b) La curva si dice semplice se la parametrizzazione è iniettiva: r(t1) 6= r(t2) ∀ t1 6= t2 con la possibile eccezione degli estremi. 1.1.5 Curva Regolare La curva r : X ⊆ R −→ Rn si dice regolare se: • r(t) ∈ C1 • r′(t) 6= 0 ∀ t ∈ X Si dice che è regolare a tratti se è regolare tranne che in numero finito di punti. Più precisamente, se posso suddividere la curva in sottocurve ciascuna regolare: a = t0 < t1 < ... < tN = b r|]ti−1,t[ è regolare ∀i 4 1.1.13 Integrale curvilineo di I specie Sia γ regolare e di parametrizzazione r(t) : [a, b] −→ Rn con r ∈ C1. Sia f : γ −→ R Si definisce integrale di linea di f lungo γ l’integrale:∫ γ f ds = ∫ b a f(r(t)) |r′(t)| dt Interpretazione geometrica:∫ γ f ds = Area{(x, y, z) : (x, y) ∈ [a, b], 0 ≤ z ≤ f(x, y)} Se la curva γ è regolare a tratti: γ = ⋃N i=1 γi con ciascun γi ∈ C1 ∫ γ f ds = N∑ i=1 ∫ γi f ds 1.1.14 Baricentro di una curva Sia r : [a, b] −→ R3 e sia r ∈ C1. Sia µ ∈ C1(γ) e µ ≥ 0 la densità lineare. Sia la massa totale: M = ∫ γ µ ds Si definisce baricentro di γ il punto B = (xb, yb, zb) con: xb = 1 M ∫ γ x µ ds = 1 M ∫ b a x(t)µ(r(t))|r′(t)| dt yb = 1 M ∫ γ y µ ds = 1 M ∫ b a y(t)µ(r(t))|r′(t)| dt zb = 1 M ∫ γ z µ ds = 1 M ∫ b a z(t)µ(r(t))|r′(t)| dt Se µ = 1 si parla di baricentro geometrico della curva. 1.1.15 Momento d’inerzia Detta δ la distanza dei punti della curva dall’asse: δ : γ −→ R+ = dist δ(x, y, z) di (x, y, z) dall’asse si definisce momento d’inerzia di γ rispetto ad un asse fissato: I = ∫ γ δ2 µ ds = ∫ b a δ2(r(t)) µ(r(t)) |r′(t)| dt 7 1.1.16 Lavoro totale Sia F : X ⊆ Rn −→ Rn un campo vettoriale. Sia γ una curva regolare con parametrizzazione r : [a, b] −→ Rn. Si definisce Lavoro totale di F lungo γ L = ∫ b a F(r(t)) · r′(t) dt 1.1.17 Integrale curvilineo di II specie Sia γ una curva regolare di parametrizzazione r ∈ C1. Sia F : γ −→ Rn un campo vettoriale continuo. Si definisce integrale curvilineo di II specie di F su γ:∫ γ F · dr = ∫ b a F(r(t)) · r′(t) dt Se γ è una curva chiusa, si definisce circuitazione di F su γ:∮ γ F · dr Legame tra gli integrali curvilinei di I e II specie:∫ γ F · dr = ∫ b a F(r(t)) · r′(t) r′(t) |r′(t)| dt = ∫ b a F · T |r′(t)| dt = ∫ γ (F · T) ds = ∫ γ (componente tangenziale di F su γ) ds 8 1.2 Teoremi con Dimostrazione 1.2.1 Teorema sulla formula della lunghezza delle curve Se r(t) è regolare =⇒ è rettificabile è la sua lunghezza è data da l(γ) = ∫ b a |r′(t)| dt Se la curva è cartesiana: r(t) = (t, f(t)) =⇒ |r′(t)| = √ 1 + f ′(t)2 =⇒ l(γ) = ∫ b a √ 1 + f ′(t)2 dt Se la curva è in coordinate polari: r(t) = (f(t) cos(t), f(t) sin(t)) =⇒ |r′(t)| = √ f(t)2 + f ′(t)2 =⇒ l(γ) = ∫ b a √ f(t)2 + f ′(t)2 dt Dimostrazione parziale: Siano r(t) ∈ C1 e P = partizione di [a, b] l(P) = N∑ i=1 |r(ti)− r(ti−1)| = N∑ i−1 ∣∣∣∣∣ ∫ ti ti−1 r′(t) dt ∣∣∣∣∣ ≤ N∑ i−1 ∫ ti ti−1 |r′(t)| dt = ∫ b a |r′(t)| dt =⇒ l(P) ≤ ∫ b a |r′(t)| dt ∀ P =⇒ sup|P ( l(P) ) ≤ ∫ b a |r′(t)| dt 1.2.2 Proposizione: ascissa curvilinea r̃(s) = r(t(s)) è: 1. parametrizzazione equivalente di r 2. |̃r′(s)| = 1 ∀ s ∈ [0, l(γ)] Dimostrazione: 1. Verificando che il cambio di parametro ha derivata strettamente positiva e di classe C1, si verifica che la parametrizzazione è equivalente ad r. t′(s) = 1 s′(t(s)) > 0 2. dr dt = dr̃(s(t)) dt = dr̃ ds ds dt = s′(t(s)) dr̃ ds s′(t(s)) = ∣∣∣∣drdt ∣∣∣∣ = s′(t(s)) ∣∣∣∣ dr̃ds ∣∣∣∣ ⇐⇒ ∣∣∣∣ dr̃ds ∣∣∣∣ = |̃r′(s)| = 1 9 2 Funzioni scalari di più variabili 2.1 Definizioni 2.1.1 Dominio Naturale Si definisce dominio naturale (insieme di definizione) di una funzione f : X ⊆ Rn −→ R dom(f) = {il più grande X ⊆ Rn tale per cui la formula abbia senso} 2.1.2 Grafico di una funzione Si definisce grafico di una funzione f : X ⊆ Rn −→ R graf(f) = {(x, f(x)) : x ∈ X} ⊆ Rn+1 Per una funzione f : X ⊆ R2 −→ R graf(f) = {(x, y, z) : (x, y) ∈ X, z = f(x, y)} 2.1.3 Insieme di livello Sia f : X ⊆ R2 −→ R e sia c ∈ R Si definisce insieme di livello per c: Lc = {(x, y) ∈ X : f(x, y) = c} 2.1.4 Limite di una successione Sia data la successione {xk}∞k=1 e sia x0 ∈ Rn. Si definisce limite di una successione: lim k→∞ xk = x0 se lim k→∞ (xk)i = (x0)i 2.1.5 Intorno sferico Si definisce intorno sferico di centro x0: Br(x0) = Ur(x0) = {x ∈ Rn : |x− x0| < r} con r > 0 Rappresenta un cerchio in R2 e una sfera (palla) in R3. Il contorno non è compreso. Se lo volessimo includere: Ur(x0) = {x ∈ Rn : |x− x0| ≤ r} 2.1.6 Punto di accumulazione x0 ∈ Rn si dice punto di accumulazione per X ⊆ Rn se: ∀ r > 0 ∃ x ∈ X : |x− x0| < r Ossia, per ogni intorno di x0 ci sono dei punti x ∈ X diversi da x0. 2.1.7 Limiti in Rn −→ R tramite successioni Sia f : X ⊆ Rn → R, x0 punto di accumulazione per X e L ∈ R∗ = R ∪ {−∞,∞} Si definisce limite di f : limx→x0 f(x) = L se ∀{xk}∞k=1 in X : lim k→∞ xk = x0 con xk 6= x0 ∀ k vale che: lim k→∞ f(xk) = L 12 2.1.8 Limiti in Rn −→ R Sia f : X ⊆ Rn −→ R e sia x0 punto di accumulazione per X Si definisce limite di f : 1. L ∈ R: limx→x0 f(x) = L se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ X, 0 < |x− x0| < δ vale che |f(x)− L| < ε 2. L =∞: limx→x0 f(x) =∞ se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ X, 0 < |x− x0| < δ vale che f(x) > ε 3. L = −∞: limx→x0 f(x) = −∞ se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ X, 0 < |x− x0| < δ vale che f(x) < ε 2.1.9 Funzione continua Sia f : X ⊆ Rn −→ R, x0 punto di accumulazione per X Si dice che f è continua in x0 se: limx→x0 f(x) = f(x0) 2.1.10 Limiti per x −→∞ Sia f : X ⊆ Rn −→ R, X ⊆ Rn illimitato: limx→∞ f(x) = L ∈ R se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ X, |x| > δ, |f(x)− L| < ε limx→∞ f(x) = +∞ se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ X, |x| > δ, f(x) > ε 2.1.11 Topologia di Rn Un punto x ∈ E ⊆ Rn si dice interno ad E se: ∃ r > 0 : Br(x0) ⊆ E =⇒ x ∈ E̊ Un punto x ∈ Rn si dice esterno ad E se è interno al suo complementare: EC = {y ∈ Rn : y 6∈ E} Un punto x ∈ Rn si dice di frontiera di E se: x 6∈ E̊ e x 6∈ E̊C =⇒ x ∈ ∂E = {x punti di frontiera} Un insieme E ⊆ Rn si dice limitato se ∃ r > 0 : |x| ≤ r ∀ x ∈ E, ossia se E ⊆ Br(0) Un insieme si dice illimitato se non è limitato. Un insieme E ⊆ Rn si dice aperto se E = E̊ Un insieme E ⊆ Rn si dice chiuso se EC è aperto. Un insieme E ⊆ Rn si dice compatto se è chiuso e limitato. Sia E ⊆ Rn. La sua chiusura è: E = E ∪ ∂E Un insieme E ⊆ Rn si dice connesso se: ∀ x, y ∈ E ∃ r : [a, b] −→ Rn continua : r(a) = x, r(b) = y Ossia, ∀ x, y ∈ E posso trovare una curva continua che li congiunge interna ad E. 13 2.1.12 Derivate Parziali Sia f : X ⊆ Rn −→ R, x0 ∈ X̊. Si definisce la derivata parziale di f rispetto a xi: ∂f(x0) ∂xi = lim h→0 f(x0 + hei)− f(x0) h f : X ⊆ Rn −→ R si dice derivabile in x0 se ∃ ∇f(x0) 2.1.13 Gradiente Sia f : X ⊆ Rn −→ R. Si definisce gradiente di f(x): grad f(x) = ∇f(x) = ( ∂f(x) ∂x1 , . . . , ∂f(x) ∂xn ) 2.1.14 Funzione differenziabile in x0 Sia f : X ⊆ Rn −→ R e x0 ∈ X̊. La funzione f si dice differenziabile in x0 se ∃ a ∈ Rn tale che: f(x0 + h) = f(x0) + a · h + o(|h|) per h→ 0 2.1.15 Piano tangente Sia f : X ⊆ Rn −→ R e x0 ∈ X̊. Si definisce piano tangente al graf(f) in x0: z = f(x0) +∇f(x0) · (x− x0) Per n = 2: z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0) 2.1.16 Vettore normale Si definisce vettore normale al piano tangente al graf(f) in (x0, y0): N = (−fx(x0, y0),−fy(x0, y0), 1) 2.1.17 Funzione di classe C1 Una funzione f : X ⊆ Rn −→ R si dice di classe C1 se fx, ..., fn ∃ e sono continue. f ∈ C1(X) 1. f ∈ C1(X) =⇒ f differenziabile 2. f differenziabile =⇒ f continua 3. f differenziabile =⇒ f derivabile 14 2.1.27 Funzione implicitamente definita Sia g : I −→ R : f(x, g(x)) = 0 ∀ x ∈ I La funzione g si dice funzione implicita o implicitamente definita dall’equazione f(x, y) = 0 Condizioni necessarie affinché ∃ la funzione implicita g(x) = y regolare: 1. L0 6= ∅ ossia deve ∃ x0 ∈ X : f(x0) = 0 2. Se g(x0) = y0 e g è derivabile =⇒ f(x, g(x)) = 0 ∀x per definizione di funzione implicita. se f è costante, allora la derivata dev’essere nulla: 0 = df(x, g(x)) dx = ∂f(x, g(x)) ∂x + ∂f(x, g(x)) ∂y g′(x) =⇒ g′(x) = −fx(x, g(x)) fy(x, g(x)) 2.1.28 Limite in Rn −→ Rm Sia f : X ⊆ Rn −→ Rm. Si definisce limite: limx→x0 f(x) = L se limx→x0 |f(x)− L| = 0 f(x) = ( f1(x), ..., fm(x) ) 2.1.29 Funzione differenziabile in Rm f si dice differenziabile in x0 ∈ ( ˚domf) se fi è differenziabile in x0 ∀ i = 1, ...m Se f è differenziabile in x0: fi(x0 + h)− fi(x0) = ∇fi(x0) · h + o(|h|) h→ 0 fi(x0 + h)− fi(x0) = n∑ j=1 ∂fi(x0) ∂xj hj + o(|h|) h→ 0 fi(x0 + h)− fi(x0) = Jf (x0)h + o(|h|) h→ 0 2.1.30 Matrice Jacobiana Sia f : X ⊆ Rn −→ Rm e siano ∇f1, ...,∇fm gli m gradienti delle componenti f1, ...fm in x0 Si definisce matrice jacobiana: Jf(x0) = ∇f1(x0)T ... ∇fm(x0)T  =  ∂f1 ∂x1 . . . ∂f1 ∂xn ... . . . ... ∂fm ∂x1 . . . ∂fm ∂xn  É una matrice di m righe ed n colonne. 17 2.2 Teoremi con Dimostrazione 2.2.1 Teorema sulla differenziabilità Sia f : X ⊆ Rn −→ R. Sia f differenziabile in x0. =⇒ continuità: Poiché f è differenziabile in x0: f(x0 + h) = f(x0) + a · h + o(|h|) per h→ 0 =⇒ 0 ≤ |f(x0 + h)− f(x0)| = |a · h + o(|h|)| ≤ |a · h|+ |o(|h|)| ≤ |a||h|+ o(|h|)→ 0 1. Disuguaglianza Triangolare, 2. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz Applico il Teorema dei due carabinieri: lim h→0 f(x0 + h) = f(x0) =⇒ esistenza derivate parziali: Poiché f è differenziabile in x0: f(x0 + hei) = f(x0) + a · hei + o(|hei|) per h→ 0 ∂f(x0) ∂xi = lim h→0 f(x0 + hei)− f(x0) h = lim h→0 a · hei + o(|hei|) h = lim h→0 a · ei + o(|h|) h = ai =⇒ ∇f(x0) = a 2.2.2 Formula del Gradiente Se f è differenziabile in x0 =⇒ ∃ Dvf(x0) ∀ v versore e Dvf(x0) = ∇f(x0) · v Dimostrazione: Poiché f è differenziabile in x0: f(x0 + h)− f(x0) = ∇f(x0) · h + o(|h|) per : h→ 0 Dvf(x0) = lim t→0 f(x0 + tv)− f(x0) t = = lim t→0 ∇f(x0) · tv + o(|tv|) t = ∇f(x0) · v = |∇f(x0)||v| cos(α) Se ∇f(x0) 6= 0: Dvf(x0) è max per cos(α) = +1 =⇒ α = 0 Dvf(x0) è min per cos(α) = −1 =⇒ α = π Quindi: + ∇f(x0) |∇f(x0)| è la direzione di massima crescita dif − ∇f(x0) |∇f(x0)| è la direzione di minima crescita dif 18 2.2.3 Ortogonalità del gradiente rispetto alle curve di livello Siano: f : X ⊆ R2 −→ R Lc = {(x, y) ∈ R2 : f(x, y) = c} Supponiamo che: ∃ r(t) : [a, b] −→ X, r ∈ C1 : f(r(t)) = c ∀ t ossia : γ ⊆ Lc Sia f differenziabile in un intorno di (x0, y0) = r(t0). Se ∇f(x0, y0) 6= 0 =⇒ 1. ∇f(x0, y0) · r′(t0) = 0 ossia: ∇f(x0, y0) ⊥ r′(t0) Dimostrazione: r(t) = (x(t), y(t)) r′(t) = (x′(t), y′(t)) f(r(t)) = c 0 = df(r(t)) dt = ∂f(r(t)) ∂x x′(t) + ∂f(r(t)) ∂y y′(t) = ∇f(r(t)) · r′(t) In particolare, vale per t = t0, da cui la tesi. 2. La retta tangente a γ in r(t0) = (x0, y0) è: fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0) = 0 Dimostrazione Richiamo: s = (a, b) ⊥ ad una retta ⇐⇒ ∃ c ∈ R : ax+ by = c Le generica retta passante per (x0, y0) è: a(x− x0) + b(y − y0) = 0 Nel nostro caso: ∇f(x0, y0) ⊥ r′(t0) ossia (a, b) = (fx(x0, y0), fy(x0, y0)) ⊥ r′(t0) Quindi l’equazione della retta tangente in (x0, y0) è: fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0) = 0 19 2.2.6 Teorema di Fermat Sia f : X ⊆ Rn −→ R, x0 ∈ X̊ punto di max/min relativo, f derivabile in x0. =⇒ ∇f(x0) = 0 Dimostrazione: Sia f derivabile in x0 punto di max locale. Sia g(t) = f(x0 + tei) =⇒ g(t) è derivabile e ha max relativo in t = 0. g′(0) = ∂f(x0) ∂xi =⇒ Teorema di Fermat : g′(0) = 0 Ripeto questo ragionamento ∀ i = 1, ...n É una condizione necessaria ma non sufficiente. 2.2.7 Caratterizzazione delle forme quadratiche Consideriamo una matrice quadrata e simmetrica M = ( a b b c ) Supponiamo a 6= 0. La forma quadratica è: Determinante Condizioni Autovalori Caratterizzazione det(M) = 0 a > 0 Semidefinita Positiva det(M) = 0 a < 0 Semidefinita Negativa det(M) > 0 a > 0 Definita Positiva det(M) > 0 a < 0 Definita Negativa det(M) < 0 − Indefinita Dimostrazione: q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 aggiungo e tolgo± b2 a y2 = ax2 + 2bxy + cy2 + b2 a y2 − b2 a y2 = a ( x2 + 2b a xy + b2 a2 y2 ) + y2 ( c− b2 a ) = a ( x+ b a y )2 + y2 ( c− b2 a ) = a ( x+ b a y )2 + y2 ( ca− b2 a ) Osservo che: ca− b2 = detM Se a > 0 e detM > 0 =⇒ q > 0 ∀ (x, y) 6= (0, 0) =⇒ q definita positiva Se a > 0 e detM = 0 =⇒ q ≥ 0 e q ( −by a , y ) = 0 ∀ y =⇒ q semidefinita positiva Se a > 0 e detM < 0 =⇒ q indefinita q ( −by a , y ) = detM a y2 < 0 ∀ y 6= 0 q(x, 0) = ax2 > 0 ∀ x 6= 0 22 2.2.8 Test degli Autovalori Sia M una matrice simmetrica e sia q(h) = hTMh la forma quadratica associata. =⇒ la forma quadratica è: q(h) Condizione Autovalori Definita Positiva ⇐⇒ λi > 0 ∀ i Semidefinita Positiva ⇐⇒ λi ≥ 0 ∀ i Definita Negativa ⇐⇒ λi < 0 ∀ i Semidefinita Negativa ⇐⇒ λi ≤ 0 ∀ i Indefinita ⇐⇒ λi > 0 e λj < 0 Dimostrazione: 1. q semidefinita positiva: Considero h = Sk =⇒ k = STh ed S ortogonale tale che STMS = λ1 · · · 0 ... . . . ... 0 · · · λn  Scrivo la forma quadratica associata ad h: q(h) = (Sk)TMSk = kTSTMSk = n∑ i=1 λik 2 i ≥ 0 ∀ k ∈ Rn ⇐⇒ λi ≥ 0 2. q definita positiva: Considero h = Sk =⇒ k = STh ed S ortogonale tale che STMS = λ1 · · · 0 ... . . . ... 0 · · · λn  Scrivo la forma quadratica associata ad h: q(h) = (Sk)TMSk = kTSTMSk = n∑ i=1 λik 2 i > 0 ∀ k 6= 0 ⇐⇒ λi > 0 23 2.2.9 Studio della natura dei punti critici mediante Hf Sia f : X ⊆ Rn −→ R, f ∈ C2(X), x0 ∈ X aperto punto critico. Sia q(h) = hTHf(x0)h la forma quadratica associata a Hf(x0) 1. Se q è definita positiva =⇒ x0 è punto di min relativo stretto 2. Se q è definita negativa =⇒ x0 è punto di max relativo stretto 3. Se q è indefinita =⇒ x0 è punto di sella Dimostrazione: f(x0 + h)− f(x0) = 1 2 hTHf(x0)h + o(|h|2) per h→ 0 1. f(x0 + h)− f(x0) ≥ 1 2 λmin|h|2 + o(|h|2) = |h|2 2 ( λmin + o(1) ) ≥ |h| 2 2 λmin 2 > 0 ∀ h 6= 0 2. f(x0 + h)− f(x0) ≤ 1 2 λmax|h|2 + o(|h|2) = |h|2 2 ( λmax + o(1) ) ≤ |h| 2 2 λmax 2 < 0 ∀ h 6= 0 Corollario: Sia f ∈ C2(X), X ⊆ R2 aperto, (x0, y0) ∈ X e ∇f(x0, y0) = (0, 0) Hf(x0,y0) = ( fxx fxy fxy fyy ) 1. Se det H > 0 e fxx(x0, y0) > 0 o fyy(x0, y0) > 0 =⇒ (x0, y0) è min relativo stretto. 2. Se det H > 0 e fxx(x0, y0) < 0 o fyy(x0, y0) < 0 =⇒ (x0, y0) è max relativo stretto. 3. Se det H < 0 =⇒ (x0, y0) è punto di sella. 4. Se det H = 0 =⇒ non posso dire nulla sulla natura del punto. 2.2.10 Teorema sulla convessità e iperpiano tangente Sia f : X ⊆ Rn −→ R differenziabile e X aperto convesso. f è convessa in X ⇐⇒ f(x2) ≥ f(x1) +∇f(x1) · (x2 − x1) Dimostrazione: solo "=⇒" Per ipotesi: f(x1 + t(x2 − x1)) = f((1− t)x1 + tx2) ≤ (1− t)f(x1) + tf(x2) = f(x1) + t(f(x2)− f(x1)) f(x1 + t(x2 − x1))− f(x1) ≤ t(f(x2)− f(x1)) =⇒ f(x1 + t(x2 − x1))− f(x1) t ≤ f(x2)− f(x1) Faccio il limite: lim t=0+ f(x1 + t(x2 − x1))− f(x1) t = ∇f(x1) · (x2 − x1) ≤ f(x2)− f(x1) =⇒ f(x2) ≥ f(x1) +∇f(x1) · (x2 − x1) 24 2.3 Teoremi senza Dimostrazione 2.3.1 Teorema della permanenza del segno Sia f : X ⊆ Rn −→ R e sia x0 punto di accumulazione per X, L ∈ R∗. Supponiamo esista: limx→x0 f(x) = L 1. se L > 0 =⇒ ∃ δ > 0 : f(x) > 0 in Uδ(x0) 2. se f(x) ≥ 0 in Uδ(x0)\{x0} =⇒ L > 0 3. se f(x) è continua in x0 e f(x0) > 0 =⇒ ∃ δ > 0 : f(x) > 0 in Uδ(x0) Analogo è il ragionamento con ≤ e <. 2.3.2 Proposizione Sia f : X ⊆ Rn −→ R e sia x0 punto di accumulazione per X, L ∈ R∗. Supponiamo esista: limx→x0 f(x) = L =⇒ ∀ curva passane per x0: lim t→t0 f(r(t)) = L 2.3.3 Metodo di maggiorazione Sia f : X ⊆ Rn −→ R, x0 punto di accumulazione per X, L ∈ R. Sia: g : (0,∞) −→ R+ tale che lim ρ→0 g(ρ) = 0 Supponiamo che: ∃ r > 0 : |f(x)− L| ≤ g(|x− x0|) ∀ x ∈ Br(x0)\{x0} =⇒ limx→x0 f(x) = L 2.3.4 Teorema del confronto Siano f, g, h : X ⊆ Rn −→ R, x0 punto di accumulazione per X. se ∃ r > 0 : in Br(x0)\{x0} ho che f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) =⇒ 1. se entrambi i limiti esistono: limx→x0 f(x) ≤ limx→x0 g(x) 2. Teorema dei due carabinieri: se limx→x0 f(x) = limx→x0 h(x) = L ∈ R∗ =⇒ limx→x0 g(x) = L se L = +∞ basta f ≤ g se L = −∞ basta g ≤ h 2.3.5 Teorema del Differenziale Totale Sia f : X ⊆ Rn −→ R, x0 ∈ X̊. Se ∃ r > 0 : ∀ x ∈ Br(x0) ∃ ∇f(x0) e limx→x0 ∂f(x) ∂xi = ∂f(x0) ∂xi =⇒ f è differenziabile in x0 Se f ∈ C1(X) allora f è differenziabile in X. 27 2.3.6 Teorema di Weierstraß Sia f : X ⊆ Rn −→ R continua e X compatto. =⇒ f ammette max e min, ossia: ∃ xm, xM ∈ X : f(xm) ≤ f(x) ∀ x ∈ X e f(xM) ≥ f(x) ∀ x ∈ X Corollario: Sia f : X ⊆ Rn −→ R continua e X compatto. 1. Se: lim |x|→∞ f(x) = +∞ =⇒ f ha un minimo in X 2. Se: lim |x|→∞ f(x) = −∞ =⇒ f ha un massimo in X 2.3.7 Teorema di Schwartz Sia f : X ⊆ Rn −→ R, x0 ∈ X̊. Supponiamo che fxixj (x0) e fxjxi (x0) ∃ in Br(x0) e siano continue in x0. =⇒ fxjxk (x0) = fxkxj (x0) In particolare, f ∈ C2(X) =⇒ Hf(x) è simmetrica ∀ x ∈ X 2.3.8 Criterio di Sylvester Siano: q(h) = hTMh h ∈ R3 M = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33  La forma quadratica è: definita positiva ⇐⇒ a11 > 0 det ( a11 a21 a21 a22 ) > 0 detM > 0 definita negativa ⇐⇒ a11 < 0 det ( a11 a21 a21 a22 ) > 0 detM < 0 28 2.3.9 Caratterizzazione delle Funzioni Convesse mediante Hf(x) Sia f : X ⊆ Rn → R, f ∈ C2(X), X aperto convesso. Caratterizzazione Condizione Funzione Hf(x) semidefinita positiva ⇐⇒ f convessa Hf(x) definita positiva =⇒ f strettamente convessa 2.3.10 Teorema del Dini Sia f : X ⊆ R2 → R, f ∈ C1(X), X aperto, f(x0, y0) = 0 ed fy(x0, y0) 6= 0 =⇒ ∃ I intorno di x0 e un’unica g : I −→ R : g(x0) = y0 e f(x, g(x)) = 0 ∀ x ∈ I g′(x) ∈ C1(I) e g′(x) = −fx(x, g(x)) fy(x, g(x)) ∀ x ∈ I Il grafico di g(x) è formato dai punti che annullano f(x, y). Dato X ⊆ R2 aperto, f ∈ C1(X), f(x0, y0) = 0 ed fx(x0, y0) 6= 0 =⇒ ∃ I intorno di y0 e un’unica h : I −→ R : h(y0) = x0 e f(h(y), y) = 0 ∀ y ∈ I h′(y) ∈ C1(I) e h′(y) = −fy(h(y), y) fx(h(y), t) ∀ y ∈ I Dato X ⊆ R3 aperto, f ∈ C1(X), f(x0, y0, z0) = 0 ed fz(x0, y0) 6= 0 =⇒ ∃ I intorno di (x0, y0) e un’unica g : I −→ R : g(x0, y0) = z0 e f(x, y, g(x, y)) = 0 ∀ (x, y) ∈ I g′(x, y) ∈ C1(I) e gx = −fx(x0, y0, z0) fz(x0, y0, z0) e gy = −fy(x0, y0, z0) fz(x0, y0, z0) 2.3.11 Teorema di derivazione delle funzioni composte Sia X ⊆ Rn e Y ⊆ Rm aperti, f : X −→ Y e g : Y −→ Rk Supponiamo che f sia differenziabile in x0 e g differenziabile in f(x0) =⇒ g o f è differenziabile in x0 e: J(g o f)(x0) = Jg(f(x0)) Jf(x0) 29 3.2 Teoremi con Dimostrazione 3.2.1 Teorema su domini semplici Sia f : Ω ⊆ R2 −→ R e f ∈ C(Ω). Se Ω = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} =⇒ la formula di riduzione diventa:∫ ∫ Ω f(x, y) dxdy = ∫ b a (∫ g2(x) g1(x) f(x, y) dy ) dx Se Ω = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} =⇒ la formula di riduzione diventa:∫ ∫ Ω f(x, y) dxdy = ∫ d c (∫ h2(y) h1(y) f(x, y) dx ) dy Dimostrazione:∫ ∫ Ω f(x, y) dxdy = ∫ ∫ [a,b]×[c,d] f̃(x, y) dxdy = ∫ b a ∫ d c f̃(x, y) dydx Dato che da g1(x) a c e che da g2(x) a d ho f̃(x, y) = 0:∫ b a ∫ d c f̃(x, y) dydx = ∫ b a ∫ g2(x) g1(x) f̃(x, y) dydx = ∫ b a (∫ g2(x) g1(x) f(x, y) dy ) dx 3.2.2 Teorema della media integrale Sia Ω misurabile, chiuso e connesso. Sia f ∈ C(Ω) =⇒ ∃ (x0, y0) ∈ Ω: m = media integrale = 1 Ω ∫ ∫ Ω f dxdy = f(x0, y0) Dimostrazione: Per il teorema di Weierstrass f ha max M e min m in Ω. m |Ω| = ∫ ∫ Ω m dxdy ≤ ∫ ∫ Ω f dxdy ≤ ∫ ∫ Ω M dxdy = M |Ω| Entrambe le disuguaglianze valgono per la proprietà della monotonia. =⇒ m ≤ m ≤ M Uso il teorema degli zeri per f(x, y)−m: siccome questa funzione cambia segno in Ω connesso =⇒ ∃ (x0, y0) : f(x0, y0)−m = 0 32 3.2.3 Teorema di Pappo-Guldino Il volume di un solido di rotazione generato da un insieme piano A è: Volume = |A|2 · l l : lunghezza della curva percorsa dal baricentro di A Dimostrazione: Considero un semipiano S = {(x, 0, z), x ≥ 0} e A ⊆ S limitato e misurabile. Descrivo il solido di rotazione R(A) in coordinate cilindriche. x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ) z = z ρ = √ x2 + y2 Ω′ = T (R(A)) = {(ρ, θ, z) : (ρ, z) ∈ A, 0 ≤ θ ≤ θ̄} Calcolo il volume: |R(A)|3 = ∫ ∫ ∫ R(A) 1 dxdydz = ∫ ∫ ∫ Ω′ ρ dρdθdz Integro per parti: |R(A)|3 = ∫ θ̄ θ (∫ ∫ A ρ dρdθdz ) = θ̄ ∫ ∫ A x dxdz = θ̄ xB |A|2 = |A|2 · l 33 3.3 Teoremi senza Dimostrazione 3.3.1 Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale Sia f : R = [a, b]× [c, d] −→ R, f ∈ C(R) e siano: ϕ(x) = ∫ d c f(x, y) dy ψ(y) = ∫ b a f(x, y) dx =⇒ ϕ(x) ∈ C([a, b]) e ψ(y) ∈ C([c, d]) 3.3.2 Teorema del cambiamento di variabili Sia T : Ω′ −→ Ω diffeomorfismo e Ω ⊆ R2 regolare. =⇒ ∀ f ∈ C(Ω)∫ ∫ Ω f(x, y) dxdy = ∫ ∫ Ω′ f(T(u, v)) |det JT(u, v)| dudv = ∫ ∫ T(Ω) f(g(u, v), h(u, v)) ∣∣∣∣∂(x, y) ∂(u, v) ∣∣∣∣ dudv Sia T : Ω′ −→ Ω diffeomorfismo e Ω ⊆ R3 regolare. =⇒ ∀ f ∈ C(Ω)∫ ∫ ∫ Ω f(x, y, z) dxdydz = ∫ ∫ ∫ Ω′ f(T(u, v, w)) |det JT(u, v, w)| dudvdw = ∫ ∫ ∫ T(Ω) f(T(u, v, w)) ∣∣∣∣ ∂(x, y, z) ∂(u, v, w) ∣∣∣∣ dudvdw 3.3.3 Formula di riduzione per fili Sia f ∈ C(Ω), Ω z-semplice. =⇒ f è integrabile e:∫ ∫ ∫ Ω f(x, y, z) dxdydz = ∫ ∫ D (∫ g2(x,y) g1(x,y) f(x, y, z) dz ) dxdy 3.3.4 Formula di riduzione per strati Sia f ∈ C(Ω), Ω stratificato. =⇒ f è integrabile e:∫ ∫ ∫ Ω f(x, y, z) dxdydz = ∫ b a (∫ ∫ Ω(z) f(x, y, z) dxdy ) dz 34 4.2.2 Caratterizzazione delle forme esatte: Siano Ω ⊆ Rn aperto connesso, F ∈ C1(Ω). Le seguenti proprietà sono equivalenti: 1. ∀ γ1 e γ2 ∈ C1 a tratti in Ω aventi gli stessi estremi e lo stesso verso di percorrenza:∫ γ1 ω = ∫ γ2 ω 2. ∀ γ chiusa in Ω: ∮ γ ω = 0 3. F è conservativo (ω è esatta) 1 ⇐⇒ 2 ⇐⇒ 3 Dimostrazione: 3 =⇒ 2 F conservativo =⇒ ∫ γ ω = U(r(b))−U(r(a)) dipende solo dagli estremi di integrazione γ chiusa =⇒ ∮ γ ω = 0 2 =⇒ 1 Siano γ1 e γ2 due curve aventi gli stessi estremi. chiamo : γ∗2 = −γ2 =⇒ γ1 ∪ γ∗2 è chiusa 0 = ∮ γ1∪γ∗2 ω = ∫ γ1 ω + ∫ γ∗2 ω = ∫ γ1 ω − ∫ γ2 ω =⇒ ∫ γ1 ω = ∫ γ2 ω 1 =⇒ 3 Fisso P0 ∈ Rn. Sia γ(P0, x) una curva che congiunge P0 con x. Definisco: U(x) = ∫ γ(P0,x) ω = ∫ γ(P0,x) F1dx1 + ... Fndxn Tesi: Voglio dimostrare che U(x) è una primitiva di ω, ossia: ∂U ∂xi = Fi ∀ i = 1, ... n =⇒ ∂U ∂x1 = lim h→0 U(x + he1)−U(x) h = F1 Chiamo γh la curva di parametrizzazione: rh(t) = x + the1 t ∈ [0, 1] r′h = he1 U(x + he1) = U(x) + ∫ γh F · drh = U(x) + ∫ 1 0 F(x + the1) · he1 dt = U(x) + h ∫ 1 0 F1(x1 + the1) dt Da cui: U(x + he1)−U(x) h = ∫ 1 0 F1(x1 + the1) dt Faccio il limite: lim h→0 U(x + he1)−U(x) h = ∫ 1 0 lim h→0 F1(x1 + the1) dt = F1(x) 37 4.2.3 Proposizione Se F ∈ C1(Ω,R3) è conservativo =⇒ rot F = 0 ω esatta =⇒ ω chiusa Dimostrazione: F = ∇U =⇒ ∂Fi ∂xj = ∂ ∂xj ∂U ∂xi = ∂2U ∂xj ∂xi e ∂Fj ∂xi = ∂ ∂xi ∂U ∂xj = ∂2U ∂xi ∂xj Per il Teorema di Schwartz: ∂Fi ∂xj = ∂Fj ∂xi 4.2.4 Formule di Gauss-Green Sia Ω ⊆ R2 con ∂+Ω regolare a tratti 1. =⇒ se F = (F, 0) ∈ C1(Ω), Ω y-semplice e la forma differenziale ω = F dx+ 0 dy∫ ∫ Ω ∂F ∂y dxdy = − ∮ ∂+Ω F dx 2. =⇒ se F = (0,F) ∈ C1(Ω), Ω x-semplice e la forma differenziale ω = 0 dx+ F dy∫ ∫ Ω ∂F ∂y dxdy = + ∮ ∂+Ω F dy Dimostrazione: (1.) Secondo membro: ∮ ∂+Ω F dx = ∫ b a F(t,Φ1(t))− F(t,Φ2(t)) dt Primo membro: ∫ ∫ Ω ∂F ∂y dxdy = + ∫ b a (∫ Φ2(x) Φ1(x) ∂F ∂y dy ) dx = + ∫ b a F(x,Φ2(x))− F(x,Φ1(x)) dx = − ∮ ∂+Ω F dx Corollario 1: Formula di Stokes Sia Ω ⊆ R2 x-semplice e y-semplice, ∂+Ω regolare a tratti ed F = (F1,F2) ∈ C1(Ω). =⇒ ∫ ∫ Ω rotF · e3 dxdy = ∫ ∫ Ω ( ∂F2 ∂x − ∂F1 ∂y ) dxdy = ∮ ∂+Ω F · dr = ∮ ∂+Ω F1 dx+ F2 dy Flusso del rotF attraverso Ω in direzione e3 = Circuitazione di F in ∂+Ω 4.3 Teoremi senza Dimostrazione 4.3.1 Teorema Se Ω ⊆ Rn è aperto e semplicemente connesso e se F ∈ C1(Ω,Rn) è irrotazionale =⇒ F è conservativo. ossia, negli insiemi semplicemente connessi: ω chiusa =⇒ ω esatta 38 5 Superfici Parametriche 5.1 Definizioni 5.1.1 Superficie Parametrica Una superficie parametrica regolare e semplice è un insieme S ⊆ R3 (sostegno) dotato di una parametrizzazione: r : Ω ⊆ R2 −→ R3 Dove: 1. Ω : chiusura di un aperto connesso 2. r ∈ C1 e la restrizione r : Ω̊ −→ R3 è iniettiva =⇒ S è semplice 3. r(u, v) ha rango massimo (ossia 2) ∀ (u, v) ∈ Ω̊ =⇒ S è regolare 5.1.2 Piano Tangente Piano tangente a S in x0 = r(u0, v0): piano passante per x0 e parallelo a ru(u0, v0) e rv(u0, v0). Si definiscono vettore normale e versore normale ad S in x0: N = ru(u0, v0)× rv(u0, v0) n = N |N| rango Jr(u, v) = 2 ⇐⇒ |ru(u0, v0)× rv(u0, v0)| > 0 L’equazione del piano tangente è: (x− x0) ·N = 0 =⇒ ru(u0, v0)× rv(u0, v0) · (x− r(u0, v0)) = 0 Equazione del piano tangente a un grafico cartesiano: −fx(x0, y0)(x− x0)− fy(x− x0)(y − y0) + z − z0 = 0 5.1.3 Area di una superficie Sia S una superficie parametrica regolare e semplice di parametrizzazione r : Ω −→ R3 con Ω ⊆ R2 misurabile. L’Area di S è: A(S) = ∫ ∫ Ω |ru(u, v) ∧ rv(u, v)| dudv 5.1.4 Integrale Superficiale Sia S una superficie parametrica regolare e semplice di parametrizzazione r : Ω −→ R3 con Ω ⊆ R2 misurabile e sia f : S −→ R continua e limitata. L’integrale superficiale di f su S è:∫ ∫ S f dσ = ∫ ∫ Ω f(r(u, v))|ru(u, v) ∧ rv(u, v)| dudv Se S è una superficie cartesiana:∫ ∫ S f dσ = ∫ ∫ Ω f(x, y) √ 1 + |∇f(x, y)|2 dxdy 39 5.2 Teoremi con Dimostrazione 5.2.1 Teorema di Pappo-Guldino Sia γ una curva regolare. =⇒ A(R(γ)) = l(γ) · l(arco di circonferenza percorso dal baricentro di γ) A(R(γ)) = l(γ) · θ̄ · dist(bar., r) Dimostrazione: Considero il caso in cui r = asse z, γ ⊆ {(x, z) : x ≥ 0} Parametrizzo la curva γ con s(t) = (x(t) ≥ 0, y(t)) Tesi: A(R(γ)) = l(γ) · θ̄ · xb = l(γ) · θ̄ · 1 l(γ) ∫ γ x ds = θ̄ ∫ γ x ds Quindi: A(R(γ)) = θ̄ ∫ b a x(t)|s′(t)| dt s′(t) = (x′(t), z′(t)) |s′(t)| = √ x′(t)2 + z′(t)2 Parametrizzo R(γ): r(t, θ) = (x(t) cos θ, x(t) sin θ, z(t)) Calcolo il vettore normale: N = rt ∧ rθ = det  e1 e2 e3 x′ cos θ x′ sin θ z′ −x sin θ x cos θ 0  = (−xz′ cos θ,−xz′ sin θ, x′x) |N|2 = x2(z′)2 cos2 θ + x2(z′)2 sin2 θ + (x′)2x2 = x2(z′)2 + (x′)2x2 = x2((z′)2 + (x′)2) = x2|s′(t)|2 L’area è quindi: A(R(γ)) = ∫ b a ∫ θ̄ 0 |rt ∧ rθ| dtdθ = ∫ b a ∫ θ̄ 0 |N| dtdθ = ∫ b a ∫ θ̄ 0 x|s′(t)| dtdθ = θ̄ ∫ γ x ds 42 5.2.2 Teorema della Divergenza di Gauss Sia Ω ⊆ R3 regolare, la normale n a ∂Ω orientata verso l’esterno e F : Ω̄ −→ R3, F ∈ C1 =⇒ ∫ ∫ ∫ Ω div F dxdydz = ∫ ∫ ∂Ω F · ne dσ = flusso di F uscente da Ω Dimostrazione: La tesi segue dalla somma di:∫ ∫ ∫ Ω ∂F3 ∂z dxdydz = ∫ ∫ ∂Ω F3n3 dσ ... Considero Ω = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y)} g1, g2 ∈ C1(D) Σ = superficie laterale Σ1 = graf(g1) Σ2 = graf(g2)∫ ∫ ∂Ω F3n3 dσ = ∫ ∫ Σ F3n3 dσ + ∫ ∫ Σ1 F3n3 dσ + ∫ ∫ Σ2 F3n3 dσ Osservo che: 1. su Σ ho n3 = 0 2. su Σ1 ho N = (−g1x ,−g1y , 1) è entrante 3. su Σ1 ho N = (−g2x ,−g2y , 1) è uscente Quindi: ∫ ∫ ∂Ω F3n3 dσ = ∫ ∫ Σ1 F3 · 1 |N| dσ + ∫ ∫ Σ2 F3 · 1 |N| dσ = ∫ ∫ D F3(x, y, g2(x, y)) dxdy − ∫ ∫ D F3(x, y, g1(x, y)) dxdy Integro ora per fili il primo integrale:∫ ∫ ∫ Ω ∂F3 ∂z dxdydz = ∫ ∫ D (∫ g2(x,y) g1(x,y) ∂F3 ∂z dz ) dxdy = ∫ ∫ D ( F3(x, y, g2(x, y))− F3(x, y, g1(x, y)) ) dxdy 43 5.2.3 Teorema della Divergenza nel piano Sia Ω ⊆ R2 s-decomponibile con ∂Ω regolare a pezzi. Sia T il versore tangente a ∂+Ω (orientato positivamente) n = versore normale uscente da Ω = T ruotato di π 2 in senso orario n ∧ T = e3 Sia F : Ω̄ −→ R2, F ∈ C1 =⇒ ∫ ∫ Ω divF dxdy = ∫ ∂+Ω F · n ds l’integrale dentro il dominio della divergenza = flusso uscente dalla frontiera Dimostrazione: Parametrizzo ∂+Ω con s(t) = (x(t), y(t)), quindi: T = (x′, y′) |s′| n = (y′,−x′) |s′| Uso le formule di Gauss-Green:∫ ∫ Ω ∂F1 ∂x + ∂F2 ∂y dxdy = ∫ ∂+Ω F1 dy − F2 dx Inoltre ∫ ∂+Ω F · n ds = ∫ b a ( F1(s(t)) y′(t) |s′| − F2(s(t)) x′(t) |s′| ) |s′(t)| dt = ∫ ∂+Ω F1 dy − F2 dx 5.2.4 Teorema del rotore di Stokes per superfici chiuse Sia (S, r) una superficie con bordo. Sia F : Ω −→ R3, F ∈ C1 e sia S ⊆ Ω =⇒ ∫ ∫ S rotF · n dσ = 0 Dimostrazione: solo per F ∈ C2 Sia F : Ω′ −→ R3, Ω̄ ⊆ Ω′. Applico il Teorema della Divergenza:∫ ∫ ∂Ω rotF · n dσ = ∫ ∫ ∫ Ω div rotF dxdydz = 0 44 6.3 Teoremi con Dimostrazione 6.3.1 Corollario 1 su esistenza e unicità globale per PC per sistemi lineari Si suppongano f : S̄ −→ Rn con S̄ = [a, b]× Rn, f continua, ∂fi ∂xk continue ∀ i, k = 1, ...n. Supponiamo che esistano h, k ∈ R : (c) |f(t, x)| ≤ h+ k|x| ∀ (t, x) ∈ S̄ =⇒ ∀ t0 ∈ I,∀ y0 ∈ Rn, esiste un’unica soluzione del problema di Cauchy definita ∀ t ∈ I:{ y′ = A(t)y + g(t) y(t0) = y0 Dimostrazione: Verifico le ipotesi del teorema di esistenza e unicità globale. f(t, x) = A(t)x + g(t) è continua Jxf = A(t) ossia ∂fi ∂xj = aij(t) coefficienti continui Fisso: [a, b] ⊆ I k = maxi,j=1,...n ( maxt∈[a,b]|aij(t)| ) |f| ≤ k|x|+ maxt∈[a,b]|g(t)| =⇒ (c) è verificata in [a, b] =⇒ vale il teorema di esistenza e unicità globale in S̄ = [a, b]× Rn Questo mi dà l’esistenza di una soluzione unica y definita in [a, b] Per l’arbitrarietà di [a, b] ⊆ I ho che la soluzione esiste in tutto I. 6.3.2 Corollario 2 su esistenza e unicità globale per PC per sistemi lineari Consideriamo l’equazione lineare scalare del 2° ordine: (L2) y′′ + b(t)y′ + c(t)y = d(t) Se b, c, d ∈ C(J), J ⊆ R intervallo. =⇒ ∀ t0 ∈ J e y0, v0 ∈ R ∃ un’unica soluzione di (L2) con y(t0) = y0, y ′(t0) = v0, definita in tutto J. Dimostrazione: Posso riscrivere (L2) come: y′′ = −b(t)y′ − c(t)y + d(t) Il sistema associato a (L2) è: { y′ = v v′ = −bv − cy + d A(t) = ( 0 1 −c −b ) g(t) = ( 0 d(t) ) che soddisfano le ipotesi del corollario 1. =⇒ ∃ (y, v) soluzione del sistema. =⇒ y(t) è soluzione di (L2). 47 6.3.3 Principio di Sovrapposizione Si consideri un sistema lineare omogeneo: (O) y′ = A(t)y L’integrale generale di (O) è uno spazio vettoriale, ossia: ∀ y1, ...yn soluzioni di (O) e ∀ α1, ..., αn ∈ R v(t) = n∑ i=1 αiyi(t) è soluzione di (O) Dimostrazione: Voglio verificare che v(t) soddisfa il sistema omogeneo: v′(t) = n∑ i=1 αiy′i(t) = n∑ i=1 αiA(t)yi(t) = A(t) ( n∑ i=1 αiyi(t) ) = A(t)v(t) che soddisfa (O). 6.3.4 Teorema sulla struttura dell’insieme delle soluzioni di (O) L’integrale generale di (O) è uno spazio vettoriale di dimensione n, ossia: 1. ∃ n soluzioni di (O) y1, ...yn linearmente indipendenti. 2. ogni soluzione ỹ di (O) è combinazione lineare di y1, ... yn Dimostrazione: 1. Dimostro che esistono n soluzioni linearmente indipendenti. Fisso t0 ∈ I e definisco yi la soluzione di:{ y′i(t) = A(t)yi yi(t0) = ei Le yi sono indipendenti perché se ∑n i=1 αiyi(t) = 0 ∀ t =⇒ per t = t0 ∑n i=1 αiei = 0 =⇒ αi = 0 ∀ i perché e1, ...en sono indipendenti. 2. Sia ỹ soluzione di (O). ∃ αi ∈ R : ỹ(t0) = n∑ i=1 αien =⇒ Tesi: ỹ(t) = n∑ i=1 αiyi(t) Se definisco: z(t) = ỹ(t)− n∑ i=1 αiyi(t) =⇒ Tesi: z(t) = 0 Guardo il sistema di equazioni differenziali che soddisfa z. Per il Principio di Sovrapposizione:{ z′ = A(t)z(t) z(t) = ỹ(t0)− ∑n i=1 αiyi(t0) = 0 Tale Problema di Cauchy ha soluzione z(t) = 0 e tale soluzione è unica. 48 6.4 Teoremi senza Dimostrazione 6.4.1 Teorema di Peano (di esistenza locale) Sia f : Ω ⊆ Rn+1 −→ Rn =⇒ ∃ almeno una soluzione del Problema di Cauchy y : I −→ Rn con I = (t0 − δ, t0 + δ) δ > 0 6.4.2 Teorema di esistenza e unicità locale Sia f ∈ C(Ω,Rn) e ∂fi ∂xk continue ∀ i, k = 1, ...n =⇒ ∃ un intorno I di t0 tale che il Problema di Cauchy abbia una sola soluzione definita in I. La seconda condizione può essere indebolita imponendo la condizione di Lipschitz: ∀ K ⊆ D chiuso e limitato ∃ LK tale per cui ∀ (t, x), (t, z) ∈ K x 6= z |f(t, x) + f(t, z)| |x− z| ≤ LK 6.4.3 Teorema di esistenza e unicità globale Si suppongano f : S̄ −→ Rn con S̄ = [a, b]× Rn, f continua, ∂fi ∂xk continue ∀ i, k = 1, ...n. Supponiamo che esistano h, k ∈ R : |f(t, x)| ≤ h+ k|x| ∀ (t, x) ∈ S̄ =⇒ ogni soluzione di y′ = f(t, y) è definita in [a, b] 49